Метод Рунге-Кутты
Разработка итеративных методов явного и неявного приближенного вычисления К. Рунге и М.В. Куттой. Описание динамических систем с непрерывным временем в интегрированной среде разработки программного обеспечения Delphi 7 с помощью метода Рунге–Кутты.
| Рубрика | Математика |
| Вид | отчет по практике |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 06.04.2014 |
| Размер файла | 257,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство Образования и Науки Российской Федерации
ФГБОУ ВПО «Саратовский Государственный Университет имени Н.Г. Чернышевского»
Отчет по ознакомительной летней практике
Студента 2 курса
Факультета Нелинейных Процессов
Акатова Рустам Батюевича
Руководитель практики Доц. Е.Н. Егоров
2013
Содержание
Введение
Практическая часть
Вывод
Литература
Введение
Динамическая система
Для того, чтобы начать изучение динамических систем, нужно сначала разобраться с понятием динамической системы. Динамическая система является моделью какой-либо реальной физической, химической, биологической, социальной или любой-другой системы. Для того чтобы определить динамическую систему, необходимо задать набор величин, однозначно характеризующих состояние системы и задать правило, по которому, зная текущее состояние системы, можно определить её состояние в следующий момент времени.
С понятием «динамическая система» тесно связаны понятия «фазовое пространство», «изображающая точка» и «фазовая траектория». Фазовой плоскостью называется плоскость, по осям координат которой откладываются переменные величины, характеризующие состояние системы. Если переменных величин больше двух, то речь идёт не о фазовой плоскости, а о фазовом пространстве. Изображающая точка - это точка на фазовой плоскости, соответствующая текущему состоянию рассматриваемой системы. Линия, по которой движется изображающая точка, называется фазовой траекторией. Среди динамических систем можно выделить два больших класса: динамические системы с дискретным временем и динамические системы с непрерывным временем.
В нашем случае рассматривается система с непрерывным временем.
Динамические системы, в которых значение переменной времени изменяются непрерывно, и в любой момент времени можно определить значения переменных величин, называются динамическими системами с непрерывным временем или потоковыми системами.
Метод Рунге-Кутта
Мемтоды Румнге-Кумтты -- важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М.В. Куттой.
Формально, методом Рунге -- Кутты является модифицированный и исправленный метод Эйлера, они представляют собой схемы второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения. Наиболее часто используется и реализована в различных математических пакетах (Maple, MathCAD, Maxima) стандартная схема четвёртого порядка. Иногда при выполнении расчётов с повышенной точностью применяются схемы пятого и шестого порядков. Построение схем более высокого порядка сопряжено с большими вычислительными трудностями. Методы седьмого порядка должны иметь по меньшей мере девять стадий, в схему восьмого порядка входит 11 стадий. Хотя схемы девятого порядка не имеют большой практической значимости, неизвестно, сколько стадий необходимо для достижения этого порядка точности. Аналогичная задача существует для схем десятого и более высоких порядков.
В нашей задаче мы будем использовать метод Рунге-Кутты 4 порядка.
Метод Рунге -- Кутты четвёртого порядка столь широко распространён, что его часто называют просто методом Рунге -- Кутты.
Рассмотрим задачу Коши
Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле:
Вычисление нового значения проходит в четыре стадии:
где -- величина шага сетки по .
Этот метод имеет четвёртый порядок точности, то есть суммарная ошибка на конечном интервале интегрирования имеет порядок (ошибка на каждом шаге порядка ).
2. Задачи
рунге кутта итеративный вычисление
В данной работе я буду заниматься описанием динамических систем с непрерывным временем в интегрированной среде разработки программного обеспечения Delphi 7 с помощью Метода Рунге - Кутты. Программа будет предназначена для решения заданных программно обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Рунге - Кутты, вывода результата решения ОДУ на экран в виде графиков, а также вывода фазовых портретов.
Практическая часть
Наша задача состоит в том, чтобы запрограммировать предложенную динамическую систему из семейства систем Спротта. Программа должна визуально представлять: а) временную зависимость f(t) для всех переменных систем; б) фазовый портрет системы, либо на плоскости, либо в пространстве.
Предложенное уравнение:
, где 0<a<3, 0<b<3
Вот так выглядит скриншот нашей программы. Здесь мы видим временные зависимости x(t), y(t) и z(t) и фазовые портреты. Справа расположена панель параметров, значения которых, вводится с компьютера.
Далее представлены временные зависимости x(t),y(t) и z(t). Параметры: а=1,b=1,dt=0,01.
Ниже представлены фазовые портреты. Параметры: а=1,b=1,dt=0,01.
Далее представлены временные зависимости x(t),y(t) и z(t). Параметры: а=2,b=2,dt=0,01.
Ниже представлены фазовые портреты. Параметры: а=2,b=2,dt=0,01.
Вывод
В данной работе мы подробно разобрали метод Рунге-Кутты 4 порядка и запрограммировали динамическую систему и получили графики: фазовый портрет и временные реализации.
Список использованной литературы
1. Безручко Б.П., Короновский А.А., Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Путь в синергетику:экскурс в десяти лекциях. Санкт-Петербург, Либроком, 2010. 304 с.
2. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания: Учебное пособие для вузов. М.: Издательство физико-математической литературы, 2001. 314 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Изучение методов Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором длины шага интегрирования для решения дифференциальных уравнений. Оценка погрешности и сходимость методов, оптимальный выбор шага. Листинг программы для ЭВМ, результаты, иллюстрации.
курсовая работа [2,9 M], добавлен 14.09.2010Основные методы Рунге-Кутта: построение класса расчетных формул. Расчетная формула метода Эйлера. Получение различных методов Рунге-Кутта с погрешностью второго порядка малости при произвольном задавании параметров. Особенности повышения порядка точности.
реферат [78,4 K], добавлен 18.04.2015Аналитическое и компьютерное исследования уравнения и модели Ван-дер-Поля. Сущность и особенности применения методов Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка. Сравнение точности метода Эйлера и Рунге-Кутта на одном графике, рисуя фазовые траектории из 1 точки.
курсовая работа [341,7 K], добавлен 06.10.2012Получение точного решения дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на заданном интервале, графическое решение. Относительная и абсолютная погрешность методов Эйлера и Рунге-Кутты.
курсовая работа [990,8 K], добавлен 17.07.2014Задачи Коши и методы их решения. Общие понятия, сходимость явных способов типа Рунге-Кутты, практическая оценка погрешности приближенного решения. Автоматический выбор шага интегрирования, анализ брюсселятора и метод Зонневельда для его расчета.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 03.11.2011Метод Гаусса, метод прогонки, нелинейное уравнение. Метод вращения Якоби. Интерполяционный многочлен Лагранжа и Ньютона. Метод наименьших квадратов, интерполяция сплайнами. Дифференцирование многочленами, метод Монте-Карло и Рунге-Кутты, краевая задача.
курсовая работа [4,8 M], добавлен 23.05.2013Розгляд найбільш відомих скінченно-різнецевих методів рішення рівнянь руху з непереривною силою: чисельна ітерація рівнянь Ньютона; алгоритм Бімана і Шофілда; метод Рунге-Кутта; методи Адамса, Крилова, Чаплигіна. Програма Рунге-Кутта на мові С#.
курсовая работа [359,5 K], добавлен 27.01.2011Численное решение уравнения методом Эйлера и Рунге-Кутта в Excel. Программа на языке Turbo Pascal. Блок-схема алгоритма. Метод Рунге-Кутта для дифференциального уравнения второго порядка. Модель типа "хищник-жертва" с учетом внутривидового взаимодействия.
курсовая работа [391,5 K], добавлен 01.03.2012Общая характеристика и особенности двух методов решения обычных дифференциальных уравнений – Эйлера первого порядка точности и Рунге-Кутта четвёртого порядка точности. Листинг программы для решения обычного дифференциального уравнения в Visual Basic.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 04.06.2010Теоретическое обоснование расчетных формул. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Метод Рунге-Кутта. Ломаная Эйлера. Построение схем различного порядка точности. Выбор шага. Апостериорная оценка погрешности. Правило Рунге.
курсовая работа [111,1 K], добавлен 13.11.2011Умови та особливості використання модифікованого методу Ейлера для отримання другої похідної в кінцево-різницевій формі. Два обчислення функції за крок. Метод Ейлера-Коші як частковий випадок методу Рунге-Кутта. Метод четвертого порядку точності.
презентация [171,0 K], добавлен 06.02.2014Численное решение дифференциальных уравнений с помощью многошагового метода прогноза и коррекции Милна. Суммарная ошибка метода Милна. Применение метода Рунге-Кутта для нахождения первых значений начального отрезка. Абсолютная погрешность значения.
контрольная работа [694,0 K], добавлен 27.02.2013Составление диагональной системы способом прогонки, нахождение решения задачи Коши для дифференциального уравнения на сетке методом Эйлера и классическим методом Рунге-Кутта. Построение кубического сплайна интерполирующей функции равномерного разбиения.
практическая работа [46,1 K], добавлен 06.06.2011Практическое решение дифференциальных уравнений в системе MathCAD методами Рунге—Кутты четвертого порядка для решения уравнения первого порядка, Булирша — Штера - системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и Odesolve и их графики.
лабораторная работа [380,9 K], добавлен 23.07.2012Описание метода сведения краевой задачи к задаче Коши. Решение системы из двух уравнений с четырьмя неизвестными. Метод Рунге-Кутта. Расчет максимальной погрешности и выполнение проверки точности. Метод конечных разностей. Описание полученных результатов.
курсовая работа [245,2 K], добавлен 10.07.2012Вычисление производной по ее определению, с помощью конечных разностей и на основе первой интерполяционной формулы Ньютона. Интерполяционные многочлены Лагранжа и их применение в численном дифференцировании. Метод Рунге-Кутта (четвертого порядка).
реферат [71,6 K], добавлен 06.03.2011Крайова задача для звичайного диференціального рівняння. Метод Рунге-Кутта, метод прогнозу і корекції та метод кінцевих різниць для розв’язання лінійних крайових задач. Реалізація пакетом Maple. Оцінка похибки й уточнення отриманих результатів.
контрольная работа [340,6 K], добавлен 14.08.2010Градиентные уравнения и уравнения в вариациях, функционалы метода наименьших квадратов. Численное решение градиентных уравнений: полиномиальные системы, метод рядов Тейлора и метод Рунге-Кутта. Числовые модели осциллирующих процессов в живой природе.
реферат [221,4 K], добавлен 10.08.2010Расчеты с помощью метода наименьшего квадрата для определения мольной теплоёмкости. Составление с помощью метода программирования системы нелинейных уравнений. Получение в среде Mathcad уравнения, максимально приближенного к экспериментальным данным.
лабораторная работа [469,6 K], добавлен 17.06.2014Формирование системы их пяти уравнений по заданным параметрам, ее решение методом Гаусса с выбором главного элемента. Интерполяционный многочлен Ньютона. Численное интегрирование. Решение нелинейных уравнений. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.
контрольная работа [115,5 K], добавлен 27.05.2013
