Нестационарное уравнение Риккати

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

Курсовая работа

Нестационарное уравнение Риккати

Исполнитель:

студентка группы М-31 Шевченко О.В.

Гомель 2013

Содержание

1. Уравнение Риккати

2. Отражающая функция

3. Отражающая функция уравнения Риккати

4. Построение отражающей функции для одного стационарного уравнения Риккати

Список использованной литературы

1. Уравнение Риккати

1. Общее уравнение Риккати имеет вид:

, (1)

где P,Q,R - непрерывные функции от x при изменении x в интервале Уравнение (1) заключает в себе как частные случаи уже рассмотренные нами уравнения : при получаем линейное уравнение, при -уравнение Бернулли.

Уравнение Риккати сохраняет свой вид при следующих преобразованиях переменных.

1) Произвольное преобразование независимого переменного:

В самом деле, производя в уравнении (1) эту замену переменного, получим опять уравнение Риккати:

2) Произвольное дробно-линейное преобразование зависимого переменного:

где б,в,г,д - произвольные дифференцируемые функции от x, удовлетворяющие условию в рассматриваемом интервале. В самом деле, дифференцируя, получаем :

Подстановка же в правую часть уравнения (1) дает дробь с тем же знаменателем и с квадратным многочленом по в числители . Очевидно, получается уравнение типа Риккати.

Этими преобразованиями можно воспользоваться для приведения уравнения к наиболее простому (каноническому) виду.

1) Коэффициент при квадрате зависимого переменного можно сделать равным .Для этого в уравнении (1) произведем (линейную) замену искомой функции:

где - пока неизвестная функция. Подставляя в уравнение (1), получаем:

или

Если теперь взять , то уравнение примет вид:

(Замена годиться для интервала изменения , в котором не обращается в нуль.)

2) Не изменяя коэффициент при квадрате зависимого переменного, можно коэффициент при первой степени зависимого переменного сделать равным 0. Для этого уравнения введем в уравнение (1) новое зависимое переменное подстановкой:

Тогда преобразование уравнение будет:

Достаточно выбрать , чтобы получить коэффициент при равным 0. Комбинируя обе подстановки, мы всегда можем привести уравнение Риккати к виду:

(1.1)

2. Как уже упомянуто, решение уравнения Риккати не сводится, вообще говоря, к квадратурам. Но имеет место теорема:

Если известно одно частное решение уравнения Риккати, полное решение получается двумя квадратурами.

В самом деле, пусть известно частное решение уравнения (1) есть т.е. мы имеем тождественно:

(1.2)

Делаем замену зависимого переменного:

где z- новая искомая функция, получаем:

или, в силу тождества (1.2),

(2)

Получилось уравнение Бернулли, которое, как мы видели, интегрируется двумя квадратурами. Для приведения уравнения (2) к линейному следует положить , откуда ; уравнение (линейное) для u будет:

(3)

Его общий интеграл имеет вид:

где и - некоторые функции от ; отсюда мы выводим форму общего решения уравнения (1):

Итак, общее решение уравнения Риккати есть дробно-линейная функция от произвольной постоянной.

Покажем, что и обратно, если общее решение уравнения есть дробно-линейная функция от произвольной постоянной, то соответствующее дифференциальное уравнение есть уравнение Риккати. Действительно, пусть общее решение дифференциального уравнения есть

разрешаем его относительно и исключаем дифференцированием:

или

т.е. мы, действительно, получили уравнения типа Риккати.

Если известны два частных решения уравнения Риккати, то общее решение находится одной квадратурой. В самом деле, если, кроме решения известно второе решение то для уравнения (3) известно одно частное решение а в таком случае мы знаем, что решение его требует одной квадратуры.

Наконец, если известны три частных решения уравнения Риккати, то общее решение находится без квадратур. Пусть эти три решения уравнения (1) суть как и в предыдущем случае, убеждаемся в том, что уравнение (3) имеет два известных частных решения: и в таком случае общее решение уравнения (3) напишется так:

или, заменяя его со значением перенося первый член правой части влево, умножая обе части на и разрешая относительно

Это и есть общий интеграл уравнения Риккати.

Заметим, что если вместо подставить какое-нибудь четвертое частное решение , то получим:

т.е. ангармоническое отношение любых четырех частных решений уравнения Риккати равно постаянному.

3. Уравнение Риккати специальное есть частный случай уравнения (1); оно имеет вид:

(4)

где и б- постоянные; для определенности мы будем рассматривать интервал изменения для Легко усмотреть два случая, когда это уравнение интегрируется в элементарных функциях.

1) б=0; тогда переменные разделяются:

2) б=-2; уравнение имеет вид:

(5)

Сделаем в (5) замену зависимого переменного:

Преобразование уравнения будет:

или .

Получилось однородное уравнение; оно интегрируется в квадратурах.

Примечание. К виду (5) приводится более общее уравнение:

разобранной выше подстановкой, уничтожающей член с в первой степени.

Кроме существует еще бесконечное множество других значений , при которых уравнение Риккати (4) интегрируется в элементарных функциях. Для нахождения этих значений, преобразуя в уравнении (4) зависимое переменное линейной подстановкой:

подберем функции так, чтобы преобразованное уравнение не содержало члена с первой степенью искомой функции и чтобы свободный член не изменялся. Имеем:

Поставленные условия дают два уравнения для определения

После этого из первого уравнения получаем:

 (частное решение).

Искомая подстановка имеет вид: , и преобразованное уравнение напишется так:

Далее, делаем подстановку (дробно-линейную):

при этом связан с соотношением:

новое уравнение будет:

Деля обе части на преобразуем, наконец, независимое переменное так, чтобы член с имел постоянный коэффициент:

Очевидно, что для приведения уравнения к виду (4) достаточно положить:

(7)

и мы получаем окончательно:

(8)

Это есть уравнение вида (4), где новые коэффициенты имеют значение и показатель б заменился через

Последнюю дробно-линейную подстановку, связывающую б и , приводим к следующему «каноническому виду»:

Применяя к уравнению (8) с новыми те же преобразования (6), (7), придем опять к уравнению того же типа, в котором показатель при связан с и с б соотношениями:

В результате подобных преобразований придем к показателю связанному с исходным показателем б соотношением:



Если, отправляясь от показателя б, мы проведем в обратном порядке вышеуказанные последовательные преобразования переменных, мы придем к уравнениям с показателями связанными с б соотношениями:

Если, в результате преобразований мы придем к показателю, для которого уравнение Риккати интегрируется в квадратурах, то и начальное уравнение обладает тем же свойством. Как легко видеть из первоначальной формулы, связывающей , при мы имеем ,т.е. показатель -2 не изменяется при рассматриваемых преобразованиях и, следовательно, не может произойти в результате этих преобразований от другого показателя. Поэтому нас будут интересовать лишь те случаи, когда для некоторого натурального мы имеем:

Предполагая теперь любым целым числом (положительным или отрицательным), мы в обоих случаях имеем:

Мы получили две бесконечные последовательности показателей, для которых уравнение Риккати сводится путем ряда преобразований к случаю б=0; это будут:



Обе последовательности имеет пределом . Разрешая найденную для б формулу относительно , получаем: равно целому числу; это признак того, что б принадлежит к одной из указанных последовательностей.

При , как легко убедиться, выражается через показательные и тригонометрические функции от ; последовательные преобразования вводят еще дробные степени ; в результате выражается через в элементарных функциях.

Как показал Лиувилль, при всех других значениях б решение специального уравнения Риккати не может быть выражено квадратурами от элементарных функций.

Уравнение Риккати имеет то общее свойство с линейными уравнениями, что знание некоторого числа частных решений позволяет найти общее решение или привести его отыскание к квадратурам. Дарбу исследовал широкий класс уравнений, обладающих тем свойством, что, зная достаточное количество их частных решений, можно получить общее решение без квадратур или с помощью одной квадратуры; это- так называемые «уравнения Дарбу»; частным случаем этого класса является уравнение Якоби.

Пример1. Подстановка дает:

Далее,

и, наконец,

Пример2. . Показатель соответствует значению следовательно, надо все подстановки вести в обратном порядке. Для удобства сравнения с соответствующими формулами обозначим исходные переменные через Итак, имеем:

здесь , т.е. б=0. Делаем замену независимого переменного: Получаем:



Переходя к переменному , находим:

.

Мы имеем разрешая относительно формулу преобразования имеем:

Подставляем в последнее уравнение:

или, упрощая,

Интегрируем, разделяя переменные:

Возвращаемся постепенно к первоначальным переменным:



и, наконец,

2. Отражающая функция

Определение. Пусть есть общее решение в форме Коши системы дифференциальных уравнений (ДУ) решения которой однозначно определяются своими начальными данными. Отражающая функция (ОФ) этой системы определяются формулой

Применение. Для периодической по переменной системы дифференциальных уравнений с отражающей функцией отображение за период (отображение Пуанкаре) находится по формуле Поэтому знание ОФ позволяет находить начальные данные для -периодической решений рассматриваемой системы и исследовать эти решения на устойчивость по Ляпунову. ОФ системы удовлетворяет так называемому основному соотношению

С помощью этого соотношения устанавливается, что для многих неинтегрируемых в квадратурах систем дифференциальных уравнений отображение за период может быть найдено даже через элементарные функции. В этом ОФ может быть сопоставлена с интегрирующим множителем.

ОФ используется при исследовании вопросов существования и устойчивости периодических решений краевых задач для систем дифференциальных уравнений.

3. Отражающая функция уравнения Риккати

Рассмотрим уравнение Риккати

(9)

с непрерывными на R коэффициенты Для каждой функции введем обозначение

Лемма. Отражающая функция (ОФ) уравнения (9) имеет вид:

где а функции являются решениями линейной системы

(11)

с начальными условиями

При этом функции нечетны, а четная функция. Область определения отражающей функции есть связное подмножество всех точек , для которых .

Доказательство. Функции

образуют решение линейной системы

С начальными условиями По теореме существования и единственности это решение совпадает с тривиальным (нулевым) решением. Отсюда и следует честность и нечетность остальных функций.

Для того, чтобы показать, что функция (10) там, где она определена, совпадает с отражающей функцией уравнения (9), достаточно показать, что она удовлетворяет основному соотношению для отражающей функции . А это можно сделать, подставив функцию (10) в основное соотношение и воспользовавшись соотношением (11). При этом уравнение (9) целесообразно переписать в виде:

Ввиду элементарности производимых при этой подстановке операций, саму подстановку здесь проводить не будем.

Покажем теперь, что область определения функции (10) содержит в себе область определения отражающей функции уравнения (9). С этой целью заметим, что эта область может сузиться за счет того, что числитель и знаменатель функции (10) при некотором одновременно обращается в нуль. Тогда функция (10) не будет определена при этом . Покажем, что это не может осуществиться, т.к. и одновременно в нуль не обращаются. Действительно, система (11), в чем нетрудно убедиться, имеет первый интеграл поэтому для решений системы (11) с начальным условием (12) следуют справедливые при всех тождества

Эти тождества показывают, что одновременно в нуль обратиться не могут, а область определения функции содержит в себе область определения отражающей функции уравнения (9). Область , как известно, содержит в себе точки прямой . На этой прямой Поэтому, с учетом непрерывности отражающей функции, неравенство выполнено во всей области

Лемма доказана.

4. Построение отражающей функции для одного стационарного уравнения Риккати

Лемма. Отражающая функция(ОФ) уравнения имеет вид:

.

Доказательство: Рассмотрим уравнение вида:

a,b,c - постоянны.

(13)

Проинтегрируем ДУ (13), и получим:

Подставляем пределы интегрирования, получаем:

 

уравнение отражающий риккати лемма

Список литературы

1. Мироненко В.И. Отражающая функция и исследование многомерных дифференциальных систем. Монография /В.И Мироненко - Мин. образов. РБ, УО”ГГУ им. Ф. Скорины”. - Гомель, 2004. - 196с.

2. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений .ОГИЗ, Государственное издательство технико-теоретической литературы, Москва, 1945.

Размещено на Allbest.ru

...