Решение дифференциальных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят явно производные искомых функций до некоторого порядка. Если неизвестными являются функции двух или более переменных, то уравнения называются уравнениями в частных производных. В противном случае, то есть если искомая функция зависит только от одного вещественного независимого переменного, уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями. В этом курсе будем иметь дело только с последними.

Так как во многих физических приложениях независимым переменным, от которого зависят неизвестные искомые функции, является время, то в дальнейшем, как правило, независимое переменное будет обозначаться через t. Неизвестные функции будут обозначаться через x, y, z и т.д.

Рассмотрим в первую очередь одно дифференциальное уравнение первого порядка. Общий вид такого уравнения следующий:

Здесь t - независимое переменное, x - неизвестная функция, зависящая от t. - ee производная. F - заданная функция трех вещественных переменных. Функция F, вообще говоря, может быть задана не для всех значений своих аргументов, поэтому следует говорить об области ? задания функции F, имея в виду область координатного пространства трех (вещественных) переменных t, x, .

Уравнение (1.1) называется уравнением первого порядка потому, что в него входит лишь производная первого порядка от неизвестной функции x.

Решением уравнения (1.1) называется такая функция x =??(t) независимого переменного t, определения на некотором интервале r₁ < t < r₂ (случаи r₁ = ?? и r₂ = + ? не исключаются), которая дифференцируема в каждой точке этого интервала и при подстановке ее вместо x в соотношение (1.1) мы получаем тождество (по t) на всем интервале r₁ < t < r₂.

Интервал r₁ < t < r₂ называется интервалом определения решения ?(t).

Очевидно, что подстановка функции x =??(t) в соотношение (1.1) возможна только в том случае, когда точка с координатами (t,??(t), ) принадлежит области ?определения функции F при произвольном t из интервала r₁ < t < r₂.

Соотношение (1.1) связывает три переменные: t, x, . В некоторых случаях из (1.1) переменная может быть выражена в виде однозначной функции переменных t, x. В этом случае дифференциальное уравнение (1.1) равносильно дифференциальному уравнению вида

Дифференциальное уравнение (1.2) называется разрешенным относительно производной или уравнением нормального вида; Именно уравнения нормального вида мы и будем теперь рассматривать. Мы не будем уже считать, что соотношение (1.2) получено в результате разрешения относительно уравнения вида (1.1), а будем исходить из функции f(t,x) как из заданной функции двух независимых переменных t, x.

Для того, чтобы пользоваться геометрическими представлениями и терминологией, введем в рассмотрение координатную плоскость R² переменных t и x. Функцияf, определяющая дифференциальное уравнение (1.2), может быть задана не для всех значений своих аргументов t и x, т.е. не на всей плоскости R²(t,x), а лишь в точках некоторого множества D этой плоскости. Относительно множества D в дальнейшем всегда будем предполагать, что оно является открытым, а функция fявляется непрерывной относительно пары переменных t, x на всем множестве D.

График ?_?={(t,??(t)), r₁ < t < r₂} решения x =??(t) уравнения (1.2) называется интегральной кривой этого дифференциального уравнения.

Интегральная кривая представляет собой кривую в плоскости R² с уравнением x =??(t), имеющую в каждой точке касательную и полностью проходящую в открытом множестве D.

Итак, интегральная кривая - геометрическая интерпретация решения дифференциального уравнения. Возможна геометрическая интерпретация и самого уравнения (1.2). Именно, через каждую точку (t,x) множества D проведем прямую l_t,x с угловым коэффициентом f(t,x). Мы получаем поле направлений,соответствующее уравнению (1.2), что и является геометрической интерпретацией этого уравнения.

Связь между геометрической интерпретацией уравнения и геометрической интерпретацией его решения заключается в том, что любая интегральная кривая x =??(t) в каждой своей точке (t,?(t)) касается прямой l_t,?(t).

Теорема существования и единственности.

В теории дифференциальных уравнений важным теоретическим вопросом является вопрос о том, насколько много решений имеет дифференциальное уравнение. Оказывается, что каждое дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, и поэтому приходится ставить вопрос не о числе решений, а о том, как можно описать совокупность всех решений данного дифференциального уравнения. Ответ на этот вопрос дает теорема существования и единственности, которая в этом параграфе приводится без доказательства. Сначала приведем подготовительный материал.

Пусть t₀, x₀ - произвольная точка множества D, в котором определена правая часть f(t,x) уравнения (1.2).

Задача отыскания решения x =??(t) этого уравнения, удовлетворяющего дополнительному условию

называется задачей Коши (или задачей с начальным условием) для уравнения (1.2), а соотношение (1.3) - начальным условием для этого уравнения. Говорят также, что решение x = ?(t) удовлетворяет начальному условию (1.3) или что оно имеет начальные значения t₀, x₀. Утверждение, что решение x =??(t) удовлетворяет начальному условию (1.3) предполагает, что интервал r₁ < t < r₂ определения решения x =??(t) содержит точку t₀.

Геометрическая интерпретация задачи Коши состоит в том, чтобы через заданную точку (t₀, x₀) множества D провести интегральную кривую дифференциального уравнения (1.2).

Далее, пусть функция f(t,x) определена на множестве D???R²(t,x). Говорят, что эта функция удовлетворяет условию Липшица относительно x (равномерно по t), если существует постоянная M > 0 (не зависящая от t) такая, что:



Постоянная M называется постоянной Липшица.

Теорема 1.1.1 (О существовании и единственности решения задачи Коши) Пусть

- дифференциальное уравнение. Будем предполагать, что функция f(t,x) задана на некотором открытом множестве D плоскости R²(t,x) переменных t, x. Относительно функции f(t,x) будем предполагать, что она непрерывна на D и удовлетворяет на этом множестве условию Липшица (1.4) относительно x (равномерно по t). Теорема утверждает, что:

1) для всякой точки (t₀, x₀) ? D найдется решение x = ?(t) уравнения (1.5), удовлетворяющее начальному условию

2) если два решения x = ?(t) и x = ?(t) уравнения (1.5) совпадают хотя бы для одного значения t₁, т.е. если

?(t₁) = ?(t₁),

то эти решения тождественно равны для всех значений переменного t, для которых они оба определены.

Таким образом, теорема 1.1.1 утверждает, что координаты любой точки (t₀, x₀) множества D являются начальными значениями для некоторого решения уравнения (1.5) и что два решения с общими начальными значениями совпадают на пересечении их интервалов определения.

Геометрическое содержание теоремы 1.1.1 заключается в том, что через каждую точку (t₀, x₀) ? D проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (1.5).

Говоря, что через каждую точку (t₀, x₀) ? D проходит "только одна" интегральная кривая, мы допустили некоторую неточность. Действительно, решением уравнения (1.5) называется функция x = ?(t), заданная на вполне определенном интервале r₁ < t < r₂. Наряду с этой функцией может существовать функция x =?(t), также удовлетворяющая уравнению (1.5) и начальному условию (1.6), заданная на другом интервале s₁ < t < s₂. Вторая часть теоремы 1.1.1 утверждает лишь, что функции ?(t) и ?(t) совпадают лишь там, где они обе определены, но вовсе не утверждает, что их интервалы определения r₁ < t < r₂ и s₁ < t < s₂ одинаковы.

Говорят, что решение x = ?(t), заданное на интервале s₁ < t < s₂ является продолжением решения x =??(t), заданного на интервале r₁ < t < r₂, если (r₁,r₂) ? (s₁,s₂) и ?(t) ? ?(t) ??t ? (r₁,r₂). Решение называется непродолжаемым, если не существует никого отличного от него продолжения. Далее будет доказано, что каждое решение может быть продолжено до непродолжаемого, причем единственным образом. Если теперь подразумевать под интегральной кривой график непродолжаемого решения, то утверждение теоремы 1.1.1 о том, что через каждую точку (t₀, x₀) ? D проходит единственная интегральная кривая, становиться точным.

Замечание к теореме 1.1.1. Если правая часть f(t,x) уравнения (1.5) не удовлетворяет условию Липшица (1.4), то вторая часть теоремы (о единственности), вообще говоря, не справедлива. Действительно, рассмотрим уравнение



Правая часть этого уравнения определена и непрерывна при всех x, однако условию Липшица в областях, содержащих точки (t,0), не удовлетворяет, ибо для точек (t,0), (t,x) не существует постоянной M > 0 такой, что

С другой стороны, ясно, что в любой области P плоскости R²(t,x), не пересекающейся с прямой x = 0, к уравнению (1.7) теорема 1.1.1 применима, и таким образом, в каждой из полуплоскостей x > 0 и x < 0 через каждую точку проходит единственная интегральная кривая, уравнение которой можно найти явно. Действительно, нетрудно убедиться, что при любой постоянной c функция

уравнению (1.7) удовлетворяет.

Часть графика функции (1.8) (при t < c) проходит в полуплоскости x < 0, часть же (при t > c) - в полуплоскости x > 0. Функция x ? 0, очевидно, также является решением уравнения (1.7).

Таким образом, через каждую точку (t,x) = (c,0) проходят два решения уравнения (1.7): решение (1.8) и решение x ? 0.

В качестве иллюстрации теоремы 1.1.1 рассмотрим задачу об отыскании всех решений простейшего дифференциального уравнения

где ? - действительная постоянная. В данном случае правая часть f(t,x) = ?x определена на всей плоскости (t,x) и удовлетворяет на ней условию Липшица с постоянной M = ???. Таким образом, теорема 1.1 к уравнению (1.9) применима. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что каждая функция

где C - произвольное действительное число, является решением уравнения (1.9). Интервалом определения решения (1.10) является вся прямая t ? (??,+?) и поэтому оно является непродолжаемым. Покажем, что формула (1.10) исчерпывает все решения уравнения (1.9). Действительно, пусть x =??(t) - произвольное решение этого уравнения, заданное на интервале r₁ < t < r₂. Пусть t₀ ? (r₁,r₂) - произвольная точка и x₀ = ?(t₀). Если в качестве постоянной C принять величину

то тогда два решения x = ?(t) и уравнения (1.9) имеют одинаковые начальные значения t₀, x₀ и поэтому в силу второй части теоремы 1.1.1 совпадают. Таким образом, придавая постоянной C в (1.10) всевозможные значения, мы получим все решения уравнения (1.9).



2. Интегрируемые типы уравнений первого порядка

В этом параграфе мы приведем методы интегрирования в квадратурах некоторых простейших уравнений первого порядка.

I. Уравнения в полных дифференциалах

Рассмотрим уравнение вида

правая часть которого представлена в виде отношения двух функций g(t,x) и h(t,x). Предполагается, что функции g(t,x) и h(t,x) определены и непрерывны на некотором открытом множестве D плоскости переменных (t,x) и знаменатель h(t,x) не обращается в нуль ни в одной точке этого множества. Уравнение (1.11) часто символически записывают в виде

Уравнение (1.11) называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть равенства (1.12) представляет собой полный дифференциал некоторой функции F(t,x) на всем множестве D, т.е.

Таким образом,



Справедливо следующее утверждение:

Для каждого решения x =??(t) уравнения (1.11) имеет место тождество

Обратно, каждая функция x =??(t), заданная на некотором интервале и определяемая как неявная функция из уравнения

(C - произвольная постоянная), является решением дифференциального уравнения (1.11).

Действительно, пусть x =??(t) - решение уравнения (1.11) с интервалом определения r₁ < t < r₂. Тогда мы имеем, что

Отсюда получаем

В силу (1.14) тогда имеем

т.е.



Таким образом, F(t,?(t)) есть константа на всем интервале (r₁,r₂).

Обратно, предположим что x =??(t) есть решение уравнения (1.15), определенное на некотором интервале, так что

Дифференцируя это тождество по t, мы в силу (1.14) получаем:

Отсюда видно, что x = ?(t) есть решение дифференциального уравнения (1.11). Утверждение доказано.

Из сказанного выше ясно, что решение конкретного уравнения в полных дифференциалах состоит в практическом нахождении функции F(t,x). Если функции h(t,x) и g(t,x) обладают непрерывными частными производными по t и x, то из (1.14) следует соотношение

Тождество (1.16), как известно, является необходимым, а в случае односвязной области D и достаточным условием того, что выражение

есть полный дифференциал некоторой функции F(t,x). Из курса математического анализа известно, что функцию F(t,x) можно определить по ее полному дифференциалу hdx???gdt, взяв криволинейный интеграл от h(t,x)dx ? g(t,x)dt по любому пути L, соединяющему некоторую фиксированную точку (t₀, x₀) и точку (t,x) с текущими координатами:

Часто бывает возможным выбрать в качестве пути L ломаную, состоящую из двух звеньев, параллельных осям координат; в этом случае

В некоторых случаях, когда левая часть уравнения (1.12) не является полным дифференциалом, легко удается подобрать такую функцию ?(t,x), после умножения на которую левая часть уравнения (1.12) превращается в полный дифференциал

Такая функция ? называется интегрирующим множителем. (Заметим, что умножение на интегрирующий множитель ? может привести к появлению лишних частных решений, обращающих функцию ? в нуль).



Из соотношения (1.17) следует, что

Если функции ?, h и g непрерывно дифференцируемы в D, то из (1.18) следует равенство

Если область D односвязна, то равенство (1.19) является (подобно (1.16)) не только необходимым, но и достаточным условием существования функции F(t,x), для которой выполняется тождество (1.17).

В общем случае интегрирование (т.е. нахождение функции ?) уравнения (1.19) в частных производных является задачей не более простой, чем решение исходного уравнения (1.11), однако в некоторых случаях подбор частного решения уравнения (1.19) не представляет затруднений.

II. Линейные уравнения

Линейным уравнением первого порядка называют уравнения

где a(t), b(t) - заданные функции переменной t. Предположим, что функции a(t) и b(t) определены и непрерывны на некотором интервале r₁ < t < r₂ (возможно, чтоr₁ = ??, r₂ = +? одновременно или выполнено одно из этих соотношений). Таким образом, открытое множество D, на котором задана правая часть уравнения (1.20) представляет собой полосу r₁ < t < r₂ на плоскости (t,x), если r₁ и r₂ конечны; полуплоскость, если конечна только одна из величин r₁, r₂ и плоскость, если бесконечны обе величины r₁, r₂. Правая часть уравнения (1.20) непрерывна вместе со своей частной производной по x на всем множестве D и поэтому удовлетворяет (по x) условию Липшица. Итак, для уравнения (1.20) условия теоремы выполнены.

Пусть t₀ - некоторая точка интервала (r₁,r₂). Положим

Функция A(t), очевидно, определена на интервале r₁ < t < r₂. Докажем, что совокупность всех решений уравнения (1.20) задается формулой

где x₀ - произвольная константа. Для вывода формулы (1.22) рассмотрим сначала однородное уравнение, соответствующее (1.20), т.е. уравнение

Это уравнение в полных дифференциалах. В самом деле, символически его можно записать в виде

Соответствующая функция F(t,x) легко вычисляется:



где A(t) определена по формуле (1.21). В таком случае, согласно вышесказанному, решения уравнения (1.23) определяются как неявные функции из соотношения

Отсюда находим или

где C может принимать любые действительные значения.

Для получения с помощью формулы (1.24) решения неоднородного уравнения (1.20) применяется так называемый метод вариации постоянной.То есть решение уравнения (1.20) ищется в виде (1.24), но C уже не константа, а некоторая неизвестная функция переменного t. Подставляя выражение

в уравнение (1.20), получим:

или, что то же



Отсюда находим

где x₀ - константа интегрирования. На основании (1.25), (1.26) получаем формулу (1.22).

Некоторые дифференциальные уравнения путем замены переменных могут быть сведены к линейным. К таким уравнениям относится так называемое уравнение Бернулли, имеющее вид

Это уравнение заменой переменной сводится к линейному. Действительно, так как

то произведя подстановку, получим линейное уравнение

Рассмотрим уравнение Риккати:



Это уравнение в общем виде квадратурой не интегрируется, но может быть заменой переменных сведено к уравнению Бернулли, если известно одно частное решение этого уравнения. Действительно, если x₁ = x₁(t) - известное частное решение, то полагая

Получим

Так как

то приходим к уравнению Бернулли

III. Уравнения с разделяющимися переменными

Так называются уравнения



Предположим, что функция f(t) определена и непрерывна на интервале r₁ < t < r₂, а функция g(x) определена, непрерывна и не обращается в нуль на интервале q₁< x < q₂. Рассматриваемое уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Именно, оно может быть символически записано в виде

а соответствующая функция F(t,x) задается формулой

Здесь x₀ ? (q₁,q₂), t₀ ? (r₁,r₂) - фиксированные точки, а x и t изменяются на этих же интервалах. В силу сказанного в разделе I все решения уравнения (1.27)получаются как неявные функции из соотношения

IV. Однородные уравнения

Уравнение первого порядка

называется однородным, если f(t,x) есть однородная функция своих аргументов нулевой степени однородности, т.е. имеет место тождество



Полагая в (1.28) , получаем тождество

Таким образом, правая часть по существу зависит только от отношения переменных. Обозначая

видим, что однородное уравнение всегда можно представить в виде

Будем предполагать, что функция h(y) определена и непрерывна на интервале a₁ < y < a₂ и что на этом интервале функция h(y) ? y в нуль не обращается.

Уравнение (1.29) решается посредством замены переменных. Точнее, вместо неизвестной функции x(t) введем новую неизвестную функцию y(t):

Произведя такую подстановку, для новой неизвестной функции y получаем уравнение



Мы получили уравнение с разделяющимися переменными, которое решается способом, указанным в III.

Замечание. Если h(y) ? y, то уравнение (1.29) имеет вид

и интегрируется методом разделения переменных (его общее решение - x = Ct). Если h(y) ? y обращается в нуль при y = y₀, то кроме решений, получающихся из (1.30), имеется решение .

3. Формулировка теоремы существования и единственности для нормальной системы

В приложениях часто приходится иметь дело не с одним дифференциальным уравнением первого порядка, а с более общими системами. Обычно система обыкновенных дифференциальных уравнений состоит из стольких уравнений, сколько в нее входит неизвестных функций. При этом все неизвестные функции являются функциями одного и того же вещественного независимого переменного. Теорема существования и единственности является основным теоретическим инструментом для изучения данной системы дифференциальных уравнений.

Теорема существования и единственности в этом параграфе формулируется для так называемых нормальных систем:



Здесь t - независимое переменное, x₁,?,x_n - неизвестные функции от t, f₁,?,f_n - заданные функции от n+1 вещественного переменного, определенные на некотором открытом множестве D евклидова пространства Rⁿ⁺¹ точек (t,x₁,?,x_n).

В дальнейшем всегда будет предполагаться, что функции

непрерывны на D; кроме этого будет предполагаться, что все эти функции удовлетворяют условию Липшица относительно переменной x = (x₁,?,x_n) (равномерно по t), т.е. существуют постоянные M_i такие, что

Заметим, что функция нескольких переменных F(x₁,?,x_n) удовлетворяет условию Липшица вида (1.33) по совокупности переменных x₁,?,x_n, если она удовлетворяет условию Липшица (равномерно) по каждой из этих переменных в соответствующем диапазоне их изменения, т.е. если

и постоянная A_k не зависит от остальных переменных.

Действительно, из тождества



в силу (1.34) следует неравенство

Заметим также, что условие (1.33) менее ограничительно, чем условие непрерывной дифференцируемости функций f_i по переменным x_i, i=1,?,n.

Решением системы уравнений (1.31) называется система непрерывных функций

определенных на некотором интервале r₁ < t < r₂, имеющих непрерывную производную , причем:

a) ,

б) при подстановке в соотношения (1.31) вместо x₁,?,x_n функций (1.35) соотношения (1.31) превращаются в тождества по t на всем интервале r₁ < t < r₂.

Имеют место следующие утверждения.

Теорема 1.3.1 (О существовании и единственности для нормальной системы)

Пусть (1.31) - нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть правые части f_i уравнений (1.31) определены на некотором открытом множестве D пространства точек с координатами (t,x₁,?,x_n). Пусть функции (1.32) непрерывны на D и выполнены условия Липшица (1.33). Тогда справедливы утверждения:

а) Для каждой точки

существует решение

системы (1.31), определенное на некотором интервале, содержащем точку t⁰, и удовлетворяющее условиям:

б) Если имеются два каких-либо решения

системы (1.31), совпадающих при некотором t = t^?

причем каждое решение определено на своем собственном интервале, то эти решения совпадают всюду, где они оба определены.

Значения (1.36) называются начальными для решения (1.37), а соотношения (1.38) называются начальными условиями для этого решения. Говорят также, что решение (1.37) имеет начальные значения (1.36) или удовлетворяет начальным условиям (1.38).

Так же, как это было сделано в § 1.1 настоящей главы, введем понятие непродолжаемого решения. Именно, говорят, что решение

системы (1.31), определенное на интервале s₁ < t < s₂, является продолжением решения

этой системы, определенного на интервале r₁ < t < r₂, если (r₁,r₂) ? (s₁,s₂) и

Решение называется непродолжаемым, если не существует никакого отличного от него решения, являющегося его продолжением. Позже будет доказано, что каждое решение системы (1.31) может быть продолжено (причем единственным образом) до непродолжаемого решения.

Интегральной кривой системы дифференциальных уравнений (1.31) называется график

ее решения x_i = ?_i(t), i=1,?,n в (n+1)-ом пространстве точек (t,x₁,?,x_n). В этом заключается геометрическая интерпретация решений.

Полем направлений, соответствующим системе дифференциальных уравнений (1.31), называется векторное поле

в (n+1)-ом пространстве (t,x₁,?,x_n), заданное в области определения системы (1.31). В этом заключается геометрическая интерпретация системы (1.31). Связь между геометрической интерпретацией решения и геометрической интерпретацией самой системы очевидна.

В заключение этого параграфа сформулируем еще одну теорему существования для нормальной системы более частного вида по сравнению с (1.31). Речь пойдет о так называемых нормальных линейных системах уравнений, т.е. системах вида (1.31), для которых функции f_i(t,x₁,?,x_n), i=1,?,n являются линейными относительно переменных x₁,?,x_n:

где a_ij(t), b_i(t), i,j=1,?,n - известные функции независимого переменного t, определенные на некотором интервале q₁ < t < q₂. Для такой системы уравнений областью задания является полоса

в (n+1)-ом пространстве точек (t,x₁,?,x_n).

Теорема 1.3.2 Пусть



- нормальная линейная система уравнений. Предположим, что коэффициенты a_ij(t) и свободные члены b_i(t) являются непрерывными функциями аргумента t на некотором интервале q₁ < t < q₂. Тогда для любых начальных значений существует, причем единственное, решение системы (1.41) с этими начальными значениями, определенное на всем интервале q₁ < t < q₂.

4. Сведение общей системы дифференциальных уравнений к нормальной

Здесь мы покажем, что весьма общая система дифференциальных уравнений сводится к нормальной системе и следовательно, для таких систем будет установлена теорема существования и единственности.

Сначала дадим описание общих систем дифференциальных уравнений.

В случае одной неизвестной функции x независимого переменного t дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид:

Здесь F - заданная функция от (n+2) переменных. Функция F, вообще говоря, может быть задана не при всех значениях своих аргументов и поэтому говорят об области D задания функции F. Предполагается обычно, что D - открытое множество евклидова пространства размерности n+2, координатами точек в котором являются переменные .

Максимальный порядок производной, входящей в данное дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения. Решением уравнения (1.42)называется такая непрерывная функция x =??(t) переменного t, определенная на некотором интервале r₁ < t < r₂, которая обладает свойствами:

- функция ?(t) обладает в интервале r₁ < t < r₂ непрерывными производными до порядка n включительно;

- для всех t ? (r₁,r₂);

- при подстановке x =??(t) в соотношение (1.42) мы получаем тождество по t на интервале r₁ < t < r₂.

Если имеются две неизвестные функции x и y одного переменного t, то рассматриваются два дифференциальных уравнения, вместе образующих систему уравнений. В общем случае эта система имеет вид:

Здесь F и G - две функции, зависящие от n+m+3 переменных, определенные на некотором открытом множестве D евклидова пространства размерности n+m+3. Множество D называют областью задания системы (1.43). Если максимальный порядок производной функции x, входящей в систему (1.43) (точнее говоря, хотя бы в одно из уравнений системы (1.43)) равен n, а максимальный порядок производной функции y, входящей в систему (1.43), равен m, то число n называют порядком системы относительно функции x, а m - порядком системы относительно y. Число n+m при этом называют порядком системы (1.43). Аналогично предыдущему случаю не составляет труда сформулировать определение решения системы (1.43), а также дать определение системы дифференциальных уравнений для произвольного конечного числа неизвестных функций x₁,?,x_n от одного независимого переменного t. Если наивысший порядок производной функции x_i, входящей в систему, равен q_i, то число q_i называется порядком этой системы относительно функции x_i, а число q₁ +???+ q_n = q - порядком системы.

Предположим, что из соотношения (1.42) величина может быть представлена в виде однозначной функции остальных аргументов, то есть уравнение (1.42)равносильно следующему

Уравнения (1.44) называются разрешенными относительно старшей производной.

Точно также система (1.43), разрешенная относительно старших производных, имеет вид:

Аналогично определяются разрешенные относительно старших производных системы с произвольным числом неизвестных функций.

Покажем, что всякая система дифференциальных уравнений порядка n, разрешенная относительно старших производных, сводится к (эквивалентной ей) нормальной системе n-го порядка.

Все выкладки мы проведем для одного уравнения порядка n. Из этих выкладок легко понять процедуру сведения и для системы с произвольным (конечным) числом искомых функций.



Итак, пусть

- одно дифференциальное уравнение порядка n, разрешенное относительно высшей производной. Предположим, что функция

определена на некотором открытом множестве D (n+1)-го координатного пространства, непрерывна на D и удовлетворяет условию Липшица (равномерно по t) относительно переменных . Введем новые неизвестные функции y₁,y₂,?,y_n независимого переменного t по формулам:

Если x =??(t) -решение уравнения (1.46) с интервалом определения r₁ < t < r₂, то из соотношений (1.47) следует, что вектор-функция y(t) = (y₁(t),?,y_n(t)) является непрерывно-дифференцируемой на интервале r₁ < t < r₂; точки (t,y(t)) = (t,y₁(t),?,y_n(t)) принадлежат множеству D при всех значениях t ? (r₁,r₂) и при этом имеют место тождества: (по t ? (r₁,r₂))



Другими словами, функции y₁(t),?,y_n(t) являются решением системы уравнений (1.48) нормального вида.

Обратно, пусть система функций y₁(t),?,y_n(t), определенных на интервале r₁ < t < r₂, является решением системы уравнений (1.48). Из непрерывной дифференцируемости функций y_i(t), i=1,?,n и первых (n?1) соотношений в (1.48) вытекает, что функция

x(t) ? y₁(t)

обладает на интервале r₁ < t < r₂ непрерывными производными до порядка n включительно и при этом справедливы тождества:

Следовательно, точки



принадлежат D, при любом t из (r₁,r₂), а из последнего уравнения системы (1.48) вытекает тождество:

Другими словами, функция (1.49) является решением уравнения n-го порядка (1.46). В силу теоремы 1.3.1 существует и притом единственное решение системы (1.48) для любых начальных значений . Из формул (1.47) тогда следует, что функция (1.49), т.е. x(t) = y₁(t), доставляет единственное решение уравнения (1.46), удовлетворяющее начальным условиям:

Именно таким образом следует задавать начальные условия для уравнения вида (1.46). Задачу отыскания решения уравнения (1.46), удовлетворяющего дополнительным условиям (1.51), называют задачей Коши для этого уравнения.

Пример. Рассмотрим уравнение

относящиеся к уравнениям второго порядка, разрешенным относительно старшей производной. Областью задания уравнения (1.52) является вся плоскость переменных (t,x). Непосредственной подстановкой проверяется, что функции



удовлетворяют уравнению (1.52). Здесь r,?? - произвольные постоянные. Покажем, что функции (1.53) исчерпывают всю совокупность решений уравнения (1.52). Действительно, пусть x =??(t) - произвольное решение этого уравнения. В силу теоремы 1.3.2 можно считать, что решение ?(t) = x определено для всех значений t. Положим

Не трудно убедиться, что постоянные r ? 0 и ? можно выбрать так, чтобы имели место равенства

Таким образом, решения (1.53) и ?(t) имеют одинаковые начальные значения и поэтому совпадают при всех t.

Функция (1.53) описывает гармонический колебательный процесс. Положительная константа r называется амплитудой колебания (1.53), а ? - его фазой (точнее начальной фазой). Уравнение (1.52) называется уравнением гармонических колебаний. Число ? называют частотой колебаний, хотя в действительности число ?колебаний в секунду равно

дифференциальный уравнение интегральный кривая

5. Комплексные дифференциальные уравнения

До сих пор рассматривались лишь действительные дифференциальные уравнения и их действительные решения. Однако в некоторых случаях бывает легче найти сначала комплексные решения данного уравнения, а затем выделить из них действительные решения. Для изложения этого подхода условимся относительно некоторых понятий.

I. Комплексной функцией ? действительного переменного t называется однозначное отображение

интервала действительной оси (r₁,r₂) в поле комплексных чисел C и, следовательно, такие функции могут быть представлены в виде:

где ?(t) и ?(t) - действительные функции переменного t. Функция ? называется действительной частью комплексной функции ?, а ? - мнимой частью функции?. Комплексная функция называется непрерывной в точке t₀ ? (r₁,r₂), если в этой точке непрерывно отображение (1.54). Другими словами - для любого ? > 0 найдется такое ? = ?(?,t₀) > 0, что соотношение ?t?t₀? < ?, t ? (r₁,r₂) влечет за собой неравенство

Данное определение равносильно тому, что непрерывными в точке t₀ являются действительная ? и мнимая ? части функции ?. Функция ? называется непрерывной на промежутке r₁ < t < r₂, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Из сказанного выше ясно, каким образом должно быть дано определение ее дифференцируемости в точке. Это определение эквивалентно требованию дифференцируемости вещественных функций . При этом производная комплексной функции ?(t) выражается формулой

Формулы дифференцирования суммы, произведения и частного комплексных функций действительного переменного имеют тот же самый вид, что и для вещественных функций.

II. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений нормального вида

предполагая, что h_i - комплексные функции, зависящие от действительного переменного t и комплексных значений переменных z₁,?,z_n. Ограничимся, например, случаем когда эти функции являются многочленами относительно переменных z₁,?,z_n, т.е.

где коэффициенты представляют собой заданные действительные или комплексные функции действительного переменного t, определенные и непрерывные на промежутке q₁ < t < q₂. При этих условиях вполне естественной представляется постановка вопроса об отыскании комплексных решений системы (1.55).

Систему



комплексных функций действительного переменного t, определенных и непрерывно дифференцируемых на интервале q₁ < t < q₂ будем называть решением системы (1.55), если при замене переменных z_i функциями переменной t по формулам (1.57) мы получаем систему тождеств по t на этом интервале.

Замечая, что в силу предположения (1.56) правые части h_i уравнений (1.55) определены для всех значений переменных z₁,?,z_n, сформулируем следующую теорему существования и единственности для системы (1.55) (Аналогично теореме 1.3.1).

Теорема 1.5.1 Пусть

- произвольная система начальных значений, подчиненная условию, что точка принадлежит области определения системы (1.55).

Тогда существует решение

системы (1.55), определенное на некотором интервале (r₁,r₂), содержащем значение t⁰, и удовлетворяющее начальным условиям:

При этом всякие два решения с одинаковыми начальными условиями совпадают на общей части их интервалов определения.



Докажем это утверждение. Представив искомые функции z_i в виде

и введя действительные функции f_j и g_j действительных аргументов посредством соотношений:

получаем, что система уравнений (1.55) эквивалентна следующей системе действительных уравнений

В силу формул (1.56) правые части f_j и g_j системы (1.62) являются многочленами относительно переменных и поэтому определены при всех значениях этих переменных. Так как коэффициенты a_ij многочленов h_i являются непрерывными функциями переменного t на интервале q₁ < t < q₂, то на том же интервале определены и непрерывны коэффициенты многочленов f_j и g_j. Таким образом, правые части системы (1.62) определены и удовлетворяют условиям теоремы 1.3.1 в полосе



В силу теоремы 1.3.1 существует единственное решение

системы уравнений (1.62), удовлетворяющее начальным условиям:

представляют собой решение задачи (1.55), (1.59). Что и требовалось доказать.

Замечание 1. Если система (1.55) линейна относительно переменных z₁,?,z_n, то есть

то и система (1.62) также является линейной. Согласно теореме 1.3.2 и сказанного выше комплексное решение z =??(t) определено на всем интервале q₁ < t < q₂непрерывности коэффициентов a_jk(t) в (1.67).

Замечание 2. И в том случае, когда правые части h_i системы (1.55) представляют собой действительные многочлены (т.е. коэффициенты a_ij(t) в формуле (1.56) - суть действительные функции) и формально, следовательно, система (1.55) является действительной, мы можем, тем не менее, искать ее комплексные решения, считая, что функции z₁,z₂,?,z_n комплексные. Такой подход к действительным уравнениям применяется потому, что в ряде случаев легче найти комплексные решения действительных уравнений, чем их действительные решения. При таком подходе находят сначала комплексные решения данной действительной системы, а затем из них выделяют такие решения, мнимые части которых равны нулю, т.е. действительные решения. Именно таким приемом будут далее решаться линейные уравнения с постоянными коэффициентами.

Замечание 3. Так же как и в действительном случае, можно рассматривать комплексные дифференциальные уравнения высокого порядка довольно общего вида, и приемом, изложенным в параграфе 1.4 данной главы, свести их к нормальной системе. Для иллюстрации мы сформулируем здесь теорему существования и единственности только для одного комплексного уравнения n-го порядка, разрешенного относительно высшей производной.

Теорема 1.5.2 Пусть

- уравнение порядка n, правая часть f в которой является многочленом относительно переменных с коэффициентами, являющимися непрерывными комплексными функциями переменного t, определенными на интервале q₁ < t < q₂. Пусть - произвольные начальные значения, где - произвольные комплексные числа, а t⁰ - действительное число, удовлетворяющее неравенствам q₁ < t⁰ < q₂. Тогда существует решение z =??(t) уравнения (1.68), удовлетворяющее начальным условиям:

Всякие два решения с одинаковыми начальными условиями совпадают на общей части их интервалов определения.

Если уравнение (1.68) линейно, то есть



то для любых допустимых начальных значений существует решение, определенное на всем интервале q₁ < t < q₂ непрерывности коэффициентов a_j(t) многочлена (1.70).

III. При изучении линейных уравнений с постоянными коэффициентами важную роль играет комплексная функция e^?t действительного переменного t, где ? - комплексное число. В качестве определения этой функции может быть принята формула

Для комплексных значений ? ( так же как и для действительных значений) имеет место формула дифференцирования

Для произвольного комплексного числа ? = u + i v справедливы формулы:

Размещено на Allbest.ru

...