Полиномы Чебышева в вычислительной математике
Определение многочленов Чебышева, их краткая характеристика и особенности. Рассмотрение случая произвольного отрезка. Описание дифференциального уравнения многочленов и квадратурной формулы, сравнение их погрешностей. Общее понятие термина алгоритм.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 14.04.2014 |
| Размер файла | 291,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования и науки Украины
Сумской государственный университет
Кафедра информатики
Курсовая работа
на тему:“ Полиномы Чебышева в вычислительной математике”
Семененко Е.А.
Сумы, 2013г.
Содержание
- Введение
- 1. Определение многочленов чебышева
- 1.1 Многочлен чебышева на отрезке [-1, 1]
- 1.2 Случай произвольного отрезка
- 1.3 Дифференциальное уравнение многочленов чебышева
- 1.4 Квадратурная формула чебышева
- 1.5 Сравнение погрешностей рассматриваемых формул
- 2. Решение контрольного примера
- 3. Описание программы. Алгоритм
- 4. Выводы
- Список литературы
- 1. Введение
- Многочлены Чебышева Тп (х) являются одним из наиболее замечательных семейств многочленов. Они часто встречаются во многих областях математики, от теории аппроксимации до теории чисел и топологии трехмерных многообразий. Мы обсудим некоторые наиболее простые, но весьма важные свойства многочленов Чебышева.
1. Определение многочленов Чебышева
Многочлены Чебышева - две последовательности ортогональных многочленов Tn (x) и Un (x), n = {0,1,2…}, названные в честь Пафнутия Львовича Чебышева.
Многочлены Чебышева играют важную роль в теории приближений, поскольку корни многочленов Чебышева первого рода используются в качестве узлов в интерполяции алгебраическими многочленами.
Многочлен Чебышева первого рода - Tn (x) - характеризуется как многочлен степени n со старшим коэффициентом 2n ? 1, который меньше всего отклоняется от нуля на интервале [? 1,1]. Впервые были рассмотрены самим Чебышёвым. многочлен чебышева дифференциация алгоритм
Способы определения:
1. Рекурсивное определение
Многочлены Чебышева первого рода - Tn (x) - могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:
Многочлены Чебышева второго рода - Un (x) - могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:
2. Явные формулы
Многочлены Чебышева являются решениями уравнения Пелля:
в кольце многочленов с вещественными коэффициентами и удовлетворяют тождеству:
Из последнего тождества также следуют явные формулы:
3. Тригонометрическое определение.
Многочлены Чебышева первого рода могут быть также определены с помощью равенства:
1.1 Многочлен Чебышева на отрезке [-1, 1]
В ряде вопросов численного анализа, связанных с проблемой минимизации погрешности вычислительного алгоритма, нашли применение многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля.
Рассмотрим следующую задачу: среди всех многочленов степени n со старшим коэффициентом 1 найти такой многочлен Tn (х), для которого величина
является минимальной. Многочлен, обладающий этим свойством, называется многочленом, наименее уклоняющимся от нуля на отрезке [ - 1, 1] или многочленом Чебышева. Ниже будет показано, что функция
является многочленом Чебышева (см. графики в разделе "Приложения").
которая отличается от Тn (х) только постоянным множителем. Проводя преобразование
убеждаемся в том, что справедливо рекуррентное соотношение
Отсюда и из
по индукции легко доказать, что Pn (x) - многочлен степени n со старшим коэффициентом Следовательно, Tn (x) - многочлен степени n со старшим коэффициентом 1.
1.2 Случай произвольного отрезка
Иногда требуется найти многочлен, наименее уклоняющийся от нуля на заданном отрезке [a, b] среди всех многочленов степени n со старшим коэффициентом 1. Эта задача сводится к предыдущей с помощью замены
переводящий отрезок в отрезок . При такой замене многочлен Чебышева
преобразуется к виду
Следовательно, многочленом, наименее уклоняющимся от нуля на [a, b], среди всех многочленов степени n со старшим коэффициентом 1 является многочлен
Корни этого многочлена расположены в точках
а его максимальное отклонение от нуля равно
1.3 Дифференциальное уравнение многочленов Чебышева
Многочлены Чебышева возникают как решения некоторых типов дифференциальных уравнений и при разложении функций в ряды.
Многочлен является решением дифференциального уравнения
.
Уравнение называется уравнением Чебышева. Заменив аргумент по формуле , получим уравнение
1.4 Квадратурная формула Чебышева
Рассмотрим квадратурную формулу
(9)
где Bi - постоянные коэффициенты.
Чебышев предложил выбрать абсциссы ti таким образом, чтобы:
1) коэффициенты Bi были равны между собой;
2) квадратурная формула (9) являлась точной для всех полиномов степени n включительно.
Найдем коэффициенты Bi и узлы ti , полагая B1 = B2 = K =Bn = B. Возьмем функцию f (t) =1, будем иметь:
Следовательно, квадратурная формула Чебышева имеет вид
(10)
Подставляя эти функции в формулу (10), получим систему уравнений:
(11)
из которой могут быть определены неизвестные ti (i =1, 2,K, n). Ре-
шение системы (11) сводится к нахождению корней алгебраического
уравнения степени n. В табл. 2 приведены значения корней ti систе-
мы (11).
Рис. Функция y=f(x) на отрезке [a;b]
Чтобы применить квадратурную формулу Чебышева к интегралу
вида:
следует преобразовать его с помощью подстановки
переводящей отрезок a ? x ? b в отрезок ?1 ?t ?1. Применяя к пре-
образованному интегралу формулу Чебышева (10), будем иметь:
Оценка ошибки интерполяции полиномами, с использованием в качестве узлов интерполяции корней многочлена Чебышева:
, де .
1.5 Сравнение погрешностей рассматриваемых формул
К примеру вычислим интеграл
По формуле средних прямоугольников
(6)
Погрешность формулы трапеций оценивается числом
Iтрап=0.784981 (погрешность около 0,054).
По формуле Симпсона
Поскольку интегрирование с помощью квадратурной формул Чебышева относится к методам с наивысшей алгебраической степенью точности, то результат, полученное значение интеграла при расчете данной формулы, при n=5, равно Iкв.Чебыш=0.785352 (отсюда следует что погрешность составляет 0,000046).
Это находится в соответствии с данной выше оценкой погрешности и, кроме того, свидетельствует, что формула Симпсона значительно точнее формулы трапеций. Поэтому формулу Симпсона для приближенного вычисления определенных интегралов используют чаще, чем формулу трапеций.
2. Решение контрольного примера
Значение аргумента и функции соостветственно
|
i |
xi |
yi |
|
|
1 |
0,131489 |
0,131118 |
|
|
2 |
0,490985 |
0,471494 |
|
|
3 |
0,785 |
0,706825 |
|
|
4 |
0,509015 |
0,487317 |
|
|
5 |
0,868511 |
0,763367 |
x1= /4+/4*t1=/4+/4(-0,832498)=0,131489
x2= /4+/4*t2=/4+/4(-0,374341)=0,490985
x3= /4+/4*t3=/4+/4*0=0,785
x4=1- x2=1-0,490985 = 0,509015
x5=1- x1=1-0,131489=0,868511
y1=sin(x1) = sin(0,131489)=0,131118
y2=sin(x2) = sin(0,490985)=0,471494
y3=sin(x3) = sin(0,785)=0,706825
y4=sin(x4) = sin(0,509015)=0,487317
y5=sin(x5) = sin(0,868511)=0,763367
I = /10(0,131118+0,471494+0,706825+0,487317+0,763367) =
=/10*2,560121=0,8038779
Процедура VVOD - заполняет массив, содержащий в себе аргументы xi
Процедура FORM - используя массив, содержащий аргументы xi заполняет массив yi
Процедура CHEB - используя массивы xi и yi, высчитывает по квадратурной формуле Чебышева приближенное значение интеграла.
Процедура TABL - это подпрограмма, осуществляющая вывод таблицы узлов (аргумент - функция)
При запуске программы нужно ввести границы интегрирования.
После ввода границ интегрирования используется процедура VVOD, а затем вычисляется и выводиться на экран шаг табулирования функции h.
После этого используем процедуры FORM и CHEB .
Получив результат, выводим таблицу ( процедура TABL ) и интеграл.
4. Выводы
Таким образом, очевидно, что при вычислении определенных интегралов с помощью квадратурных формул, а в частности по формуле Чебышева не дает нам точного значения, а только приближенное.
Хотя численные методы и не дают очень точного значения интеграла, но они очень важны, так как не всегда можно решить задачу интегрирования аналитическим способом.
Список литературы
1. Ракитин Т.А., Первушин В.А. “Практическое руководство по численным методам с приложением программ на языке Basic“.
2. Л.В.Канторович, В.И.Крылов «Приближенные методы высшего анализа». Л., Физматгиз, 1962г. 708стр. с илл. Редактор Г. П. Акилов.
3. Б.П.Демидович, И.А.Марон «Основы вычислительной математики» М.,1966г. 664 стр. о илл. Редакторы М.М.Горячая и В.М.Гринберг.
4. Копченова Н.В., Марон И.А. «Вычислительная математика в примерах и задачах». Учебное пособие. 2-е изд., стер. - СПб. 2008г. 368с. - (Учебники для вузов. Специальная литература).
5. Зуев Е.А. «Язык программирования Turbo Pascal 6.0, 7.0» М.: Веста, Радио и связь, 1993г. 384с.:ил.
6. Н.Ф.Добрынина, Л.Н.Домнин «Квадратурные и кубатурные формулы». Методические указания к выполнению вычислительных лабораторных работ. 2007г. 43 стр. Пензенский государственный университет.
7. П.Л. Чебышев "Избранные труды" том 2, издательство академии наук СССР, Москва 1955;
8. Чебышев П.Л. "Научное наследие П.Л. Чебышева. Математика." Выпуск 1 (1945).
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Основные свойства многочленов Чебышева - двух последовательностей ортогональных многочленов, их роль в теории приближений. Способы определения, явные формулы. Многочлен Чебышева на отрезке. Случай произвольного отрезка. Разработка программной реализации.
курсовая работа [391,8 K], добавлен 19.12.2012Основы теории многочленов от одной переменной. Определение и простейшие свойства многочленов Чебышева. Основные теоремы о многочленах Чебышева. Формальная производная многочлена. Рациональные корни нормированного многочлена с целыми коэффициентами.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 04.07.2015Определение и общие свойства ортогональных функций (многочленов). Рекуррентная формула и формула Кристоффеля-Дарбу. Элементарные свойства нулей, их плотность. Сущность первого и второго рода многочленов Чебышева. Нули многочленов и отклонение от них.
курсовая работа [2,5 M], добавлен 30.06.2011Математический анализ и операционное исчисление. Обращение преобразования с помощью многочленов, ортогональных на промежутке. Интегральное преобразования Лапласа с помощью смещенных многочленов Лежандра и многочленов Чебышева первого рода.
реферат [503,6 K], добавлен 10.02.2011Основные формулы и алгебраические свойства. Применение многочленов Чебышева-Эрмита в квантовой механике. Определение потенциальной энергии. Ортонормированный многочлен Чебышева-Эрмита. Уравнение Шрёдингера в одномерном случае. Коэффициенты разложения.
курсовая работа [459,1 K], добавлен 21.11.2014Роль многочленов Чебышева в теории приближений и их использование в качестве узлов при интерполяции алгебраическими многочленами. Преимущества разложения функции по полиномам Чебышева. Разработка программы численного расчета решения подобной задачи.
контрольная работа [184,2 K], добавлен 13.05.2014Рекурсивное, тригонометрическое определение и свойства многочленов Чебышёва. Сущность теоремы Е.И. Золотарёва-А.Н. Коркина. Применение ортогональных полиномов Чебышева при нахождении кривых распределения вероятностей. Обобщение метода Грамма-Шарлье.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 11.01.2011Утверждение великого французского математика Пьера Ферма, получившее название "Великая теорема Ферма". Элементарные алгебраические преобразования многочленов. Коэффициенты полиномов Чебышева и формулы Абеля. Система наименьших вычетов по модулю K.
книга [150,6 K], добавлен 07.01.2011Преобразование коэффициентов полиномов Чебышева. Функции, применяемые в численном анализе. Интерполяция многочленами, метод аппроксимации - сплайн-аппроксимация, ее отличия от полиномиальной аппроксимации Лагранжем и Ньютоном. Метод наименьших квадратов.
реферат [21,5 K], добавлен 27.01.2011История квадратных уравнений: уравнения в Древнем Вавилоне и Индии. Формулы четного коэффициента при х. Квадратные уравнения частного характера. Теорема Виета для многочленов высших степеней. Исследование биквадратных уравнений. Сущность формулы Кордано.
реферат [75,8 K], добавлен 09.05.2009Теория высшей алгебры в решении задач элементарной математики. Программы для нахождения частного и остатка при делении многочленов, наибольшего общего делителя двух многочленов, производной многочлена; разложения многочленов на кратные множители.
дипломная работа [462,8 K], добавлен 09.01.2009Нахождение интерполяционных многочленов Лагранжа и Ньютона, проходящих через четыре точки заданной функции, сравнение их степенных представлений. Решение нелинейного дифференциального уравнения методом Эйлера. Решение систем алгебраических уравнений.
задача [226,9 K], добавлен 21.06.2009Уравнения с разделяющими переменными. Частное решение линейного дифференциального уравнения. Оценка вероятностей с помощью неравенства Чебышева. Нахождение плотности нормального распределения. Построение гистограммы и выборочной функции распределения.
контрольная работа [387,4 K], добавлен 09.12.2011Проверка непрерывности заданных функций. Интегрирование заданного уравнения и выполние преобразования с ним. Интегрирование однородного дифференциального уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного уравнения.
контрольная работа [65,3 K], добавлен 15.12.2010Построение квадратурной формулы максимальной степени точности. Определение алгебраической степени точности указанной квадратурной формулы. Сравнительный анализ квадратурных формул средних прямоугольников и трапеций на примере вычисления интеграла.
лабораторная работа [195,9 K], добавлен 21.12.2015Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.
курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015Понятие многочленов и их свойства. Сущность метода неопределённых коэффициентов. Разложения многочлена на множители. Максимальное число корней многочлена над областью целостности. Методические рекомендации по изучению темы "Многочлены" в школьном курсе.
дипломная работа [733,7 K], добавлен 20.07.2011Понятие многочлена и его степени. Многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю. Многочлены от одной переменной. Равенство и значение многочленов. Операции над многочленами, основные понятия схемы Горнера. Кратные и рациональные корни многочлена.
курсовая работа [90,2 K], добавлен 15.06.2010Биографические данные Пафнутия Львовича Чебышева. Детские годы ученого, получение образования. Переезд в Петербург и защита в Петербургском университете диссертации. Наибольшее число работ Чебышева посвящено математическому анализу. Теория механизмов.
реферат [17,8 K], добавлен 22.12.2009Многочлены Чебышева. Многочлены равномерных приближений. Экономизация степенных рядов. Свойства многочлена Чебышева. Интерполяция по Чебышевским узлам. Многочлены равномерных приближений. Теорема Вейерштрасса. Кусочно-квадратичная аппроксимация.
курс лекций [175,3 K], добавлен 06.03.2009
