Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Министерство образования Российской Федерации

“МАТИ”- Российский государственный технологический университет

им.К.Э. Циолковского

Кафедра «Высшая математика»

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Варианты курсовых заданий

Составители : Выск Н.Д.

Титаренко В.И.

Москва 2001

Предлагаемые методические указания ставят своей целью помочь студентам второго курса усвоить теоретический и практический материалы по теме “Ряды”.

В каждом разделе после теоретической части разбираются типовые задачи.

В методических указаниях охвачены следующие темы: числовые ряды (знакопостоянные и знакопеременные), функциональные и степенные ряды, разложение функций в ряды Тейлора.

Для закрепления материала студентам предлагается выполнить курсовую работу по перечисленным выше темам.

Настоящие методические указания могут использоваться на всех факультетах и специальностях.

I.ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

1.Знакоположительные ряды

Числовой ряд

(1)

называется сходящимся, если его n-частичная сумма

имеет предел при , при этом

называется суммой ряда, а

называется остатком ряда.

Необходимым признаком сходимости ряда является условие: , однако, это условие не является достаточным.

Для того чтобы выяснить, сходится ли числовой ряд (1) или расходится, необходимо воспользоваться достаточными признаками сходимости, а именно:

Признак сравнения

1) Если , начиная с некоторого и ряд

(2)

сходится, то ряд (1) также сходится, а если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2).

В качестве рядов для сравнения удобно рассматривать :

а) геометрическую прогрессию

, ,

сходящуюся при и расходящуюся при ;

б) гармонический ряд , который расходится;

в) ряд Дирихле , сходящийся при и расходящийся, при p<1 ( что доказывается с помощью интегрального признака Коши).

2) Если существует конечный и отличный от нуля предел (в частности, , то ряды (1) и (2) сходятся и расходятся одновременно.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

.

Так как данный n-й член ряда имеет вид ln(1+), где - бесконечно малая величина при n, и известно, что ln(1, то этот ряд сравниваем с рядом

,

представляющим собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q=1/7<1, которая сходится, следовательно, и исходный ряд сходится.

Пример 2. Исследовать ряд

.

n-й член данного ряда:

~ ,

т.е. при n ведет себя как гармонический, следовательно, ряд также расходится. Часто, прежде чем использовать какой-либо из достаточных признаков сходимости ряда, необходимо использовать понятие эквивалентных бесконечно малых величин при и обязательно проверить необходимые условия сходимости исследуемого ряда.

Признак Даламбера. Пусть , начиная с некоторого n=n₀ и существует предел

 ,

то ряд (1) сходится при q<1 и расходится при q<0. Если q=1, то вопрос о сходимости ряда (1) остается открытым.

Пример 3.

.

Найдем

следовательно, исследуемый ряд сходится.

Пример 4. Исследовать ряд

Найдем

,

следовательно, ряд сходится.

Признак Коши (радикальный)

Пусть ( начиная с некоторого n₀) и существует предел . Тогда ряд (1) сходится , если q<1, и расходится, если q>1, а при q=1 вопрос о сходимости ряда (1) остается открытым.

Пример 5

.

Найдем

,

следовательно, ряд расходится.

Интегральный признак Коши

Если

,

где функция f(x) положительна, монотонно убывает и непрерывна при , то ряд (1) и интеграл сходятся и расходятся одновременно.

Пример 6. Исследовать ряд на сходимость

,

.

Исследуем несобственный интеграл на сходимость

,

т.е. этот несобственный интеграл сходится, следовательно, и исходный ряд также сходится.

В качестве характерных ошибок следует отметить, что иногда сразу пытаются пользоваться каким-либо из достаточных признаков сходимости ряда, не проверив необходимого признака сходимости, например, при исследовании на сходимость ряда:

Пример 7.

При исследовании этого ряда пытаются сразу применить радикальный признак Коши, не проверив, выполняется ли необходимый признак сходимости.

Исследуем ряд на сходимость:

.

числовой ряд сходимость разложение

Таким образом, не выполнен необходимый признак сходства ряда, следовательно, все другие исследования лишены смысла, ряд расходится.

2. Знакопеременные ряды

При исследовании на сходимость знакопеременных рядов необходимо их исследовать на абсолютную и условную сходимость:

абсолютная сходимость, когда сходится знакоположительный ряд, составленный из модулей членов знакопеременного ряда;

условная сходимость, когда ряд из модулей является расходящимся, а знакопеременный ряд при этом сходится.

Проверка абсолютной сходимости проводится с использованием признаков сходимости знакопостоянных рядов.

Для доказательства условной сходимости можно применить признак Лейбница: если для знакопеременного ряда выполнены следующие условия:

ряд знакочередующийся, т.е.

;

2) ;

3) ,

то ряд сходится ( по крайней мере условно).

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд:

Проверим вначале, обладает ли ряд абсолютной сходимостью. Ряд из имеет вид

,

т.е. является расходящимся рядом (гармонический ряд). Таким образом, абсолютной сходимости нет.

Применим признак Лейбница :

1) Ряд является знакочередующимся;

2) ;

3) .

Следовательно, рассматриваемый ряд сходится условно.

II.ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Для функциональных рядов вида

можно найти область сходимости, т.е. множество значений х, при подстановке каждого из которых в полученный числовой ряд будет сходящимся.

Для определения области сходимости можно воспользоваться признаком Даламбера, т.е. найти

.

В таком случае значения х, принадлежащие области сходимости, являются решениями неравенства |f(x)|<1. Так как при |f(x)|=1 признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости числового ряда, решения уравнения |f(x)| =1 нужно рассматривать отдельно.

Пример 9. Найти область сходимости функционального ряда

.

Решением неравенства



является интервал (-2;2).

Исследуем сходимость ряда на границах: при х=-2 и при х=2.

Если х=-2, то ряд

расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости. Тот же результат получим при х=2. Следовательно, областью сходимости ряда является интервал (-2,2).

III. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Частный случай функциональных рядов представляют степенные ряды вида

,

где . Область сходимости такого ряда представляет собой интервал (), возможно, включающий границы. Величина R называется радиусом сходимости степенного ряда и определяется по формуле Даламбера:

или по формуле Коши-Адамара

.

Пример 10.

Найти область сходимости степенного ряда

Используем формулу Коши-Адамара

.

Область сходимости имеет вид

Проверим сходимость ряда на границах области: при

числовой ряд

расходится, т.к. не выполнено необходимое условие сходимости. Аналогичный результат получим при

.

Следовательно, областью сходимости данного ряда является интервал

.

IV. РЯДЫ ТЕЙЛОРА

При разложении функции в ряд Тейлора нужно найти коэффициенты степенного ряда

,

имеющие вид

.

В ряде случаев можно использовать известные разложения функций в окрестности .

Пример 11. Разложить в ряд Тейлора при функцию

Разложение в степенной ряд допускает почленное интегрирование и дифференцирование.

Пример 12. Разложить в ряд Тейлора в окрестности функцию .

Разложим в ряд производную данной функции

,

воспользовавшись табличным разложением для функции

.

Проинтегрировав общий член полученного ряда, и, учитывая, что y(0)=0, получим искомое разложение:

.

Задания для курсовой работы включают по 15 задач. В N1-8 требуется исследовать на сходимость знакопостоянные числовые ряды, в N9-10 - знакопеременные ряды, в N11-12 найти сходимость функционального ряда, в N13 и N15 - разложить функцию в ряд Тейлора при =0 и в N14 разложить функцию в ряд Тейлора по степеням ( ), где значение задается для каждого варианта.

Размещено на Allbest.ru

...