Размещено на http://www.allbest.ru/

Методика вивчення послідовностей в основній школі

Зміст

Вступ

1.Введення поняття послідовності

2.Методика вивчення арифметичної прогресії, її зміст, властивості, застосування.

3.Методика вивчення геометричної прогресії,її зміст, властивості, застосування.

Використана література

ВСТУП

Перші уявлення про арифметичну і геометричну прогресії мали ще стародавні народи. У клинописних вавилонських табличках і єгипетських папірусах є задачі і вказівки, як їх розв'язувати. У давньоєгипетському папірусі Ахмеса (бл. 2000 р. до н. е.) є така задача :”Нехай тобі сказано :поділити 10 мір ячменю між 10 людьми так, щоб різниця мір ячменю, одержаного кожною людиною і її сусідом , дорівнювала 1/8 міри.”

У цій задачі йдеться про арифметичну прогресію. Умову цієї задачі, користуючись сучасними позначеннями , можна записати так:

S₁₀ =10 , d=1/8,

знайти a₁ a_2,.., a_10.

В одному давньогрецькому папірусі є така задача:

” У кожному із 7 будинків по 7 котів, кожний кіт з'їдає7 мишей, кожна миша з'дає 7 колосків,кожний з них ,коли посіяти зерно, дає 7 мір зерна. Треба підрахувати суму чисел будинків, котів,мишей,колосків і мір зерна.”

Розв'язування цієї задачі веде до суми:

7+7²+7³+7⁴+7⁵,

тобто суми п'яти членів геометричної прогресії.

Про прогресії і їх суми знали давньогрецькі вчені. Так, їм були відомі формули суми n перших чисел послідовності натуральних парних і непарних чисел.

Архімед (3 ст. до н.е.) для знаходження площ і об'ємів фігур застосував ” атомістичний метод ”, для чого йому треба було знаходити суми членів деяких послідовностей. Він вивів формулу суми квадратів натуральних чисел.

1²+2²+3²+...+n²=1/6n( n+1 )(2n+1),

показав,як знайти суму нескінченної спадної геометричної прогресії

1+1/4+1/4²+… .

Термін ”прогресія” (від латинського progressio, що означає ”рух уперед”), запровадив римський учений Боецій, його розуміли ширше , як нескінченну числову послідовність. Назва ”арифметична” та ”геометричну”були перенесені на прогресії з теорії неперервних прогресій, які вивчали стародавні греки.

Числові послідовності вивчаються у другій чверті у 9 класі. Колись арифметична і геометрична прогресії вивчались паралельно, зараз вивчають окремо арифметичну і геометричну прогресії.

Орієнтовно тему: ”Числові послідовності” можна розбити по - уроках так:

1. Числові послідовності. (2 год.)

2. Арифметична прогресія, її властивості. Фомула n-го члена арифметичної прогресії(2 год.)

3. Сума перших n-членів арифметичної прогресії. ( 1 год. )

4. Розв'язування задач. Самостійна робота. (2 год. )

5. Геометрична прогресія, її властивості. Формула n-го члена геометричної прогресії.(2 год. )

6. Сума перших n-членів геометричної прогресії.(1 год. )

7. Нескінченно-спадна геометрична прогресія, її сума. Періодичні дроби. (2 год.)

8. Розв'язування задач і вправ. Самостійна робота.(2 год.)

9. Тематична контрольна робота. (1 год,)

геометрична арифметична прогресія

1. Введення поняття послідовності

Зараз числові послідовності вивчаються в 9 класі. На уроках геометрії давали поняття про числову послідовність, а в курсі алгебри і елементарних функцій вивчають арифметичну і геометричну прогресії. Передбачається спочатку дати загальне означення послідовності, а вже потім детальніше розглянути арифметичну і геометричну прогресії.

”Послідовністю називається функція від натурального аргументу”. Проте починати пояснювати краще не з означення, а з конкретних прикладів.

Напишемо натуральні числа в порядку їх зростання:

1,2,3,4,5,6,7,

Це послідовність натуральних чисел. А ось ще кілька прикладів:

2,4,6,8,10,12, - послідовність парних чисел;

1,3,5,7,9,11, -послідовність непарних чисел;

2,3,5,7,8,11,13. -послідовність простих чисел;

1,1/2,1/3,1/4,1/5, -послідовність чисел,обернених до натуральних.

Числа, що належать послідовності, називаються її членами.

Наприклад, у послідовності парних чисел перший член 2, другий член - число 4, десятий член -число 20 і т. д.Членами числової послідовності можуть бути будь- які числа:цілі ,дробові, додатні й від'ємні,раціональні й ірраціональні.

Приблизно так можна дати поняття числової послідовності.Варто відзначити, що послідовності бувають нескінченні й скінченні,зростаючі і спадні.

Означення: Зростаючою називають послідовність, Кожний член якої,крім першого,більший від попереднього.

Якщо, кожний член числової послідовності,крім першого, не менший від попереднього, то таку послідовність називають неспадною. Зростаюча послідовність є окремим видом неспадної. Аналогічно можна означити спадну і незростаючу послідовності.

Поняття загального члена числової послідовності обов'язково треба ввести.

Пояснити це краще на конкретних прикладах.

- Розглянемо ще раз послідовність парних чисел: 2, 4, б, 8, 10, 12, ... . Її перший член дорівнює 2, другий-4, третій - 6 і т. д. Пишуть: а₁ = 2, а₂ = 4, а₃=6.А чому дорівнює п-й член цієї послідовності? Оскільки кожний член послідовності парних чисел вдвоє більший від свого порядкового номера, то п-й член її дорівнює 2n. Пишуть: а_п =2п.

n-й член послідовності називають її загальним членом.

Якщо відомий загальний член послідовності, то можна написати скільки завгодно її членів. Для цього досить замість букви, що входить до загального члена, підставляти послідовно натуральні числа - номери членів. Нехай, наприклад, треба знайти кілька перших членів послідовності з загальним членом а_n=n²+2 . Надаючи букві п значень 1, 2, 3, 4, 5, ... , дістанемо:

З, 6, 11, 18, 27

Значно важче розв'язувати обернену задачу: за даними першими членами послідовності написати її загальний член. Тільки в простіших випадках вдається порівняно швидко розв'язати цю задачу. А взагалі знаходження загального члена послідовності пов'язане Із значними труднощами. Є й такі послідовності, загальні члени яких ще нікому не відомі. Такою, наприклад, є послідовність простих чисел

2, 3, 5, 7, II, 13, 17, 19, 23, 29,... .

Коли відомо лише кілька перших членів послідовності, то її загальний член взагалі не можна визначити однозначно. Наприклад, коли написано:

1, 3, 5, 7, 9

то це може бути послідовність із загальним членом

а_n=2n-1 або а_n = 2n- 1 + (п - 1) (п - 2) (п - 3) (п - 4) (п - 5) і т. п.

Є безліч різних числових послідовностей, п'ять перших членів яких 1, 3, 5, 7, 9. Тому вчитель повинен знати, взагалі невизначені. Щоб задати послідовність, не досить вказати кілька її перших членів.

Визначення загального члена послідовності

Але як усе-таки визначити загальний член хоч однієї з послідовностей, що мають задані перші члени? Учням ніяких правил для цього можна не давати, але й важких вправ на визначення загального члена послідовності також їм не треба пропонувати.

Але вчителеві треба знати й загальний спосіб розв'язування таких вправ. Нехай, наприклад, вимагається визначити загальний член послідовності

6, 9, 14, 21, 30, 41,

Щоб розв'язати задачу, учень змушений добирати різні формули і випробовувати їх. Не виключено, що йому так і не вдасться знайти потрібну формулу. Вчитель може діяти цілеспрямованіше. Тут треба записати послідовність різниць суміжних членів даної послідовності, а потім другу послідовність різниць і т. д., поки не дістанемо послідовність різниць з однаковими членами. Пишемо: Як бачимо, всі члени

6 9 14 21 30 41

3 5 7 9 11

2 2 2 2

другої послідовності різниць однакові. Це свідчить про те, що загальний член послідовності (найпростіший) є многочленом другого степеня

Записуємо цей загальний член з невизначеними коефіцієнтами:

.U_n=an²+bn+c

Залишається визначити коефіцієнти а, Ь, с. Це можна зробити так. Оскільки, підставляючи в цю формулу замість п числа 1,2, 3, ми повинні дістати відповідно значення 6, 9, 14 (перші члени даної послідовності), то маємо систему

а+b+с=6,

4а + 2b+c= 9,

9a+3b+c=14,

Розв'язавши її, дістанемо

а = 1, 6 = 0, с = 5.

Отже, найпростіший загальний член даної послідовності

U_n=n²+5

Способи задання послідовностей

Тільки після того, як учні добре зрозуміють, що таке послідовність, її загальний член, можна розповісти їм про різні способи задання послідовностей. При цьому бажано підвести їх до функціонального трактування цього поняття.

- Згадаймо означення функції. Функцією називається! відповідність, при якій кожному елементові однієї множини відповідає один елемент другої множини.

А в числовій послідовності кожний член поставлений у відповідність його номеру - натуральному числу. Так, коли перший, другий, третій і т. д. члени послідовності дорівнюють 6, 9, 14, 21, 30, 41, ... , то це можна розглядати як відповідність:

1 2 3 4 5 6

6 9 14 21 30 41

Отже, нескінченну числову послідовність можна розглядати як функцію, задану на множині всіх натуральних чисел. Відомо, що функцію можна задати аналітично, таблично, графічно. Аналогічними способами можна задавати і послідовності.

Наприклад, ми можемо сказати: “послідовність, загальний член якої а_n=2n-1”.Цим самим ми задали послідовність. Такий спосіб задання послідовності за допомогою формули загального члена можна назвати аналітичним способом. Цю послідовність можна задати і з допомогою такої таблиці:

n	1	2	3	4	5	6	7	8	...
an	1	3	5	7	9	11	ІЗ	15	...

Правда, без верхнього рядка (значень аргументу п) тут можна обійтись, бо ці значення збігаються з порядковими номерами членів послідовності. Можна записати це простіше:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15

Нова програма вимагає ознайомити учнів також із заданням числових послідовностей за допомогою рекурентних формул, що дають можливість визначати будь-який член цієї послідовності через попередні її члени. Наприклад, рекурентна формула u_n=u_n-1+u_n-2 послідовність, в якої кожний член,починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх. Таких послідовностей є безліч, наприклад:

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29

1, -1, 0, -1, -1, -2, -3, ... .

Якщо ми, крім формули u_n=u_n-1+u_n-2 вкажемо і два перших члени послідовності, то цим самим буде визначено однозначно послідовність. Так, ця формула разом з додатковою умовою u₁ = 1, u₂ = 1 визначає відому послідовність Фібоначчі:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21

Рекурентна формула

u_n=u_n-1+2п

при u₁=3 визначає послідовність

З, 7, 13, 21, 31, 43, n²+n+1,

Рекурентна формула

u_n=u_n-1+2п при и₁= -1

визначає послідовність

-1, 3, 9, 17, 27, n² + n -3,

2. Методика вивчення арифметичної прогресії, її зміст, властивості, застосування

Часто пояснюють, що «арифметичною прогресією називається такий ряд чисел, в якому кожне число, починаючи з другого, дорівнює поперед ньому, до якого додано однакове стале для цього ряду число (додатне або від'ємне)» Це означення треба вважати застарілим, бо слово «ряд» тепер не є синонімом «послідовності»'. Краще дати таке означення: арифметичною про-гресією називається кожна числова послідовність, задана рекурентною формулою

а_n=а_n-1 +d,

де d - стале число. Це число називається різницею прогресії.

Можна зробити наголос і на функціональному трактуванні арифметичної прогресії, тоді краще починати пояснення так:

- Ми знаємо з означення числової послідовності, що це функція, задана на множині натуральних чисел. Але функції бувають лінійні, квадратні та інші. Зараз ми детально розглянемо лінійну функцію, задану на множині натуральних чисел.

Відомо, що лінійною називають функцію, задану рівністю

у = ах + b.

Якщо ж у цій формулі аргумент х пробігатиме тільки множину натуральних чисел, значення функції становитимуть арифметичну прогресію. Правда, аргумент функції, заданої на множині натуральних чисел, частіше позначають буквою п, а не х. Тому можна сказати і так: послідовність, задану формулою

y=an+b

де а і b - дані числа, а п - змінна, яка може набувати тільки натуральних значень, називається арифметичною прогресією. Наприклад, формула

у = Зп+ 2

визначає таку арифметичну прогресію:

5, 8, 11, 14, 17

Після цього можна ввести поняття різниці арифметичної прогресії, записати арифметичну прогресію у вигляді

а₁, а₁+d, , а₁+2d, а₁+3d,

звідки індуктивно дістали формулуїї загального члена:

a_n=а₁+(n-1)d

Але можна вивести її також з рекурентної формули а_n=а_n-1 +d. Для цього треба записати формулу при п = 2, 3,..., n і додати п - 1 рівностей:

а₂=а₁+d

а₃= а₂+2d

...

a_n-1= a_n-2+d

a_n= a_n-1+d

a_n=а₁+(n-1)d

Бажано дати учням і символічне позначення арифметичної прогресії , Нагадуємо, що кілька перших членів послідовності не визначають її однозначно. Тому, коли написано, наприклад,

3, 11, 19, 27, 35, 43

це ще не означає, що написано арифметичну прогресію. Якщо ж перед цією послідовністю поставити знак , то дістанемо цілком визначену послідовність.

Сума n-членів арифметичної прогресії

Формулу

S_n=(a₁+a_n) n/2

виводять однаково. Спочатку показують, що сума двох членів cкінченної прогресії, рівновіддалених від початку і кінця, дорівнює сумі першого і останнього членів. У 9 класі перед цим краще розглянути конкретний приклад.

- Нехай треба знайти суму членів такої скінченної арифметичної прогресії:

3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17.

Це можна зробити і послідовним додаванням. Проте краще згрупувати ці числа: перше з останнім, друге з передостаннім і т. д.

S=(3+17)+(5+15)+(7+13)+(9+11)=20 4=80

У цій арифметичній прогресії суми членів, рівновіддалених від початку і кінця, рівні між собою. Це і дало можливість спростити обчислення. Таку властивість має кожна арифметична прогресія.

Після цього можна навести і загальнІ міркування.

Розглянемо довільну арифметичну прогресію

а_1, а₂ a_k а_n-+1, a_n-1,a_n

в якої а_к k-й член від початку (k-довільне натуральне число, менше від n). Тоді k-й член від кінця буде а_n-k+1, Покажемо, що

a_к+а_n-к+1= а₁ + a_n

Справді:

a_к= а₁+(k-1)d, а_n-к+1= а₁+(n-k)d

Отже,

a_к+ а_n-к+1= а₁+(k-1)d+ а₁+(n-k)d= а₁+(( а₁+(n-1)d)= а₁ + a_n

Теорему доведено. Це доведення учням дається нелегко, тому в слабких класах можна замість нього провести міркування за індукцією.

- Запишемо п перших членів, довільної арифметичної прогресії

а₁, а₁+d, , а₁+2d, а₁+3d, а₁+(k-1)d+ а₁+(n-k)d, а₁+(n-1)d,

Звідси можна визначити формулу для знаходження суми n- членів арифметичної прогресії:

Отже, S_n=((a₁+a_n) n)/2

3. Методика вивчення геометричної прогресії, її зміст, властивості, застосування

Ввести поняття геометричної прогресії у 9 класі можна так:

Досі ми розглядали арифметичну прогресію, тобто числову послідовність, в якої різниця між кожним членом, крім першого, і попереднім однакова. А тепер розглянемо таку числову послідовність, в якої частка від ділення кожного члена, крім першого, на попередній однакова. Такі послідовності називають геометричними прогресіями.

Для ширшого кругозору можна навести приклади геометричних прогресій, ввести поняття знаменника прогресії і т. д. Означення можна дати таке: геометричною прогресією називається числова послідовність, яку можна задати рекурентною формулою

b_п= b_п-1/q,

де q - стале число.

Треба добитися, щоб учні вільно записували будь-яку геометричну прогресію у вигляді

b_1, b₁q_, b₁q²_, b₁q³_, ,b₁q^n-1,

Загальний член цієї прогресії можна дістати, міркуючи за індукцією або розписавши рекурентну формулу

b_п= b_п-1/q для п = 2, 3, ..., п

і помноживши знайдені формули:

b₂=_,b₁q

b₃=_,b₂q

...

b_n-1=b_n-2q

b_n=b₁q^n-1

Варто підкреслити, що геометричну прогресію, як і кожну числову послідовність, можна задати не лише рекурентною формулою і загальним членом, а й таблично і графічно.

Зробимо кілька зауважень про поділ геометричних прогресій на зростаючі, спадні й коливні. Не всі математики однаково трактують ці поняття

, -1/2,-1,-2,-4, -спадна а,

-8,-2, -1/2,-1/8, -зростаюча.

А в деяких посібниках сказано інакше: «Геометрична прогресія називається зростаючою, якщо | q\ > 1, і спадною, якщо |q\< 1». Це означення не можна вважати вдалим, бо, згідно, з ним, спадну послідовність -1/2.-1,-2,-4, послідовність доведеться називати зростаючою прогресією, а зростаючу послідовність -8,-2,-1/2, - спадною прогресією. Це, зрозуміло, незручно. Автори посібників] так трактують поняття зростаючих і спадних геометричних прогресій, напевно, для того, щоб пізніше можна було виправдати термін «нескінченно-спадна геометрична прогресія». Але замість нього краще вживати інший термія: «збіжна геометрична прогресія». Проте у основній школі окремо таких геометричних прогресій розглядати не треба. Отже, ми вважаємо, що учням краще пояснити так:

- Геометрична прогресія із знаменником q>1 -зростаюча, із знаменником 0 < q < 1 - спадна, якщо b₁ > 0, і навпаки, якщо b₁ < 0.

Іноді розглядають і прогресії із знаменником q=1, їх називають стаціонарними послідовностями.

Знаменник геометричної прогресії не може дорівнювати ну-лю. Наприклад, послідовність 3, 0, 0, 0, ... не є геометричною прогресією.

Суму перших п членів геометричної прогресії можна знайти за формулою:

S_n=b₁ (qⁿ-1)/ (q-1)

Під час вивчення прогресій учням бажано пропонувати розв'язувати багато задач і вправ. Для прикладу розв'яжемо задачу.

Використана література

1. Мальцева В.Д. Загальний член числової послідовності.//Математика-2004. №6. Лютий, ст.19- 21.

2. Шепель Н.В. Числові послідовності. Алгебра, 9 клас.// Математика 2000. №7 ст. 4-6//.

3. Слепкань З.І. ”Методика навчання математики.” 2000 р.

4. Бевз Г.П. Методика викладання математики. К.-1981 р.

Размещено на Allbest.ru

...