Асимптотичні методи розв'язань спектральних та крайових задач в областях із сингулярно збуреними границями

В Підрозділі 3.4 з'єднання складається з області 0 та N тонких стержнів

G = G, G= {x: \, | x1 - (j+1/2) | < h/2 , x2 ( - f( (j+1/2)), 0]},

які мають різну довжину f( (j+1/2) ); функція f C1([0,a]), f >0; = a/N. Через = позначимо об'єднання вертикальних границь тонких стержнів; через Q - об'єднання нижніх основ тонких стержнів. В з'єднанні розглянемо задачу Стєклова

-Dx u(x)= 0, x ; u(x) = 0, x {x : x2 0};

u(x) = k0 u(,x), x ; u(,x) = 0, x Q.(14)

Тут k0 - додатна константа, - спектральний параметр.

Принциповою відмінністю задачі (14) від попередніх задач Неймана та Фур'є є різна довжина тонких стержнів. Внаслідок цього істотній спектр усередненої задачі має більш складну структуру, а саме

З рівності (15) випливає існування єдиного числа p N такого, що

R+ \ ess = Im,

де Im = (2 m2 h / 2 k0 f, 2 (m+1)2 h / 2 k0 f)

Якщо Im, то усереднена задача для задачі (14) зводиться до спектральної задачі L ( v) = 0 в H1(0) для оператор-функції L = A1 - A2 - I, де A1 - оператор в H1(0) визначений першою рівністю в (8), а A2 - самоспряжена, компактна оператор-функція в H1(0), яка задається рівністю

(A2) = cot (f(x1) ) (x1,0) (x1, 0) dx1 H1(0).

Оператор-функція L на кожному інтервалі Im попадає в клас оператор-функцій, спектр яких вивчений в Підрозділі 2.1. Тому має місце теорема.

Теорема 11. Спектр усередненої задачі для задачі (14) (у випадку, коли f № const) складається з істотного спектра (15) та точок дискретного спектра {}, які на кожному інтервалі Im \ (m=0, …,p) формують неспадну послідовність 2 m2 h / 2 k0 f< ... ... 2 (m+1)2 h / 2 k0 f при n

В підрозділі показано, що впорядковані власні значення задачі Стєклова є нескінчено малими величинами: n N n = O, поріг низьких власних частот T=0, а "нормована" множина {-1} збігається в хаусдорфовому розумінні до спектра усередненої задачі (оператор-функції L). З допомогою схеми з Підрозділу 2.2 доведено асимптотичні оцінки для цієї збіжності як біля точок дискретного спектра, так і біля точок істотного спектра усередненої задачі, тобто має місце теорема.

Теорема 12. Для довільних >0, n N , та достатньо малих значень маємо |-1n - | c0(n,) 1-. Нехай - r-кратне ВЗ усередненої задачі з k-тої серії (k N, якщо f = const, і k {0,...,p }, якщо f const). Тоді для " > 0 n,k>0 c>0, що для всіх значень параметра (0, n,k) в інтервалі ( - c 1- , + c 1- ) міститься r чисел -1, де0 з істотного спектра (15) усередненої задачі існує скінчене число власних значень задачі (14) таких, що |-1 - 0 | c1 1/4.

Побудовано також і перші члени асимптотичних наближень для відповідних власних функцій задачі (14), доведено для них аналоги теореми 8-10.

В Розділі 4 досліджується асимптотична поведінка розв'язків основних задач математичної фізики в густому з'єднанні типу 3:2:1, яке є об'єднанням області 0 = {x R3: x'=(x1,x2) K, 0<x3< (x')} та великої кількості N тонких циліндрів G= G(i,j), G(i,j) = {x: (- 1x1 - i , -1x2 -j ) , -l< x3 0 }. Тут K = (0, a)2; C1() i > 0 на , N - велике натуральне число, тому величина = a/N - малий дискретний параметр, який характеризує відстань між тонкими циліндрами та їх товщину; плоска область , границя якої є гладкою, разом із своїм замиканням належить кругу {x' R2 : (x1 - 1/2)2 + (x2 - 1/2)2 < < 1/4 }. Крім того, при побудові асимптотичних наближень, припускаємо, що - симетрична відносно прямих x1 = 1/2, x2 = 1/2.

В Підрозділі 4.1 вивчається асимптотика ВЗ та ВФ мішаної крайової задачі

-Dx u(,x) = u(,x), x ; u(,x) = 0, x Q, -l; u(,x) = 0, x Q, -l

з умовами Діріхле на нижніх основах Q, -l = { x3=-l } тонких циліндрів і з умовами Неймана на решті границі даного з'єднання. Тут = / - зовнішня нормальна похідна.

В підрозділі розробляється методика досліджень спектральних задач в густих з'єднань типу 3:2:1; в Пункті 4.1.2, використовуючи підхід роботи С.О. Назарова [58], вивчено питання розв'язності задач примежового шару для густих з'єднань типу 3:2:1, встановлено властивості симетрії розв'язків цих задач та уточнена їх поведінка на нескінченості; в Пункті 4.1.5 запропонована схема побудови спеціальних операторів продовження із збереженням класу простору для ВФ. Доведено аналоги теорем 1-5 для даної задачі.

В Підрозділі 4.2 вивчається асимптотика ВЗ та ВФ такої мішаної крайової задачі

- Dx u(,x) = u(,x), x ; u(,x) = - k0 u(,x), x ;

u(,x)=0, x Q,-l; u(,x) = 0, x ( _{} Q,-l) ,(16)

з крайовими умовами Фур'є на бічних границях циліндрів (k0>0). При усереднені задачі (16) та оцінці нев'язок від побудованих наближень важливу роль відіграє тотожність

(x) dx'= (') x'(x) dx + dx, " H1(G),(17)

де s - довжина границі плоскої області , а || - її площа, функція (') - це 1-періодично продовжений по 1 та 2 розв'язок задачі: '= s||-1; в , (')=1 на} , (') d'=0. Перевіряючи умови схеми з Підрозділу 2.2, доводяться теореми збіжності та асимптотичні оцінки при 0 для побудованих перших членів асимптотики власних значень та власних функцій задачі (16).

Одним із яскравим виявом впливу крайових умов, які задаються на бічних сторонах тонких циліндрів з'єднання (умови Неймана та Фур'є), на асимптотику спектра є поріг низьких власних частот. Для даних задач він рівний відповідно:TN= , TF= +.

Підрозділ 4.3 присвячений мішаній крайовій задачі для рівняння Пуассона

Dx u(x) = f(x), x ; u(x) = 0, x \Q, -l; u(,x) = 0, x Q, -l (18)

В залежності від вигляду правої частини рівняння, для розв'язання цієї задачі пропонується два підходи: перший полягає в доведенні теореми збіжності, при цьому використовується спеціальний оператор продовження, про який згадувалося вище; другий - в побудові перших членів асимптотичного розвинення та доведення асимптотичних оцінок.

Нехай функція f L2 - внутрішність об'єднання , D = K (-l,0).

Для першого підходу вважаємо, що f f0 в L2 при 0; і існують константи Ci,, r0, 0 такі, що для всіх значень (0, 0), яка означає, що функція f не має сильного розкиду значень на сусідніх тонких циліндрах. Так довільна функція g L2 , для якої C0 > 0 0 > 0 " (0,0) " x', x” : |g(x') - g(x”)| C0 |x'- x”|, буде задовольняти умові (19). При цих припущеннях доводяться такі теореми.

Теорема 13. Для узагальненого розв'язку u H1(, Q,-l) задачі (18) існує оператор продовження P : H1( , Q, -l) H1(Q-l) такий, що ||P u|| C0, де константа C0 залежить від констант C1 і C2 в (19) та від f.

Теорема 14. При 0 має місце слабка збіжність в H1(,Q-l) продовження P u до функції v0, де v0=v= (x3 - t)f0(x',t) dt + l-1(x3 + l) ( v (x',0) + f0(x',t) dt), x D, a функція v0(x)= v(x), x0, є узагальненим розв'язком такої задачі

D v(x)= f0(x), x 0; v(x) =0, x 0 \ K;

3v+(x',0)- || l-1 v+(x',0) = || l-1 (l+x3) f0(x',x3) dx3, x' K.(20)

Якщо для права частина має вигляд f(x)=f0(x) + f1(,x), x , f0, f1 L2 , де

f1=O(1) при 0, то справедливі такі нерівності

u - v0 c1 1-, u - R c2 1- (" > 0),

де функція v0 визначена в попередній теоремі, а апроксимуюча функція R рівна:

v(x) + 0(x3) S(Zi -i,33) v(x) (x',0), при x 0,

i v(x) + ( Y1(1) v(x) + Y2(2) v(x) + 0(x3) S (Zi -i,1Y1(1)-i,2Y2(2) -i,3||-1 3

v(x) (x',0) ) при x G, =x/.

Тут 0(x3) - гладка зрізаюча функція, яка рівна 1 в околі нуля; Yi(i)=-i + 1/2 + [i]; {Zi} - розв'язки задач примежового шару в об'єднанні нескінченних напівциліндрів = + -, +=(0,1)(0,1)(0,+), -=(-,0].

Іншим методом та з сильнішими припущеннями аналогічна задача була розглянута в роботі R. Brizzi та J.P. Chalot [119] (1997), де доведено тільки теорему збіжності. Ці припущення такі: права частина f не залежить від і f H^1 . Крім того, оператор продовження в [119] будується без збереження класу простору: продовження робиться не на всю область , а тільки локально в паралелепіпед D, що приводить до додаткового обґрунтування в теоремі збіжності рівності слідів граничної функції в зоні приєднання.

Підрозділ 4.4 ці два підходи реалізуються для початково-крайової задачі параболічного типу:

t u=+Dxu + f(x,t), (x,t) 0(0, +),

t u = -x u , (x,t) G(0, +),

u = 0, (x,t) (0,+),

- u = - 0 u, (x,t) (0,+),

- u = (x',t), (x,t) Q, -l(0,+),(21)

u(x',+0,t) = u(x',-0,t), (x',t) Q,0 (0,+),

+u(x',+0,t) = -u(x',-0,t), (x',t) Q,0 (0,+),

u(x,0) = 0, x ,

де = З {x : x3 0 }; - бічні поверхні тонких циліндрів G; Q,-d= G_{} З {x3=-d } - поперечні перерізи циліндрів; ± та 0 - додатні константи. Припускається, що праві частини задачі (21) - функції f(x,t), (x,t) 0[0,+), та (x',t), (x',t) K[0,+), за просторовими змінними задовольняють умову Ліпшіца з константами, які не залежать від параметра та змінної t, і їхні носії по просторових змінних зосереджені відповідно в областях 0 та в K. Крім того, для довільного T>0 f L2(0(0,T)), L2(K(0,T)) і f f0 в L2(0(0,T)), i 0 в L2(K(0,T)) при 0.

В Підрозділі 4.5 розглядається лінійна контактна задача без тертя для системи жорстких штампів, періодично розміщених на обмеженій частині границі пружного півпростору. Цю задачу можна трактувати як крайову задачу в густому необмеженому з'єднанні типу 3:2:1 з жорсткими стержнями, але в зоні контакту замість умов спряження ставляться контактні умови. Для розв'язку задачі методом узгодження асимптотичних розвинень будуються перші члени асимптотики при 0 (кількість штампів в обмеженій області необмежено зростає, а їх товщина нескінчено зменшується) та усереднюється контактна задача для системи густо розміщених штампів, при цьому використовуються розв'язки типу примежового шару, властивості яких були вивчені в Пункті 4.1.2. З допомогою цих розв'язків вводиться поняття узагальненої ємності зони контакту та описуються її властивості, виводиться також асимптотична формула для контактного тиску.

Контактні задачі розглядалися в працях А.Е. Андрейківа, Л.А. Галіна, G. M. L. Gladwell , V. I. Fabrikant та І.Г. Горячевої і М.Н. Добичіна [120, 121]-[123], де були отримані наближені розв'язки для контактної задачі для системи декількох далеко віддалених один від одного кульових штампів. Асимптотичний розв'язок контактної задачі для декількох далеко віддалених один від одного малих еліптичних штампів був побудований І.І. Аргатовим [124]. Періодичні контактні задачі для пружного півпростору розглядались K.L. Johnson, J.A. Greenwood, J.G. Higginson [125] та І.Г. Горячевою [126].

В Розділі 5 в плоскому густому з'єднанні типу 2:1:1, яке описане на початку Підрозділу 3.1, розглядається спектральна задача:

-Dx u(,x)= (x) u(,x), x;

{x: x2 0 }; u(,x)=0, x =_{} З {x2 < 0};(22)

[u]= [u] =0, x Q,0=G З {x2=0},

з концентрованими масами на тонких стержнях G та з крайовими умовами Діріхле на їх границях; квадратні дужки вказують на скачок записаної в них величини. Термін "концентровані маси" означає, що тіло з'єднання і тонкі стержні виготовлені з різних матеріалів, пружні властивості яких однакові, а густина матеріалу з якого виготовлені стержні є набагато більшою за густину тіла з'єднання. Для даного з'єднання густина рівна

(x) = 1, x 0, i (x) = x G,

де - довільний дійсний параметр. Отже в задачі (22) присутні два види збурення: збурення границі області і збурення густини.

Експериментально було встановлено, що в коливальних системах концентрація маси на малій множині приводить до суттєвого зменшення основної частоти і до локалізації коливань біля цієї множини. Новий імпульс отримали дані дослідження завдяки французькому математику E. Sanchez-Palencia, який в роботі [127] математично описав ефект локалізації коливань. Потім з'явилось багато робіт [128]-[136] (це роботи Ю.Д. Головатого, С.О. Назарова, О.А. Олійник, Г.А. Іосіф'яна, J. Sanchez-Hubert, E. Sanchez-Palencia, H. Tchatat, C. Leal, M. Lobo і E. Perez) присвячених вивченню асимптотичної поведінки вільних коливань тіл з концентрованими масами. Варто вказати на дві принципові відмінності цих робіт від розглядуваної спектральної задачі Діріхле (22). По-перше, в вказаних вище роботах розглядається тільки один вид збурення (збурення густини), і, по-друге, сумарна міра множин, де густина є набагато більшою, - мала і прямує до нуля, коли густина збільшується. Ці відмінності приводять до того, що методи даних робіт не можуть бути використані при дослідженні задач в густих з'єднаннях з концентрованими масами.

Для вивчення спектральної задачі Діріхле в густому з'єднанні з концентрованими масами модифікуються асимптотичні методи, які були розроблені в попередніх розділах дисертації. Встановлено три якісно відмінні випадки в асимптотичній поведінці спектру: <2, =2, або >2, де - параметр збурення густини. Відповідно до цих трьох випадків поріг низьких власних частот, який характеризує збурення задачі (22) рівний: T=+ при <2; T= = 2/h2 при =2; і T=0 при >2 (найбільше збурення).

У випадку <2 збурення найменше і не відбувається втрати компактності в граничному переході при 0. Усереднена задача для даного випадку така:

-Dx, v(x)= n v(x), x 0; v(x) = 0, x 0; v (x1,0)=0, x [0,a]. (23)

Її спектр дискретний і формується неспадною послідовністю ={n: n N}; тільки точки цієї послідовності є граничними точками для спектра задачі (22). В цей випадок включається задача Діріхле без концентрації маси ( =0), яка завершує дослідження з Розділу 3. Обгрунтування асимптотики у випадку <2 з допомогою схеми з Підрозділу 2.2 показує, що вона включає в себе схему роботи [87, Гл.III, с.1.1.2], яка застосовується до збурених спектральних задач із збереженням компактності в граничному переході.

У випадку > 2 задача (22) з допомогою заміни

n =-2(+2n ), un(, x)= Z(x/) U(x), x,

де - перше власне значення проміжкової задачі примежового шару ( +), а Z - відповідна власна функція, зводиться до задачі

-(Z U ) = -2( + 2 n )Z U, x 0,

- (Z U) = n Z U(x), x G,

Z n U(x) = 0, x ,(24)

Z n U(x)= - U(x)n Z , x

U (x1, -1) = 0, x1 Q,0 ,

Тут = { (x1, (x1) ) : x1 (0, a) }, = \ , Q,0=G З {x2=0}. Коефіцієнти задачі (24) вироджуються на вертикальних границях тонких стержнів.

Для даної задачі вводяться спеціальні вагові простори і вивчаються їх властивості. Спектр усередненої задачі для задачі (24) буде мати структуру аналогічну до структури спектру задачі (7) (див. теорему 6). В Пункті 5.2.4 розглядаються відповідні задачі примежового шару з коефіцієнтами, які вироджуються на границі; в Пункті 5.4.4 побудовано перші члени асимптотичних розвинень як для власних значень, так і для власних функцій задачі (24); в Пункті 5.4.5 до даної задачі застосовується схема з Підрозділу 2.2 і доводяться теореми збіжності та асимптотичні оцінки для ВЗ та ВФ, при цьому модернізується схема побудови спеціальних операторів продовження для відповідних вагових просторів.

Якщо в задачах з концентрованими масами [127]-[136] зменшення основних частот у випадку > 2 відбувається за асимптотикою n = -2n + o(-2), де n - власне значення відповідної локальної задачі, то для задачі (22) цей ефект (зменшення основних частот) відбувається за асимптотикою n = -2 + (+) + o. Порівнюючи ці асимптотики, видно, що ВЗ є нескінчено малими величинами порядку O( -2), але для задачі (22) розщеплення власних значень відбувається тільки в другому члені, де присутнє власне значення усередненої задачі з нульової серії. Першим членом в асимптотиці для всіх власних значень виступає число, яке є границею при 0 першого власного значення проміжкової задачі примежового шару. Таким чином, дві спектральні задачі беруть участь у формуванні асимптотики власних значень задачі (22).

Другою суттєвою відмінністю є існування "високих" власних значень, які також прямують до нуля з такою асимптотикою -2 + ( + ) + O, = -2 + O(2 - 7/2) при 0,\ де - власне значення усередненої задачі з m-ої серії; = 2 k2 / h2, k N; 2 = min (1 - 2).

У випадку =2 спостерігається така асимптотична картина: граничними точками для спектра задачі (22) є перші власні значення 1, ... , задачі (23), які менші за , і точки променя [,+), причому для індексів n m0 +1 власні значення n при 0, і n + 2 2 n2.

У всіх трьох випадках < 2, = 2, > 2, знайдені три види власних коливань.

Власні коливання, енергія яких і самі вони зосереджені в тілі з'єднання. Вони мають амплітуду порядку O(1) і відповідні власні значення близькі до ВЗ {n} задачі (23). В залежності від значень параметра ці коливання є низькочастотними коливаннями, або високочастотними коливаннями. У випадку = 2 це також залежить від індексу n.

Власні коливання, енергія яких сконцентрована в тонких стержнях. Вони мають малу амплітуду порядку O і можуть бути зосереджені як і у всьому з'єднанні, так і тільки на тонких стержнях. Відповідні власні значення близькі до чисел {: k N}.

Вищезгадані власні коливання є коливання з'єднання як цілої системи. В Підрозділі~5.5 показано, що для всіх існують коливання, для яких кожен стержень може мати свою частоту. Тому такі коливання були названі псевдо-коливаннями. Так, наприклад, перший член в асимптотиці амплітуди одного із видів псевдо-коливань має такий вигляд

Rk(,x) = 0, x 0, i Rk(,x) = ( m)-1 Z(x1/), sin mx2, x G,

де Z(x1/)= sin ( k (2x1-(1+2j-h)) / 2h ), x G, j=0,1,..., N-1, а значення параметра m N може бути різним на сусідніх стержнях. Енергетична норма Rk (корінь з інтеграла Діріхле) має порядок O(1) і вона зосереджена на тонких стержнях.

Теорема 15. Існують ВЗ задачі (22) такі, що |-2+ ( )-1-( )-1|c. Для довільного (0, 1) існує скінчена лінійна комбінація u ( u=1 ) власних функцій задачі(22), яка підтримує псевдо-коливання, тобто Rk-1 Rk - u.

В Підрозділі 5.5 також показано, що існують псевдо-коливання, які мають швидко коливний характер на тонких стержнях. Зрозуміло, що псевдо-коливання найкраще проявляються у випадку умов Діріхле на границях тонких стержнів, тоді вплив сусідніх стержнів один на одного через тіло з'єднання не такий відчутний. Для інших крайових умов на границях тонких стержнів псевдо-коливаннями також виникають, коли їхні частоти близькі до точок істотного спектра усередненої задачі; так функцію W, яка задовольняє умові D6, можна трактувати як амплітуду псевдо-коливання, яке зосереджене на одному, або декількох тонких стержнях.

Розділ 6. В Підрозділі 6.1 розглядається мішана спектральна крайова задача в густому з'єднанні типу 3:2:2 (тривимірне тіло, на частині границі якого періодичним чином приєднуються тонкі пластини). На бічних границях тонких пластин задаються умови Неймана і довжина пластин не обов'язково однакова. Так само як в Пункті 3.2.4, де розглядалася спектральна задача Стєклова в з'єднанні типу 2:1:1 з різною довжиною тонких стержнів, структура істотного спектра для відповідної усередненої задачі є більш складною. Принципова відмінності від задачі Стєклова полягає в тому, що поріг низьких частот для даної задачі ненульовий і рівний: T= 2 / fmax, де fmax=maxf(x1), f - функція, яка описує довжину тонких пластин. Застосовуючи до даної задачі схему з Підрозділу 2.2, доводяться теореми збіжності та асимптотичні оцінки при 0 для побудованих перших членів асимптотики власних значень та власних функцій задачі як біля точок дискретного, так і біля точок істотного спектра усередненої задачі.

В Підрозділі 6.2 побудовано перші члени асимптотики при 0 для власних значень та власних функцій задачі Неймана в тривимірному тонкому з'єднанні типу 2:1:1. Особливістю даної задачі є те, що тіло з'єднання змінює свою граничну розмірність при 0, причому товщина тіла є змінною величиною. Тому процес усереднення в даному випадку поєднується з побудовою асимптотики власної функції в тонкій циліндричній області з змінною товщиною. У результаті коефіцієнти усередненої спектральної задачі є функціями, які залежать від товщини тонкого тривимірного тіла. Перевіряючи для даної задачі умови схеми з Підрозділу 2.2, доводяться теореми збіжності та асимптотичні оцінки.

В Підрозділі 6.3, використовуючи методи теорії усереднення, для симетричного рівномірно еліптичного оператора другого порядку L єS(aij ) -періодичними коефіцієнтами вивчено асимптотичну поведінку розв'язків мішаної крайової та спектральної задач в тонкій перфорованій області =Q\ T, де T - множина -періодично розміщених вздовж гіперповерхні {xn=0} гладких областей діаметру O, Q = {x=(x',xn)Rn : x', - h-(x'/)<xn< h+(x'/)}, h-('), h+('), = (1,... , n-1)Rn-1 - гладкі, 1-періодичні за всіма змінними функції, причому h0 >0 " ' Rn-1 h±(') q h0.

Строгий асимптотичний метод побудови наближень в тонких областях започатковано в роботах А.Л. Гольденвейзера [41, 42] і подальшій його розробці присвячені роботи М.Г. Джавалова, С.О. Назарова, А.Б. Васильєвої, В.Ф. Бутузова, D. Caillerie [43]-[45], [48]-[51, 137] та інші, в яких в якості тонких областей розглядались області циліндричного типу. Основна ідея цих досліджень полягала в введені спеціальної заміни змінних так, щоб розтягнута область не залежала від малого параметра. При цьому, малий параметр виникав при старших похідних в відповідних диференціальних рівняннях, а далі застосовувався метод Люстерника-Вишика [105]. Ці методи не підходять до вивчення крайових задач в тонких перфорованих областях з швидко змінною товщиною.

Методи теорії усереднення для тонких областей вперше були використані Г.П. Панасенком і М.В. Резцовим ([46],1987) при вивчені тривимірної задачі теорії пружності в неоднорідній тонкій циліндричній пластині. В 1995 С.О. Назаровим в роботі [47] було виявлено тотожність процедури усереднення еліптичних крайових задач з швидко осцилюючими коефіцієнтами в тонких квазішарах циліндричного типу в Rd Rn-d (не виключався випадок всього простору Rn перфорованого малими отворами) і побудови канонічної системи жорданових ланцюжків поліноміальних еліптичних пучків. З допомогою цієї побудови було досліджено основні характеристики усереднених операторів (розміри, порядки елементів, еліптичність та формальна самоспряженість). Однак, як вказано в самій роботі (стор.3-5) цей метод не спрощує процедуру усереднення і при обгрунтуванні асимптотики необхідно вводити три групи обмежень, які звужують сферу застосування цих результатів.

В Пункті 6.3.1 вивчається задача

L(u)= f в ; (u)=0 на G; (u) = g на S;

u=0 на,(25)

де (u)єSaij (x) u i (x), (1,...,n) - зовнішня одинична нормаль до; G - границі порожнин; S- верхня та нижня частина границі; - вертикальна частина границі області; коефіцієнти рівнянь та праві частини задовольняють умовам: aij, f(x),

g(x',), Rn, x' Rn-1 - 1-періодичні за змінними = (1,...,n-1); aij C1; f,g± мають неперервні похідні першого порядку по x', які і самі функції належать відповідно до C0,, C1, по змінній рівномірно відносно x'; 0 H3; f= f(x',x/), g= g±(x',x/). Для даної задачі визначається усереднена задача

x' , u0(x')=0(x'), x' ,(26)

де; будуються перші члени асимптотичного розвинення

U = u0(x')+ SNp u0(x'),

де u0 - розв'язок задачі (26),

Np, p = 1,..., n-1, розв'язки крайових задач на комірці періодичності 0.

Теорема 16. Існують додатні сталі c, 0 такі, що " (0,0): u-U c.

В Пункті 6.3.2 вивчається спектральна задача

-L(u) = u в , (u)=0 на S G_{}, u = 0 на, (27)

де - спектральний параметр; (x) = а 1 -періодична за змінними функція, яка належить простору C0, і обмежена додатними константами: 0<0 1.

Для задачі (27) визначається усереднена спектральна задача (28)

Для власних значень та власних функцій задачі (27) побудовано перші члени асимптотичних розвинень та, модифікуючи абстрактну схему роботи [87, Гл. III, §1], доведено асимптотичні оцінки при 0, зокрема для власних значень маємо таку теорему.

Теорема 17. Нехай {n : n N } і {n} - впорядковані послідовності ВЗ задач (27) та (28) відповідно. Тоді для " n N | n - n | c(n).

Розділ 7. Якісно інша асимптотична поведінка спостерігається для розв'язків крайових задач в густих з'єднаннях типу 3:1:1. Для таких з'єднань в граничному переході зона приєднання тонких циліндрів до тіла перетворюється в криву на поверхні тіла з'єднання і постановка яких-небудь крайових умов або умов спряження неможлива з огляду на некоректність відповідної крайової задачі в просторі Соболєва H1. Для спектральних задач спектр відповідної усередненої задачі зв'язується зі спектром спеціального інтегрального оператора на цій кривій. Аналогічні інтегральні оператори виникали при асимптотичному аналізі крайових задач в областях з сингулярно збуреними границями: тривимірна область з вузькою поздовжньою порожниною (М.В. Федорюк [138], В. Г. Мазья, С.О. Назаров, Б.А. Пламенєвский [139], С.О. Назаров [140]), тіло пронизане тонким стержнем (І.І. Аргатов, С.О. Назаров, [60]). Загальна теорія для таких операторів описана в статті С.О. Назарова і Б.А. Пламенєвского [141].

Густе періодичне з'єднання типу 3:1:1 область складається з об'єднання області 0={xR3: |x1|<h, |x3|<b, -(x')< x2<0} та великої кількості тонких циліндрів Gj ={x: x2 [0,l), ( -1x1 - j , -1x3 )}, j= 0, ±1, ..., ±N, які приєднуються до 0 вздовж відрізка

Ih = {x: |x1|<h, x2 = x3 = 0 }, тобто = 0 G, G = G-N ... GN. Тут l1;

N - велике натуральне число, тому =2h/(2N+1) - малий параметр;

x' = (x1,x3); C([-h,h] [-b,b])1;

- плоска область, яка містить початок координат, лежить в крузі {x': x+ x<<1/4<b } і симетрична відносно осі x1=0. В розглядається "жорстка" спектральна задача Неймана

-Dxu(,x)= u(,x), x 0,

-1|ln |-k Dxu(,x) = -2 u(,x), x G;

u(,x',-0) = u(,x',+0),u(,x',-0) = -1|ln |-k u(,x',+0), x' Q,(29)

u(,x) = 0, x ,

з концентрованими масами на тонких циліндрах, причому стержні та тіло складаються з двох різних матеріалів, відношення жорсткостей і густин яких є великими параметрами:

-1|ln |-k (k>1, k = 0) та -2 (стержні - набагато жорсткіші та важчі).

Тут Q= Q ... Q, Q = Gj 0.

Задачі, в яких коефіцієнти при старших похідних значно відрізняються на різних частинах області, отримали назву жорстких задач (J.L. Lions, [142]). Вперше асимптотичне дослідження спектра для жорстких спектральних задач проведено Г.П. Панасенком в [143], де була побудована асимптотика тільки для низькочастотних коливань. Жорсткі задачі вивчались також в працях математиків E. Sanchez-Palencia, J. Sanchez-Hubert, С.О. Назарова, І.І. Аргатова, Ю.Д. Головатого, M. Lobo, E. Perez [82, 85, 58, 60, 61, 112, 115].

В жорсткій задачі Неймана (29) присутні три види збурення: збурення області, збурення густини і збурення коефіцієнтів задачі. Раніше такі задачі не вивчались. Узагальнюючи асимптотичні методи, розробленні в попередніх розділах дисертації, вивчено вплив таких додаткових видів збурення на асимптотику власних значень і власних функцій даної задачі та отримано нові ефекти в розщепленні асимптотики для власних значень. Як виявилось при дослідженні, асимптотика ВЗ дуже чутлива до параметра k. Так для довільного n границя всіх власних значень n задачі (29) при 0 рівна нулю. Це характерна особливість задач з концентрованими масами (див. Розділ 5). Однак, якщо для задач з концентрованими масами в густих з'єднаннях розщеплення асимптотики власних значень відбувається в другому члені асимптотики, то для задачі (29) розщеплення асимптотики залежить від параметра k (тут k>1) і має вигляд

n = |\ln|- (m+ |ln |1-m+ ... + |ln |(p-1) (1-) m+ |ln |-(n - c) m+ O(|ln |1-2)),

при цьому залежність від n появляється p-ому члені, де p - це найменше натуральне число таке, що p-1 0 і p(p-1)-1. Тут n - власне значення інтегрального оператора J: H(Ih) H(Ih), де H(Ih) = {H(Ih): (1) =0}, а H(Ih) - простір Хермандера визначений на відрізку Ih. Зазначимо, що спектральна задача для даного інтегрального оператора виступає результуючою задачею для задачі (29).

Крім того, доведено, що для довільного власного значення q оператора J, і довільного k N, k 2, існує зліченна кількість ВЗ n(,k,q) (з змінним номером n(,k,q), який нескінчено зростає при 0), для яких границя lim 0 (-1 |ln | n(,k,q) ) = m відрізняється від границі m (m= 2 / 4l2 при > 2). Цей факт вказує на складну асимптотичну "стратифікацію" спектра задачі (29), і яка, очевидно, не може бути виявлена шляхом стандартного для теорії усереднення аналізу. Для цих ВЗ побудовані перші члени асимптотичних розвинень, які також залежать від параметра.

Через таке сингулярне виродження до спектральних крайових задач в з'єднаннях типу 3:1:1 неможливо застосувати схему з Підрозділу 2.2 для обґрунтування побудованої асимптотики і тому для задачі (29) розроблений спеціальний метод для обґрунтування побудованої асимптотики як для власних значень, так і для відповідних власних функцій. Зазначимо також, що через присутність великого параметра в умовах спряження задачі (29) відповідні задачі примежового шару в зоні з'єднання тіла з тонким циліндром розпадаються на два типи задач (задачі в півшарі -= {: |1|<1/2, 2<0} та задачі в півнескінченному циліндрі +={: (1,3), 2>0}, що ускладнює побудову асимптотичного наближення для власних функцій.

В кінці Пункту 7.4 показано суттєву відмінність в асимптотиці ВЗ у випадку =0. Так для низькочастотних власних коливань задачі (29) відповідні ВЗ мають таку асимптотику = |ln |-1 (1 - ( n - c + ) |ln |-1 + O(|ln |-2)). Крім того, в цьому випадку розглядалося густе з'єднання, в якому тонкі циліндри приєднювалися до тіла вздовж довільної гладкої кривої на поверхні тіла, і вивід результуючої задачі проводився в криволінійних координатах, використовуючи модифікований С.О. Назаровим метод узгодження асимптотичних розвинень.



ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена розробці сучасних методів розвитку одного з актуальних напрямків теорії диференціальних рівнянь в частинних похідних - теорії усереднення. Автором вперше одержано такі наукові результати:

Розроблено асимптотичні методи дослідження крайових задач в густих з'єднаннях різних типів, за допомогою яких досліджено асимптотичну поведінку (при 0) розв'язків основних крайових задач математичної фізики, побудовано перші члени асимптотики цих розв'язків та доведено асимптотичні оцінки.

Доведено теореми про існування і концентрацію спектра певного класу самоспряжених оператор-функцій, до яких зводяться усереднені спектральні задачі для спектральних задач в густих з'єднаннях різних типів, та аналоги варіаційних принципів Фішера-Куранта-Вейля і Пуанкаре-Рітца для власних значень.

Запропоновано схему дослідження асимптотичної поведінки власних значень та власних функцій сім'ї самоспряжених компактних операторів залежних від малого параметра, з допомогою якої обґрунтовується асимптотика власних значень та власних функцій спектральних крайових задач в густих з'єднаннях різних типів.

Розроблено схему побудови спеціальних операторів продовження із збереженням класу простору для власних функцій спектральних крайових задач в густих з'єднаннях різних типів та для розв'язків крайової задачі для рівняння Пуассона і початково-крайової задачі параболічного типу в густому з'єднанні типу 3:2:1.

Вивчено вплив крайових умов (Неймана, Фур'є, Стєклова, Діріхле), які задаються на границях тонких приєднувальних областей, та геометричної конфігурації густого з'єднання (тип з'єднання; густе з'єднання, яке складається з двох тіл; різна довжина тонких приєднувальних областей) на асимптотичну поведінку власних значень та власних функцій відповідних спектральних крайових задач в густих з'єднаннях. Для всіх цих задач доведено теореми збіжності, побудовано перші члени асимптотики власних значень і власних функцій та доведено асимптотичні оцінки.

Доведено теореми збіжності, побудовано перші члени асимптотики і отримано асимптотичні оцінки для розв'язків крайової задачі для рівняння Пуассона та для початково-крайової задачі параболічного типу в густому з'єднанні типу 3:2:1.

Проведено усереднення контактної задачі для системи густо розміщених штампів; введено поняття узагальненої ємності зони контакту.

Досліджено асимптотичну поведінку власних значень та власних функцій задачі Діріхле в гус-тих сингулярно вироджувальних з'єднаннях типу 2:1:1 з концентрованими масами на тонких стержнях, при цьому знайдено новий тип коливань (псевдо-коливання) та вивчено асимптотику спектра відповідної крайової задачі, коефіцієнти якої вироджуються на границі з'єднання.

Вивчено асимптотичну поведінку власних значень та власних функцій жорсткої спектральної задачі Неймана в густому сингулярно вироджувальному з'єднанні типу 3:1:1 з концентрованими масами на тонких циліндрах, при цьому жорсткість і густина тонких циліндрів є набагато більшою за відповідні характеристики тіла з'єднання. Доведено теореми збіжності, побудовано перші члени асимптотики та отримано асимптотичні оцінки для власних значень і власних функцій, виявлено нові ефекти в розщепленні асимптотики для власних значень.

Для симетричного рівномірно еліптичного оператора другого порядку з швидко осцилюючими коефіцієнтами вивчено асимптотичну поведінку розв'язків мішаної крайової та спектральної задач в тонкій перфорованій області з швидко змінною товщиною, побудовано перші члени асимптотики та доведено асимптотичні оцінки.



ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Мельник Т.А. Усереднення еліптичних рівнянь, які описують процеси в сильно неоднорідних тонких перфорованих областях з швидко змінною товщиною // Доповіді АН України. - 1991. - №10. - C. 15-19.

2. Мельник Т.А., Назаров С.А. Асимптотическая структура спектра в задаче о гармонических колебаниях ступицы с тяжелыми спицами // Докл. РАН. -1993. -Т.333, №1.-С.13-15.

3. Мельник Т.А. Сректральні властивості самоспряжених розривних оператор-функцій // Доповіді АН України. - 1994. - №10. - С. 33-36

4. Mel'nyk T.A., Nazarov S.A. Asymptotic structure of the spectrum of the Neumann problem in a thin comb-like domain // C.R. Acad. Sci.,Paris.-1994.-Vol.319, Serie 1. -P.1343-1348.

5. Мельник Т.А., Назаров С.А. Асимптотика собственных значений задачи Неймана в области типа "густого гребешка" // Доклады РАН. - 1995. - Т. 342, № 1. - С. 23-25.

6. Гринив Р.О., Мельник Т.А. О сингулярном функционале Рэлея // Maтематические заметки. - 1996. - Т. 60, №1. - С. 130-134.

7. Мельник Т.А., Назаров С.А. Асимптотика решения спектральной задачи Неймана в области типа густого гребешка // Труды семинара им. И.Г. Петровского.-1996.-Вып.19.-С.138-174; English transl.: Journal of Mathematical Sciences. -1997. -Vol.85, №6. - P.2326-2346.

8. Mel'nyk T.A. Homogenization of the Poisson equation in a thick periodic junction // Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwendungen. - 1999. - Vol. 18, №4. - P. 953-975.

9. Mel'nyk T.A. On free vibrations of a thick periodic junction with concentrated masses on the fine rods // Нелінійні коливання. - 1999. - Т. 3, №4.- C. 511-523.

10. Mel'nyk T.A. Asymptotic analysis of a spectral problem in a periodic thick junction of type 3:2:1 // Mathematical Methods in the Applied Sciences. -2000. -Vol.23, №4. - P.321-346.

11. Мельник Т.А., Назаров С.А. Асимптотический анализ задачи Неймана на соединении тела с тонкими тяжелыми стержнями//Алгебра и Анализ. -2000.-Т.12, №2.-С.188-238.

12. Мельник Т.А. Усереднення сингулярно збуреної параболічної задачі в густому періодичному з'єднанні типу 3:2:1 // Український математ. журнал. -2000. -Т.11. - С.1524-1534.

13. Мельник Т.А. Асимптотика власних значень та власних функцій крайової задачі в густому періодичному з'єднанні типу 3:2:2 // Вісник Львівського університету, Серія механіко-математична. - 2000. - Вип. 58. - C.153-160.

14. Argatov I.I., Mel'nyk T.A. Homogenization of a contact problem for a system of densely situated punches // Eur. J. Mech. A/Solids. - 2001. - Vol. 20. - P. 91-98.

15. Мельник Т.А. Асимптотика спектру задачі Фур'є в густому з'єднанні типу 2:1:1//Вісник Київського університету,Серія: фізико-математичні науки. - 2001. - Вип.1. -C.143-153

16. Mel'nyk T.A. Asymptotic behavior of eigenvalues and eigenfunctions of the Steklov problem in a thick periodic junction // Nonlinear oscillations. - 2001. - Vol.4, №1. - С. 91-105.

17. Mel'nyk T.A. Low and high frequency convergence of the spectrum of some self-adjoint compact operator that depends on a small parameter // Nonlinear oscillations. - 2001. - Vol.4, №2. - С. 241-251.

18. Mel'nyk T.A. Hausdorff convergence and asymptotic estimates of the spectrum of a perturbed operator//Zeitschrift fur Analys.und ihre Anwendungen.-2001.-Vol.20, №4.-P.941-957

19. Mel'nyk T.A. Vibrations of a Thick Periodic Junction with Concentrated Masses // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. - 2001 - Vol.11, № 6. - P.1001-1029.

20. Мельник Т.А. Асимптотична поведінка власних значень та власних функцій задачі Фур'є в густому з'єднанні типу 3:2:1 // Групові та аналітичні методи в математичній фізиці. Праці Інституту математики НАН України. - 2001. - Т. 36. - C.187-196.

21. Мельник Т.А. Vibrations and pseudovibrations of thick periodic junctions with concentrated masses // Доповіді НАН України. - 2001. - №9. - С. 47-53.

22. Мельник Т.А. Усреднение собственных значений и собственных функций краевой задачи Ней\-мана в сингулярно вырождающейся области // Успехи математических наук. - 1991. - Т. 46, №6. - С. 160-161.

23. Мельник Т.А., Назаров С.А. Асимптотическая структура спектра задачи Неймана в области типа густого гребешка // Успехи математических наук. - 1993. - Т.48, №4. - С.213.

24. Мельник Т.А. О спектре разрывных самосопряженных оператор-функций // Успехи математических наук. - 1994. - Т.49, №4. - С. 119.

25. Мельник Т.А. Асимптотика спектра задачи Неймана в полукомпактных сингулярных соединениях // Успехи математических наук. - 1995. - Т. 50, №4. - С. 102.

26. Мельник Т.А. Асимптотика спектра задачи Дирихле в в области типа "густого гребешка" // Успехи математических наук. - 1996. - Т. 51, № 5. - С. 168.

27. Mel'nyk T.A. Spectral problems in a periodic thick multi-strucrure with concentrated masses//Int. Conf. on Diff. Equations. Berlin 1999, Vol.1. - World Scientific, 2000. - P. 454-456.

28. Mel'nyk T.A. Asymptotic analysis of the spectral boundary-value problems in the periodic thick singularly degenerate junctions of the different types//Multiple Scale Analyses and Coupled Physical Systems. Proc. of Saint-Venant Symposium, Paris, 28-29.08.97. -the Presses des Ponts et Chaussees,1997.- P.453-459.

29. Mel'nyk T. A. Perturbation of the spectrum of boundary-value problems in periodic thick multi-structures of type 3:2:1 // International Workshop on "Symmetry and Perturbation Theory ,SPT 98". - Editors A. Degasperis and G. Gaeta, World Scientific, 1999. - P.211-218.

30. Mel'nyk~T.~A. Decomposing vibrations of thick periodic junctions with concentrated masses // Proc. of the International Workshop on "Asymptotic and Numerical Analysis of Structures and of Heterogeneous Media", Saint-Petersburg, June 26-30, 2000. - P. 42-46.

31. Мельник Т.А., Назаров С.А. Асимптотичесая структура спектра задачи Неймана в области типа гребня с частыми зубьями // Тезисы докладов школы "Современные методы в теории краевых задач", Воронеж, 4-8 мая 1992.- С.74.

32. Mel'nyk T.A. Asymptotics of natural oscillations and natural frequencies of close-corrugated waveguides and resonators // Тези міжн. конф. присвяченої пам'яті академіка М.П. Кравчука (22-28 вересня 1992).-Київ-Луцьк.-1992.-С. 129.

33. Мельник Т.А., Назаров С.А. Асимптотическая структура спектра задачи Неймана в сингулярном соединении с предельной размерностью 3:1 //Thesisses of reports on The First Ukrainian - American Math. School "Differential equations and their applications" (Ukraine, Sudak, June 1-10,1993).-1993.-P.29

34. Mel'nyk T.A., Nazarov S.A. Asymptotic structure of the spectrum of the Neumann problem in thick singularly junctions//Proc. of Int. Congress of Math. Short communications. - Zurich. - 1994. - P.174.

35. Mel'nyk T.A., Nazarov S.A. Asymptotics of Natural Oscillations and Natural Frequencies of Close-Corrugated Waveguides and Resonators//Proc. of The Third International Congress on Industrial and Applied Mathematics. Book of Abstract. - Hamburg, 3-7 July 1995. - P.366.

36. Mel'nyk T.A. Asymptotics of the Neumann spectral problem solution in the thick junctions of type 3:2:2 //Proc. of the International Conf. "Nonlinear differential equations", Book of Abstracts.-Kyiv, 22-27 August, 1995. - P. 112.

37. Mel'nyk T.A. Asymptotic structure of spectrum of boundary-value problems in periodic thick junctions of different types // Тези доповідей міжн. конф. "Асимптотичні та якісні методи в теорії нелінійних коливань" (Київ, 18-23 серпня 1997).- С. 116.

38. Mel'nyk T.A. Low and high frequency convergence of the spectrum of some perturbed operator // Book of Abstracts of International Conf. "Differential Equations and Related Topics" dedicated to the Centenary Anniversary of I.G. Petrovskii, XX Joint Session of Petrovskii Seminar and Moscow Math. Society, Moscow, May 22-27, 2001. - P. 265-267.

39. Mel'nyk T.A. Asymptotic estimates for the spectrum of a perturbed operator // Book of Abstracts of Ukrainian Congress оf Mathematics, International Conf. NPDE - 2001.- Kyiv, August 22-28, 2001.-P. 82.

40. Mel'nyk T.A., Mel'nyk S.I. Asymptotics of the spectrum of the Fourier problem in a thick junction of type 3:2:1 // Тези міжн. конф. "Нові підходи до розв'язування диференціальних рівнянь" (1-5 жовтня 2001р., м. Дрогобич). - Київ. - 2001. - С.95.



АНОТАЦІЇ

Мельник Т.А. Асимптотичні методи розв'язань спектральних та крайових задач в областях з сингулярно збуреними границями. - Рукопис

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - Диференціальні рівняння. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2001.

Дисертація присвячена розробці асимптотичних методів дослідження крайових задач в густих сингулярно вироджувальних з'єднаннях різних типів та в тонких перфорованих областях з швидко змінною товщиною. Досліджено асимптотичну поведінку розв'язків основних крайових задач математичної фізики, побудовано перші члени асимптотики та доведено асимптотичні оцінки. Вивчено вплив крайових умов, які задаються на границях густих з'єднань, геометричної конфігурації густих з'єднань та збурених коефіцієнтів задачі на асимптотичну поведінку власних значень та власних функцій спектральних задач в густих з'єднаннях. Доведено теореми про існування і концентрацію спектра певного класу самоспряжених оператор-функцій. Запропоновано схему дослідження асимптотичної поведінки власних значень та власних функцій сім'ї самоспряжених компактних операторів залежних від малого параметра. Розроблено схему побудови спеціальних операторів продовження із збереженням класу простору для розв'язків крайових задач в густих з'єднаннях різних типів. Для симетричного еліптичного оператора другого порядку з швидко осцилюючими коефіцієнтами вивчено асимптотичну поведінку розв'язків мішаної крайової та спектральної задач в тонкій перфорованій області з швидко змінною товщиною.

Ключові слова: густі з'єднаннях різних типів, крайові задачі, асимптотичні розвинення, асимптотичні оцінки, спектр, оператор-функції, оператори продовження, тонкі перфоровані області з швидко змінною товщиною.

Мельник Т.А. Асимптотические методы решений спектральных и краевых задач в областях с сингулярно возмущенными границами - Рукопись

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.02 - Дифференциальные уравнения. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2001.

Диссертация посвящена разработке асимптотических методов исследования краевых задач в густых сингулярно вырождающихся соединениях различных типов и в тонких перфорированных областях с быстро изменяющейся толщиной. Исследовано асимптотическое поведение решений основных краевых задач математической физики, построены первые члены асимптотики и доказаны асимптотические оценки. Изучено влияние краевых условий, которые задаются на границе густых соединений, геометрической конфигурации густых соединений и возмущенных коэффициентов на асимптотическое поведение собственных значений и собственных функций спектральных задач в густых соединениях. Доказаны теорема существования и теорема о концентрации спектра некоторого класса самосопряженных оператор-функций. Предложена схема исследования асимптотического поведения собственных значений и собственных функций семейства самосопряженных компактных операторов зависящих от малого параметра. Разработана схема построения специальных операторов продолжения с сохранением класса пространства для решений краевых задач в густых соединениях различного типа. Для симметрического эллиптического оператора второго порядка с быстро осциллирующими коэффициентами изучено асимптотическое поведение решений смешанной краевой и спектральной задач в тонкой перфорированной области с быстро изменяющейся толщиной.

Ключевые слова: густые соединения различных типов, краевые задачи, асимптотические разложения, асимптотические оценки, спектр, оператор-функции, операторы продолжения, тонкие перфорированные области с быстро изменяющейся толщиной.

Mel'nyk T.A. Asymptotic methods for solving of spectral problems and boundary value problems in domains with singular perturbed boundaries. - Manuscript

The thesis submitted for degree of Doctor in physics and mathematics by the speciality 01.01.02 - differential equations. - Taras Shevchenko national university of Kyiv, Kyiv, 2001.

The thesis deals with development of asymptotic methods for investigation of boundary value problems in thick singular degenerated junctions of different types and in thin perforated domains with rapidly varying thickness.

A thick singular degenerated junction (thick junction) of type m:k:d is the union of some domain (junction's body) and a large number of e -periodically situated thin domains along some manifold (the joint zone) on the boundary of junction's body.

Here e is a small parameter, and the type m:k:d of a junction refers to the limiting dimensions of the body, of the joint zone, and of the joined thin domains. The objective of studying of boundary value problems in thick junctions is to describe the asymptotic behaviour of solutions as e ® 0, i.e., when the number of joined thin domains increases and their thickness decreases.

For boundary value problems in thick junctions there are specific difficulties in the asymptotic investigation: the loss of the coerciveness of differential operators in the limit passage as e ® 0 (for spectral problems it means the loss of compactness); the absence of extension operators that would be bounded uniformly in e in the Sobolev space H1; the power behavior of junction-layer solutions at infinity. The reason of these difficulties is special character of the connectedness of the thick junctions, namely, there are points in a thick junction, which are at a short distance of order O( e ), but the length of all curves, which connect these points in the junction, is order O(1). As a result, many new effects appear in the asymptotic behavior of solutions to boundary value problems in thick junctions.

For spectral problems in thick junctions of type m:k:d, where m-k=1 (the limit dimensions of the body and of the joint zone differ by 1), the limiting spectral problems are reduced to the spectral problem for some class of discontinuous self-adjoint operator-functions. The existence and concentration theorems for such operator-functions and minimax principles (Poincare-Ritz, Fisher-Courant-Weyl) for the eigenvalues are proved.

An abstract scheme is proposed for investigation of the asymptotic behaviour of eigenvalues and eigenvectors of some family of self-adjoint compact operators Ae: e >0 , which act in different spaces and lose compactness as e ® 0. The Hausdorff convergence of the spectrum of the operator Ae to the spectrum of the limiting operator A0 is studied and asymptotic estimates both for this convergence and for the corresponding eigenvectors are proved. This scheme generalizes and simplifies the procedure of justification of the asymptotic behaviour of eigenvalues and eigenfunctions of boundary value problems in thick junctions of different types.

A construction scheme of special extension operators in the Sobolev spaces H1 for eigenfunctions of boundary value problems in thick junctions of different types and for solutions to the Poisson equation and to the initial boundary-value problem of parabolic kind in thick junction of type 3:2:1 is proposed.

The influence of boundary conditions (Neumann, Fourier, Steklov, Dirichlet), which are imposed on the boundaries of the joined thin domains of thick junctions, and the influence of the geometric configuration of thick junction (type, two bodies, different length of the joined thin domains) on the asymptotic behaviour of eigenvalues and eigenfunctions of the corresponding spectral boundary-value problems in thick junctions are investigated. Convergence theorems are proved, the leading terms of asymptotics are constructed, and asymptotic estimates (as e ® 0) are proved for eigenvalues and eigenfunctions of all these problems.

Convergence theorems are proved, the leading terms of asymptotics are constructed, and asymptotic estimates are proved for solutions to mixed boundary-value problems both for the Poisson equation and the heat equation to an initial mixed boundary-value problem of parabolic kind in thick junction of type 3:2:1.

Using non-energetic boundary-layer solutions, the homogenization of a linear contact problem of an elastic half space with rigid punches e - periodically situated on a bounded part of the boundary of the elastic solid are made as e ® 0. A general capacity of the contact spot for this problem is introduced. The asymptotic behaviour of eigenvalues and eigenfunctions of the Dirichlet problem in a plane thick junction of type 2:1:1 with concentrated masses on the thin joined rods are studied. There are three qualitatively different cases in the asymptotic behavior of the eigenvalues and eigenfunctions of this problem; it depends on the parameter of the concentrated masses. In each of these cases three kinds of proper-vibrations are found: vibrations, whose energy is concentrated in the junction's body; vibrations, whose energy is concentrated on the thin rods; and vibrations (pseudo-vibrations), in which each thin rod can have own frequency. Convergence theorems are proved, the leading terms of asymptotics are constructed, and asymptotic estimates for the corresponding eigenfunctions and eigenvalues are proved.

Thick junctions of type 3:1:1 are more strongly degenerated as the joint zone becomes a curve and any boundary conditions or transmission conditions are not reasonable on this curve for the corresponding limit problem in the Sobolev space H1. A spectral stiff problem in a thick junction of type 3:1:1 with concentrated masses on the thin cylinders (the cylinders are much more rigid and more heavy than the junction's body) is studied. The corresponding limit spectral problem is reduced to the spectral problem for some singular integral operator on the curve; this operator acts in the corresponding Hormander spaces. Convergence theorems are proved, the leading terms of asymptotics are constructed, and asymptotic estimates for the corresponding eigenfunctions and eigenvalues are proved. New effects in splitting of the asymptotics for eigenvalues of this problems are obtained.

...