Размещено на http:www.allbest.ru/

Зміст

Вступ

Розділ 1. Інтеграл Рімана

1.1 Поняття інтеграла Рімана та необхідна умова його існування

1.2 Суми Дарбу та їх властивості

1.3 Критерій інтегровності функції за Ріманом. Класи інтегровних функцій

1.4 Властивості інтеграла Рімана

Розділ 2. Узагальнення поняття інтеграла. Інтеграл Стілтьєса

2.1 Поняття інтеграла Стілтьєса. Суми Дарбу-Стілтьєса та їх властивості

2.2 Критерій інтегровності. Класи інтегровних функцій

2.3 Властивості інтеграла Стілтьєса

2.4 Граничний перехід під знаком інтеграла Стілтьєса

Висновки

Список використаних джерел



Вступ

Актуальність дослідження. Поняття інтеграла пронизує всю сучасну математику. І не тільки це - в науках фізичного і технічного циклів знаходять застосування різні варіації інтеграла. Варто розкрити будь-яку книгу, що відноситься до точних наук, як зустрінеться знак інтеграла і пропозиції, включаючи слово «інтеграл». Більш того, останнім часом увійшли до ужитку такі терміни, як, наприклад, «інтегральна схема», «економічна інтеграція», які прямого відношення до інтеграла не мають, але смислове навантаження зберігають і знаходять широке розповсюдження в літературі і розмовній мові.

Початки інтегральних методів простежуються в працях Архімеда, що користувався ними при вирішенні багатьох геометричних завдань і доказі теорем. У книгах по історії математики відповідні розділи так і називаються - «Інтегральні методи Архімеда». І в цьому немає ніякого перебільшення, хоча відкриття інтегрального числення, час, коли вперше било вимовлено слово «інтеграл», відокремлюють від робіт Архімеда величезний часовий інтервал в 2000 років. інтеграл Стілтьєс Ріман властивість

Вдосконалення методів Архімеда і створення інтегрального числення, його розвиток здійснювалися в роботах багатьох відомих математиків.

Одним з цих математиків був Нідерландський математик Томас Стілтьєс. Його роботи над інтегралом Рімана значно розширили множину інтегровних функцій. Інтеграл Стілтьєса має вигляд:

і у випадку g(x)=x інтеграл Стілтьєса збігається з інтегралом Рімана.

Об'єктом досліджень поняття визначеного інтеграла, а предметом - процес узагальнення Стілтьєсом інтеграла Рімана.

Метою даної роботи є вивчення інтеграла Стілтьєса як одного із узагальнень інтеграла Рімана.

Сформулюємо основні завдання роботи.

1. Розглянути поняття інтеграла Рімана.

2. Розглянути поняття сум Дарбу та їх властивості.

3. Розглянути критерій інтегровності та класи інтегровних за Ріманом функцій.

4. Визначити основні властивості інтеграла Рімана.

5. Розглянути інтеграл Стілтьєса та його відмінності від інтеграла Рімана.

6. Визначити критерій інтегровності за Стілтьєсом.

7. Розглянути класи інтегровних за Стілтьєсом функцій та їх відмінність від класів інтегровності за Ріманом.

8. Розглянути властивості інтеграла Стілтьєса.

9. Розглянути питання про граничний перехід під знаком інтеграла Стілтьєса.

Структура роботи. Курсова робота складається зі вступу, двох розділів, висновків та списку використаних джерел.

У першому розділі розкрите питання про інтеграл Рімана, його основні властивості, класи інтегровних функцій, критерій інтегровності та про суми Дарбу, у другому - розкрите питання про інтеграл Стілтьєса, його відмінності від інтеграла Рімана та нововведення.

9.1. 

Розділ 1. Інтеграл Рімана

1.1 Поняття інтеграла Рімана та необхідна умова його існування

Нехай функцію f(x) означено на сегменті [a,b]. Поділимо сегмент точками а=х₁<х₂<…х_n<х_n+1=b на n частин; цей поділ позначимо ?. У кожному сегменті [x_k, x_k+1] вибираємо точку о_kі утворюємо суму

де ?x= x_k+1- x_k. Ця сума називається інтегральною сумою, або Рімановою сумою, функції f(x) відносно поділу ?.

Звичайне означення інтеграла Рімана функції f(x) на сегменті [a,b] таке:

при умові, що ця границя існує і не залежить ні від вибору поділів ?, ні від вибору точок о_k. У цьому випадку функція f(x) називається інтегровною, або R-інтегровною.

Фактично Ріманова сума S_? є багатозначною функцією (навіть нескінечнозначною) від x_k, всі можливі значення якої при даному x_k,можна дістати, обчислюючи суму (1.1) для різних поділів ? з цим x_kі різних виборів точок о_k?[x_k, x_k+1].

Якщо існує скінченна границя цієї багатозначної функції при ?x_k, то її називають інтегралом Рімана.

Отже, інтеграл Рімана є таке число І=що для кожного е>0 існує таке д>0, що коли x_k< д, то |І- S_?|< е для всіх поділів ? при будь-якому виборі точок о_k?[x_k, x_k+1].

Наступна теорема дає необхідну умову інтегровності (за Ріманом) функції f(x) на відрізку [a,b] або, що те саме, необхідну умову існування визначеного інтеграла (інтеграла Рімана).

Теорема 1.1 (необхідна умова існування інтеграла Рімана)

Якщо функція f(x) інтегровна (за Ріманом) на відрізку [a,b], то вона обмежена на цьому відрізку. [9]

1.2 Суми Дарбу та їх властивості

Нехай зафіксовано деякий поділ ? сегмента [a,b]. Позначимо:

M_k- m_k=щ_k

і розглянемо вирази:

де

точна нижня (верхня) межа множини інтегральних сум для даного поділу ? при всіх можливих виборах точок о_k?[x_k, x_k+1]. Суми S_? і _? називаються відповідно нижньою і верхньою сумами Дарбу функції f(x) відносно поділу ?. На відміну від інтегральних сум суми Дарбу S_? і _? однозначно визначаються для кожного поділу ?.

Зафіксуємо обмежену на сегменті [a,b] функцію f(x) і розглянемо основні властивості сум Дарбу.

1. За означенням для кожного поділу нижня сума Дарбу є точною межею множини ріманових сум, а верхня сума Дарбу є точною верхньою межею множини ріманових сум. Звідси для даного поділу ?

2. Якщо до точок даного поділу приєднати ще одну точку, то нижня сума Дарбу не зменшиться, а верхня не збільшиться.

Справді, нехай поділ ?ґ виходить з ? приєднанням до точок поділу точки хґ, яка міститься між точками . Тоді

решта членів цих сум рівні між собою. Але

Тому , тобто . Аналогічно можна сказати, що.

Наслідок. Якщо до точок даного поділу приєднати скінченну кількість нових точок, то нижня сума Дарбу не зменшиться, а верхня не збільшиться.

3. Кожна нижня сума Дарбу не більша від кожної верхньої суми, тобто якими б не були поділи ?ґ і ?ґґ, .

Справді, якщо ? - поділ, утворений точками поділів ?ґ і ?ґґ, то за властивостями 1 і 2 сум Дарбу

Наслідок 1.1 Множина нижніх сум Дарбу обмежена зверху (будь-якою верхньою сумою), а множина верхніх сум Дарбу обмежена знизу (будь-якою нижньою сумою).

Звідси випливає існування точних меж:

які називаються відповідно нижнім і верхнім інтегралом Дарбу функції f(x) на сегменті [a,b] і позначають часто так:

При цьому і, які б не були поділи ?ґ і ?ґґ,

1.3 Критерій інтегровності функції за Ріманом. Класи інтегровних функцій

Теорема 1.2 Для того щоб функція f(x), визначена на відрізку [a,b], була (за Ріманом) на цьому відрізку необхідно і достатньо, щоб вона була обмежена на відрізку [a,b] і щоб її нижній інтеграл Дарбу на відрізку [a,b] дорівнював її верхньому інтегралу Дарбу на цьому проміжку.

Цю теорему можна сформулювати і по іншому:

Теорема 1.3 Для того щоб функція f(x), визначена на відрізку [a,b], була інтегровною (за Ріманом) на цьому відрізку необхідно і достатньо, щоб вона була обмежена на цьому відрізку і щоб

де - коливання функції f(x) на відрізку [x_k, x_k+1] (k=0,1,2…n-1).

Класи інтегровних функцій

Розглянемо основні класи R - інтегровних функцій і подамо умову R - інтегрованості.

Теорема 1.4 Неперервна на сегменті [a,b] функція f(x) інтегровна на [a,b].

Доведення. За властивостями неперервної функції f(x) обмежена і рівномірно неперервна на [a,b]. Візьмемо довільне і знайдемо таке , що коливання функціїf(x) на сегменті [x_k, x_k+1] буде менше від приx_k+1-x_k.

Тоді для кожного поділу ? з

За умовою R-інтегровності функція f(x) є інтегровною.

Узагальненням теореми (1.4) є наступна.

Теорема 1.5 Якщо обмежена на сегменті [a,b] функція f(x) має на цьому сегменті скінченну кількість точок розриву, то вона інтегровна на [a,b].

Прикладами інтегровних функцій, що можуть мати нескінченну множину точок розриву є монотонні функції.

Теорема 1.6 Монотонна на сегменті [a,b] функція f(x) інтегровна на цьому сегменті.

Доведення. Нехай, наприклад, функція f(x) не спадна на сегменті [a,b] (випадок не зростаючої функції можна розглянути аналогічно). Зазначимо, по-перше, що f(x) обмежена на [a,b], причому для всіх x. Далі, =f(x_k+1)-f(x_k) для кожного k. Нехай - довільне число. Для кожного поділу ? з дістанемо:

За умовою R-інтегровностіf(x)інтегровна.

Теорема 1.7 Якщо f(x) та g(x) - інтегровні на сегменті [a,b] функції, то функції |f(x)|, f(x) g(x), f(x) * g(x) також інтегровні на цьому сегменті.

За умовою R - інтегрованості з інтегрованості функцій f(x) та g(x) випливає інтегрованість їх добутку.

Теорема 1.8 Функція f(x) з обмеженою змінною на сегменті [a,b] інтегровна на цьому сегменті.

Вище було розглянуто деякі типи інтегровних функцій. Повну характеристику класу інтегровних функцій дає така теорема.

Теорема 1.9 (Теорема Лебега) Для R - інтегрованості обмеженої функції f(x) на сегменті [a,b] необхідно і достатньо, щоб Лебегова міра довжини D точок розриву функції f(x) на сегменті [a,b] дорівнювала нулеві.

Доведення.

де - множина точок, в яких коливання функції f(x) не менше ніж . Умова мD=0 еквівалентна умові =0 для всіх n, бо яке б не було n за властивостями міри Лебега

Вимірність множин випливає з того, що вони замкнені, а отже і множина D вимірна також.

Попередні теореми про інтегрованість неперервних функцій, функцій з скінченною кількістю точок розриву, монотонних функцій і функцій з обмеженою змінною випливають безпосередньо з теореми Лебега. [3]

1.4 Властивості інтеграла Рімана

1.

2.

3. Якщо f(x) - інтегровна функція на відрізку [a; b] і с -стала, то на цьому відрізку інтегровна функція сf(x), причому

тобто сталий множник можна виносити за знак визначеного інтеграла.

4. Якщо f(x) і(x) - інтегровні функції на відрізку [a; b], то на цьому відрізку інтегровні функції f(x)(x), причому

5. Якщо f(x) - інтегровна функція на відрізку [a; b] і f(x) для х[a; b], то

6. Якщо f(x) і(x) - інтегровні функції на відрізку [a; b] і f(x) (x)для х[a; b], то

7. Якщо f(x) - інтегровна функція на відрізку [a; b], то на цьому відрізку інтегровна і функція , причому



Оскільки функція f(x) інтегровна на відрізку [a; b], то вона на цьому відрізку обмежена: .

8.(Адитивна властивість)

Теорема 1.10 Якщо функція f(x) інтегровна на відрізку [a; b] і а то ця функція інтегровна і на відрізках [a; c] i [c; d], причому

Якщо функція f(x)інтегровна на відрізках [a; c] i [c; d], то ця функція інтегровна на відрізку [a; b], причому правильна рівність (1.3).

9.(Інтегровність добутку)

Лема 1.1 Для функції f(x), обмеженою на множині Е, правильна рівність

Теорема 1.11 Якщо функції f(x) і(x) інтегровні на відрізку [a; b], то на цьому відрізку інтегровні і функція f(x) (x).

10.(Теорема про середнє значення)

Теорема 1.12 Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a; b], то існує точка с(а; b) така, що

Розділ 2. Узагальнення поняття інтеграла. Інтеграл Стілтьєса

2.1 Поняття інтеграла Стілтьєса. Суми Дарбу-Стілтьєса та їх властивості

Інтеграл Стілтьєса являється безпосереднім узагальненням звичайного визначеного інтеграла Рімана. Визначається він наступним чином.

Нехай на проміжку [a,b] задані дві обмежені функції f(x) і g(x). Поділимо точками

а=x₀<х₁<х₂<…х_n=b (2.1)

сегмент [a,b] на n частин і позначимо л=max?x_i. Вибравши в кожній із частин [x_і, x_і+1] (і=0,1,…,n-1) точку о_і обчислимо значення (о_і) функції f(x) і помножимо її на відповідний проміжку [x_і, x_і+1] приріст функції g(x)

? g(x_і)= g(x_і+1) - g(x_і).

Нарешті складемо суму всіх таких рівнянь:

Ця сума носить назву інтегральної суми Стілтьєса.

Кінцева границя суми Стілтьєса при прямуванні л=max?x_i до нуля називається інтегралом Стілтьєса функції f(x) по функції g(x) і позначається символом:



Для того щоб очевидніше підкреслити, що інтеграл розглядається в розумінні Стілтьєса використовують позначення:

Границя тут розуміється в тому ж розумінні, що і у випадку звичайного визначеного інтеграла. Точніше говорячи, число І називається інтегралом Стілтьєса, якщо для любого числа е>0 існує таке число д>0, що якщо проміжок [a,b] розбитий на частини так, що л>д, то виконується нерівність

як би ми не вибирали точки о_і на відповідних проміжках.

При існуванні інтеграла (2.3) говорять також, що функція f(x) на проміжку [a,b] інтегровна по функції g(x).

Як видно з попередніх записів, що єдина, але вагома відмінність інтеграла Стілтьєса від інтеграла Рімана полягає в тому, що (о_і) домножується не на приріст ?x_i незалежної змінної, а на приріст ?g(x_i) другої функції. Таким чином, інтеграл Рімана є частинним випадком інтеграла Стілтьєса, коли в якості функції g(x) взята сама незалежна змінна x:

g(x)=x.

Встановимо загальні умови існування інтеграла Стілтьєса, але обмежимося припущенням, що функція g(x) монотонно зростає.

Звідси слідує, що при a<b тепер всі ?g(x_i)>0, на подобі того, як раніше було ? x_i>0. Тепер заміняючи ? x_iна ?g(x_i) отримаємо інтеграл Стілтьєса і можемо утворити суми Дарбу:

Де і означають верхню і нижню точні границі функції f(x) в і-му проміжку [x_і, x_і+1]. Ці суми ми будемо називати нижньою і верхньою сумами Дарбу-Стілтьєса.

Насамперед ясно, що (при одному і тому ж розбитті)

причому і служать точними границями для Стілтьєсових сум .

Властивості сум Дарбу-Стілтьєса.

1. Якщо до уже наявних точок поділу добавити нові точки, то нижня сума Дарбу-Стілтьєса через це може лише зрости, а верхня сума - зменшитися.

2. Кожна нижня сума Дарбу-Стілтьєса не перевищує кожної верхньої суми.

Якщо ввести нижній і верхній інтеграли Дарбу-Стілтьєса :

то виявляється, що



2.2 Критерій інтегровності. Класи інтегровних функцій

За допомогою сум Дарбу-Стілтьєса легко установлюється для розглянутого випадку основний критерій існування інтеграла Стілтьєса:

Теорема 2.1 Для існування інтеграла Стілтьєса необхідно і достатньо, щоб було

або

якщо під розуміти коливання M_i - m_i функції f(x) в і-му проміжку [x_і, x_і+1].

Визначимо класи інтегровних за Стілтьєсом функцій.

Теорема 2.2 Якщо функція f(x) неперервна, а функція g(x) має обмежену зміну , то інтеграл Стілтьєса

існує.

Доведення. Спочатку припустимо, що g(x) монотонно зростає. По будь-якому е>0, зважаючи на неперервність функції f(x), знайдеться таке д>0, що в будь-якому проміжку з довжиною, меншою д, зміна f(x) буде меншою ніж



Нехай тепер проміжок [a,b] випадково розбитий на частини так, що л=max?x_i<д. Тоді всі щ_і< і

звідки і випливає виконання умови (4), а отже і існування інтеграла.

В загальному випадку, якщо функціяg(x) має обмежену зміну, то вона може бути представлена у вигляді двох обмежених зростаючих функцій:

g(x)= g₁(x)- g₂(x). Через це змінюється і сума Стілтьєса, яка відповідає функції g(x):

Кожна з сум при лпрямує до скінченної границі, так само це справедливо і відносно суми, що і вимагалось довести.

Теорема 2.3 Якщо функція f(x)інтегровна на [a,b] в розумінні Рімана, а g(x) задовольняє умову Ліпшиця:

(2.6)

Доведення Для того щоб знову мати справу застосуємо встановлені вище критерії, припустимо функцію g(x) не тільки задовольняючою умову (2.6), але і монотонно зростаючою.

Зважаючи на (2.6) очевидно, що ?g(x₁)L?x₁, так що

Але остання сума при л0 і сама прямує до нуля у зв'язку з інтегрованістю функції f(x), а тоді прямує до нуля і перша сума, що доводить існування інтеграла (2.5).

В загальному випадку функції g(x), задовольняючої умові Ліпшиця (2.6), представимо її в вигляді рівності:

Функція = Lx, очевидно, задовольняє умову Ліпшиця і в той же час монотонно зростає. Теж саме справедливо і для функції=Lx-g(x), так як, через умову Ліпшиця (2.6) , при

Теорема 2.4 Якщо функція f(x) інтегровна в розумінні Рімана, а функція може бути представлена у вигляді інтеграла зі змінною верхньою межею:



де абсолютно інтегровна на проміжку [a,b], то інтеграл (2.5) існує.

Доведення. Нехай , так що монотонно зростає. Якщо і обмежена : | маємо

таким чином, у цьому випадку задовольняє умові Ліпшиця, а інтеграл існує у зв'язку з 2-м класом існування інтеграла (попередній розділ).

Припустимо тепер, що в невласному розумінні. Обмежимося випадком вибору однієї особливої точки, наприклад b. Перш за все, по випадково взятому е>0 виберемо Ю>0 так, щоб було:

де - загальне коливання функції f(x) в розглянутому проміжку.

Розіб'ємо проміжок [a,b] випадково на частини і складемо суму

Вона розкладається на дві суми яких перша відповідає проміжкам, які цілком містяться в проміжку [a,b-], інша - іншим проміжкам. Остання, найбільш імовірно, міститься в проміжку [b -], лише якщо

л=max x_i<; тоді в силу (2.8),

З іншої сторони, так як в проміжку [a,b -] функція , то по доказаному при достатньо малому л і сума стане менше , звідси слідує (4), що і потрібно було довести.

В загальному випадку, коли функція абсолютно на проміжку [a,b], ми розглянемо функції

Очевидно що невід'ємні і інтегровні в названому проміжку. Так як

то питання зводиться до уже розглянутого випадку.

Зауваження. Нехай функція g(x) неперервна на проміжку [a,b] і має, виключаючи лише скінченну кількість точок, похідну g (x), причому ця похідна від a до b, тоді має місце формула типу:

Якщо g (x) абсолютно інтегровна, то до функції g(x) повністю прикладаємо викладене в цьому розділі.

Як видно із попередніх записів, то Стілтьєс значно розширив класи інтегровних функцій. Самою головною відмінністю Інтеграла Стілтьєса від інтеграла Рімана є те, що він домножується не приріст змінної , а на приріст деякої функції . Через це значно розширюються класи інтегровних функцій, адже умови накладаються не лише на функцію f(x), а й на функцію g(x). У випадку, коли функція g(x) інтегровна на проміжку [a,b], або задовольняє умову Ліпшиця інтеграл Стілтьєса існує. [8]

2.3 Властивості інтеграла Стілтьєса

Із визначення інтеграла Стілтьєса безпосередньо випливають наступні його властивості:

При цьому у випадках 2, 3, 4 із існування інтегралів у правій частині випливає існування інтеграла в лівій частині.



Якщо a<c<b то всі три інтеграли існують.

Для доведення цієї формули достатньо лише включити точку с в число точок поділу проміжку [a,b] при складенні суми Стілтьєса для інтеграла

Якщо порівняти властивості інтеграла Рімана і інтеграла Стілтьєса, то виявляється, що властивості першого виконуються і для другого. В інтегралі Стілтьєса з'являються нові властивості, які пов'язані із приростом функції , проте ця функція має ті самі властивості, що і функція f(x). [8]

2.4 Граничний перехід під знаком інтеграла Стілтьєса

Теорема 2.5 Нехай функції 1, 2, 3…) неперервні на проміжку [a,b] і при рівномірно прямують до граничної функції

а g(x) - функція з обмеженою зміною. Тоді

Доведення. По заданому знайдеться таке N, що при nвиконуватиметься для всіх x

Тоді для n

що і доводить теорему.

Теорема 2.6 Нехай тепер функція f(x) неперервна на проміжку [a,b], а функції (n=1,2,3….) - всі з обмеженою зміною в цьому проміжку. Якщо повні зміни цих функцій в їх сукупності обмежені:

іпри прямують до граничної функції

Доведення. Насамперед переконаємося в тому, що гранична функція g(x) сама також буде мати обмежену зміну. Розклавши проміжок [a,b] випадковим чином на частини точками

будемо мати (при будь-якому n)



Переходячи тут до границі при , отримаємо

звідки і

Складемо суми Стілтьєса

Якщо припустити, що проміжок [a,b] при цьому розкладений на настільки малі частини, що коливання функції f(x) в кожній із них буде уже менше ніж навмання наперед взяте число , то при всіх n

З іншої сторони, якщо розбиття, вибране при даній умові, фіксувати, то, очевидно, при , так що знайдеться таке N, що для буде



Тоді для тих самих значень n будемо мати, в зв'язку з виконанням (2.9) і (2.10),

звідки, зважаючи на випадкове , і виходить необхідний висновок. [8]



Висновки

В курсовій роботі проведено вивчення інтеграла Стілтьєса як одного із узагальнень інтеграла Рімана.

Розглянуто і розкрито всі завдання, які були поставлені перед нами.

1. Розглянуто поняття інтеграла Рімана.

2. Розглянуто поняття сум Дарбу, їх властивості.

3. Розглянуто критерій інтегровності функцій за Ріманом.

4. Визначено класи інтегровних функцій за Ріманом.

5. Визначено основні властивості інтеграла Рімана.

6. Розглянуто інтеграл Стілтьєса та його відмінності від інтеграла Рімана.

7. Визначено критерій інтегровності за Стілтьєсом.

8. Розглянуто класи інтегровних за Стілтьєсом функцій, та їх відмінність від класів інтегровності за Ріманом.

9. Розглянуто властивості інтеграла Стілтьєса.

10. Розглянуто питання про граничний перехід під знаком інтеграла Стілтьєса.

В ході досліджень було виявлено, що відмінність інтегралів Рімана і Стілтьєса в тому, що перший диференціюється по змінній x, а другий по функції g(x), а отже у випадку g(x)=x інтеграл Рімана є частковим випадком інтеграла Стілтьєса.

Встановлено, що суми Дарбу-Стілтьєса вводяться аналогічно до сум Дарбу, які використовуються під час розгляду інтеграла Стілтьєса і означають суми верхніх і нижніх меж функції f(x).

Під час проведених досліджень було виявлено, що Томас Стілтьєс значно розширив класи інтегровних функцій, цього було досягнуто за рахунок зміни приросту змінної х на приріст деякої функції g(x), проте ця функція повинна відповідати одному з класів інтегровних функцій за Стілтьєсом, інакше інтеграл не існуватиме.

В ході роботи над граничним переходом з'ясовано, що границі

дорівнюють



Список використаних джерел

1. Банах С.С. Курс функціонального аналізу/С.С. Банах. - 1-е изд., - К.:Державне учбово-педагогічне видавництво «Радянська школа», 1948.-216с.

2. Давидов М. О. Курс математичного аналізу/ М.О Давидов. - ,2-е видання, частина 3,перероблене і доповнене - К.:«Вища школа». 1992.-58 с.

3. Давидов М. О. Курс математичного аналізу/ М.О Давидов. - ,2-е видання,частина 1, перероблене і доповнене, - К.:«Вища школа». 1990.-198 с.

4. Колмогоров А.М., Фомін С.В. Елементи теорії функцій і функціонального аналізу/ А.М. Колмогоров, С.В. Фомін. - К.: Издательское обґединение «Вища школа», 1974.-456 с.

5. макаров И.П. Теория функцій действительного переменного/ И.П. Макаров. - , 2-е изд., - М.:Высшая школа, 1962. -168с.

6. Натансон І.П. Теория функцій вещественой переменной/ И.П. Натансон. - М.: Издательство «Наука», 1974.-480 с.

7. Никольский С. М. Курс матиматического анализа/ С.М. Никольский.-том І четверте видання, перероблене і доповнене - М.: «наука» головна редакція фізико-математичної літератури, 1990.-414 с.

8. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и інтегрального исчисления/ Г.М. Фихтенгольц.- том 3, видання третє, стереотипне - М.: Государственое издательство физико-математической литературы, 1963.- 656с.

9. Фішман І.М. Основи теорії дійсної змінної/ І.М. Фішман. - К.: видавництво «Радянська школа», 1963.-226 с.

Размещено на Allbest.ru

...