Передгауссові випадкові процеси і оцінювання коваріаційних функцій

Размещено на http://allbest.ru

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Спеціальність: 01.01.05 - теорія ймовірностей та математична статистика

ПЕРЕДГАУССОВІ ВИПАДКОВІ ПРОЦЕСИ І ОЦІНЮВАННЯ КОВАРІАЦІЙНИХ ФУНКЦІЙ

Виконав: Стусь Олександр Вікторович

Київ - 2001

АНОТАЦІЯ

Стусь О.В. Передгауссові випадкові процеси і оцінювання коваріаційних функцій. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 - теорія ймовірностей та математична статистика. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2001.

В дисертації досліджуються різні класи передгауссових випадкових величин, векторів і процесів. Отримано оцінки для розподілів випадкових векторів з цих класів, а також сумісні оцінки для розподілів супремумів передгауссових і узагальнених строго передгауссових випадкових процесів за допомогою методу мажоруючих мір. Отримані нерівності використовуються для побудови сумісних оцінок для коваріаційних функцій і середніх гауссових випадкових процесів як у точці, так і на відрізку.

Ключові слова: передгауссовий випадковий процес, оцінка, супремум процесу, метод мажоруючих мір, коваріаційна функція.

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Нерівності для розподілів випадкових величин з різних класів, а також нерівності для розподілів їх сум (ймовірності великих відхилень) були і залишаються предметом інтенсивного вивчення в теорії ймовірностей. Тим більше, що виділення того чи іншого класу випадкових величин обумовлювалось багатьма причинами, серед яких не останню, а іноді й головну роль відігравали нерівності для «хвостів» розподілів випадкових величин з різних класів.

Тут варто зазначити, що багато традиційних класів випадкових величин є лінійними і, більш того, банаховими просторами, а характеристики випадкових величин, які визначають їх належність до відповідного класу, безпосередньо зв'язані з нормами цих просторів. Ця обставина дозволяє застосовувати методи функціонального аналізу, зокрема теорію просторів Орлича, при дослідженні поведінки випадкових величин з даного класу, а також їх сум. передгауссовий коваріаційний супремум мажоруючий

Даний підхід дозволяє розв'язувати аналогічні задачі і для випадкових процесів, якщо їх розглядати як сім'ю випадкових величин з даного класу. Крім того, якщо випадкові процеси розглядати на деякому метричному, або псевдометричному просторі, то для них можна досліджувати аналітичні властивості (знаходження умов обмеженності, неперервності траєкторій з ймовірністю одиниця тощо).

До кінця 60-х років подібні задачі розглядалися в основному для гауссових випадкових величин і процесів. Тут можна згадати роботи Беляєва Ю.К. Починаючи з кінця 60-х років з'являються роботи, в яких вводились та досліджувались більш широкі класи випадкових величин і процесів, ніж гауссові.

Термін «передгауссова випадкова величина», а також поняття передгауссового випадкового процесу в 1974 році ввели Булдигін В.В. та Козаченко Ю.В. Передгауссові випадкові величини є ні що інше, як центровані величини, які задовольняють умові Крамера. Властивості цих випадкових величин вивчалися в роботах Крамера Г., Петрова В.В. Крім того, в різних формах передгауссові випадкові величини і процеси вводились і вивчались в роботах Булдигіна В.В., Козаченка Ю.В. та їх учнів.

Багато публікацій присвячено знаходженню різноманітних оцінок для супремумів випадкових процесів з різних класів. Для гауссових випадкових процесів дана задача розв'язувалася, зокрема, в роботах Беляєва Ю.К., Пітербарга В.І., Бермана С. Ферніка К. Оцінки для різноманітних норм супремумів орличевих випадкових процесів були отримані, зокрема, в роботах Козаченка Ю.В.

Метод мажоруючих мір використовується в теорії гауссових випадкових процесів для знаходження умов обмеженості та неперервності траєкторій з ймовірністю одиниця. Цей метод дає можливість також отримувати оцінки для розподілів супремумів випадкових процесів. Першими в цьому напрямку були роботи Ферніка К. Виявилося, що метод мажоруючих мір при розв'язанні різноманітних задач теорії випадкових процесів є більш ефективним, ніж метод ентропії, який, зокрема, використовували Дадлі Р.М., Фернік К. та інші математики. Так, в 1987 році Талагран М. в термінах мажоруючих мір отримав для гауссових процесів необхідні і достатні умови неперервності траєкторій з ймовірністю одиниця, тоді як подібні умови за допомогою методу ентропії були отримані Ферніком К. тільки для стаціонарних гауссових процесів.

За допомогою методу мажоруючих мір випадкові процеси з просторів Орлича досліджувалися в роботах Козаченка Ю.В. Так, в роботі Козаченка Ю.В. та Рязанцевої В.В. знайдено умови обмеженості і неперервності траєкторій з ймовірністю одиниця для випадкових процесів з просторів Орлича експоненціального типу. Багро С.В. та Козаченко Ю.В. розв'язали подібні задачі для різних класів випадкових процесів, зокрема, для процесів з просторів . Умови обмеженості з ймовірністю одиниця для випадкових процесів з деяких просторів Орлича були отримані в роботі Козаченка Ю.В. та Майбороди Р.Є.

Велике практичне значення має задача оцінювання спектральних та кореляційних характеристик випадкових процесів та полів, в тому числі і гауссових. Для оцінювання функціоналів (математичні сподівання, коваріаційні функції тощо) гауссових випадкових процесів часто використовується теорія передгауссових випадкових величин та процесів.

Простір передгауссових випадкових величин містить досить широкий клас величин. Окрім центрованих гауссових випадкових величин він містить, зокрема, обмежені випадкові величини. Тому багато публікацій присвячено дослідженню різних класів випадкових величин, які містяться в просторі , а також дослідженню випадкових процесів з відповідних класів. Серед таких класів особливу роль відіграють квадратично-гауссові випадкові величини та процеси, через те, що в багатьох випадках оцінки параметрів гауссових процесів є квадратично-гауссовими величинами або процесами.

Поняття сім'ї квадратично-гауссових випадкових величин і поняття квадратично-гауссових випадкових векторів вводились і досліджувались в роботах Козаченка Ю.В. та його учнів.

В роботах Козаченка Ю.В., Олешко Т.А., а також Козаченка Ю.В. та Стаднік А.І. в термінах метричної ентропії знайдено різноманітні оцінки для розподілів супремуму процесів з різних класів, серед яких є і квадратично-гауссові.

Козаченко Ю.В. та Моклячук О.М. ввели поняття квадратично-гауссових випадкових векторів і отримали оцінки для їх розподілів. Також в даній роботі на основі цих оцінок побудовано вірогідні множини для середнього та коваріаційної функції гауссового стаціонарного випадкового процесу. Застосування теорії передгауссових випадкових величин і процесів в математичній статистиці відображене, зокрема, в роботі Козаченка Ю.В. та Сидоренко А.А., де побудувано критерій для перевірки гіпотези про вигляд коваріаційної функції гауссового стаціонарного випадкового процесу на відрізку.

Таким чином, теорія випадкових величин і процесів з просторів Орлича, як і теорія передгауссових величин і процесів є однією з провідних в сучасній теорії ймовірностей. Отже актуальною залишається проблема подальшого розвитку теорії передгауссових величин і процесів. Особливої уваги потребує задача дослідження простору передгауссових випадкових векторів, а саме задача узагальнення результатів теорії передгауссових величин для передгауссових векторів.

Частинним випадком передгауссових випадкових процесів є квадратично-гауссові випадкові процеси, зокрема -процеси, а також емпіричні коваріаційні функції гауссових випадкових процесів, що розглядаються на деякому відрізку. Вивчення таких процесів має широке застосування в математичній статистиці. В цій галузі актуальною залишається задача побудови сумісних оцінок параметрів гауссових випадкових процесів, зокрема коваріаційних функцій, як у точці, так і на відрізку.

Більш широким підкласом передгауссових випадкових процесів, що зберігає майже всі властивості квадратично-гауссових процесів є клас узагальнених строго передгауссових процесів. До цього класу належать процеси, що можуть зображатися у вигляді функціональних рядів з випадковими коефіцієнтами.

Перспективним напрямком теорії випадкових процесів є дослідження передгауссових та узагальнено строго передгауссових випадкових процесів за допомогою методу мажоруючих мір.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота була виконана в рамках держбюджетної дослідницької теми № 97048 «Статистичний аналіз випадкових процесів та полів і його застосування» (номер державної реєстрації 003176).

Мета і задачі дослідження. Провідною метою даної роботи є подальший розвиток теорії передгауссових випадкових величин і процесів, а також розширення кола теоретичних і практичних застосувань даної теорії. Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити наступні задачі:

розвиток теорії передгауссових випадкових векторів;

дослідження квадратично-гауссових випадкових величин і процесів;

вивчення властивостей простору узагальних строго передгауссових випадкових величин і отримання нерівностей для розподілів квадратичних форм від таких величин;

дослідження передгауссових і узагальнених строго передгауссових випадкових процесів за допомогою методу мажоруючих мір і отримання нерівностей для розподілу супремуму таких процесів;

застосування одержаних результатів в статистиці випадкових процесів через побудову сумісних оцінок для параметрів гауссових випадкових процесів як у точці, так і на відрізку.

Наукова новизна одержаних результатів:

Узагальнено деякі результати з теорії передгауссових випадкових величин на простір передгауссових випадкових векторів, а саме доведено лінійність простору передгауссових випадкових векторів. Отримано більш точні оцінки для розподілів квадратично-гауссових випадкових векторів.

Введено простори (простори узагальнених строго передгауссових випадкових величин і процесів). Доведена банаховість простору відносно норми , а також отримано оцінки для розподілів квадратичних форм від - випадкових величин.

За допомогою методу мажоруючих мір отримано оцінки для розподілів супремуму - і - випадкових процесів, а також оцінки для розподілів квадратичних форм від узагальнених строго передгауссових випадкових процесів.

Отримані нерівності застосовуються для сумісного оцінювання параметрів гауссових випадкових процесів як у точці, так і на відрізку. Зокрема, побудовано критерій для перевірки гіпотези про те, що математичне сподівання і коваріаційна функція гауссового стаціонарного випадкового процесу приймають певні значення в точці, а також побудовано критерій для перевірки гіпотези про вигляд коваріаційних функцій гауссового векторного випадкового процесу на відрізку для стаціонарного і загального випадку.

Практичне значення одержаних результатів. Всі отримані в дисертації результати мають теоретичне значення та можуть застосовуватися в галузях, які базуються на дослідженні випадкових процесів, наприклад, в статистиці, радіотехніці, оптиці, метеорології, теорії автоматичного управління, математичній економіці, а також у галузях, в яких використовуються результати математичної статистики.

Особистий внесок здобувача. Здобувач опублікував разом з професором Козаченком Ю.В. три наукові статті, в яких Козаченку Ю.В. належить постановка задач. Всі отримані в цих статтях результати отримані здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на конференціях молодих вчених механіко-математичного факультету Київського університету ім. Тараса Шевченка, на сьомій міжнародній конференції імені академіка М. Кравчука (14-16 травня 1998 р., м. Київ), на третій Українсько-Скандинавській конференції з теорії ймовірностей та математичної статистики (8-12 червня 1999 р., м. Київ).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 5 наукових статей, а також 2 тези доповідей наукових конференцій, список яких подано в кінці автореферату.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі наводяться історичний огляд і формулюються основні результати дисертації. Перший розділ присвячено дослідженню передгауссових випадкових векторів. В першому підрозділі першого розділу даються основні необхідні відомості з теорії просторів Орлича та теорії передгауссових випадкових величин.

В другому підрозділі першого розділу наводиться означення передгауссових випадкових векторів, для яких доводяться дві основні теореми.

Означення 1.10 Випадковий вектор , називається передгауссовим, якщо виконуються наступні умови:

;

існує опукла множина така, що є внутрішньою точкою і міра Лебега множини додатна;

існує невід'ємно визначена симетрична матриця розмірності така, що при існує і виконується нерівність

Теорема 1.1 Клас передгауссових випадкових векторів - лінійний.

Теорема 1.2 Нехай . Тоді - передгауссова випадкова величина.

В третьому підрозділі першого розділу за допомогою оцінок для розподілів передгауссових випадкових векторів отримуються оцінки для розподілу мінімуму компонент передгауссового випадкового вектору, а також оцінки для розподілу лінійної комбінації передгауссових випадкових величин.

Четвертий підрозділ першого розділу присвячено розв'язанню задачі про великі відхилення для випадкових векторів з простору .

Нехай - послідовність передгауссових випадкових векторів. Позначимо , і знайдемо оцінки для ймовірностей ,

, а

де - символ Кронекера.

Теорема 1.3 Нехай - квадратично-гауссовий випадковий вектор, і нехай - його коваріаційна матриця. Нехай також - деяка константа. Тоді : виконується нерівність

де .

Крім того, в цьому підрозділі отримано більш точну оцінку для розподілів квадратично-гауссових випадкових векторів.

Лема 1.14 Нехай - квадратично-гауссовий випадковий вектор з , - матриця вигляду, , причому . Тоді : має місце нерівність

В шостому підрозділі першого розділу будується критерій для перевірки гіпотези про те, що коваріаційна функція і середнє гауссового стаціонарного процесу приймають певні значення в точці.

В другому підрозділі другого розділу наводяться приклади випадкових величин і процесів. Так, прикладами узагальнених строго передгауссових випадкових величин можуть слугувати квадратично-гауссові випадкові величини, випадкові величини, що мають центральний -розподіл, величини, які породжуються сім'єю передгауссових випадкових величин та багато інших. Прикладами випадкових процесів можуть слугувати певні лінійні процеси, а також оцінки коваріаційних функцій гауссових процесів.

В третьому підрозділі другого розділу дисертеції будуються оцінки для розподілів квадратичних форм від узагальнених строго передгауссових випадкових величин.

Теорема 2.1 Нехай , , і нехай - довільна симетрична невід'ємно визначена матриця розмірності .

Тоді при виконується нерівність

де для , , а - слід матриці .

За допомогою нерівності (5) можна будувати вірогідні еліпсоїди для певних оцінок параметрів випадкових процесів. В наслідку 2.2 показано, що об'єм вірогідного еліпсоїда, або, що одне й теж, еліпсоїда буде мінімальним, коли .

В четвертому підрозділі другого розділу дисертації будуються вірогідні еліпсоїди для коваріаційних функцій гауссового векторного стаціонарного випадкового процесу.

Третій розділ дисертації присвячений побудові оцінок для розподілів супремуму передгауссових і узагальнених строго передгауссових процесів, а також побудові оцінок для розподілів супремуму квадратичних форм від випадкових процесів за допомогою методу мажорурючих мір. Крім того, окремий підрозділ присвячений застосуванню отриманих оцінок для оцінювання коваріаційних функцій гауссового векторного випадкового процесу на відрізку.

В першому підрозділі третього розділу дисертації доведено наступну теорему.

Теорема 3.1 Нехай , , - довільна функція така, що зростає і , при , а також мають місце ще дві умови:

існує константа така, що

Тоді для всіх і виконується нерівність

У другому підрозділі третього розділу дисертації будуються оцінки для супремумів випадкових процесів.

Теорема 3.2 Нехай - сепарабельний випадковий процес. Нехай також існує інтеграл

Тоді при будь-яких , і , де - константа, визначена вище, має місце нерівність

де функція визначена в (14), а .

Тепер сформулюємо теорему, за допомогою якої отримуються шукані оцінки.

В третьому підрозділі третього розділу дисертації на основі оцінок для розподілів супремуму квадратичних форм від узагальнених строго передгауссових випадкових процесів будується критерій для перевірки гіпотези про вигляд коваріаційних функцій гауссового векторного процесу на відрізку. Причому тут розглядаються стаціонарний і загальний випадки. Крім того, застосування отриманого критерію показано на прикладі, у якому перевіряється гіпотеза про значення параметрів двох вінеровських випадкових процесів.

ВИСНОВКИ

Дана дисертація є продовженням досліджень просторів передгауссових випадкових величин і процесів, які містять, зокрема, клас гауссових центрованих величин та процесів і є лінійними і, більш того, банаховими відносно норми Люксембурга (норми в просторі Орлича для ). В дисертації отримано різноманітні оцінки для розподілів передгауссових випадкових величин та їх сум, а також оцінки для розподілів супремуму передгауссових випадкових процесів. Отримані оцінки можна широко застосовувати в математичній статистиці для оцінювання (в точці, або на відрізку) функціоналів гауссових векторних випадкових векторних процесів. З цієї причини особливу увагу приділено квадратично-гауссовим випадковим величинам і процесам, які є частинним випадком просторів передгауссових випадкових величин і процесів відповідно.

В першому розділі дисертації узагальнюються деякі результати з теорії передгауссових випадкових величин на простір передгауссових випадкових векторів і отримано наступні результати:

доведено лінійність простору передгауссових випадкових векторів;

отримано оцінки для розподілів сум випадкових векторів з простору ;

отримано оцінки для розподілів квадратично-гауссових випадкових векторів.

В другому розділі дисертації введено простори (простори узагальненних строго передгауссових випадкових величин і процесів). Простори значно ширші, ніж відповідні простори строго передгауссових випадкових величин і процесів. Вони містять, зокрема, квадратично-гауссові випадкові величини, певні лінійні процеси, а також оцінки для коваріаційних функцій гауссових випадкових процесів. Для випадкових величин з простору було отримано наступні результати:

як і простір передгауссових випадкових величин простір є банаховим, але не відносно норми Люксембурга, а відносно норми ;

отримано оцінки для розподілів квадратичних форм від -випадкових величин.

- і випадкові процеси досліджуються в третьому розділі дисертації за допомогою методу мажоруючих мір. Основними результатами третього розділу дисертації є:

отримано оцінки для розподілів супремуму цих процесів;

отримано оцінки для розподілів супремуму квадратичних форм від узагальнених строго передгауссових випадкових процесів.

Значну увагу в дисертації приділено застосуванню отриманих нерівностей в математичній статистиці:

побудовано критерій для перевірки гіпотези про те, що математичне сподівання і коваріаційнка функція гауссового стаціонарного випадкового процесу приймають певні значення в точці;

побудовано вірогідні еліпсоїди для коваріаційних функцій гауссового векторного стаціонарного процесу, причому, знайдено умову, коли об'єм цих еліпосїдів буде мінімальним;

побудовано критерій для перевірки гіпотези про вигляд коваріаційних функцій гауссового векторного випадкового процесу на відрізку. Отримані в цьому розділі нерівності можна використовувати для побудови рівномірних у деякому сенсі вірогідних множин для різноманітних параметрів гауссових векторних випадкових процесів.

При роботі над дисертацією використовуються методи: теорії передгауссових випадкових величин, теорії просторів Орлича, теорії випадкових процесів, математичної статистики, а також метод мажоруючих мір для випадкових процесів.

Отримані результати є новими, отримані автором самостійно. Всі результати мають теоретичне значення та можуть застосовуватися в галузях, які базуються на дослідженні випадкових процесів, наприклад, в статистиці, радіотехніці, оптиці, метеорології, математичній еконоиіці, теорії автоматичного управління.

РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Стусь О.В. Побудова вірогідних множин для середнього та коваріаційної функції гауссового стаціонарного випадкового процесу // Вісник Київського університету. Сер. фіз.-мат. науки. - 1998. №4. - С. 57-61.

Kozachenko Yu.V., Stus O.V. Square-Gaussian random processes and estimators of covariance functions // Mathematical Communications. - 1998. - V. 3, №1. - P. 83-94.

Козаченко Ю.В., Стусь О.В. Узагальнені строго передгауссові випадкові процеси // Теорія ймовірностей та математична статистика. - 1998. - №58. - С. 61-75.

Козаченко Ю.В., Стусь О.В. Узагальнені строго передгауссові випадкові процеси // Доповіді НАН України. - 1999. - №10. - С. 28-31.

Стусь О.В. Критерій для перевірки гіпотези про вигляд коваріаційних функцій гауссового векторного процесу на відрізку // Теорія ймовірностей та математична статистика. - 1999. - №60. - С. 179-183.

Стусь О.В. Про одну нерівність для квадратично-гауссових випадкових векторів // Тези сьомої Міжнар. конф. ім. академіка М.Кравчука. - Київ. - 1998. - С. 482.

Stus O.V. Square-Gaussian random processes and construction of criteria for testing of hypotheses for covariance functions of Gaussian random processes // Proc. Third Ukrainian-Scandinavian Conf. in Probab. Theory and Math. Stat. - Kyiv. - 1999. - P. 146.

Размещено на Allbest.ru