Распределение инвестиций методом динамического программирования
Применение моделей динамического программирования при разработке правил управления запасами и распределения инвестиций. Сетевая модель и метод прямой прогонки. Решение задач динамического программирования при помощи принципа оптимальности Беллмана.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 18.04.2014 |
| Размер файла | 102,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
10
Международный университет природы, общества и человека «Дубна»
Кафедра системного анализа и управления
Контрольная работа
по математическим методам принятия управленческих решений
на тему: Распределение инвестиций методом динамического программирования
Выполнила: студентка гр.8101
Сергеюк Е.Н.
Дубна, 2011
Оглавление
- Введение
- 1. Теоретическая часть
- 1.1 Сетевая модель
- 1.2 Метод прямой прогонки
- 1.3 Решение ЗДП при помощи принципа оптимальности Беллмана
- 2. Практическая часть
- 2.1 Постановка задачи
- 2.2 Оптимальный набор решений
- Заключение
- Литература
Введение
Динамическое программирование представляет собой математический аппарат, разработанный для эффективного решения некоторого класса задач математического программирования. Этот класс характеризуется возможностью естественного (а иногда и искусственного) разбиения всей операции на ряд взаимосвязанных этапов. Термин «динамическое» в названии метода возник, видимо, потому что этапы предполагаются разделенными во времени. Однако этапами могут быть элементы операции, никак не связанные друг с другом показателем времени. Тем не менее, метод решения подобных многоэтапных задач применяется один и тот же, и его название стало общепринятым, хотя в некоторых источниках его называют многоэтапным программированием.
Модели динамического программирования могут применяться при разработке правил управления запасами, устанавливающими момент пополнения запасов и размер пополняющего заказа; при разработке принципов календарного планирования производства и выравнивания занятости в условиях колеблющегося спроса на продукцию; при распределении инвестиций между новыми направлениями их использования; при составлении календарных планов текущего и капитального ремонта сложного оборудования и его замены; при разработке долгосрочных правил замены выбывающих из эксплуатации основных фондов и т.д.
В своей работе я решила разобрать метод динамического программирования при распределение инвестиций. Т.к. проблема распределения инвестиций относится к разряду «вечных»: инвестиции, в отличие от потребностей, всегда ограничены. Их, так или иначе, приходится распределять на различные нужды постоянно и на всех уровнях. Динамическое программирование является одним из наиболее эффективных методов решения подобных задач, чем и объясняется актуальность данной работы.
1. Теоретическая часть
1.1 Сетевая модель
Общая постановка задачи: совет директоров фирмы изучает предложение по наращиванию мощностей 3-x принадлежащих ей предприятий. Для расширения всех трех предприятий фирма выделяет 5 млн. $. Каждое предприятие представляет на рассмотрение проекты, которые характеризуются величинами в млн. $ суммарных затрат (C) и доходов (R), связанных с реализацией каждого проекта
Цель фирмы является получение max дохода от инвестиций
1.2 Метод прямой прогонки
;
;
;
.
1.3 Решение ЗДП при помощи принципа оптимальности Беллмана
динамический программирование инвестиция моделирование управление
Принцип оптимальности Беллмана -- важнейшее положение динамического программирования, которое гласит: оптимальное поведение в задачах динамического программирования обладает тем свойством, что каковы бы ни были первоначальное состояние и решение, последующие решения должны составлять оптимальное поведение относительно состояния, получающегося в результате первого решения. Этот принцип можно выразить и рассуждая от противного: если не использовать наилучшим образом то, чем мы располагаем сейчас, то и в дальнейшем не удастся наилучшим образом распорядиться тем, что мы могли бы иметь.
Следовательно, если имеется оптимальная траектория, то и любой ее участок представляет собой оптимальную траекторию. Этот принцип позволяет сформулировать эффективный метод решения широкого класса многошаговых задач.
Если выполняются оба принципа, то работает принцип оптимальности Беллмана:
n Принцип отсутствия последействия
.
Каждый следующий шаг зависит только от предыдущего
n Принцип аддитивности целевой функции
.
Пусть -- вектор оптимальных управлений, который переводит систему из состояния в состояние за n шагов: так, чтобы целевая функция (1) достигла своего максимального значения.
Каково бы ни было состояние системы перед очередным шагом, выбирать управление на этом шаге нужно так, чтобы выигрыш на данном шаге плюс оптимальный выигрыш на всех последующих шагах был оптимальным.
2. Практическая часть
Решение задачи методом обратной прогонки.
В основе метода лежит принцип оптимальности Беллмана:
Управление на каждом шаге нужно выбирать так, чтобы сумма выигрыша на данном шаге и оптимального выигрыша на всех последующих шагах была максимальна.
2.1 Постановка задачи
Иностранный капитал в экономике Москвы составил 9 млрд. долл. Правительство планирует инвестировать их в «Оптовую и розничную торговлю»(1), «Обрабатывающее производство»(2), «Транспорт и связь»(3), «Операции с недвижимым имуществом»(4), «Финансовую деятельность»(5). Каждая отрасль представляет на рассмотрение проекты, кот. Характеризуются величинами (в млрд. долл.) суммарных затрат (С) и доходов (R), связанных с реализацией каждого из проектов. Соответствующие данные приведены в таблице, в которую включены также проекты с нулевыми затратами. Это позволяет учесть возможность отказа от расширения какого-либо предприятия. Цель фирмы - получение максимального дохода от инвестиций в объеме 9 млрд. долл. Найти оптимальный способ инвестирования.
Для составления математической модели исходим из предположений:
1) прибыль от каждой организации не зависит от вложения средств в другие предприятия;
2) прибыль от каждой организации выражается в одних условных единицах;
3) суммарная прибыль равна сумме прибылей, полученных от каждой организации.
Данная постановка является упрощенной моделью реального процесса распределения инвестиций, и в "чистом" виде не встречается, так как не учитывает некоторые факторы, а именно:
1) наличие «неформальных» критериев, т.е. тех, которые невозможно измерить количественно (например, согласованность проекта с общей стратегией предприятия, его социальный либо экологический характер и т.д.), в связи с чем проекты могут иметь различный приоритет;
2) уровень риска проектов;
3) другие факторы.
А)
|
R5(k5) |
||||||||
|
y5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
f5 |
k5* |
|
|
0 |
0 |
--- |
--- |
--- |
--- |
0 |
1 |
|
|
1 |
0 |
3 |
--- |
--- |
--- |
3 |
2 |
|
|
2 |
0 |
3 |
--- |
--- |
--- |
3 |
2 |
|
|
3 |
0 |
3 |
7 |
--- |
--- |
7 |
3 |
|
|
4 |
0 |
3 |
7 |
--- |
--- |
7 |
3 |
|
|
5 |
0 |
3 |
7 |
13 |
--- |
13 |
4 |
|
|
6 |
0 |
3 |
7 |
13 |
--- |
13 |
4 |
|
|
7 |
0 |
3 |
7 |
13 |
22 |
22 |
5 |
|
|
8 |
0 |
3 |
7 |
13 |
22 |
22 |
5 |
|
|
9 |
0 |
3 |
7 |
13 |
22 |
22 |
5 |
y5 -- объем капиталов на этапе 5;
f5 - max доход на 5-ом этапе при заданном y5;
.
Б)
y4 -- объем капиталов на 4-ом этапе, то есть для вложения в фигурное катание и теннис;
f4 -- max доход на 4-ом этапе при заданном y4;
.
В)
y3 -- объем капиталов на 3-ем этапе, то есть для вложения в фигурное катание, теннис и баскетбол;
f3 -- max доход на 3-ем этапе при заданном y3;
.
Г)
y2 -- объем капиталов на 2-ом этапе, то есть для вложения в фигурное катание, теннис, баскетбол и волейбол;
f2 -- max доход на 2-ом этапе при заданном y2;
.
На данном этапе видно, что правительству одинаково выгодно вложить деньги в 1 и 2 проекты второго предприятия.
Д)
y1 -- объем капиталов на 1-ом этапе, то есть для вложения во все виды спорта;
f1 -- max доход на 1-ом этапе при заданном y1;
.
На этом этапе видно, что максимальная прибыль от инвестиций равна 27 млрд. долл.
2.2 Оптимальный набор решений
Исходя из решения, можно сделать вывод о том, что государству одинаково выгодно два пути вложения инвестиций. Какой из этих путей выбирать, зависит от личных предпочтений или от политических целей. Максимальный доход, который может получить государство от инвестирования 9 млрд. долл., составляет 27 млрд. долл.
Путь 1:
· отрасль «оптово-розничной торговли» должна осуществить 1 проект, тогда на остальные отрасли останется 9 - 0 = 9 млрд. долл.
· отрасль «обрабатывающего производства» должна осуществить 2 проект, тогда на остальные отрасли останется 9 - 2 = 7 млрд. долл.
· отрасль «Транспорта и связи» должна осуществить 6 проект, тогда на остальные отрасли останется 7 - 7 = 0 млрд. долл.
· Следовательно, отрасли «Операций с недвижимым имуществом» и «Финансовой деятельности» ничего не получат.
Путь 2:
· отрасль «оптово-розничной торговли» должна осуществить 1 проект, тогда на остальные отрасли останется 9 - 0 = 9 млрд. долл.
· отрасль «обрабатывающего производства» должна осуществить также 1 проект, тогда на остальные отрасли останется 9 - 0 = 9 млрд. долл.
· отрасль «Транспорта и связи» должна осуществить 2 проект, тогда на остальные отрасли останется 9 - 1 = 8 млрд. долл.
· отрасль «Операций с недвижимым имуществом» должна осуществить 3 проект, тогда на остальные отрасли останется 8 - 5 = 3 млрд. долл.
· отрасль «Финансовой деятельности» должна осуществить также 3 проект, тогда на остальные отрасли останется 3 - 3 = 0 млрд. долл.
|
Проверка |
Путь 1 |
Путь 2 |
|
|
Общая стоимость проектов |
9 |
9 |
|
|
Общий доход |
27 |
27 |
Заключение
Рассмотрев в курсовой работе метод динамического программирования, я сделала вывод о том, что решение задач об инвестировании денег в различные отрасли этим способом является весьма удобным и эффективным, он всегда будет актуальным, т.к. в процессе развития многие предприятия и отрасли могут столкнуться с проблемой вложения денег в другие направления. И тут встает выбор, в какие предприятия вкладывать деньги и в каких размерах, чтобы иметь наибольший доход и не потерять свои вложения. Решение задачи этим способом гарантирует, что решение, выбранное на любом шаге, является не локально лучшим, а лучшим с точки зрения задачи в целом. Но даже этот способ имеет свои недостатки, говоря словами Беллмана, «проклятие размерности» - его сложность катастрофически возрастает с увеличением размерности задачи.
В настоящее время вопросы, связанные с применением динамического программирования в различных областях экономики и менеджмента, разрабатывались и разрабатываются многими отечественными и зарубежными исследователями, математиками и экономистами. Разработан ряд методов и моделей, предназначенных для предприятий и различного характера. Это говорит о том, что этот метод является востребованным и необходимым для решения многих управленческих задач.
Литература
М.Г.Зайцев «Методы оптимизации управления для менеджеров»
О.И.Ларичев. «Теория и методы принятия решений».
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие и виды задач математического линейного и нелинейного программирования. Динамическое программирование, решение задачи средствами табличного процессора Excel. Задачи динамического программирования о выборе оптимального распределения инвестиций.
курсовая работа [126,5 K], добавлен 21.05.2010Общая постановка задачи динамического программирования как метода оптимизации, приспособленного к операциям, в которых процесс принятия решения может быть разбит на этапы (шаги). Принцип оптимальности и уравнения Беллмана. Задача распределения ресурсов.
реферат [74,6 K], добавлен 30.01.2014Синтез вариационного исчисления и метода функций Ляпунова в основе принципа динамического программирования. Метод знакопостоянных функций Ляпунова в решении задач о стабилизации и синтезе управления для нелинейной и автономной управляемых систем.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 17.06.2011Решение задачи об оптимальном направлении капиталовложений в строительную отрасль и оптимизации поставки грузов. Применение симплекс-метода для оптимальной организации ремонтно-строительных работ. Изучение методов динамического программирования.
контрольная работа [2,2 M], добавлен 08.01.2011Симплексный метод как универсальное решение задач линейного программирования. Применение метода Жордана-Гаусса для системы линейных уравнений в канонической форме. Опорное решение системы ограничений. Критерий оптимальности. Задача канонической формы.
презентация [2,0 M], добавлен 11.04.2013Линейное программирование как наиболее разработанный и широко применяемый раздел математического программирования. Понятие и содержание симплекс-метода, особенности и сферы его применения, порядок и анализ решения линейных уравнений данным методом.
курсовая работа [197,1 K], добавлен 09.04.2013Общее понятие вектора и векторного пространства, их свойства и дополнительные структуры. Графический метод в решении задачи линейного программирования, его особенности и область применения. Примеры решения экономических задач графическим способом.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 14.11.2010Теория динамического программирования. Понятие об оптимальной подструктуре. Независимое и полностью зависимое множество вершин. Задача о поиске максимального независимого множества в дереве. Алгоритм Брона-Кербоша как метод ветвей, границ для поиска клик.
реферат [224,1 K], добавлен 09.10.2012Понятие линейного программирования и его основные методы. Формулировка задачи линейного программирования в матричной форме и ее решение различными методами: графическим, табличным, искусственного базиса. Особенности решения данной задачи симплекс-методом.
курсовая работа [65,3 K], добавлен 30.11.2010Задачи оптимального управления и ее разновидности. Вычислительные аспекты динамического программирования. Дифференциальное и интегральное исчисление в образах: функции, последовательности, ряды. Транспортная задача, модель-Леонтьева, задачи на повторение.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 20.06.2012Статистический подход к измерению правовой информации. Графический метод решения задач линейного программирования. Методика решения задач линейного программирования графическим методом. Количество информации как мера неопределенности состояния системы.
контрольная работа [79,4 K], добавлен 04.06.2010Знакомство с особенностями построения математических моделей задач линейного программирования. Характеристика проблем составления математической модели двойственной задачи, обзор дополнительных переменных. Рассмотрение основанных функций новых переменных.
задача [656,1 K], добавлен 01.06.2016Составление уравнения Эйлера, нахождение его общего решения. Нахождение с использованием уравнения Эйлера-Лагранжа оптимального управления, минимизирующего функционал для системы. Использование метода динамического программирования для решения уравнений.
контрольная работа [170,3 K], добавлен 01.04.2010Обыкновенные и модифицированные жордановы исключения. Последовательность решения задач линейного программирования симплекс-методом применительно к задаче максимизации: составлении опорного плана решения, различные преобразования в симплекс-таблице.
курсовая работа [37,2 K], добавлен 01.05.2011Графическое решение задачи линейного программирования. Общая постановка и решение двойственной задачи (как вспомогательной) М-методом, правила ее формирования из условий прямой задачи. Прямая задача в стандартной форме. Построение симплекс таблицы.
задача [165,3 K], добавлен 21.08.2010Сущность понятия "симплекс-метод". Математические модели пары двойственных задач линейного программирования. Решение задачи симплексным методом: определение минимального значения целевой функции, построение первого опорного плана, матрица коэффициентов.
курсовая работа [219,4 K], добавлен 17.04.2013Сущность линейного программирования. Изучение математических методов решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейной целевой функцией. Нахождение точек наибольшего или наименьшего значения функции.
реферат [162,8 K], добавлен 20.05.2019Основные понятия математического моделирования, характеристика этапов создания моделей задач планирования производства и транспортных задач; аналитический и программный подходы к их решению. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.
курсовая работа [2,2 M], добавлен 11.12.2011Задача целочисленного линейного программирования, приведение к канонической форме. Общие идеи методов отсечения. Алгоритм Гомори для решения целочисленных задач линейного программирования. Понятие правильного отсечения и простейший способ его построения.
курсовая работа [67,5 K], добавлен 25.11.2011Численные методы поиска безусловного экстремума. Задачи безусловной минимизации. Расчет минимума функции методом покоординатного спуска. Решение задач линейного программирования графическим и симплексным методом. Работа с программой MathCAD.
курсовая работа [517,9 K], добавлен 30.04.2011
