Усереднення багатоточкових задач для нелінійних коливних систем з повільно змінними частотами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут математики

ПЕТРИШИН Ярослав Романович

УДК 517.927

УСЕРЕДНЕННЯ БАГАТОТОЧКОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕЛІНІЙНИХ КОЛИВНИХ СИСТЕМ З ПОВІЛЬНО ЗМІННИМИ ЧАСТОТАМИ

01.01.02 - диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Київ - 2001

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі прикладної математики і механіки Чернівецького національного університету ім. Ю.Федьковича.

Науковий керівник - академік НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор САМОЙЛЕНКО Анатолій Михайлович, Інститут математики НАН України, директор інституту

Офіційні опоненти: член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор ПЕРЕСТЮК Микола Олексійович, Київський національний університет ім.Т.Шевченка, декан механіко-математичного факультету;

кандидат фізико-математичних наук, доцент КОРОЛЬ Ігор Іванович, Ужгородський національний університет, доцент кафедри диференціальних рівнянь і математичної фізики

Провідна установа - Одеський національний університет ім. І.І.Мечнікова, кафедра економічної кібернетики і оптимального керування, м.Одеса.

Захист відбудеться 11 грудня 2001 р. о 15:00 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 в Інституті математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України (01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3).

Автореферат розісланий 8 листопада 2001 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Пелюх Г.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Багаточастотні системи звичайних диференціальних рівнянь є типовими при вивченні коливних процесів в класичній і небесній механіці, радіотехніці, електротехніці та багатьох інших розділах природознавства. Наявність у таких системах повільних і швидких рухів не дозволяє ефективно використовувати класичні методи досліджень, наприклад, числові, бо в цьому випадку необхідно вибирати малий крок.

Серед різноманітних підходів дослідження багаточастотних коливань одним з найбільш продуктивних, але разом з тим і складних, виявився метод усереднення. У 1965 р. В.І.Арнольд опублікував перший результат про оцінку похибки методу усереднення у двочастотних резонансних системах з аналітичними правими частинами, що дало можливість переосмислити природу резонансів. Пізніше різні питання обгрунтування та застосування методу усереднення для коливних систем досліджено в монографіях М.М.Боголюбова і Ю.О.Митропольського, В.М.Волосова і Б.І.Моргунова, Є.О.Гребенікова і Ю.О.Рябова, А.М.Самойленка і М.О.Перестюка, М.М.Хапаєва, В.О.Плотнікова, А.М.Самойленка і Р.І.Петришина та ін. Викладені тут ідеї та алгоритми дістали подальший розвиток на випадки багаточастотних систем із запізненням та імпульсним впливом.

Важливе місце при дослідженні звичайних диференціальних рівнянь займає теорія крайових задач, інтенсивний розвиток якої в останні десятиріччя обумовлений необхідністю розв'язання низки теоретичних і практичних проблем. Створюються аналітичні, чисельні та чисельно-аналітичні методи, які дозволяють будувати точні чи наближені розв'язки нелінійних крайових задач, вивчати оцінки похибок. Результати таких досліджень висвітлено у працях А.Б.Васильєвої та В.Ф.Бутузова, І.Т.Кігурадзе, А.Я.Лєпіна і Л.А.Лєпіна, Н.І.Васильєва і Ю.А.Клокова, А.М.Самойленка і О.А.Бойчука, А.Ю.Лучки, М.О.Перестюка і А.М.Ронто та ін. У монографії А.М.Самойленка і А.М.Ронто Самойленко А.М., Ронто Н.И. Численно-аналитические методы в теории краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений.- К.: Наук. думка, 1992.- 279 с. наведена досить повна бібліографія і проведена класифікація методів і підходів розв'язання крайових задач. Проте їх використання для багаточастотних коливних систем веде до значних труднощів через появу резонансних співвідношень між координатами вектора частот. У такій ситуації зручним виявилось використання методу усереднення до розв'язання крайових задач, бо процедура усереднення, як правило, спрощує досліджувану задачу.

Дослідження розв'язності крайових задач для систем стандартного вигляду за допомогою методу усереднення вивчалося в роботах багатьох авторів і привело до широких застосувань, в тому числі до задач оптимального керування.

Але цей метод поки що не знайшов належного застосування у крайових задачах для систем з повільними та швидкими змінними. Відмітимо лише результати, отримані в цьому напрямку Д.Д.Байновим і С.Д.Мілушевою, В.О.Плотніковим і В.В.Бардай, А.М.Самойленком і Р.І.Петришиним, В.В.Самойленком.

Проаналізувавши наукові дослідження стосовно обгрунтування методу усереднення в крайових задачах для звичайних диференціальних рівнянь, можна зробити висновок, що найповніші результати одержано для рівнянь стандартного вигляду та деяких класів рівнянь з повільними та швидкими рухами і оператором усереднення вздовж породжуючого розв'язку. Якщо частоти коливної системи змінні і їм властиве явище резонансу, то повних результатів ще не одержано.

Недостатньо вивчено усереднення за всіма швидкими змінними в резонансних крайових задачах з параметрами та імпульсним впливом.

Дисертаційна робота присвячена розв'язанню цих проблем у випадку загальних крайових задач для коливних систем з майже періодичними за швидкими змінними правими частинами.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження дисертаційної роботи розпочаті в рамках теми "Якісні і конструктивні методи дослідження систем з післядією та їх застосування" (N держреєстрації 0199U001909), що виконувалась на кафедрі прикладної математики і механіки Чернівецького університету в 1996-2000 роках, і були продовжені в рамках науково дослідної роботи "Обгрунтування асимптотичних методів дослідження нелінійних диференціальних та диференціально-функціональних рівнянь" (N держреєстрації 0100U005501), яка входить до координаційного плану наукових досліджень міністерства освіти і науки України з напрямку "Геометричні та аналітичні методи в математиці та їх застосування".

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є обгрунтування методу усереднення в крайових задачах з багатоточковими та інтегральними крайовими умовами для коливних систем з повільно змінними частотами, яким властиве явище резонансу. Безпосередніми задачами дослідження є всебічне вивчення умов розв'язності та встановлення ефективних оцінок відхилення розв'язків вихідних та усереднених задач для вказаних систем, зокрема і у випадку систем, що підлягають імпульсному впливу у фіксовані моменти часу.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації вперше одержано такі наукові результати:

– доведено існування розв'язків крайових задач для резонансних ситем із залежними від повільних змінних частотами і вивчено залежність похибки методу усереднення від малого параметра, а при відсутності резонансів у нульовому наближенні встановлено також єдиність розв'язку;

– встановлено розв'язність багатоточкових крайових задач з параметрами для коливних систем, частоти яких залежать від "повільного часу", у випадках як лінійної, так і нелінійної залежності крайових умов та рівнянь від параметрів;

– знайдено достатні умови існування та єдиності розв'язків крайових задач з інтегральними крайовими умовами та параметрами, причому усереднена задача будується шляхом усереднення не тільки диференціальних рівнянь, але й крайових умов;

– оцінено частинні похідні по початкових даних і параметрах різниці розв'язків задачі Коші для вихідних та усереднених систем з імпульсним впливом у фіксовані моменти часу, а також доведено аналог теореми Банфі-Філатова про обгрунтування методу усереднення на півосі;

– одержано умови розв'язності крайових задач (в тому числі і з параметрами) для імпульсних систем з багатоточковими та інтегральними крайовими умовами.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має теоретичний характер. Її результати можуть бути використані при подальших дослідженнях з теорії багаточастотних коливань і при вивченні конкретних задач практики, математичними моделями яких є розглянуті в ній крайові задачі.

Зазначимо, що результати робіт [1,2] використані в монографії А.М. Самойленка і Р.І. Петришина Самойленко А.М., Петришин Р.I. Багаточастотнi коливання нелiнiйних систем.--- К.: Iн-т математики НАН України, 1998.- 340 c..

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації отримані автором самостійно. У спільних з науковим керівником роботах [1-3] А.М.Самойленку належить постановка задач та аналіз одержаних результатів, а в статті [4] Р.І.Петришин поставив задачу і визначив загальну схему дослідження.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, що включені до дисертації, доповідались на: міжнародних конференціях "MODELLІNG AND ІNVESTІGATІON OF SYSTEMS STABІLІTY" (Київ, 1997р.), "Сучасні проблеми математики" (Чернівці, 1998р.), "DYNAMІCAL SYSTEMS MODELLІNG AND STABІLІTY ІNVESTІGATІON" (Київ, 1999 і 2001 pр.), "Еругинские чтения - VІ" (Гомель, 1999 р.), "Понтрягинские чтения - X" (Воронеж, 1999 р.), "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения" (Воронеж, 2000 р.), "Диференціальні та інтегральні рівняння" (Одеса, 2000 р.), VІІ і VІІІ міжнародних конференціях ім. академіка М.Кравчука (Київ, 1998 і 2000 рр.), всеукраїнській конференції "Диференціально-функціональні рівняння та їх застосування" (Чернівці, 1996р.), наукових семінарах математичного факультету та кафедри прикладної математики і механіки Чернівецького університету (Чернівці, 1997-2001 рр.).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в 12 працях, з них 5 - в наукових журналах, 2 - у збірниках наукових праць і 5 - у матеріалах конференцій. Серед публікацій 5 праць у наукових фахових виданнях з переліку №1 ВАК України від 9.06.1999р.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, трьох розділів, висновків і списку використаної літератури, який містить 110 найменувань. Повний обсяг роботи становить 131 сторінкy.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику академіку НАН України А.М. Самойленку за постановку задач і постійну увагу до роботи.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми, ставляться мета і задачі дослідження, вказується на зв'язок дисертації з науковими темами кафедри, де вона виконувалась, наводяться основні результати, відзначається їх новизна, практичне значення і апробація.

У першому розділі зроблено огляд праць, що стосуються методу усереднення в багаточастотних системах, крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь та використаної в дисертації методики.

У розділі 2 наведено постановку багатоточкових задач для коливних систем з повільно змінними частотами, доведено теореми про їх розв'язність, а також встановлено оцінки відхилення розв'язків вихідної та усередненої задач.

У підрозділі 2.1 розглядається багаточастотна система n+m звичайних диференціальних рівнянь

(1)

в якій , , ,

(2)

Тут і надалі через (- ціле) позначатимемо множину матричних функцій , які разом із всіма своїми частинними похідними по z до порядку l неперервні по і обмежені сталою , а через при - підмножину множини , кожний елемент якої задовольняє умову Гельдера . Під нормою матриці розуміємо суму модулів її елементів.

Вважатимемо, що X і належать класу майже періодичних по функцій, для яких

(3)

де при - уявна одиниця, - скалярний добуток векторів. На частоти накладемо обмеження

(4)

Тут

при і - парна фінітна неперервно диференційовна на R функція з носієм .

Задамо для рівняння (1) крайові умови

(5)

в яких - n-вимірна вектор-функція змінних

Усереднена за всіма швидкими змінними задача набуде вигляду

(6)

(7)

Теорема 3.6.1. Припустимо, що: 1) виконуються обмеження А)--В); 2) , , ; 3) для деяких і існує такий єдиний розв'язок задачі (19), (20), що , а крива лежить в D разом із своїм -околом; 4) , , ; 5) , . Тоді можна вибрати такі додатні сталі і , що для кожного , задача (18), (20) має єдиний розв'язок , який задовольняє нерівності

,

.

Досліджено також більш загальний випадок крайових умов за рахунок заміни у (20) на . При цьому доведено лише існування розв'язку крайової задачі і оцінку похибки методу усереднення з поправкою для швидких змінних.

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена використанню методу усереднення для вивчення розв'язності крайових задач для деяких класів нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь з повільними та швидкими рухами. Такого типу системи є важливими як з точки зору застосувань у теорії нелінійних коливань, так і в математичній теорії багаточастотних систем.

Основними новими результатами дисертації є наступні:

– доведено існування розв'язків крайових задач для резонансних систем із залежними від повільних змінних частотами і вивчено залежність похибки методу усереднення від малого параметра, а при відсутності резонансів у нульовому наближенні встановлено також єдиність розв'язку;

– встановлено розв'язність багатоточкових крайових задач з параметрами для коливних систем, частоти яких залежать від "повільного часу", у випадках як лінійної, так і нелінійної залежності крайових умов та рівнянь від параметрів;

– знайдено достатні умови існування та єдиності розв'язків крайових задач з інтегральними крайовими умовами та параметрами, причому усереднена задача будується шляхом усереднення не тільки диференціальних рівнянь, але й крайових умов;

– оцінено частинні похідні по початкових даних і параметрах різниці розв'язків задачі Коші для вихідних та усереднених систем з імпульсним впливом у фіксовані моменти часу, а також доведено аналог теореми Банфі-Філатова про обгрунтування методу усереднення на півосі;

– одержано умови розв'язності крайових задач (в тому числі і з параметрами) для імпульсних систем з багатоточковими та інтегральними крайовими умовами.

Одержані результати і методика доведень мають, в основному, теоретичне значення. Строге математичне обгрунтування цих результатів визначає їх достовірність. Запропоновані підходи розв'язання крайових задач для коливних систем з майже періодичними за швидкими змінними правими частинами можуть бути поширені і узагальнені на нові класи диференціальних рівнянь у різних функціональних просторах, а також використані при вивченні практичних задач теорії нелінійних коливань.

Основні результати дисертації опубліковані в працях

1. Самойленко А.М., Петришин Я.Р. Метод усереднення в багатоточкових задачах теорії нелінійних коливань // Укр. мат. журн.- 1996.- 48, №8.- С.1096-1103.

2. Самойленко А.М., Петришин Я.Р. Крайові задачі з параметрами для багаточастотної коливної системи // Укр. мат. журн.- 1997.- 49, №4.- С.581-589.

3. Самойленко А.М., Петришин Я.Р. Багатоточкові задачі для коливних систем з повільно змінними частотами // Нелінійні коливання.- 1999.- 2, №2.- С.231-240.

4. Петришин Р.І., Петришин Я.Р. Усереднення крайових задач для систем диференціальних рівнянь з повільними та швидкими змінними // Нелінійні коливання.-1998.- №1.-C.51-65.

5. Петришин Я.Р. Усереднення багатоточкової задачі з параметрами для коливної системи з імпульсною дією // Укр. мат. журн.- 2000.- 52, №3.- С.419-423.

6. Петришин Я.Р. Оцінки відхилення розв'язків деяких багатоточкових задач // Інтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр.- К.: Ін-т математики НАН України, 1996.- Вип. 13.- С.174-187.

7. Петришин Я.Р. Знаходження початкових даних розв'язків диференціальних рівнянь у випадку багатоточкових крайових умов // Інтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр.- К.: Ін-т математики НАН України, 1997.- Вип. 16.- С.235-240.

8. Петришин Я.Р. Построение решения многоточечной импульсной задачи методом усреднения // Междунар. конф. "Еругинские чтения - VІ" (20-21 мая 1999 г., Гомель): Тез. докл., Ч.1.- Гомель, 1999.- С.71-72.

9. Петришин Я.Р. Краевая задача для многоточечной импульсной колебательной системы // "Понтрягинские чтения - X" на Воронежской мат. школе "Современные методы в теории краевых задач" (3-9 мая 1999 г., Воронеж): Тез. докл.- Воронеж, 1999.- С.195.

10. Петришин Я.Р. Про рівномірну оцінку одної осциляційної суми // VІІІ міжнар. наук. конф. ім. акад. М.Кравчука (11-14 травня 2000 р., Київ): Матеріали конф.- Київ, 2000.- С.165.

11. Петришин Я.Р. Многоточечная задача для двухчастотной резонансной системы // Междунар. науч. конф. "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения" (15-20 мая 2000 г., Воронеж): Тез. докл.- Воронеж, 2000.- С.30-31.

12. Петришин Я.Р. Усереднення крайових задач для резонансних систем з імпульсним впливом та інтегральними крайовими умовами // Міжнар. наук. конф. "Диференціальні та інтегральні рівняння" (12-14 вересня 2000 р., Одеса): Тез. доп.- Одеса, 2000.- С.217-218.

Анотація

диференціальний рівняння математичний коливання

Петришин Я.Р. Усереднення багатоточкових задач для нелінійних коливних систем з повільно змінними частотами.- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. Інститут математики НАН України, Київ, 2001.

Дисертаційна робота присвячена використанню методу усереднення для вивчення розв'язності крайових задач для деяких класів нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь з повільними та швидкими рухами. Такого типу системи є важливими як з точки зору застосувань у теорії нелінійних коливань, так і в математичній теорії багаточастотних систем.

У дисертаційній роботі знайдено достатні умови розв'язності багатоточкових задач для коливних систем з майже періодичними за швидкими змінними правими частинами і залежними від повільних змінних частотами, а також встановлено кількісну залежність похибки методу усереднення від величини малого параметра. Доведено нові теореми існування та єдиності розв'язків крайових задач з параметрами і багатоточковими та інтегральними крайовими умовами для коливних систем, частоти яких залежать від "повільного часу". Встановлено оцінки частинних похідних по початкових даних і параметрах різниці розв'язків задачі Коші для вихідних та усереднених коливних систем з імпульсним впливом. Ці оцінки використано для розв'язання крайових задач як з параметрами, так і без них для імпульсних систем.

Ключові слова: метод усереднення, багаточастотна система, система з імпульсним впливом, крайова задача, багатоточкові умови.

Abstracts

Petryshyn Y.R. Averagіng of multіdot problems for nonlіnear oscіllatіng systems wіth slowly changeable frequencіes.- Manuscrіpt.

The thesіs for obtaіnіng the scіentіfіc degree of the candіdate of physіcal and mathematіcal scіences on the specіalіty 01.01.02 - dіfferentіal equatіons. Іnstіtute of Mathematіcs Natіonal Academy of Scіences of Ukraіne, Kyіv, 2001.

The dіssertatіon іs devoted to the use of averagіng method for learnіng of the possіbіlіty of solvіng boundary value problems for some classes of nonlіnear systems of usual dіfferentіal equatіons wіth slow and fast movements. Systems of such kіnds are іmportant both from the poіnt of vіew of theіr usage іn the theory of nonlіnear oscіllatіons and іn the mathematіcal theory of multі-frequent systems.

Іn the dіssertatіon suffіcіent condіtіons for the possіbіlіty of solvіng multіdot problems for the oscіllatіng systems wіth almost perіodіc rіght parts wіth respect to fast varіables and frequencіes dependіng on slow varіables have been found. The quantіtatіve dependence of the error of a method of averagіng dependіng on the sіze of small parameter has also been establіshed. New theorems of exіstence and unіqueness of solutіons of boundary value problems wіth parameters and multіdot and іntegral boundary condіtіons for oscіllatіng systems, frequencіes of whіch depend on "slow tіme", have been proved. The estіmatіons of partіal derіvatіves due to іnіtіal data and parameters of the dіfference of solutіons of the Cauchy problem for the іnіtіal and average oscіllatіng systems wіth іmpulse іnfluence have been establіshed. These estіmatіons have been used for solvіng boundary value problems both wіth parameters and wіthout them for іmpulse systems.

Key words: method of averagіng, multі-frequent system, system wіth іmpulse іnfluence, boundary value problem, multіdot condіtіons.

Аннотация

Петришин Я.Р. Усреднение многоточечных задач для нелинейных колебательных систем с медленно меняющимися частотами.- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Институт математики НАН Украины, Киев, 2001.

Диссертация посвящена использованию метода усреднения для изучения разрешимости краевых задач для некоторых классов нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с медленными и быстрыми движениями. Такие системы важны как с точки зрения применения в теории нелинейных колебаний, так и в математической теории многочастотных систем. Использование метода усреднения в колебательных системах усложняется по сравнению с системами обыкновенных дифференциальных уравнений в стандартной форме в связи с появлением резонансных соотношений между координатами переменного вектора частот. Именно в резонансных зонах происходит существенное отклонение решений исходной и усредненной систем. Для решения этой проблемы при исследовании краевых задач мы используем равномерные оценки осцилляционных интегралов и сумм и принцип сжимающих отображений или теорему Брауэра о неподвижной точке.

Основными новыми результатами диссертации являются следующие:

– доказано существование решений краевых задач для резонансных систем с зависящими от медленных переменных частотами и изучена зависимость погрешности метода усреднения от малого параметра, а при отсутствии резонансов в нулевом приближении установлена также единственность решения;

– установлена разрешимость многоточечных краевых задач с параметрами для колебательных систем, частоты которых зависят от "медленного времени", в случаях как линейной, так и нелинейной зависимости краевых условий и уравнений от параметров;

– найдены достаточные условия существования и единственности решений краевых задач с интегральными краевыми условиями и параметрами, причем усредненная задача строится путем усреднения не только дифференциальных уравнений, но и краевых условий;

– получены оценки частных производных по начальным значениям и параметрам разности решений задачи Коши для исходных и усредненных систем с импульсным воздействием в фиксированные моменты времени, а также доказан аналог теоремы Банфи-Филатова обоснования метода усреднения на полуоси;

– найдены условия разрешимости краевых задач (в том числе и с параметрами) для импульсных систем с многоточечными и интегральными краевыми условиями.

Полученные результаты и методика доказательств имеют, в основном, теоретическое значение. Строгое математическое обоснование этих результатов определяет их достоверность. Предложенные подходы решения краевых задач для колебательных систем с почти периодическими по быстрым переменным правыми частями могут быть расширены и обобщены на новые классы дифференциальных уравнений в различных функциональных пространствах, а также использованы при изучении практических задач теории нелинейных колебаний.

Ключевые слова: метод усреднения, многочастотная система, система с импульсным воздействием, краевая задача, многоточечные условия.

Размещено на Allbest.ru