Гратки напередрадикалів та класифікація кілець

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

01.01.06 - алгебра і теорія чисел

Гратки напередрадикалів та класифікація кілець

Матурін Юрій Петрович

Київ 2001

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі алгебри і топології Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України, м. Львів

Науковий керівник кандидат фізико-математичних наук, доцент Горбачук Омелян Львович Львівський національний університет імені Івана Франка, (м. Львів) доцент кафедри алгебри і топології

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Дрозд Юрій Анатолійович Київський національний університет імені Тараса Шевченка, (м. Київ) професор кафедри алгебри

доктор фізико-математичних наук, професор Кашу Олексій Іванович Інститут Математики і Інформатики Академії Наук Молдови, (м. Кишинів) головний науковий співробітник

Провідна установа: Ужгородський національний університет, кафедра алгебри Міністерства освіти і науки України, (м. Ужгород)

Захист відбудеться “ 5 ” листопада 2001 року о 1400 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.001.18 Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 04127, м. Київ, проспект академіка Глушкова, 6, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Автореферат розіслано 4 жовтня 2001 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради В.В. Плахотник

1. Загальна характеристика роботи

гратка радикал ідемпотентний кільце

Актуальність теми. На сучасному етапі розвитку теорії кілець характерним для неї став тісний зв'язок з теорією модулів. Класифікація кілець на основі модулів займається вивченням зв'язків між властивостями кільця та категорією лівих або правих модулів над ним. Особливо великий внесок у розвиток цього напрямку теорії кілець зробили Х.Басс, Н.Джекобсон, В.Длаб, Ж.Дьєдонне, С.Ейленберг, А.Картан, Ф.Каш, Л.А.Койфман, Й.Ламбек, К.Моріта, Б.Ософська, Л.А.Скорняков, К.Фейс та багато інших видатних вчених. Нагадаємо, що властивостями категорії модулів описуються такі кільця, як класично напівпрості (всі ліві модулі проективні), регулярні в сенсі фон Неймана (кожний лівий модуль плоский), нетерові зліва (пряма сума ін'єктивних лівих модулів ін'єктивна), артінові зліва (кожний ін'єктивний лівий модуль є прямою сумою ін'єктивних оболонок простих лівих модулів), напівартінові зліва (кожний ненульовий лівий модуль має ненульовий цоколь) та інші.

Одним з важливих аспектів класифікації кілець є вивчення властивостей кілець за допомогою теорії напередрадикалів та скрутів. Цей напрямок досліджень було закладено у численних працях математиків таких, як В.А.Андрунакієвич, Л.Біцан, П.Габріель, Ж.С.Голан, С.Е.Діксон, В.Длаб, О.І.Кашу, Т.Кепка, Л.А.Койфман, Ж.Маранда, П.Немец, Ю.М.Рябухін, Л.А.Скорняков, Бо.Штенштрьом та багатьох інших, і є тепер достатньо розвиненим. Нові поняття теорії напередрадикалів, радикалів і скрутів дали могутні засоби для характеризації кілець. Так, наприклад, К.Р. Гудеарл встановив, що сингулярний напередрадикал розщеплюється в категорії модулів над комутативним кільцем тоді і тільки тоді, коли це кільце ізоморфне скінченному прямому добутку кілець, кожне з яких містить не більше двох суттєвих ідеалів. Також слід відзначити важливий результат цього математика про характеризацію таких кілець, для яких всі несингулярні праві модулі проективні, а саме: ця умова є справедливою тоді і тільки тоді, коли кільце Моріта - подібне до скінченного прямого добутку повних нижніх матричних кілець над тілами. Досліджуючи цей же напередрадикал Л.А. Койфман показав, що кільце є PQ-кільцем тоді і тільки тоді, коли всі сингулярні ліві модулі ін'єктивні. В цих випадках досліджуються властивості кілець в залежності від властивостей конкретного напередрадикалу. Тому наведемо приклади, на яких показано властивості кілець, в категоріях лівих модулів над якими всі напередрадикали певного типу задовольняють певну умову. Наприклад, В. Длаб знайшов необхідні і достатні умови на кільце, за яких множина скрутів в категорії лівих модулів складається з двох елементів, а саме: в категорії лівих модулів над кільцем існують точно два скрути тоді і тільки тоді, коли це кільце ізоморфне повному матричному кільцю над локальним досконалим справа кільцем. Варто навести ще один результат В.Длаба з цього напрямку, а саме: всі скрути в категорії лівих модулів над кільцем є джансовими напівпростими тоді і тільки тоді, коли це кільце є досконалим справа. Цей приклад показує, що добре відомі кільця іноді можна охарактеризувати за допомогою напередрадикалів деякого типу. До результатів такого роду належать і теореми, які встановлюють умови розщеплюваності всіх напередрадикалів певного типу. Так, наприклад, повністю розв'язано питання про розщеплюваність всіх скрутів в категорії модулів над комутативним кільцем. Цей результат встановив О.Л.Горбачук, а Ж.Віола-Пріолі вдалося звести питання розщеплюваності всіх напередскрутів до питання про розщеплюваність всіх напередскрутів в категорії лівих модулів над простою лівою V-областю, а саме: всі напередскрути в категорії лівих модулів над кільцем розщеплюються тоді і тільки тоді, коли це кільце Моріта - подібне до скінченного прямого добутку простих лівих V-областей. Для комутативного випадку М.Я.Комарницький і О.Л.Горбачук описали всі кільця, в категорії модулів над якими кожний І-радикал є скрутом. Американський математик М.Л.Теплі знайшов необхідні і достатні умови на кільце, за яких всі скрути в категорії лівих модулів над ним є точними функторами.

При вивченні питань в рамках цього аспекту використовуються певні частково впорядковані множини напередрадикалів. Часто ці частково впорядковані множини виявляються гратками. Це дає змогу отримувати необхідні і достатні умови, за яких відповідні гратки напередрадикалів мають визначені властивості. Можна також досліджувати загальні властивості таких граток. Наприклад, гратка скрутів в категорії лівих модулів над довільним кільцем є повною дистрибутивною граткою, а умова булевості гратки скрутів в категорії лівих модулів над кільцем рівносильна напівартіновості зліва цього кільця. Очевидно, що для кожної гратки напередрадикалів можна ставити аналогічні питання. Вивченню цих проблем присвячені праці багатьох алгебраїстів. Зокрема, вони розглядаються в працях О.І. Кашу, Ж.С. Голана, А. Віола-Пріолі, Ж. Віола-Пріолі, Е.І. Тебирце та інших математиків. Так, наприклад, А. Віола-Пріолі і Ж. Віола-Пріолі з'ясували, коли гратка напередскрутів є ланцюгом, а Е.І.Тебирце довів атомність і дистрибутивність гратки скрутів, а також знайшов необхідні і достатні умови на кільце, за яких ця гратка є булевою. Варто відзначити також той факт, що дослідження алгебраїстів в рамках теорії напередрадикалів, радикалів та скрутів щільно пов'язані з дослідженнями щодо характеризації кілець за допомогою різних умов, що накладаються на напередрадикали або на їх гратки, оскільки величезна кількість інформації про різноманітні напередрадикали робить ефективним їх використання при характеризації кілець.

Таким чином, дослідження питань щодо класифікації кілець за допомогою напередрадикалів та різноманітних їх граток, а також питань про загальні властивості граток напередрадикалів відноситься до тої області сучасної алгебри, що активно розвивається і має застосування при вивченні кілець.

Висловлені вище міркування говорять про актуальність теми дисертації.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з науковими дослідженнями кафедри алгебри і топології Львівського національного університету імені Івана Франка.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є:

встановлення загальних властивостей граток I-радикалів та S-скрутів;

з'ясування необхідних і достатніх умов булевості граток I-радикалів та S-скрутів;

встановлення необхідних і достатніх умов, за яких кожен скрут є S-скрутом;

з'ясування умов розщеплюваності для напередрадикалів;

встановлення необхідних і достатніх умов, за яких кожен скрут є ідеальним;

класифікація кілець за допомогою напівпростих скрутів;

вивчення взаємозв'язків між гратками I-радикалів Моріта-подібних кілець;

класифікація кілець за допомогою I-радикалів.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації:

доведено ряд загальних властивостей граток I-радикалів та S-скрутів;

встановлено необхідні і достатні умови булевості гратки I-радикалів;

вивчено властивості кілець, гратки I-радикалів в категоріях лівих модулів над якими є булевими;

доведено, що гратки I-радикалів над Моріта-подібними кільцями ізоморфні;

встановлено необхідні і достатні умови булевості гратки S-скрутів для випадку лівого дуокільця;

встановлено необхідні умови для того, щоб кожен скрут був S-скрутом у випадку довільного кільця;

встановлено необхідні і достатні умови для того, щоб кожен скрут був S-скрутом у випадку кільця, для якого радикал Джекобсона дорівнює 0;

вивчено кільця за допомогою напівпростих скрутів, а також на підставі цього одержано характеризацію напівлокальних кілець;

отримано необхідні і достатні умови для того, щоб кожен напівпростий скрут був ідеальним;

встановлено необхідні і достатні умови напівтривіальності всіх I-радикалів;

питання про розщеплюваність всіх I-радикалів для загального кільця зведено до того ж питання для нерозкладного кільця;

отримано необхідні і достатні умови співпадання множини всіх скрутів з множиною всіх I-радикалів.

Названі результати є новими.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер. Вони можуть використовуватися у певних розділах сучасної алгебри.

Особистий внесок здобувача. Усі наукові результати, що включені в дисертацію, одержано здобувачем особисто. У спільних працях науковому керівнику О.Л. Горбачуку належить постановка задач досліджень.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на Львівському міському алгебраїчному семінарі та спецсемінарах кафедри алгебри і топології Львівського національного університету імені Івана Франка (Львів, 1999-2001 р.р.), Всеукраїнській науковій конференції "Нові підходи до розв'язання диференціальних рівнянь", присвяченій 70-річчю від дня народження професора Віталія Скоробагатька (м.Дрогобич, 15-19 вересня 1997 р.); Міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми механіки і математики", присвяченій 70-річчю від дня народження академіка НАН України Ярослава Підстригача та 25-річчю заснованого ним Інституту прикладних проблем механіки і математики (м.Львів, 25-28 травня 1998 р.); Міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми математики" (м.Чернівці, 20-23 червня 1998 р.); Другій міжнародній алгебраїчній конференції в Україні, присвяченій пам'яті професора Л.А.Калужніна (1914-1990) (м.Вінниця, 9-16 травня 1999 р.); II Всеукраїнській науковій конференції “Нелінійні проблеми аналізу”, присвяченій 60-річчю фізико-математичного факультету Прикарпатського університету імені Василя Стефаника (с. Микуличин Івано-Франківської області, 26-29 вересня 2000 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 6-ти роботах [1-6], з яких 5 - у виданнях з переліків, затверджених ВАК України [1-5].

Структура та об'єм дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків і списку використаних джерел. Перший розділ складається з двох підрозділів, а другий, третій і четвертий розділи містять по три підрозділи. Обсяг дисертації - 146 сторінок. Список використаних джерел включає 58 найменувань.

Автор виражає щиру подяку науковому керівникові кандидату фізико-математичних наук, доценту О.Л.Горбачуку за керівництво і поради при виконанні даної дисертаційної роботи.

2. Основний зміст

В дисертації всюди розглядаються тільки асоціативні кільця з одиницею 10. Вважатимемо також, що кільцеві гомоморфізми зберігають одиницю, а модулі припускаються унітарними. Під напівлокальними кільцями ми будемо розуміти такі кільця, які є класично напівпростими по модулю радикала Джекобсона цього кільця, а під досконалими кільцями - такі кільця, які є досконалими зліва і досконалими справа.

Подамо тепер короткий огляд основних результатів дисертації.

У першому розділі дисертації наведено огляд праць з питань теорії напередрадикалів, радикалів і скрутів, класифікації кілець за їх допомогою і за допомогою граток напередрадикалів, а також визначено основні напрямки досліджень, викладено основні результати дисертації.

В дисертації для напередрадикалів розглядається стандартний частковий порядок, а саме: r t , якщо і тільки, якщо для всякого лівого модуля M над кільцем R.

У другому розділі дисертації розглядається гратка I-радикалів та класифікація кілець за її допомогою.

У підрозділі 2.1 вивчається частково впорядкована множина Ir(l,R),(Ir(r,R)) всіх I-радикалів в категорії лівих (правих) модулів над кільцем R. В цьому підрозділі доведено ряд загальних властивостей цієї частково впорядкованої множини.

Теорема 1. Частково впорядкована множина Ir(l,R) утворює коатомну дистрибутивну гратку з нулем і одиницею.

У підрозділі 2.2 встановлено необхідні і достатні умови булевості гратки I-радикалів та вивчено кільця, для яких це має місце.

Теорема 2. Нехай R - кільце. Тоді Ir(l,R) - булева гратка тоді і тільки тоді, коли виконуються дві наступні умови:

(A) J(R) - T-нільпотентний справа ідеал;

(B) ,

де , а - деякі прості кільця.

Наслідок 1. Нехай R - кільце. Тоді наступні умови еквівалентні:

(1) Ir(l,R) - гратка з доповненнями;

(2) Ir(l,R) - булева гратка;

(3) J(R) - T-нільпотентний справа ідеал і

де - деякі прості кільця.

Твердження 1. Нехай R - кільце, для якого гратка Ir(l,R) є булевою. Тоді кільце має нерозкладний кільцевий розклад, тобто

де - нерозкладні кільця, причому множина I-радикалів в категорії лівих R-модулів складається з елементів.

Наслідок 2. Нехай R - досконале зліва кільце. Тоді Ir(l,R) - булева гратка, яка складається з елементів, де n - кількість усіх класів ізоморфних простих правих (лівих) R-модулів.

Для комутативних кілець одержується наступний критерій булевості гратки І-радикалів.

Наслідок 3. Нехай R - комутативне кільце. Для того щоб гратка Ir(l,R) була булевою, необхідно і достатньо, щоб R було досконалим кільцем.

Наслідок 4.

(1) Нехай R - напівартінове зліва кільце. Тоді гратка Ir(l,R) є булевою граткою в тому і тільки в тому випадку, коли R - досконале кільце.

(2) Нехай R - напівартінове справа кільце. Тоді гратка Ir(l,R) є булевою граткою в тому і тільки в тому випадку, коли R - досконале зліва кільце.

Наслідок 5.. Нехай R - кільце.

(1) Якщо гратка Ir(l,R) є булевою, то

(i) Кожний ідемпотентний ідеал в R має вид ReR, де e - ідемпотент в R, що є

центральним за модулем J(R).

(ii) Card{I / I- ідемпотентний ідеал в R}=Card(Ir(l,R)).

(iii) Для всякого лівого ідеалу S в R існує такий ідемпотентний ідеал I в R, що

(iv) Всякий I-радикал в R-Mod зберігає епіморфізми

(2) Якщо R - досконале зліва кільце, то для нього справедливі всі умови (i)-(iv) пункту (1).

Останній наслідок розширює результати з наслідку VIII 6.4 мононографії Штенштрьома Бо. (Stenstrom Bo. Rings of quotients. - Berlin.: Springer-Verlag, 1975. - 309 p.).

У підрозділі 2.3 вивчаються зв'язки між I-радикалами в категоріях лівих модулів Моріта подібних кілець.

Наступна теорема є основною в цьому підрозділі.

Теорема 3. Нехай R і S - Моріта-подібні кільця. Тоді гратки Ir(l,R) і Ir(l,S) ізоморфні.

Варто зазначити, що цей ізоморфізм в дисертації побудовано явно за допомогою ідеалів, що відповідають І-радикалам.

У третьому розділі дисертації здійснюється класифікація кілець за допомогою S-теорій скрутів (S-скрутів), при цьому використовуються властивості напівпростих скрутів. У тому ж розділі вивчено частково впорядковану множину St(R) S-скрутів в категорії лівих модулів над лівим дуокільцем R (підрозділ 3.2) та з'ясовано, коли така частково впорядкована множина є булевою граткою (підрозділ 3.3).

Сформулюємо основні результати цього розділу.

Теорема 4. Нехай R - кільце. Якщо всяка напівпроста теорія скрутів в категорії R - Mod є S-теорією скрутів, то кільце R є досконалим справа.

Наслідок 6. Нехай R - ліве дуокільце. Тоді наступні умови еквівалентні:

(a) R - досконале справа кільце,

(b) R є кільцевою прямою сумою деяких локальних досконалих справа кілець.

(с) Кожна напівпроста теорія скрутів в категорії R - Mod є S-теорією скрутів.

Зауважимо тепер, що з останнього наслідку випливає теорема М.Я.Комарницького, яка стверджує, що ліве дуокільце є кільцевою прямою сумою деяких локальних досконалих справа кілець тоді і тільки тоді, коли кожний скрут в категорії лівих модулів над цим кільцем є S-скрутом (Комарницкий Н.Я. Дуокольца, над которыми все кручения являются S-кручениями // Матем. исследования. - 1978. - 48. - С. 65-68.)

Наслідок 7. Нехай R - напівпримітивне кільце. Тоді наступні умови еквівалентні:

(a) R - класично напівпросте кільце.

(b) Кожна напівпроста теорія скрутів в категорії R - Mod є S-теорією скрутів.

(c) Кожна спадкова теорія скрутів в категорії R - Mod є S-теорією скрутів.

(d) Кожна напівпроста теорія скрутів в категорії Mod - R є S-теорією скрутів.

(e) Кожна спадкова теорія скрутів в категорії Mod - R є S-теорією скрутів.

Твердження 2. Нехай R - ліве дуокільце. Тоді частково впорядкована множина St(R) є повною дистрибутивною граткою з нулем і одиницею.

Теорема 5. Нехай R - ліве дуокільце. Гратка St(R) є булевою тоді і тільки тоді, коли кільце R є напівлокальним.

У четвертому розділі дисертації кільця характеризуються за допомогою радикалів та скрутів, що мають певну властивість.

У підрозділі 4.1 з'ясовуються умови розщеплюваності всіх I-радикалів та всіх головних скрутів, причому встановлено необхідні і достатні умови на комутативне кільце, за яких всі головні скрути розщеплюються (головний скрут - це такий скрут, база відповідного радикального фільтру якого складається з головних ідеалів).

Повністю розв'язано питання про те, коли всі I-радикали напівтривіальні. Отримано наступні результати.

Твердження 3. Якщо всі I-радикали в категорії R-Mod розщеплюються, то кільце R має нерозкладний кільцевий розклад.

Наслідок 8. Нехай R - кільце. Всі I-радикали в категорії R-Mod розщеплюються тоді і тільки тоді, коли існує нерозкладний кільцевий розклад кільця R в пряму суму кілець, в категоріях лівих модулів над якими всі I-радикали розщеплюються.

Твердження 4. Нехай R - кільце. Тоді наступні умови є еквівалентними:

(1) Для всякого r є Ir(l,R) існує такий s є Ir(l,R), що

для довільного лівого R-модуля M.

(2) Для всякого r є Ir(l,R) існує такий центральний ідемпотент e в кільці R, що

r(M)=e*M

для довільного лівого R-модуля M.

(3) Всі I-радикали в R-Mod є напівтривіальними.

Твердження 5. Нехай R - комутативне кільце. Тоді наступні умови еквівалентні:

(A) Всі головні скрути в R-Mod розщеплюються.

де R1,R2,…,Rn - нерозкладні кільця, і всі головні скрути в Ri-Mod розщеплюються для всякого i є {1,2,…,n}

де R1,R2,…,Rn - локальні кільця і J(Ri) - ніль-ідеал в для всякого

причому всі головні скрути в тривіальні для всякого i є{1,2,…,n}.

У підрозділі 4.2 характеризація кілець здійснюється за допомогою напівпростих та ідеальних скрутів.

Якщо E - радикальний фільтр кільця R, то відповідний скрут позначатимемо через .

Для кожного r визначимо множину W(r) всіх максимальних лівих (правих) ідеалів, що належать відповідному радикальному фільтрові. Ввівши також спеціальні позначення

r(M,A):={x | xM, ax=0 для всіх aA}, l(M,A):={x |xM, xa=0

aA},Jl(1)(або Jr(1))

де 1 - підмножина в l(або вr), l(r) - множина всіх класів ізоморфних простих лівих (правих) R-модулів, S1-1-цоколь, можна сформулювати основні результати цього підрозділу.

Теорема 6. Нехай R - кільце і Тоді наступні умови еквівалентні:

(1) Всякий l-радикальний фільтр E кільця R такий, що

містить всякий лівий ідеал з множини .

(2) Для довільного скруту r в такого, що

виконується умова

(3) Для довільного скруту r в такого, що радикальний клас містить всі прямі добутки простих лівих R-модулів, які належать до .

(4) Для всякої підмножини в радикальний клас містить всі прямі добутки простих лівих R-модулів, які належать до

(5) Для всякої підмножини в клас T(S1) є замкненим стосовно прямих добутків.

(6) Для всякої підмножини в клас T(S1) містить всі прямі добутки простих лівих R-модулів, які належать до T(S1)

(7) Для всякої підмножини в і всякого лівого R-модуля M

S1(M) = r(M , J l (1))

(8) Для всякого лівого R-модуля M

Sl '(M) = r(M , J l (l ')).

(9) Клас T(Sl ') є замкненим стосовно прямих добутків.

(10) Клас T(Sl ') містить всі прямі добутки простих лівих R-модулів, які належать до T(Sl ')

(11) R / J l(l ') - артінове зліва кільце.

(12) R / J l(l ') - класично напівпросте кільце.

Ця теорема дає можливість одержати характеризацію напівлокальних кілець.

Наслідок 9. Нехай R - кільце. Тоді наступні умови еквівалентні:

(1)-(1'). Всякий l(r)-радикальний фільтр E кільця R містить кожний лівий (правий) ідеал з множини

(2)-(2'). Для довільного скруту r в виконується умова

(3)-(3'). Для довільного скруту r в R - Mod(Mod - R)радикальний клас T(r) містить всі прямі добутки простих лівих (правих) R-модулів, які належать до T(r).

(4)-(4'). Для всякої підмножини в l(r) радикальний клас містить всі прямі добутки простих лівих (правих) R-модулів, які належать до

(5)-(5'). Для всякої підмножини в l(r) клас T(S1) є замкненим стосовно прямих добутків.

(6)-(6'). Для всякої підмножини в клас містить всі прямі добутки простих лівих (правих) R-модулів, які належать до

(7)-(7'). Для всякої підмножини в і всякого лівого (правого) R-модуля M

(8)-(8'). Клас є замкненим стосовно прямих добутків.

(9)-(9'). Клас містить всі прямі добутки простих лівих (правих) R-модулів, які належать до нього.

(10)-(10'). - артінове зліва (справа) кільце.

(11). R - напівлокальне кільце.

Лема 1. Нехай R - кільце, I - ідеал в R,а - відповідний ідеальний скрут в категорії . Для довільного простого лівого R-модуля M тоді і тільки тоді, коли

За допомогою леми 1 і теореми 6 одержується наступна теорема.

Теорема 7. Нехай R - кільце. Кожен напівпростий скрут в категорії є ідеальним тоді і тільки тоді, коли R - напівлокальне кільце.

Ця теорема також дає необхідну умову для ідеальності всіх скрутів.

Теорема 8. Нехай R - напівартінове зліва кільце. Якщо кожен простий скрут в категорії є точним функтором, то R - досконале справа кільце.

У підрозділі 4.3 охарактеризовано ідемпотентні радикали, що копороджені класом над напівлокальними кільцями, а також дано вичерпну відповідь на питання про те, коли множина скрутів співпадатиме з множиною I-радикалів (у формулюванні наступної теореми tor(l,R) (tor(r,R)) - множина скрутів в категорії лівих (правих) R-модулів).

Твердження 6. Нехай R - напівлокальне кільце, а Тоді ідемпотентний радикал, який копороджується класом , є -радикалом. Теорема 9. Нехай R - кільце. Тоді наступні умови еквівалентнні:

(1).

(2). tor(r,R)= Ir(r,R).

(3).

де - локальні досконалі кільця.

Висновки

Дисертація присвячена характеризації кілець за допомогою напередрадикалів (I-радикали, S-скрути, напівпрості скрути, ідеальні скрути, ідемпотентні радикали, копороджені класами простих лівих модулів), за допомогою граток деяких напередрадикалів (гратки I-радикалів та S-скрутів), а також вивченню властивостей граток певних напередрадикалів (гратки I-радикалів та S-скрутів). Результат М.Я.Комарницького про те, коли всі скрути є S-скрутами для лівого дуокільця, узагальнено і перенесено на некомутативний випадок.

Дисертаційні дослідження пов'язані з відомими класами кілець (класично напівпрості кільця, напівпримітивні кільця, напівлокальні кільця, досконалі зліва кільця, напівартінові зліва кільця). Сформулюємо основні результати дисертації:

показано, що частково впорядкована множина I-радикалів є граткою, і вивчено її загальні властивості;

показано, що частково впорядкована множина S-скрутів над лівим дуокільцем є граткою, і вивчено її загальні властивості;

доведено ізоморфність граток I-радикалів в категоріях модулів над Моріта-подібними кільцями;

з'ясовано необхідні і достатні умови булевості граток I-радикалів та S-скрутів;

з'ясовано необхідні і достатні умови ідеальності всіх напівпростих скрутів;

з'ясовано необхідні і достатні умови для того, щоб кожен скрут був S-скрутом у випадку напівпримітивного кільця;

з'ясовано необхідні і достатні умови для співпадання множини I-радикалів з множиною скрутів.

Результати дисертації одержано застосуванням методів теорії напередрадикалів, радикалів і скрутів в категорії модулів та загальної теорії кілець і модулів.

Список опублікованих робіт за темою дисертації

1. Maturin Yu. On semisimple torsions // Вісник Київського університету. Серія фізико-математична. - 2000. - 1. - С.42-46.

2. Horbachuk O., Maturin Yu. On S-torsion theories in R-Mod // Matematychni Studii. - 2001. -15, N2 - P.135-139.

3. Матурін Ю.П. Про I-радикали // Вісник національного університету “Львівська політехніка”. Прикладна математика. - 2000. - N407. - С.267-274.

4. Матурін Ю.П. I - радикали та напівлокальні кільця // Вісник національного університету “Львівська політехніка”. Прикладна математика. - 2000. - N411. - C. 231-235.

5. Горбачук О.Л., Матурін Ю.П. Розщеплення напередрадикалів // Вісник Львівського університету. Серія механіко-математична. - 1999. - 54 - С.42-47.

6. Maturin Yu. When is the lattice of I-radicals Boolean // Third International Algebraic Conference in Ukraine. - Sumy (Ukraine). - 2001. - P. 71-72.

7. Матурін Ю.П. Гратки напередрадикалів та класифікація кілець. - Рукопис.

Анотація

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2001.

Робота присвячена описанню властивостей кілець, що визначені деякими напередрадикалами та їх гратками. Кільця характеризуються за допомогою певних напередрадикалів (I-радикали, S-скрути, напівпрості скрути, ідеальні скрути, ідемпотентні радикали, копороджені певними класами простих лівих модулів та інші). Досліджено гратки I-радикалів та S-скрутів.

Ключові слова: кільце, гратка, напередрадикал, I-радикал, S-скрут, ідеальний скрут.

Summary

Maturin Yu.P. Lattices of preradicals and classifications of rings. - Manuscript. The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical degree on the speciality 01.01.06 - Algebra and Number Theory. - Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2001.

The work is devoted to describing properties of the rings determined by some preradicals and their lattices. Rings are characterized with the help of certain preradicals (I-radicals, S-torsions, semisimple hereditary torsions, ideal hereditary torsions, idempotent radicals cogenerated by some classes of simple left modules and others). The lattices of I-radicals and S-torsions are investigated.

Key words: ring, lattice, preradical, I-radical, S-torsion, ideal hereditary torsion.

Аннотация

Матурин Ю.П. Решётки предрадикалов и классификация колец. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2001.

Работа посвящена описанию свойств колец, которые определяются предкадикалами и их решетками. Работа начинается с введения, в котором обосновывается актуальность темы и цель исследований, а также характеризуется научная новизна полученных результатов.

Первый раздел начинается обзором литературы, а заканчивается формулированием основных результатов диссертации.

Во втором разделе охарактеризована своими общими свойствами решётка I-радикалов, а также установлен критерий булевости её. Этот раздел заканчивается установлением изоморфизма решёток I-радикалов в категориях модулей над Морита-подобными кольцами.

Третий раздел содержит результаты, которые описывают свойства колец с помощью S-кручений (S-теорий кручений), а также описывают свойства решёток S-кручений и необходимые и достаточные условия булевости их в случае левых дуо-колец. В формулировках и доказательствах результатов широко используются полупростые кручения. Например, показано, что совершенность справа кольца является необходимым условием для того, чтобы каждая полупростая теория кручений в категории левых модулей была S-теорией кручений.

Четвёртый раздел содержит необходимые и достаточные условия для полутривиальности всех I-радикалов, расщепляемости всех главных кручений, т.е. кручений, база радикальных фильтров которых состоит из главных идеалов, в коммутативном случае. Там же содержатся результаты, дающие необходимые и достаточные условия для совпадения множества всех I-радикалов со множеством всех кручений. С помощью полупростых кручений охарактеризованы некоторые классы колец. Например, дана характеризация полулокальных колец в терминах полупростых кручений. В четвёртом разделе также указывается критерий идеальности всех полупростых кручений (все полупростые кручения являются идеальными). Установлено, что для полулокальных колец каждый идемпотентный радикал, копорождаемый классом простых модулей, является I-радикалом.

Ключевые слова: кольцо, решётка, предрадикал, I-радикал, S-кручение, идеальное кручение.

Размещено на Allbest.ru

...