Размещено на http://www.allbest.ru/

Методика вивчення тотожних перетворень в основній школі

План

1. Місце в програмі. Вимоги до знань умінь

2. Формування провідних понять теми.

3. Вивчення тотожних перетворень цілих виразів

4. Типові помилки учнів і шляхи їх подолання

1. Місце в програмі. Вимоги до знань та вмінь

У програмі з алгебри для 7 класу передбачено 33 години для вивчення виразів та їх перетворень. За цей час учні повинні повторити й уточнити відомості про числові та буквені вираз, формули. Поряд з цим вводяться поняття:

- цілого раціонального виразу;

- степеня з натуральним показником;

- одночлена і многочлена;

- тотожно рівних виразів;

- тотожності, тотожні перетворення виразів;

- формули скороченого множення і застосування їх до перетворення многочленів.

У результаті вивчення теми “Цілі вирази” учні повинні

знати:

уміти:

У 8 класі передбачено вивчення тотожних перетворень раціональних дробів, дробових виразів і перетворень ірраціональних виразів, пов'язаних з квадратним коренем.

За чинною програмою у 8 класі вводять поняття:

- степеня з цілим показником і розглядаються перетворення найпростіших виразів, що містять степені з від'ємним показником;

- квадратного кореня, арифметичного квадратного кореня та його властивості.

Вимоги до математичної підготовки учнів 8 класу з вище згаданих питань можна сформулювати так:

Мати уявлення про:

- степінь з нульовим показником, цілим від'ємним показником, його властивості;

- стандартний вигляд числа;

- алгебраїчний дріб, раціональний і дробовий вираз;

- раціональні рівняння;

- квадратний корінь, арифметичний квадратний корінь;

- ірраціональні та дійсні числа.

Знати:

Уміти:

У 9 класі тотожні перетворення цілих і дробових виразів використовуються для розв'язування рівнянь, нерівностей, систем рівнянь. Вводиться нове перетворення - розкладання квадратного тричлена на множники, яке використовується для побудови графіка квадратичної функції.

2. Формування основних понять теми

До основних понять теми належать: “числовий вираз”, “вираз із змінними” або “буквений вираз”, “тотожно рівні вирази”, ”одночлени”, “многочлени”, ”перетворення виразу”, “тотожне перетворення”, “дроби”, “дробовий вираз”, “раціональні вирази”.

Поняття виразу. Перетворення виразів.

З поняттями “вирази”, “значення виразу” та відповідними термінами учні ознайомлюються ще у молодших класах. У І-ІІ класах вводиться поняття суми, різниці, добутку і частки двох чисел. У ІІІ - IV класі розглядають числові вирази. Спрощення числових виразів виконують у V, використовуючи відомі учням закони арифметичних дій. Пропедевтично у V-VI класах розглядаються коефіцієнт і зведення подібних доданків. Ці спрощення потрібні для розв'язування рівняння. У VI класі вводять поняття ”взяття в дужки”, “винесення многочлена за дужки”, “зведення подібних доданків”. Спрощення виразів проводилося без введення відповідних термінів.

Систематичне вивчення виразів та їх перетворення починається у 7 класі.

Методисти не рекомендують давати означення поняття “вираз”, оскільки його важко сформулювати для учнів цього віку. Поняття про вирази (числові та буквені) формуються описово на конкретних прикладах. Окремі види виразів вводяться поступово, із вивченням програмового матеріалу.

Поняття тотожності, тотожно рівних виразів на рівні означень вводяться вперше у 7 класі. Поняття тотожних перетворень виразів пояснюється описово на прикладах. Досвідчені вчителі не рекомендують давати формальне означення тотожно рівних виразів, тотожних перетворень виразів. Краще ці поняття вводити на одному уроці, пов'язавши їх з потребою обчислення виразу, тобто конкретно-індуктивним методом.

На дошці записується вираз

9·а+5·(b-a)+18·b+6·a-3·b= (1)

9·а+5·b-5a+18·b+6·a-3·b= (2)

(9а-5a+6a) +(5b+18b-3b)=10a+20b (3)

Перехід до нового виразу обґрунтується законами дій

Вчитель пропонує обчислити значення виразу (3) при а=6,25, b=12.5, що дорівнює 315,5, тоді. звертається увага, що при а=6,25, b=12.5 значення виразів (1) і (2) також дорівнює 315,5, але обчислювати їх доведеться значно довше

Вирази (1)-(3) називають тотожно рівними. Після цього формується означення тотожно рівних виразів.

Аналізуючи знову вирази (1)-(3), вчитель вводить поняття тотожного перетворення виразу. Підкреслюється той факт, що раніше, спрощуючи вирази на основі законів арифметичних дій, учні фактично виконували їх тотожні перетворення.

Означення поняття тотожності у 7 класі вводиться на множині цілих виразів, а у 8 класі розширюється і дається нове означення тотожності, як рівності правильної лише за всіх допустимих значень змінних, що входять до її складу.

Для учнів 8 класу складнішими для сприймання є поняття “цілий вираз” бо він асоціюється з відомим їм поняттям цілого числа, а “дробовий вираз” - з поняттям звичайного дробу як числа

У 8 класі слід уточнити, узагальнити і розширити уявлення учнів про вирази:

- раціональним називають вирази, які утворені з чисел із змінних за допомогою додавання, віднімання, множення, ділення.

10х²у; 53; ;

Раціональні вирази можна поділити на два класи: цілі і дробові вирази. Цілими називаються вирази, складені з чисел і змінних за допомогою дій додавання, віднімання, множення і ділення на число, відмінне від нуля.

Дробовими раціональними виразами називаються раціональні вирази, які містять ділення на змінну або вираз із змінною.

Размещено на http://www.allbest.ru/

У 8 класі учні вперше стикаються з ірраціональними виразами. На цьому етапі навчання вони мають справу лише з ірраціональними виразами, які містять арифметичні квадратні корені.

Поняття одночлена.

Дидактична мета вивчення пункту: ввести поняття одночлена; продовжити формування навичок дій зі степенями.

Основні знання: уміти відрізняти одночлен від виразу, який не є одночленом; уміти перетворювати одночлен в одночлен стандартного вигляду.

Методичні рекомендації.

Поняття одночлена доцільно формувати конкретно-індуктивним методом, розглядаючи приклади:

5; х; -а; 5ab; 2,5x⁵; a²+b².

Формального означення поняття одночлена не дається.

Одним з найважливіших представників класу тотожних перетворень у 7 класі є зведення одночленів до стандартного вигляду. Мотивується це перетворення потребою спрощення одночлена, одержаного при множені одночленів.

При зведенні одночлена до стандартного вигляду важливим є поняття коефіцієнта. Учні неправильно визначають коефіцієнти біля змінної у випадках, коли вони дорівнюють 1 та -1. За домовленістю їх не пишуть, а число -1 замінюють знаком мінус.

Важливо підкреслити теоретичну основу виконання перетворення: під час зведення одночлена до стандартного вигляду використовується переставний, сполучний закон множення і правило множення степенів з однаковою основою.

Після розгляду кількох прикладів формується правило: Щоб привести одночлени до стандартного вигляду, треба перемножити числові множники і степені змінних з однією основою.

Слід ввести вимогу:

1. У запису одночлена стандартного вигляду дужки не ставляться.

2. Одночлен має тільки один числовий множник, який записується на першому місці.

3. Кожний добуток однакових змінних подається у відповідному степені. Наприклад 3хххуух=3х⁴у²

Важливо зауважити, щоб будь-яке число є одночленом записаним у стандартному вигляді.

Основне призначення вправ на цьому уроці полягає у виробленні вміння зводити вирази до стандартного виду одночлена.

На закріплення пропонуються вправи типу:

1. Назвіть коефіцієнти одночленів:

6a³b²; -3а²b³; 7; a⁷b2; -a²b²; -5.

2. Які з одночленів

3a²b³; (-7)a²b³; 3(a²b³); (-1)a³b³; a²b²; -a²b³

мають стандартний вигляд?

3. Зведіть до стандартного вигляду одночлени.

4. Подайте дані одночлени у вигляді добутку двох одночленів, з яких один заданого вигляду:

Наприклад, запишіть одночлен -54х³у²у у вигляді добутку двох одночленів, з яких один -9х²у.

Піднесення одночленів до степеня не викликає труднощів у школярів. Проте деякі з них забувають підносити до степеня коефіцієнт.

Многочлени

Дидактична мета вивчення пункту: ввести поняття многочлена; навчити зводити многочлени, додавати і віднімати многочлени; множити многочлен на одночлен та на інші многочлени.

Методичні рекомендації.

Поняття многочлени не викликає в учнів труднощів. Основне що повинні опанувати семикласники під час вивчення теми “Многочлени” - це навчитися додавати, віднімати і множити многочлени.

Поняття многочлена зручно формувати розглядаючи суму двох і більше одночленів. При цьому корисно розглянути випадок коли коефіцієнт хоч би одного одночлена є від'ємним.

За програмою вивчається дія множення многочлена на одночлени і многочлена на многочлен.

3. Вивчення тотожних перетворень цілих виразів

Перетворення у курсі алгебри розподіляються на два класи:

1. тотожні перетворення - перетворення виразів;

2. рівносильні перетворення - перетворення формул.

Під час вивчення різних видів тотожних перетворень доцільним виявляється алгоритмічний підхід. Вивчення кожних видів перетворень має завершуватися (або починатися) формулюванням правила (алгоритму ) перетворення.

Основні види тотожних перетворень

1. Запис арифметичних дій та їх законів - 5клас.

2. Розкриття дужок - 6 клас.

3. Зведення подібних доданків - 6клас.

4. Взяття в дужки - 7 клас.

5. Тотожні перетворення цілих виразів - 8 клас.

6. Розкладання многочлена на множини (способом групування, винесення спільного множника за дужки) - 7 клас.

7. Формули скороченого множення - 7 клас.

8. Перетворення степенів з цілим показником в два етапи:

а) 7 клас з цілим невід'ємним

б) 10 клас з цілим від'ємним та раціональним показником.

9. Перетворення дробових раціональних виразів - 8 клас.

10. Перетворення ірраціональних виразів:

а) 8 клас квадратний корінь, його властивості перетворення виразів, що містять квадратний корінь.

б) 10 клас - дістають значення і вміння стосовно кореня n-го степеня та степеня з дробовим показником.

в) 10 клас узагальнене поняття системи.

11. Перетворення тригонометричних виразів.

12. Перетворення логарифмічних виразів.

3.1 Винесення спільного множника за дужки

Дидактична мета: навчити учнів виносити спільний множник за дужки.

Основні знання та вміння: уміти виносити за дужки одночленний множник, виконувати перевірку розкладання на множники за допомогою множення одночлена на многочлен, взятого в дужки.

Методичні рекомендації.

У тотожних перетвореннях многочленів найважчим для учнів 7 класів є винесення спільного множника за дужки, яке розглядається після вивчення добутку одночлена на многочлен, як обернене перетворення. Основна складність при його виконанні - це виділення спільного множника у записі многочлена.

Тому доцільно виконати підготовчі вправи

1. Подайте різними способами степінь у вигляді добутку степенів:

а) х⁴; б) у³ в) а⁵;

2. Обчислити раціональним способом такі вирази:

а) 0,2·7+0,8·7; б) 12,3·0,9+12,3·0,1 в) 65·35+65²;

3. Обчислити значення виразів: 5,87х - х² при х = 3,87. При виконанні цієї вправи показуємо практичну доцільність винесення спільного множника за дужки.

Після цього розв'язують вправи на виділення спільного множника у многочленах з однією змінною з використанням розподільного закону

а) 7n+14n²=7n+7n·2n в)7х³-8х²=7х²·х-8х² б) 2y²-3y³-y⁵=2y²-3y²·y- y²·y³

Звертається увага, що показник степеня змінної (в останньому випадку) у винесеному виразі є найменшим з усіх показників з якими ця змінна входить у многочлен.

Детальне обговорення кожного кроку розв'язування та їх співставленням дозволяють вказати послідовність дій які необхідно виконати:

а) знайти і виділити спільний множник многочлена із знаком “+” або “-”. Змінні, що входять в усі одночлени многочлена, включаються у спільний множник з найменшим показником.

б) виносять знайдений спільний множник за дужки, користуючись розподільним законом множення.

в) кожний многочлен подається у вигляді добутку двох множників, один з яких знайдений спільний множник.

3.2 Формули скороченого множення

Дидактична мета: виробити вміння застосовувати формулу (a+b)(a-b)=a²-b² для скороченого множення різниці виразів на суму і розкладу на множники різниці квадратів.

Знання та вміння: Знати виведення і словесне формулювання тотожності (a+b)(a-b)=a²-b² . Уміти застосовувати цю тотожність при умові, що а і b - будь-які одночлени з числовими показниками. Уміти застосовувати цю тотожність для раціоналізації обчислень, тотожних перетворень цілих виразів, скорочення дробів, розв'язування рівнянь.

Методичні рекомендації.

Під час вивчення цієї тотожності доцільно підкреслити, що а і b - змінні, замість яких можна підставляти будь-який вираз.

При вивчені теми “формули скороченого множення” особливу увагу слід звернути на читання виразів, оскільки учням постійно треба переходити від формул до їх словесного вираження і навпаки.

Виводиться формула на конкретних прикладах. Пропонується перемножити многочлени:

(х+m)(x-m)=x²-mx+mx-m²= x²-m²

(5+a)(5-a)=5²-5a+5a-a²=25-a²

(x+z)(x-z)=x²-zx+zx-z²=x²-z²

(a+b)(a-b)=a²-ab+ab-b²=a²-b²

Аналізуючи розв'язані вправи робимо висновок, що добуток суми двох виразів на їх різницю дорівнює різниці квадратів цих виразів.

Записується (a+b)(a-b)=a²-b² ця рівність є тотожна. Ліву і праву частини можна поміняти. Вона правильна при будь-яких значеннях a і b.

Після виведення пропонуємо учням прочитати словесне формулювання тотожності у підручнику і виконати вправи на закріплення. Доцільно вимагати від учнів словесного коментування умови і одержаного результату.

Після того як учні навчились застосовувати тотожність можна переходити до складніших випадків використання формули, що пов'язані із застосуванням переставного закону додавання і винесення спільного множника за дужки.

4 Форми роботи з учнями з формування необхідних навичок .Типові помилки учнів і шляхи їх подолання

У тотожних перетвореннях цілих виразів розповсюджені такі помилки:

- Учні додають коефіцієнти, а змінні множать, наприклад:

9а+3а-12а²

- Додають окремо коефіцієнти і окремо буквені вирази, наприклад:

8у+5у=13+2у

- Віднімають коефіцієнти, а про буквені вирази “забувають”, наприклад:

6х+2х=4

Помилки такого типу пов'язані з нерозумінням розподільного закону множення відносно додавання і віднімання.

Під час додавання (віднімання) степенів учні додають (віднімають) і коефіцієнти, і показники степенів.

Аналогічна помилка спостерігається і при множені (діленні) степенів. наприклад:

3а²+7а²=12а²;а⁶-а³=а³; х⁴х³=х¹²; m⁸:m⁴=m²

Для подолання цих помилок, слід підібрати завдання в яких вимагається довести правильність висновків, які зробили самі учні. Наприклад:

1. доведіть, що в рівностях

b^m+bⁿ=b^m+n ; 2а³·3а=18а²; 3х+5х+2х=10+3х

допущені помилки. Знайдіть ці помилки

2. Порівняйте значення виразів

3а²+5а², 8а⁴, 8а², якщо

Поясніть, між якими двома із двох даних виразів можна поставити знак дорівнює і чому?

3. Дано рівність

2а+Размещено на http://www.allbest.ru/

=8а; Размещено на http://www.allbest.ru/

·3а².

Замість квадратиків поставити такі числа або вираз, щоб рівності були правильними.

4. Серед виразів

17+2х, 7х+10х, 20х-3х, 17х,

знайдіть такі, які набувають рівні значення при будь-яких значеннях х.

Для попередження помилок час від часу слід пропонувати учням вказувати правило, властивість на які спирається виконання перетворення. Слід звернути увагу на закономірності, які можна використати для самоконтролю.

Наприклад: при винесенні за дужки одночленного множника, у дужках одержуємо многочлен, що містить стільки ж членів що й вихідний.

При множені многочлен який має m членів на многочлен, що має к членів, одержимо многочлен, що має кm членів. При зміні знаку чисельника (знаменника) дробу знак дробу зміниться на протилежний і т.д.

Звертаємо увагу на записи. Наприклад: запис

є джерелом грубих помилок.

Помилки, які допускають учні під час розкладу многочленів на множники.

1. Виносячи за дужки спільний множник, який співпадає з одним із членів многочлена, забувають писати 1 на місці цього числа. Наприклад:

2ах+3ху+х=х(2а+3у)

2. Якщо спільний множник - многочлен, то учні часто записують його двічі. Наприклад:

m²(m+a)-b(m+a)=(m+a)(m+a)(m²-b)

3. Якщо спільний множник - різниця, то учні не враховують з яким знаками входять у вихідний вираз компоненти цієї різниці.
Наприклад:

х⁴- 3у-у³+ху²=х³(х-у)-у²(х+у)

х³(х-у)-у²(у-х)=(х-у)(х³-у³).

Для подолання таких помилок можна використовувати вправи

1. Дано одночлен 18х⁴у⁶. подайте його у вигляді добутку двох одночленів так, щоб у першому з них коефіцієнт був 3, а в другому множник у³. Скільки таких добутків можна записати.

2. Дано одночлени

5х²у², 25х³у⁴, 15х⁴у⁵.

Вкажіть декілька їх їх спільних множників.

3. Дано рівності

b²(x+a)-b³(...)=b²(x+a)(1-b);

m⁵(1-n)-m³(n-1)=m³(...)(m²+1)

Замість трьох поставте такі вирази, щоб рівість була провильною.

4. Виконайте множення: а) 2ах²(3у+1). Винесіть за дужки спільний множник:

б) 6ах²у+2ах

Чи можна поставити знак “=” між виразами а) і б)?

Під час множення многочленів часто зустрічається такі помилки:

(а+b) (а+b)=а²+b²; (2a+3b)(4c+5a)=8ac+15ab;

(3ab+1)(3ab-1)=9a²b²+3ab

Більшість помилок є наслідком поспішності вчителя. Не сформувавши міцних навичок множення многочлена, вчитель переходить до формул скороченого множення. Корисним є завдання у яких треба піднести до квадрата двочлен або до куба безпосередньо користуючись означенням степеня і означенням множення.

методика тотожні перетворення вирази

Література

1. Слепкань З.І. ”Методика навчання математики.” 2000 р.

2. Бевз Г.П. Методика викладання математики. К.-1981 р.

Размещено на Allbest.ru

...