Якщо те , тобто інтегруванню оригіналу від 0 до відповідає ділення його зображення на . Функція є оригіналом (можна перевірити). Нехай . Тоді по властивості диференціювання оригіналу маємо (так як ). А тому що

те Звідси тобто .

Інтегрування зображення

Якщо і інтеграл сходиться, то тобто інтегруванню зображення від до відповідає розподіл його оригіналу на .

Використовуючи формулу (1.1.1) і змінюючи порядок інтегрування (o6підстава законності цієї операції упускаємо), отримаємо

.

Приклад Знайти зображення функції ; знайти зображення інтегрального синуса

_ Так як , то , тобто . Застосовуючи властивість інтегрування оригіналу, отримаємо

.

Множення зображень

Якщо

, то . \(1.1.1)

Можна показати , що функція є оригіналом.

Використовуючи перетворення Лапласа (1.1.1), можна

Область D інтегрування отриманого дворазового інтеграла визначається умовами (див. рис.).

Змінюючи порядок інтегрування і думаючи одержимо

Інтеграл у правій частині формули (1.1.1) називається згорткою функції й і позначається символом , тобто

Можна переконатися (поклавши ), що згортання має властивість перестановки, тобто

Отже, множення оригіналів рівносильне їхньому згортанню, тобто

Приклад Знайти оригінал функцій

і

_ Так як , і ,

тобто

Аналогічно отримаємо

Наслідок 1.1.2. Якщо і також є оригіналом, то

(1.1.18)

? Запишемо добуток у вигляді

чи

Перший доданок у правій частині є добуток зображень, що відповідають оригіналам і Тому на підставі властивості множення зображень і лінійності можна записати

чи

Формула (1.1.18) називається формулою Дюамеля.

На підставі властивості перестановки згортки формулу Дюамеля можна записати у вигляді

Формулу Дюамеля можна застосовувати для визначення оригіналів по відомих зображеннях.

Приклад Знайти оригінал, що відповідає зображенню

Так як

і , ,

де на підставі формули Дюамеля (1.1.18) маємо

Множення оригіналів

Якщо

і , то

де шлях інтегрування -- вертикальна пряма (див. рис.) (приймемо без доведення).

Розглянуті властивості перетворення Лапласа являють собою основні правила (апарат) операційного числення. Для зручності користування перелічимо ці властивості.

1. Лінійність:

2. Подібність:

3. Зсув: .

4. Запізнювання:

5. Диференціювання оригіналу:

6. Диференціювання зображення

7. Інтегрування оригіналу: .

8. Інтегрування зображення: .

9. Множення зображень:

10. Множення оригіналів:

1.1.2 Таблиця оригіналів і зображень

Складемо коротку таблицю, що установлює відповідність між деякими оригіналами (часто зустрічаються на практиці) і їх зображеннями. Досить повна таблиця оригіналів і зображень, що дозволяє по заданому оригіналі знаходити зображення і навпаки; є зокрема, у книзі «Довідник по операційному численню» (автори В.А.Диткин і П.И.Кузнєцов).

Таблиця оригіналів і зображень

1.2 Обернене перетворення Лапласа

1.2.1. Теореми розкладу

Розглянемо двох теорем, називані Теоремами розкладання, що дозволяють по заданому зображенню знаходити відповідний йому оригінал .

Теорема 1.2.1. Якщо функція в околі точки може бути представлена у вигляді ряду Лорана

де функція

є оригіналом, що має зображення , тобто

Приймемо цю теорему без доведення.

Приклад 1.2.1. Знайти оригінал , якщо

_ Маємо

Отже, на підставі теореми 1.1.1. .

Запишемо розкладання функції за Лораном в околиці точки :

де , тобто . Отже, тобто .?

Теорема 1.2.2 Якщо - правильний раціональний дріб, знаменник якого має лише прості корені (нулі) то функція

(1.2.1)

є оригіналом, що має зображення .

Відзначимо, що дріб повинний бути правильний (степінь багаточлена нижче ступеня багаточлена ); у противному випадку не виконується необхідна ознака існування зображення (п. 1.1.1), тобто може бути зображенням.

? Розкладемо правильний раціональний дріб найпростіші:

де -- невизначені коефіцієнти. Для визначення коефіцієнта цього розкладання помножимо обох частин цієї рівності почленно на:

Переходячи в цій рівності до межі при , отримаємо

Отже, Аналогічним шляхом (множачи обидві частини рівності (1.1.1) на ) знайдемо

Підставляючи знайдені значення в рівність (1.1.1), одержимо

Так як по формулі (4.3) , , … ,

То на підставі властивості лінійності маємо

Зауваження. Легко помітити, що коефіцієнти визначаються як відрахування комплексної функції у простих полюсах (формула (1.1.4)):

Можна показати, що якщо - правильний дріб, але корені (нулі) знаменника мають кратності відповідно, то в цьому випадку оригінал зображення визначається формулою

(1.2.3)

Теорему 5.2 можна сформулювати в такий спосіб:

Теорема 1.2.3. Якщо зображення є дрібно-раціональною функцією від і - прості чи кратні полюси цієї функції, то оригінал відповідний зображенню , визначається формулою

(1.2.4)

1.2.2. Формула Рімана-Мелліна

Загальний спосіб визначення оригіналу по зображенню дає зворотне перетворення Лапласа (формула звертання Рімана-Мелліна), що має вигляд

(1.2.5)

де інтеграл береться уздовж будь-якої прямої

За певних умов інтеграл (5.5) обчислюється по формулі

Зауваження. На практиці відшукання функції-оригіналу звичайно проводять за наступним планом: спочатку випливає по таблиці оригіналів і зображень спробувати відшукати для заданого зображення відповідний йому оригінал; другий шлях полягає в тому, що функцію намагаються представити у вигляді суми найпростіших раціональних дробів, а потім, користаючись властивістю лінійності, знайти оригінал; нарешті, використовувати теореми розкладання, властивість множення зображень, формулу звертання і т.д.

Приклад 1.2.2. Знайти оригінал по його зображенню

_ Найпростіше надійти так:

(використовували властивість лінійності а формули (1.1.5): і (1.1.6)).

Якщо ж використовувати теорему 1.2.1 розкладання, то будемо мати: корені знаменника і, відповідно до формули (1.1.1),

Приклад 1.2.3 Знайти функцію оригінал, якщо її зображення задане як

_ Тут - простий корінь знаменника, - 3-кратний корінь (m=3). Використовуючи формули (1.2.1) і (1.2.3), маємо:

тобто

Приведемо інший спосіб перебування . Розіб'ємо дріб . Розіб'ємо дріб на суму найпростіших дробів:

Отже

Приведемо третій спосіб перебування . Представимо як добуток і так як і , то користаючись властивістю множення зображень, маємо:

1.3 Операційний метод розв'язування лінійних диференціальних рівнянь і їх систем

Нехай потрібно знайти правильне розв'язування лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами

(1.3.1)

задовольняюче початковим умовам

де - задані числа.

Будемо вважати, що шукана функція разом з її розглянутими похідними і функція є оригіналами.

Нехай і Користаючись властивостями диференціювання оригіналу і лінійності, перейдемо в рівнянні (1.3.1) від оригіналів до зображень:

Отримане рівняння називають операторним (чи рівнянням у зображеннях). Розв'яжемо його відносно :

тобто

де і - алгебраїчні багаточлени від степеня і відповідно.

З останнього рівняння знаходимо

(1.3.2)

Отриману рівність називають операторним розв'язуванням диференціального рівняння (1.3.1). Воно має більш простий вигляд, якщо всі початкові умови дорівнюють нулю, тобто В цьому випадку

Знаходячи оригінал , що відповідає знайденому зображенню (1.3.2), отримаємо, у силу теореми одиничності, частка Розв'язування диференціального рівняння (1.3.1).

Зауваження. Отримане Розв'язування у багатьох випадках виявляється справедливим при всіх значеннях t (а не тільки при ).

Приклад 1.3.1. Вирішити операційним методом диференціальне рівняння при умовах

_ Нехай . Тоді

і .

Підставляючи ці вираження в диференціальне рівняння, отримаємо операторне рівняння: звідси

Знаходимо . Можна розбити дріб на суму але так як корені знаменника прості, то зручно скористатися другою теоремою розкладання (формула (1.2.1)), у якій

Отримаємо:

Приклад 1.3.2. Знайти розв'язок рівняння

за умови

_ Графік даної функції має вигляд, зображений на рис. 23. За допомогою одиничної функції праву частину даного диференціального рівняння можна записати одним аналітичним вираженням:

Таким чином, маємо

Операторне рівняння, при нульових початкових умовах має вигляд

Звідси

Taк як ,

тоді по теоремі запізнювання знаходимо:

Аналогічно застосовується операційний метод для Розв'язування систем лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами. Покажемо це на конкретному прикладі.

Приклад Розв'язати систему диференціальних рівнянь

_ Нехай

Знаходимо, що

Система операторних рівнянь приймає вигляд

Вирішуючи цю систему алгебраїчних рівнянь, знаходимо:

Переходячи від зображень до оригіналів, отримаємо шукані Розв'язування:

,

,

.

Відповідь:

Висновок

За допомогою операційного числення можна також знаходити Розв'язування лінійних диференціальних рівнянь з перемінними коефіцієнтами, рівнянь у частинних похідних, рівнянь у кінцевих різницях (різницевих рівнянь); робити підсумовування рядів; обчислювати інтеграли. При цьому Розв'язування цих і інших задач значно спрощується.

Список використаної літератури

1) Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб.-практ. Пособие/ Г.Н. Берман. - СПб.: Профессия, 2001.

2) Зорич, В.А. Математический анализ: в 2 т./ В.А. Зорич. - М.: Наука, 1984.

3) Колмогоров, А.Н., Фомин, С.В. Элементы теории функций и функционального анализа/ А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. - М.: Наука, 1976.

4) Кудрявцев, Л. Д., Кутасов, А. Д., Чехлов, В. И., Шабунин, М. И. Математический анализ: в 3 т/ Л. Д. Кудрявцев, А. Д. Кутасов, В. И. Чехлов, М. И. Шабунин. - Физматлит, 2003.

5) Ляшко, И. И. Боярчук, А. К. Гай, Я. Г. Головач, Г. П. Математический анализ: в 3 т. Т. 3.Кратные и криволинейные интегралы/ И.И Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач. - М.: Едиториал УРСС, 2001.

6) Никольский, С.М. Математический анализ: в 2 т./С.М. Никольский. - М.: Наука, 1973.

7) Свешникова, А. Г., Тихонов, А.Н. Курс высшей математики и Математической физики/ А. Г. Свешникова, А.Н.Тихонов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

8) Сидоров, Ю.В., Федорюк, М.В., Шабунин, М.И. Лекции по теории функции комплексного переменного/ Ю.В.Сидоров, М.В. Федорюк, М.И. Шабунин. - М.: Наука, 1989.

9) Соболев, В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа/ В.И. Соболев. - М.: Наука,1968.

10) Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления/ Г.М. Фихтенгольц. - М.:Физматгиз,1962.

11) Шерстнев, А. Н. Конспект лекций по математическому анализу/ А.Н. Шерстнев. - М., 2003.

Размещено на Allbest.ur