Апроксимація функцій з обмеженою похідною загального вигляду поліномами і цілими функціями експоненціального типу

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут прикладної математики і механіки

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

01.01.01 - Математичний аналіз

Апроксимація функцій з обмеженою похідною загального вигляду поліномами і цілими функціями експоненціального типу

Швецова Олександра Михайлівна

Донецьк 2001

Дисертацією є рукопис. Робота виконана в Донецькому національному університеті.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Тригуб Роальд Михайлович, Донецький національний університет, завідувач кафедри математичного аналізу і теорії функцій.

Офіційні опоненти: член кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор Моторний Віталій Павлович, Дніпропетровський національний університет, завідувач кафедри теорії функцій;

кандидат фізико-математичних наук, Товстоліс Олександр Володимирович, Донецький національний університет, Центр інформаційних і комп'ютерних технологій, заступник директора.

Провідна установа: Інститут математики НАН України, м. Київ, відділ теорії функцій.

Захист відбудеться о годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 11.193.02 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р.Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р.Люксембург, 74.

Автореферат розісланий 2001 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої Чані О.С. ради

1. Загальна характеристика роботи

мультиплікатор похідна множник нескінченність

Актуальність теми. В дисертаційній роботі метод мультиплікаторів Фур'є застосовано до дослідження деяких задач теорії наближення функцій.

А.Н. Колмогоров вперше розглянув і вирішив задачу про асимптотику наближення частковими сумами ряду Фур'є класу Wr періодичних функцій з обмеженою похідною f(r) (при r=0 - Лебег і Фейєр). Різним узагальненням і уточненням теореми Колмогорова були присвячені роботи багатьох математиків.

Особливо треба відмітити результати С.М. Нікольського, С.О. Теляковського і С.Б. Стєчкіна.

В.О. Леонтьєву вдалось виділити декілька членів асимптотики.

В 1983 р. О.І. Степанець розглянув загальний клас W з обмеженою похідною f, яка визначається введенням множників у ряд Фур'є f, і задачу Колмогорова для нього. Мета - дослідити залежність наближення різних класів функцій від малої гладкості до високої. Див. монографію О.І. Степанця (1987), де викладені результати автора та його учнів.

Відмітимо, що, як відомо, замість часткових сум досліджують і різні інші методи підсумовування рядів Фур'є: середні Валле-Пуссена, Рісса, Бернштейна-Рогозинського та інші.

Подібна задача для класу Харді H аналітичних в крузі функцій з обмеженою r-ю похідною вперше була розглянута та вирішена С.Б. Стєчкіним (при r=0 ще Е. Ландау знайшов точний розв'язок і асимптотику). Навіть у цьому класичному випадку до цього часу немає формули з абсолютною константою в залишковому члені, тим більше, для класу WH.

Задача про точне значення найкращого наближення класу Wr і близьких до нього тригонометричними поліномами даного порядку вирішені Ж. Фаваром, Н.І Ахієзером і М.Г. Крейном, В.К. Дзядиком (r- неціле) та іншими. Загальний результат, але лише у випадку парної або непарної функції з умовами типу опуклості, одержано С. Надєм. У випадку аналітичних в крузі функцій точне значення найкращого наближення класу WrH знайдено К.І. Бабенко.

Далі J.T. Scheick вирішив цю задачу для класу WH з умовами на більш загальними, ніж опуклість. Остаточні результати тут належать В.І. Білому і М.З. Двейріну.

Аналогічні задачі для класів неперіодичних функцій на осі, коли замість поліномів - цілі функції експоненціального типу, взагалі мало досліджені. Точні значення найкращого наближення класу Wr знайдено М.Г. Крейном, який розглядав і більш загальні диференціальні оператори.

Знаходження точного значення найкращого наближення - це рідкісний випадок. Не припускаючи парною чи непарною, навіть задача про точний порядок (без асимптотики) була досліджена раніше лише в окремих випадках.

Саме цим актуальним задачам і присвячена ця робота.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у межах наукової теми № 0196 UKRAINE 00709 “Гармонічний аналіз функцій та операторів”. Вивчення розглянутих в роботі питань відповідає основному науковому напрямку роботи кафедри математичного аналізу і теорії функцій Донецького національного університету.

Мета і задачі дослідження. Розглядається клас функцій з обмеженою похідною загального виду, який визначається функцією . Для цього класу досліджуються задачі про асимптотику наближення частковими сумами ряду Фур'є в періодичному випадку, многочленами Тейлора у випадку аналітичних в крузі функцій, інтегралами Фур'є в неперіодичному випадку та інші. Мета: простежити залежність цього наближення від зміни гладкості класу, яка визначається порядком прямування до нуля.

Методи дослідження. Автор використовує метод мультиплікаторів Фур'є в просторах C і L1. Теореми про мультиплікатори в просторах Lp при p(1,+) (М. Рісс, І. Марцинкевич, С.Г. Міхлін) вже давно застосовано до різних задач теорії функцій. В просторах C і L1 маємо повний опис мультиплікаторів (див., наприклад, відому монографію І. Стейна і Г. Вейса).

У випадку повного ряду Фур'є, коли спектр функцій дорівнює Z, норма мультиплікатора в C і L1 однакова. Але вже у випадку спектра Z без однієї точки норми можуть бути різними (С.М. Нікольський). С.Б. Стєчкін і С.О. Теляковський знайшли приклад послідовності мультиплікаторів з різною асимптотикою в C і L1 .

Деякі властивості мультиплікаторів на спектрі та асимптотичні формули для послідовностей мультиплікаторів в C і L1 див. в статті Р.М. Тригуба (Докл. АН СССР, 1989).

Відмітимо, що у аналітичному випадку круга, коли спектр дорівнює Z+, задача ускладнюється через необхідність вибору продовження мультиплікатора на Z. Зв'язок між мультиплікаторами рядів і інтегралів Фур'є встановлено de Leeuw і І. Стейном.

Наукова новизна одержаних результатів визначається наступними положеннями.

Знайдено нову загальну асимптотичну формулу для наближення в просторах C і L1 послідовністю часткових сум ряду Фур'є класу W з умовами на ш, які є більш загальні, ніж опуклість.

Знайдено нову загальну асимптотичну формулу для наближення в просторах Харді H і H1 послідовністю многочленів Тейлора класу W . Навіть у класичному випадку Wr маємо новий результат.

Знайдено нову загальну асимптотичну формулу для наближення в просторах Харді H і H1 класу W послідовністю середніх ряду Тейлора, які визначаються фінітною функцією загального типу. Важливий приклад - середні Валле-Пуссена.

Знайдено нову загальну асимптотичну формулу для наближення в просторі L1 середніми Валле-Пуссена інтегралів Фур'є класу W.

Знайдено точний порядок спадання послідовності найкращих наближень класу W у випадках, позначених положеннями 1, 2, 4.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація носить теоретичний характер. Отримані результати та методика, яка була використана, можуть бути застосовані для подальших досліджень в цій галузі.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідалися та обговорювалися на:

Міжнародній конференції з теорії наближення функцій та її застосувань, присвячена пам'яті В.К. Дзядика, Київ, 26-31 травня 1999 р.;

Міжнародній конференції присвяченої 100-річчю від дня народження академіка М.О. Лаврентьєва, Київ, 31 жовтня -3 листопада 2000 р.;

Семінарі відділу теорії функцій Інституту математики НАН України, Київ, 2000р. (керівник член-кор. НАН України О.І. Степанець);

Семінарах кафедри математичного аналізу і теорії функцій Донецького національного університету, 1999-2001 р. (керівник проф. Р.М. Тригуб).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 7 роботах, з яких 4 - статті у збірниках наукових праць, 3 - тези доповідей конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота викладена на 120 сторінках і містить вступ, основну частину з чотирьох розділів, висновки, список літератури. Список використаної літератури складається з 78 джерел і розташований на 9 сторінках.

2. Основний зміст

У вступі обґрунтовується актуальність теми, формулюються мета та задачі дослідження, наукова новизна, а також апробація результатів роботи.

В нульовому розділі подається огляд робіт математиків, які займалися, чи займаються вказаними вище задачами. В підрозділі 0.1. перелічено основні результати робіт щодо проблеми наближення частковими сумами ряду Фур'є класів неперервних періодичних функцій. В підрозділі 0.2. наведено огляд робіт з питань найкращого наближення класів періодичних функцій.

В підрозділі 0.3. викладено деякі результати, що стосуються задач найкращого наближення класів функцій аналітичних в крузі. В підрозділі 0.4. наведено огляд робіт з питань асимптотики наближення аналітичних в крузі функцій частковими сумами ряду Тейлора.

В підрозділі 0.5. викладено методику, яка застосована в роботі. По-перше, це відомі результати про мультиплікатори Фур'є, які належать І. Стейну і de Leeuw. Далі наведені теореми про асимптотику послідовності норм мультиплікаторів в просторах C і L1. З застосуванням цієї методики доводиться наступне твердження.

Твердження. Нехай rN або r(0,1),

ядро Бернуллі та - тригонометричний поліном степені не вище n найкращого L1 - наближення Br(t). Тоді

,

де при rN Mr дорівнює відомій константі Фавара,

а при r(0,1)

константи Дзядика-Фавара.

Це є уточнення одного результату В.П. Моторного, в якому іншим методом доведено, що інтеграл є O(n-r-1ln n).

В першому розділі розглядаються питання наближення класу неперервних періодичних функцій з обмеженою похідною загального вигляду. Класи були введені у 1983 році О.І. Степанцем.

Нехай fL1(T), T=[-, ), ряд Фур'є функції f будемо писати у вигляді

.

Нехай тепер {(k)}(kZ0=Z\{0}) - числова послідовність, зникаюча на нескінченності (lim (k)=0 при |k|), (k)0 kZ0 .

Позначимо через клас неперервних періодичних функцій, для яких тригонометричний ряд

є рядом Фур'є обмеженої функції f (“ш- похідна”) та f.

де rN, це є клас функцій, які мають обмежену r- ту похідну.

Надалі через будемо позначати найкраще наближення функції f тригонометричними поліномами степені не вище n, через C- абсолютні додатні константи.

Теорема 1.1. Нехай n- ціле , функція :RC локально абсолютно неперервна на (-, -n-1] і [n+1, ), (k) kZ0, lim|x|(x)=0, а

Тоді (вважаємо, що )

повний еліптичний інтеграл другого роду.

Зауваження. Очевидно, що функція може бути спочатку задана лише послідовністю на множині цілих чисел. А далі між сусідніми цілими числами вважаємо, що , наприклад, лінійна. Умова є більш слабкою ніж опуклість, але більш сильною, ніж обмеженість змінювання.

Формула в теоремі 1.1 не завжди буде асимптотичною. Наступна теорема наводить просту для перевірки достатню умову того, щоб формула в теоремі 1.1 була асимптотичною.

Теорема 1.2. Нехай задовольняє умовам теореми 1.1, . Re, Im опуклі на [n+1,+). Тоді

,

||C і формула є асимптотичною.

Теорема 1.1, як і наведені нижче, дозволяє дослідити залежність швидкості наближення на класі неперервних періодичних функцій в залежності від гладкості класу, яка визначається швидкістю спадання функції до нуля: від малої гладкості до нескінченно диференційовних.

Наведемо два приклади. В першому - функція степеневого порядку, у другому - порядку e-|x|/ln |x|.

Приклад 1.1. Нехай a,bR ,

a2+b20 (r > 0), а

функція тригоно-метрично спряжена до f(r),

. Тоді

(При a=0 чи b=0 - це класичні результати).

Приклад 1.2. Нехай

(k)=e-|k|/ln|k|cosk+e-|k|/ln|k|sink (kZ0), де k=(k)=k або k=(k)=k. Тоді (||C)

.

Точний порядок найкращого наближення функцій класу W тригонометричними поліномами порядку не вище наведено в теоремі 1.3.

Теорема 1.3. Нехай функція задовольняє умовам теореми 1.1 і Re, Im опуклі на (-,-n-1] і [n+1,+) . Тоді

(двостороння нерівність з абсолютними додатними константами).

В теоремі 1.4 наведена нерівність типу Бернштейна для - похідної тригонометричних поліномів.

Теорема 1.4. Нехай nN, функція :RC абсолютно неперервна на [-n,-1] і [1,n], (k)0 при 1|k|n. Re(1/), Im(1/) опуклі вверх та зростають на [1,n], опуклі вверх та спадають на [-n, -1]. Тоді (||C)

.

Як відомо, з теорем про порядок найкращого наближення випливає оцінка зверху для поперечників відповідного класу. А з нерівності типу Бернштейна відразу випливає оцінка знизу. Тому з теореми 1.3 та 1.4 (при очевидних додаткових умовах на ) виходить результат про точний порядок спадання поперечників класу W.

Далі наводиться теорема 1.5, яка стосується результатів в метриці L1.

Теорема 1.5. Результати теорем 1.1-1.4 справедливі і тоді, коли метрику С замінити на L1.

В другому розділі досліджуються проблеми наближення класів функцій аналітичних у крузі з обмеженою похідною загального вигляду.

Нехай є одиничний круг. Розглянемо простір H функцій аналітичних в D

D={zC, |z|<1}

||f ||=supzD|f(z)|, ak=f(k)(0)/k! (kZ+).

Нехай тепер {(k)}1- числова послідовність така, що lim (k)=0 при k, (k)0 kN.

Позначимо через H клас функцій з H, для яких степеневий ряд

є рядом Тейлора функції f та ||f ||1.

В аналітичному випадку клас H був введений J. T. Scheick. В цьому розділі наведено наступну теорему.

Теорема 2.1. Нехай nN, а функція :R+ C локально абсолютно неперервна на [n+1,), (k)0 kN, limx(x)=0 і

.

Тоді (вважаємо, що )

,

де ||C.

Формула є асимптотичною при n, якщо, наприклад, Re, Im опуклі та .

Відмітимо, що в роботі В.В. Савчука (Укр. мат. журн., 1998) є оцінка зверху при додаткових умовах на функцію .

Підкреслимо, що обмежена абсолютною константою; навіть у класичному випадку обмеженої r-ої похідної не було такого результату.

Теорема 2.2 містить асимптотику наближення функцій класу H лінійними середніми загального вигляду.

Теорема 2.2. Нехай nN, функція задовольняє умовам теореми 2.1. Нехай : [0,1] C абсолютно неперервна на [0,1], (0)=1, (1)=0 і . Тоді

де | i | C, i=1,2.

Умовам теореми 2.2 задовольняють багато класичних середніх (Валле-Пуссена, Зигмунда і т.п.). Наведемо, наприклад, результат для середніх типа Валле-Пуссена.

Наслідок 2.1. Нехай функція задовольняє умовам теореми 2.1, а

є середні Валле-Пуссена ряду Тейлора f .

Тоді

.

В цьому розділі також наведена теорема 2.3, що стосується точного порядку найкращого наближення функцій класу H алгебраїчними поліномами порядку не вище n.

Теорема 2.4 надає порядок нерівності типу Бернштейна для аналітичних поліномів.

Теорема 2.5. Результати аналогічні теоремам 2.1-2.4 залишаються справедливими, якщо метрику L замінити на L1.

В третьому розділі розглядаються питання наближення функцій інтегровних на дійсній осі цілими функціями експоненціального типу не вище .

Нехай L1(R)- простір сумовних функцій дійсній осі з нормою

а

перетворення Фур'є f.

Нехай функція задовольняє умовам:

: RC, (x)0 xR, lim|x|(x)=0, C(R\{0}).

Якщо для fL1(R) існує

,

тоді функцію g назвемо - похідною (g=f). З теореми єдиності випливає, що похідна f визначається з точністю до множини нульової міри. Відмітимо, що клас функцій з (r-1) - ою абсолютно неперервною похідною та з r-ою похідною в L1(R) дістаємо при (it)-r (rN). Подібним задачам присвячені нещодавні статті О.І. Степанця та О.В. Островської (Укр. мат. журн., 1999).

Треба наголосити, що в цих працях досліджувалася змішана норма в L1(R) .

Розглянемо звичайну норму у просторі L1(R) .

Через будемо позначати клас функцій fL1(R) таких, що f L1(R) і || f ||1 1.

Нехай функція додатково задовольняє наступній умові:

d > 0 і s : RC s(t)=1 поза [-d, d] і s(t)(t)C(R),

a (s)^(t) є скінченою борелевською мірою

Тоді довільна функція fW1(R) має вигляд

а Fd - ціла функція експоненціального типу не вище d .

Нехай , p : 1 p

Ці функції є аналогами середніх Валле-Пуссена рядів Фур'є. Часткові суми (p = 0) не розглядаються, бо такий оператор не діє обмежено з L1(R) в L1(R).

В підрозділі 3.1 наведені наступні теореми.

Теорема 3.1.1. Нехай >1, 1 p . Функція : RC задовольняє наступним умовам А також d(0,) : - локально абсолютно неперервна на R\(-d, d) і

, а Тоді

де

Теорема 3.1.2. Нехай функція : R+C задовольняє умовам (x)0

xR+ lim|x|(x)=0, C(R\{0}). d(0,) :

- локально абсолютно неперервна на R\(-d, d). А також, Re, Im опуклі на [, +), а Для будь якого при , а при . Тоді

,

| | C і формула є асимптотичною.

Теорема 3.1.3 підрозділу 3.1 наводить точний порядок найкращого наближення цілими функціями експоненціального типу не вище класу W1(R).

В підрозділі 3.2 розглядається клас функцій аналітичних в верхній півплощині.

Нехай H1({Im z>0}) простір функцій аналітичних у верхній півплощині, для яких

.

Як відомо, функція f : R C, яка є граничним значенням функції fH1({Im z>0}) належить до L1(R) і майже всюди при t < 0.

Нехай fH1({Im z>0}) , а fL1(R) - її граничне значення. Якщо існує gL1(R) така, що

при x > 0 і при x < 0.

Тоді назвемо продовження g у верхню півплощину похідною функції fH1({Im z>0}) .

Через H1(R+) будемо позначати клас функцій fH1({Im z>0}) таких, що

fH1({Im z>0}) і || f ||1 1.

Нехай функція додатково задовольняє наступній умові:

d > 0 і s : R+ C s(t)=1 поза [0, d] і s(t)(t)C(R+),

a 0s(t)(t)cos xtdt, 0s(t)(t)cosin xtdt є скінченою борелевською мірою.

Нехай >0 і 1 p

Теорема 3.2.1. Нехай >1, 1 p . Функція :R+C така, що (x)0 xR+ limx(x)=0, C(R+\{0}). d(0,) : - локально абсолютно неперервна на [d,+) і Тоді

де ||C, .

В підрозділі 3.2 також наведено теорему 3.2.2, яка стосується точного порядку наближення функцій класу H1(R+) цілими функціями експоненціального типу не вище .

Висновки

В дисертації досліджено питання про наближення функцій з обмеженою похідною загального вигляду. В процесі дослідження одержано такі основні результати:

Знайдено нову загальну асимптотичну формулу для наближення в просторах C і L1 послідовністю часткових сум ряду Фур'є класу W з умовами на ш, які є більш загальні, ніж опуклість.

Знайдено нову загальну асимптотичну формулу для наближення в просторах Харді H і H1 послідовністю многочленів Тейлора класу W .

Знайдено нову загальну асимптотичну формулу для наближення в просторах Харді H і H1 послідовністю середніх ряду Тейлора, які визначаються фінітною функцією загального типу, класу W . Наведено приклад - середні Валле-Пуссена.

Знайдено нову загальну асимптотичну формулу для наближення в просторі L1 середніми Валле-Пуссена інтегралів Фур'є класу W .

Знайдено точний порядок спадання послідовності найкращих наближень класу W у випадках, зазначених у 1, 2, 4.

Список опублікованих праць за темою дисертації

Швецова А.М. Приближение частными суммами ряда Тейлора и наилучшее приближение некоторых классов функций аналитических в единичном круге// Вiсник Харківського нацiонального університету. Серiя "Математика, прикладна математика i механiка". - 2000. - № 475. - С. 208-217.

Швецова А.М. Асимптотика приближения класса функций с ограниченной производной средними Валле-Пуссена интегралов Фурье// Труды ИПММ НАН Украины. - 2000. -Т.5. - С.183-192.

Shvetsova A.M. Approximation by Partial sums of the Fourier and Taylor series and the best approximation of some classes of functions// Праці Iнституту математики НАН України. - 2000. - Т. 31 - С. 426-435.

Швецова А.М. Приближение частными суммами Фурье и наилучшее приближение некоторых классов функций// Вiсник Донецького університету, Сер. А: Природничi науки. -2000. - вип. 1. - С. 205-210.

Shvetsova A.M. Approximation by Partial sums of the Fourier and Taylor series and the best approximation of some classes of functions// International conference on approximation theory and its applications dedicated to the memory of V.K. Dzjadyk: Abstracts. - Kiev: Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine. - 1999. -Р. 76.

Швецова А.М. Асимптотика приближения класса с ограниченной производной средними Валле-Пуссена интегралов Фурье// International Conference dedicated to A.M. Lavrentyev on the occasion of his birthday centenary: Abstracts. - Kiev: Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine. - 2000. -Р. 87.

Швецова А.М. Приближения функций некоторых классов полиномами// Тез. докл. 10-й Саратовской зимней школы “Современные проблемы теории функций и их приложения”. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. - 2000. - С.155.

Анотація

Швецова О.М. Апроксимація функцій з обмеженою похідною загального вигляду поліномами і цілими функціями експоненціального типу. -Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Донецький національний університет, 2001.

Дисертаційна робота присвячена використанню метода мультиплікаторів Фур'є до дослідження деяких задач теорії наближення для класу функцій з обмеженою похідною загального вигляду. Ця похідна визначається введенням в ряд Фур'є (ряд Тейлора, інтеграл Фур'є) функції множників , де задовольняє умовам типу опуклості та зникає на нескінченності.

По-перше, це задача про асимптотику наближення послідовністю часткових сум ряду Фур'є цього класу періодичних функцій. Відмітимо попередні роботи С.О. Теляковського, О.I. Степанця і Р.М. Тригуба. Автором отримана нова загальна асимптотична формула при достатньо загальних умовах на в метриці C і L1. По-друге, це задача про асимптотику наближення послідовністю многочленів Тейлора подібного класу аналітичних у крузі функцій в просторах Харді H і H1. Автором отримана загальна асимптотична формула, яка є новою навіть у класичному випадку звичайної похідної. Досліджена і більш загальна задача про асимптотику наближення загальними ц - середніми степеневих рядів того ж класу. Як приклад наведені середні Валле-Пуссена.

Досліджено подібні задачі для того ж класу неперіодичних функцій на дійсній осі. Відмітимо ще, що отримані співвідношення в метриці C і L1 для відповідних класів однакові.

Ключові слова: ряд Фур'є, інтеграл Фур'є, мультиплікатор Фур'є, простори Харді, найкраще наближення, середні Валле-Пуссена, - похідна.

Аннотация

Швецова А.М. Аппроксимация функций с ограниченной производной общего вида полиномами и целыми функциями экспоненциального типа. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Донецкий национальный университет, 2001.

Диссертационная работа посвящена применению метода мультипликаторов Фурье к исследованию некоторых задач теории приближения для класса функций с ограниченной производной общего вида. Эта производная определяется введением в ряд Фурье (ряд Тейлора, интеграл Фурье) функции множителей , где удовлетворяет условиям типа выпуклости и исчезает на бесконечности.

Во-первых, это задача об асимптотике приближения последовательностью частных сумм ряда Фурье этого класса периодических функций. Отметим предшествующие работы С.А. Теляковского, А.И. Степанца и Р.М. Тригуба. Автором получена новая общая асимптотическая формула при достаточно общих условиях на в метрике C и L1. Во-вторых, это задача об асимптотике приближения последовательностью многочленов Тейлора подобного класса аналитических в круге функций в пространствах Харди H и H1. Автором получена следующая общая асимптотическая формула.

Пусть {(k)}1 - числовая последовательность, исчезающая на бесконечности, а (k)0 kN. - производной аналитической в единичном круге функции f называют функцию f, определяемую степенным рядом, если он сходится при |z|<1. Будем еще предполагать, что локально абсолютно непрерывна на [1,+) и для любого a1

Это условие является более слабым, чем выпуклость, но более сильным, чем ограниченность изменения.

Подобная формула справедлива в пространстве Харди H1.

Отметим, что, во всяком случае, при и Re, Im являются выпуклыми, формула является асимптотической. Даже в случае классической производной, когда и при rN, эта формула является новой.

Исследована и более общая задача об асимптотике приближения общими ц- средними степенных рядов того же класса. В качестве примера приведены средние Валле-Пуссена. Заметим, что применение мультипликаторов для степенных рядов усложняется из-за того, что приходится выбирать продолжение мультипликатора со спектра на полуоси на всю ось.

Исследованы подобные задачи для того же класса непериодических функций на вещественной оси, когда вместо рядов Фурье приходится рассматривать интегралы Фурье, а вместо полиномов - целые функции экспоненциального типа. Рассмотрены общий случай и случай функций из пространства Харди в верхней полуплоскости.

И, наконец, для тех же классов в трех разных ситуациях при довольно общих условиях на найден точный порядок убывания наилучших приближений полиномами или целыми функциями экспоненциального типа.

Отметим еще, что полученные соотношения в метрике C и L1 для соответствующих классов одинаковые, что требует особого доказательства. Для перехода от мультипликаторов рядов Фурье к мультипликаторам интегралов Фурье используется известная теорема de Leeuw.

Ключевые слова: ряд Фурье, интеграл Фурье, мультипликатор Фурье, пространства Харди, наилучшее приближение, средние Валле-Пуссена, - производная.

Annotation

Shvetsova A.M. Approximation of functions with bounded derivative of general view by polynomials and entire functions of exponential type. - Manuscript.

Thesis for a candidate's degree (physical and mathematical sciences) by speciality 01.01.01 - mathematical analysis. - Donetsk national university, 2001.

The dissertation is devoted to application of Fourier multiplicators method to research of some problems of approximation theory for a class of functions with bounded derivative of general view. This derivative is determined by bringing multipliers into the Fourier series (the Taylor's series, Fourier integral) of a function where satisfies concave-type conditions wanishing of infinity.

Firstly, this is a problem on asymptotics of approximation of this class of periodic functions by a sequence of partial sums of the Fourier series. We mention the previous works by S.A. Telyakovskii, A.I. Stepanets and R.М. Trigub. A new general asymptotic formula with sufficiently general conditions on in metric Cand L1 proved in the dissertation. Secondly, this is a problem on asymptotics of approximation of similar class of analytic in a disk functions by sequence of Taylor polynomials in Hardy spaces H and H1. A general asymptotic formula, which is new even in a classic case of usual derivative is proved by author. More general problem on asymptotics of approximation by general - means of power series of that class was investigated. Vallei-Poussin means are given as an example.

The similar problems for the same class of unperiodic functions on real axis have been investigated. We will notice that obtained relations in metric C and L1 for corresponding classes are the same.

Key words: Fourier series, Fourier integral, Fourier multiplicator, Hardy spaces, best approximation, Vallei-Poussin means, - derivative.

Размещено на Allbest.ru

...