Распределение результатов измерения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Задание на курсовую работу

Введение

1. Законы распределения результатов измерения

2. Требование к оценкам измеряемой величины

3. Понятие о грубых погрешностях

4. Обработка результатов измерений

5. Идентификация формы распределения результата

6. Систематические погрешности и методы их устранения

7. Алгоритм обработки результата

8. Решение

8.1Вычисление статистических характеристик

8.2Определение наличия грубых погрешностей

8.3Расчет оценки среднего квадратического отклонения среднего арифметического значения

8.4Определение принадлежности результатов измерений нормальному распределению

8.5Построение гистограммы

8.6Определение доверительных границ

8.7Запись результата измерения

8.8Исключение систематической погрешности

Заключение



Задание на курсовую работу

По результатам n=63 измерений некоторой величины был получен ряд числовых значений:

Произвести обработку многократных измерений, построить гистограмму статистического ряда, идентифицировать закон распределения результатов измерения и дать характеристику, привести алгоритм обработки полученных данных и оценить их погрешность.



Введение

Измерение - сложный процесс, включающий в себя взаимодействие целого ряда его структурных элементов.

К измерениям относятся: измерительная задача, объект измерения, принцип, метод и средство измерения, и его модель, условия измерения, субъект измерения, результат и погрешность измерения.

Первым начальным элементом каждого измерения является его задача (цель). Задача любого измерения заключается в определении значения выбранной (измеряемой) физической величины с требуемой точностью в заданных условиях. Постановку задачи измерения осуществляет субъект измерения - человек. При постановке задачи конкретизируется объект измерения, в нем выделяется измеряемая физической величины и определяется (задается) требуемая погрешность измерения.

Прямые - это измерения, при которых измеряемую величину непосредственно сравнивают с мерой этой величины или её значение отсчитывают по показаниям прибора.

В зависимости от числа измерений, проводимых во время эксперимента, различают однократные и многократные измерения

Однократные измерения - измерения, выполненные один раз. К многократным относятся измерения одного и того же размера физической величины, следующие друг за другом. При четырех или более измерениях, входящих в ряд, измерения можно считать многократными. Их проводят с целью уменьшения случайной составляющей погрешности.

Наблюдение - экспериментальная операция, выполняемая в процессе измерений, в результате которой получается одно значение из группы значений величины, подлежащих совместной обработке для получения результата измерения. Различают измерения с однократными и многократными наблюдениями. При измерении с однократным наблюдением термином “наблюдение” пользоваться не следует.

Погрешность измерения - отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины.

По способу выражения различают погрешности абсолютные и относительные. Абсолютной называется погрешность, выраженная в единицах измеряемой величины, а относительной - погрешность, выраженную в долях или процентах от истинного значения измеряемой величины.

Систематическая погрешность - это составляющая погрешности измерения, которая при повторных измерениях одной и той же величины, выполняемых при неизменных условиях, остается постоянной или закономерно меняется.

Случайная погрешность - составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины.

Анормальные наблюдения - это наблюдения, отклонение которых от среднего арифметического данных наблюдений существенно превышает оправданные объективными условиями измерения значения систематических и случайных погрешностей.

Доверительный интервал - интервал со случайными границами, который с заданной вероятностью, называемой доверительной, накрывает истинное значение измеряемой величины. Границы доверительного интервала называют доверительными границами.

Критерий согласия - критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.



1. Законы распределения результатов измерения

Закон распределения - математическое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями варианты и соответствующими им вероятностями.

Кривая распределения - это предел, к которому стремится полигон частот при неограниченном увеличении объема статистической совокупности и уменьшении интервалов (увеличение точности измерения, переход от дискретной величины к непрерывной). Она дает характеристику некоторой генеральной совокупности, т.е. получаемые в эксперименте выборки, лишь в той или иной степени приближаются к своему теоретическому пределу. Кривая распределения позволяет наглядно представить форму распределения, т.е. определенную закономерность специфической концентрации вариант в цельной статистической совокупности.

Форма распределения является некоторой обобщенной характеристикой выборки: ведь исследуемая статистическая закономерность проявляется не только в обозначении среднего уровня измеренного процесса, но и в регуляции отклонений от этого уровня, т.е. в обозначении формы статистического распределения.

Все бесконечное разнообразие эмпирических кривых распределения (вне связи с теоретико-вероятностными построениями) принято делить на две большие группы: одновершинные и многовершинные.

Последние называются также составными распределениями, т.е. являются следствием совместного графического представления различных (качественно разнородных) статистических совокупностей, в образовании которых преобладают какие-то различные закономерности.

Одновершинные распределения в свою очередь делятся на следующие группы:

а) симметричные, т.е. такие, в которых идет равновероятное уменьшение величины признака по обе стороны от некоторого и максимально частого значения (примером таких, сравнительно редко встречающихся в практике распределений,является расположение людей по величине роста):

· треугольные (рис. 1а);

· трапецеидальные (рис. 1б);

· равномерные (рис. 1в);

· антимодальные I (рис. 1г);

· антимодальные II (рис. 1д);

Рисунок 1

б) умеренно-асимметричные или скошенные, в которых убывание числовых значений переменной в одну из сторон выражено заметно сильнее. Таковы, например, распределения подавляющего большинства измерений эффективности человеческой деятельности; в) распределения крайне асимметричные, характерные, например, для распределения населения развитых стран по величине материальной обеспеченности; г) У-образные, в которых наибольшая частота свойственна обоим крайним значениям признака, например распределение облачности в районе Гринвичского меридиана.

Использование на практике вероятностного подхода к оценке погрешностей результатов измерений прежде всего предполагает знание аналитической модели закона распределения рассматриваемой погрешности. Встречающиеся в метрологии распределения достаточно разнообразны.

Множество законов распределения случайных величин, используемых в метрологии, целесообразно классифицировать следующим образом:

· трапецеидальные (плосковершинные) распределения.

К ним относятся: равномерное, собственно трапецеидальное

и треугольное (Симпсона);

· уплощенные (приблизительно плосковершинные) распределения;

· экспоненциальные распределения;

· семейство распределений Стьюдента;

· двухмодальные распределения.

Нормальное распределение (распределение Гаусса)

Наибольшее распространение получил нормальный закон распределения, называемый часто распределением Гаусса:

Где ? - параметр рассеивания распределения, равный СКО;

Х_ц - центр распределения, равный математическому ожиданию.

Вид нормального рисунка показан на рисунке 2.

Рисунок 2

При введении новой переменной t = (х - Х_ц)/? получается нормированное нормальное распределение, интегральная и дифференциальная функции которого соответственно равны:

Нормирование приводит к переносу начала координат в центр распределения и выражению абсциссы в долях СКО. Значения интегральной и дифференциальной функций нормированного нормального распределения сведены в таблицы, которые можно найти в литературе по теории вероятностей.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом называют функцией Лапласа. Для неё справедливы следующие равенства:

Функция Лапласа используется для определения значений интегральных функций нормальных распределений. Функция F(t)связана с функцией Лапласа формулой:

Значения функции Лапласа для различных значений (t) приведены в таблице: измерение гистограмма распределение

x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)
0,00	0,00000	0,50	0,19146	1,00	0,34134	1,50	0,43319	2,00	0,47725	3,00	0,49865
0,01	0,00399	0,51	0,19497	1,01	0,34375	1,51	0,43448	2,02	0,47831	3,05	0,49886
0,02	0,00798	0,52	0,19847	1,02	0,34614	1,52	0,43574	2,04	0,47932	3,10	0,49903
0,03	0,01197	0,53	0,20194	1,03	0,34849	1,53	0,43699	2,06	0,48030	3,15	0,49918
0,04	0,01595	0,54	0,20540	1,04	0,35083	1,54	0,43822	2,08	0,48124	3,20	0,49931
0,05	0,01994	0,55	0,20884	1,05	0,35314	1,55	0,43943	2,10	0,48214	3,25	0,49942
0,06	0,02392	0,56	0,21226	1,06	0,35543	1,56	0,44062	2,12	0,48300	3,30	0,49952
0,07	0,02790	0,57	0,21566	1,07	0,35769	1,57	0,44179	2,14	0,48382	3,35	0,49960
0,08	0,03188	0,58	0,21904	1,08	0,35993	1,58	0,44295	2,16	0,48461	3,40	0,49966
0,09	0,03586	0,59	0,22240	1,09	0,36214	1,59	0,44408	2,18	0,48537	3,45	0,49972
0,10	0,03983	0,60	0,22575	1,10	0,36433	1,60	0,44520	2,20	0,48610	3,50	0,49977
0,11	0,04380	0,61	0,22907	1,11	0,36650	1,61	0,44630	2,22	0,48679	3,55	0,49981
0,12	0,04776	0,62	0,23237	1,12	0,36864	1,62	0,44738	2,24	0,48745	3,60	0,49984
0,13	0,05172	0,63	0,23565	1,13	0,37076	1,63	0,44845	2,26	0,48809	3,65	0,49987
0,14	0,05567	0,64	0,23891	1,14	0,37286	1,64	0,44950	2,28	0,48870	3,70	0,49989
0,15	0,05962	0,65	0,24215	1,15	0,37493	1,65	0,45053	2,30	0,48928	3,75	0,49991
0,16	0,06356	0,66	0,24537	1,16	0,37698	1,66	0,45154	2,32	0,48983	3,80	0,49993
0,17	0,06749	0,67	0,24857	1,17	0,37900	1,67	0,45254	2,34	0,49036	3,85	0,49994
0,18	0,07142	0,68	0,25175	1,18	0,38100	1,68	0,45352	2,36	0,49086	3,90	0,49995
0,19	0,07535	0,69	0,25490	1,19	0,38298	1,69	0,45449	2,38	0,49134	3,95	0,49996
0,20	0,07926	0,70	0,25804	1,20	0,38493	1,70	0,45543	2,40	0,49180	4,00	0,49997
0,21	0,08317	0,71	0,26115	1,21	0,38686	1,71	0,45637	2,42	0,49224	4,05	0,49997
0,22	0,08706	0,72	0,26424	1,22	0,38877	1,72	0,45728	2,44	0,49266	4,10	0,49998
0,23	0,09095	0,73	0,26730	1,23	0,39065	1,73	0,45818	2,46	0,49305	4,15	0,49998
0,24	0,09483	0,74	0,27035	1,24	0,39251	1,74	0,45907	2,48	0,49343	4,20	0,49999
0,25	0,09871	0,75	0,27337	1,25	0,39435	1,75	0,45994	2,50	0,49379	4,25	0,49999
0,26	0,10257	0,76	0,27637	1,26	0,39617	1,76	0,46080	2,52	0,49413	4,30	0,49999
0,27	0,10642	0,77	0,27935	1,27	0,39796	1,77	0,46164	2,54	0,49446	4,35	0,49999
0,28	0,11026	0,78	0,28230	1,28	0,39973	1,78	0,46246	2,56	0,49477	4,40	0,49999
0,29	0,11409	0,79	0,28524	1,29	0,40147	1,79	0,46327	2,58	0,49506	4,45	0,50000
0,30	0,11791	0,80	0,28814	1,30	0,40320	1,80	0,46407	2,60	0,49534	4,50	0,50000
0,31	0,12172	0,81	0,29103	1,31	0,40490	1,81	0,46485	2,62	0,49560	4,55	0,50000
0,32	0,12552	0,82	0,29389	1,32	0,40658	1,82	0,46562	2,64	0,49585	4,60	0,50000
0,33	0,12930	0,83	0,29673	1,33	0,40824	1,83	0,46638	2,66	0,49609	4,65	0,50000
0,34	0,13307	0,84	0,29955	1,34	0,40988	1,84	0,46712	2,68	0,49632	4,70	0,50000
0,35	0,13683	0,85	0,30234	1,35	0,41149	1,85	0,46784	2,70	0,49653	4,75	0,50000
0,36	0,14058	0,86	0,30511	1,36	0,41309	1,86	0,46856	2,72	0,49674	4,80	0,50000
0,37	0,14431	0,87	0,30785	1,37	0,41466	1,87	0,46926	2,74	0,49693	4,85	0,50000
0,38	0,14803	0,88	0,31057	1,38	0,41621	1,88	0,46995	2,76	0,49711	4,90	0,50000
0,39	0,15173	0,89	0,31327	1,39	0,41774	1,89	0,47062	2,78	0,49728	4,95	0,50000
0,40	0,15542	0,90	0,31594	1,40	0,41924	1,90	0,47128	2,80	0,49744	5,00	0,50000
0,41	0,15910	0,91	0,31859	1,41	0,42073	1,91	0,47193	2,82	0,49760
0,42	0,16276	0,92	0,32121	1,42	0,42220	1,92	0,47257	2,84	0,49774
0,43	0,16640	0,93	0,32381	1,43	0,42364	1,93	0,47320	2,86	0,49788
0,44	0,17003	0,94	0,32639	1,44	0,42507	1,94	0,47381	2,88	0,49801
0,45	0,17364	0,95	0,32894	1,45	0,42647	1,95	0,47441	2,90	0,49813
0,46	0,17724	0,96	0,33147	1,46	0,42785	1,96	0,47500	2,92	0,49825
0,47	0,18082	0,97	0,33398	1,47	0,42922	1,97	0,47558	2,94	0,49836
0,48	0,18439	0,98	0,33646	1,48	0,43056	1,98	0,47615	2,96	0,49846
0,49	0,18793	0,99	0,33891	1,49	0,43189	1,99	0,47670	2,98	0,49856

Нормальное распределение определяется двумя параметрами:x? и ?.

Изменение величины параметра x? (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси Ох: вправо, если x? возрастает, и влево, если x? убывает.

С возрастанием ? максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси Ох; при убывании ? нормальная кривая становится более островершинной и растягивается в положительном направлении оси Оу.

При любых значениях параметров x? и ? площадь, ограниченная нормальной кривой и осью х, остается равной единице.

Семейство распределений Стьюдента

Эти законы описывают плотность распределения вероятности среднего арифметического, вычисленного по выборке из n случайных отсчетов нормально распределенной генеральной совокупности. Распределения Стьюдента нашли широкое применение при статистической обработке результатов многократных измерений. Их вид зависит от числа отсчетов n, по которым находится среднее арифметическое значение, поэтому и говорят о семействе законов.

В центрированном и нормированном виде они описываются формулой

где k - число степеней свободы, зависящее от числа n усредняющих отсчетов: k=n-1. Вид распределения Стьюдента для различных значений k показан на рисунке 2. При увеличении k распределение Стьюдента переходит в распределение Гаусса.

Распределения Стьюдента имеют ряд особенностей:

· при n<3 их СКО становится равным бесконечности, т.е. дисперсионная оценка ширины разброса не работает (перестает существовать);

· классический аппарат моментов для оценки формы и ширины распределения Стьюдента с малым числом степеней свободы оказывается не работоспособным, и их ширина и форма могут быть оценены лишь с использованием доверительных и энтропийных оценок. Этим распределение Стьюдента резко отличается от других распределений.

Трапецеидальные распределения

К трапецеидальным распределениям относятся: равномерное, собственно трапецеидальное и треугольное (Симпсона).

Равномерное распределение определяется уравнением

Трапецеидальное распределение образуется как композиция двух равномерных распределений шириной a₁ и а₂:

Треугольное распределение (Симпсона) - это частный случай трапецеидального, для которого размеры исходных равномерных распределений одинаковы a₁=a₂:

где x?, a, b - параметры распределения.

Математическое ожидание всех трапецеидальных распределений:

x? = (x₁ + х₂)/2.

Медианы из соображений симметрии равны МО. Равномерное и собственно трапецеидальное распределение моды не имеют, а мода треугольного равна 1/а.

Среднее квадратическое отклонение в зависимости от распределения определяется по формуле:

• равномерное ?_р = a/;

· трапецеидальное ? = ²=²

· треугольное ? = а/.

Из приведенных уравнений следует, что СКО трапецеидальных распределений возрастает в 1,41 раза с ростом параметра b от нуля (треугольное) до а (равномерное). Коэффициент асимметрии всех трапецеидальных распределений равен нулю.

Равномерное распределение имеют погрешности: округления при расчетах, отсчета показаний стрелочного прибора, от трения в стрелочных приборах с креплением подвижной части на кернах или подпятниках. Суммируясь между собой, эти погрешности образуют трапецеидальные распределения с различными отношениями сторон.



2. Требование к оценкам измеряемой величины

Функции распределения описывают поведение непрерывных случайных величин, т.е. величин, возможные значения которых неотделимы друг от друга и непрерывно заполняют некоторый конечный или бесконечный интервал. На практике все результаты измерений и случайные погрешности являются величинами дискретными. При использовании дискретных случайных величин возникает задача нахождения точечных оценок параметров их функций распределения на основании выборок. Используемая выборка должна быть репрезентативной (представительной), т.е. должна достаточно хорошо представлять пропорции генеральной совокупности.

Оценка параметра называется точечной, если она выражается одним числом. В отличии от самих параметров их точечные оценки являются случайными величинами, причем их значения зависят от объема экспериментальных данных, а закон распределения -- от законов распределения самих случайных величин.

Точечные оценки могут быть состоятельными, несмещенными и эффективными.

Состоятельной называется оценка, которая при увеличении объема выборки стремится по вероятности к истинному значению числовой характеристики.

Несмещенной называется оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемой числовой характеристике.

Наиболее эффективной считают ту из нескольких возможных несмещенных оценок, которая имеет наименьшую дисперсию.

Точечной оценкой МО результата измерений является среднее арифметическое значение измеряемой величины

x? = (1/n).

При любом законе распределения оно является состоятельной и несмещенной оценкой.

Точечная оценка дисперсии, определяемая по формуле

D(x) = (1/n-1)²

является несмещенной и состоятельной.

СКО случайной величины х определяется как корень квадратный из дисперсии. Соответственно его оценка может быть найдена путем извлечения корня из оценки дисперсии. Однако эта операция является нелинейной процедурой, приводящей к смещенности получаемой таким образом оценки. Для исправления оценки СКО вводят поправочный множитель k(n), зависящий от числа наблюдений n.

Он изменяется от k(3) = 1,13 до k(?) ? 1,03. Оценка среднего квадратического отклонения

На практике пренебрегают учетом смещенности оценки СКО отдельных наблюдений и считают k(n) = 1.

Оценка СКО среднего арифметического значения

Оценки коэффициента асимметрии и эксцесса находятся по формулам



3. Понятие о грубых погрешностях

Грубая погрешность (промах) - это погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда. Источником грубых погрешностей нередко бывают резкие изменения условий измерения и ошибки, допущенные оператором. К ним можно отнести:

• неправильный отсчет по шкале измерительного прибора, происходящий из-за неверного учета цены малых делений шкалы;

• неправильная запись результата наблюдений, значений отдельных мер использованного набора, например гирь;

• хаотические изменения параметров питающего СИ напряжения, например его амплитуды или частоты.

Грубые погрешности, как правило, возникают при однократных измерениях и обычно устраняются путем повторных измерений. Их причинами могут быть внезапные и кратковременные изменения условий измерения или оставшиеся незамеченными неисправности в аппаратуре.

При однократных измерениях обнаружить промах не представляется возможным. Для уменьшения вероятности появления промахов измерения проводят два-три раза и за результат принимают среднее арифметическое полученных отсчетов. При многократных измерениях для обнаружения промахов используют статистические критерии, предварительно определив, какому виду распределения соответствует результат измерений.

Критерий “трех сигм” применяется для результатов измерений, распределенных по нормальному закону. По этому критерию считается, что результат, возникающий с вероятностью q<0,003, маловероятен и его можно считать промахом, если |x_i-x?|>3?, где ? - оценка СКО измерений. Данный критерий надежен причисле измерений n> 20.. .50.

Критерий Шарлье используется, если число наблюдений в ряду велико (n>20). Число результатов, превышающих по абсолютному значению среднее арифметическое значение на величину K_шS_x, будет:

n[1-Ф(К_ш)],

где Ф(К_ш) - значение нормированной функции Лапласа для X = К_ш.

Если сомнительным в ряду результатов наблюдений является один результат, то:

n[1-Ф(К_ш)]=1

Отсюда:

Ф(К_ш)= (n-1)/n

Пользуясь критерием Шарле, отбрасывают результат, для значения которого в ряду из n наблюдений выполняется неравенство Рx_i- x?Р>K_шS_x



4. Обработка результатов измерений

Задача обработки результатов многократных измерений заключается в нахождении оценки измеряемой величины и доверительного интервала, в котором находится ее истинное значение.

Последовательность обработки результатов прямых многократных измерений состоит из ряда этапов:

1) Исключают из результатов наблюдений известные систематические погрешности.

2) Вычисляют среднее арифметическое X результатов наблюдений по формуле:

3) Вычисляют оценку среднего квадратического отклонения результата измерений по формуле:

4) Определяют наличие грубых погрешностей

5) Вычисляют оценку среднего квадратического отклонения среднего арифметического значения по формуле:

6) Определяют принадлежность результатов измерений нормальному распределению. Для этого строится гистограмма, количество интервалов в которой и их длина определяются соответственно по формулам 2 и 3. По методу моментов определяются асимметрия и эксцесс, и их средние квадратические ошибки.

По виду гистограммы и полученным величинам А, Е, ?_А, ?_Е делают заключение о возможности принятия гипотезы о нормальном распределении результатов наблюдений.

7) Оценка закона распределения по статистическим критериям.

8) Определяют доверительные границы 8 случайной погрешности результата измерений по формуле:

9) Запись результата измерения по формуле:



5. Идентификация формы распределения результата

В качестве приближенного метода проверки нормальности распределения применяют метод, связанный с оценками центральных моментов третьего и четвертого порядков. В случае нормальности распределения должны выполняться приближенные равенства:

;

Для удобства сравнения подсчитывают безразмерные характеристики показатель асимметрии и эксцесс .

Обе эти характеристики должны быть малы, если распределение нормально. О малости этих характеристик обычно судят по сравнению с их средними квадратическими ошибками соответственно равными:

- для асимметрии,

- для эксцесса.

Если хотя бы одна из указанных характеристик по абсолютной величине значительно (2-3 раза) превосходит свою среднюю квадратическую ошибку, то нормальность закона распределения следует подвергнуть сомнению и провести более тщательный анализ результатов наблюдений(например, с помощью критерия Пирсона).

В качестве способа оценки близости распределения выборки экспериментальных данных к принятой аналитической модели закона распределения используются критерии согласия. Известен целый ряд критериев согласия, предложенных разными авторами. Наибольшее распространение в практике получил критерий Пирсона. Идея этого метода состоит в контроле отклонений гистограммы экспериментальных данных от гистограммы с таким же числом интервалов, построенной на основе распределения, совпадение с которым определяется. Использование критерия Пирсона возможно при большом числе измерений (п>50) и заключается в вычислении величины ² (хи-квадрат):

где n_i, N_i -- экспериментальные и теоретические значения частот в i-м интервале разбиения; m -- число интервалов разбиения; P_i-- значения вероятностей в том же интервале разбиения, соответствующие выбранной модели распределения; .

При n случайная величина ² имеет распределение Пирсона с числом степеней свободы v = m - 1- r, где г -- число определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы. Для нормального закона распределения г = 2, так как закон однозначно характеризуется указанием двух его параметров -- математического ожидания и СКО. Если бы выбранная модель в центрах всех m столбцов совпадала с экспериментальными данными, то все m разностей (n_i -N_i) были бы равны нулю, а следовательно, и значение критерия ² также было бы равно нулю. Таким образом, ² естьмера суммарного отклонения между моделью и экспериментальным распределением.

Критерий ² не инвариантен к числу столбцов и существенно возрастает с увеличением их числа. Поэтому для использования его при разном числе столбцов составлены таблицы квантилей распределения ², входом в которые служит так называемое число степеней свободы v = (m - 1 - r). Чтобы совместить модель, соответствующую нормальному закону, с гистограммой, необходимо совместить координату центра, а для того, чтобы ширина модели соответствовала ширине гистограммы, ее нужно задать как г = 2 и v = m-3.Часть квантилей распределения ²_q приведена в таблице №1.

Если вычисленная по опытным данным мера расхождения ² меньше определенного из таблицы значения _q² , то гипотеза о совпадении экспериментального и выбранного теоретического распределений принимается. Это не значит, что гипотеза верна. Можно лишь утверждать, что она правдоподобна, т.е. она не противоречит опытным данным. Если же ²выходит за границы доверительного интервала, то гипотеза отвергается как противоречащая опытным данным.

Методика определения соответствия экспериментального и принятого законов распределения заключается в следующем:

* определяют оценки среднего арифметического значения х и СКО

* группируют результаты многократных наблюдений по интервалам длиной h, число которых определяют "так же, как и при построении гистограммы;

* для каждого интервала разбиения определяют его центр x_io и подсчитывают число наблюдений П|, попавших в каждый интервал;

* вычисляют число наблюдений для каждого из интервалов, теоретически соответствующее выбранной аналитической модели распределения. Для этого сначала от реальных середин интервалов х_i0 производят переход к нормированным серединам z_i= (х_i0 - x?)/. Затем для каждого значения z_i с помощью аналитической модели находят значение функции плотности вероятностей f(z_i). Например, для нормального закона

По найденному значению f(z_i) определяют ту часть N_iимеющихся наблюдений, которая теоретически должна быть в каждом из интервалов N_i = nhf(z_i)/, где n -- общее число наблюдений;

* если в какой-либо интервал теоретически попадает меньше пяти наблюдений, то в обеих гистограммах его соединяют с соседним интервалом. После этого определяют число степеней свободы v = m-1-r, где m -- общее число интервалов. Если было произведено укрупнение, то m -- число интервалов после укрупнения:

* определяют показатель разности частот ²;

* выбирают уровень значимости критерия q. Он должен быть небольшим, чтобы была мала вероятность совершить ошибку первого рода. По уровню значимости и числу степеней свободы v по таблице находят границу критической области _q², такую, что P{²>_q²} = q. Вероятность того, что полученное значение ² превышает _q², равна q и мала. Поэтому, если оказывается, что ² >_q², то гипотеза о совпадении экспериментального и теоретического законов распределения отвергается. Если же ²<_q², то гипотеза принимается.

Чем меньше q, тем больше значение _q² (при том же числе степеней свободы v), тем легче выполняется условие ²<_q²и принимается проверяемая гипотеза. Но при этом увеличивается вероятность ошибки второго рода. В связи с этим нецелесообразно принимать 0,02 <q< 0,01.

Иногда вместо проверки с односторонней критической областью применяют проверки с двусторонними критическими областями. При

этом оценивается вероятность P{_qн²<²<_qв²}.Уровень значимости критерия q делится на две части: q = q₁ + q₂. Как правило, принимают q₁ = q₂. По таблице №1 для P{²>_q²} = q находят ₁² при уровне значимости q, и числе степеней свободы v и ₂² уровня значимости 1 -- q₂ и том же n. Гипотеза о совпадении распределений принимается, если

6. Систематические погрешности и методы их устранения

Систематические погрешности принято классифицировать по двум признакам:

*По характеру изменения во времени

*По причинам возникновения

По характеру изменения во времени они делятся на постоянные (неизменными в течении всей серии измерений) и переменные - изменяющиеся в процессе измерения.

По причинам возникновения погрешности делятся на:

*Методические

*Инструментальные

*Личные (субъективные)

Результаты измерения, полученные при наличии систематической погрешности, называются неисправленными.

Исключение или оценка систематических ошибок может быть достигнуто следующими путями:

· Устранение источников погрешностей до начала измерений

· Оценкой поправок и внесением их в результат измерения

· Оценкой границ неисключенных систематических погрешностей.

Характерным примером устранения источников погрешности до начала измерений можно назвать калибровку «нуля» измерительных приборов перед экспериментом.

1) Статистический метод

В результате любого однократного измерения, погрешность измерения равна:

Х - Х_д = _сл+_сист

Где _сл- случайная погрешность

_сист- систематическая погрешность

Хд - действительное значение измеряемой величины (полученное с помощью образцового, более точного прибора).

В результате однократного измерения общая ошибка содержит обе составляющие ошибки и разделить их невозможно.

Если произвести многократные измерения при неизменных условиях, а затем вычислить среднее значение , то получаем

При n, поэтому

В этом случае в усредненном по многим опытам результате остается фактически только систематическая погрешность.

Таким образом, проведя многократные измерения, на практике можно выявить наличие большой систематической ошибки (например, «сдвиг» шкалы генератора и т.п.).

2)Метод замещения - осуществляется заменой измеряемой величины известной величиной, причем так, что при этом в состоянии и действии всех СИ не происходит никаких изменений (это фактически метод сравнения).

3) Метод противопоставления - измерение выполняется дважды и проводится так, чтобы в обоих случаях причина постоянной погрешности оказывала разные, но известные по закономерности воздействия на результаты наблюдения.

4) Метод компенсации погрешности по знаку - предусматривает измерение с двумя наблюдениями, выполняемыми так, чтобы постоянная систематическая погрешность входила в результат каждого из них с разным знаком.

7. Алгоритм обработки результата



8. Решение

8.1 Вычисление статистических характеристик

Первым шагом при идентификации закона распределения является построение по результатам измерений X_i вариационного ряда (упорядоченной выборки). В вариационном ряду результаты измерений располагают в порядке возрастания:

20,20,20,21,22,23,24, 25, 26, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 42, 43, 44, 45, 45, 45, 45, 46, 47, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 55, 57, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 70, 70, 70, 70, 70.

Вычислим среднее арифметическое Х результатов наблюдений по формуле:

(1)

Где х_i - результат i - ого измерения;

n - число наблюдений.

x?=(20*3+21+22+23+24+25+26+30*11+40*9+42+43+44+45*4+46+47+50*8+55+57+60*9+70*5)/63=43,57

Вычислим оценку среднего арифметического отклонения результата измерений по формуле:

(2)

?=14,3.

8.2 Определение наличия грубых погрешностей

Определим наличие грубых погрешностей с использованием критерия “трех сигм”.

|x_i- x?|? 3? (3)

3?=42,9

21,91? 42,9

11,93? 42,9

1,93? 42,9

8,07? 42,9

18,07? 42,9

28,07? 42,9

Так как все неравенства выполняются, то грубые погрешности отсутствуют.

8.3Расчет оценки среднего квадратического отклонения среднего арифметического значения

(4)

?_х=14,3/7,94=1,8

8.4 Определение принадлежности результатов измерений нормальному распределению

Приближенный метод проверки нормальности распределения.

В качестве приближенного метода проверки нормальности распределения применяют метод, связанный с оценками центральных моментов третьего µ₃ и четвертого µ₄ порядков.

Для удобства сравнения подсчитывают безразмерные характеристики:

- показатель асимметрии по формуле:

А=31376,35/214758,35 ? 0,15.

Обе эти характеристики должны быть малы, если распределение нормально. О малости этих характеристик обычно судят по сравнению с их средними квадратическими ошибками:

?_Э=0,566.

Если хотя бы одна из указанных характеристик по абсолютной величине значительно ( в 2-3 раза) превосходит свою среднюю квадратическую ошибку, то нормальность закона распределения следует подвергнуть сомнению и провести более тщательный анализ результатов наблюдений.

А/?_А = 0,15 / 0,297 = 0,505.

Е/?_Э = 1,99 / 0,566 = 3,506.

Показатель асимметрии по абсолютной величине превосходит свою среднюю квадратическую ошибку в 0,505раз, а эксцесс превосходит свою среднюю квадратическую ошибку в 3,506раз - больше чем в 3 раза, поэтому следует провести более тщательный анализ результатов наблюдений.

Проверка нормальности распределения по критерию Пирсона (ч²)

Для проверки согласия между предполагаемым нормальным и эмпирическим распределением по критерию Пирсона (ч²) рекомендуется следующий порядок:

A)Результаты наблюдений группируются в интервальный вариационный ряд;

Б) Определяется длина и количество интервалов;

B)Подсчитывается количества m_i наблюдений, находящихся в каждом из интервалов. Если в какой-либо интервал теоретически попадает меньше пяти наблюдений, то его соединяют с соседним интервалом;

Г) Нормируют случайную величину X, т.е. переходят к величине z = (х--m_x)/?_x и вычисляют концы интервалов (Z_i,Z_i+1) по формулам:

Причем наименьшее значение z, т.е. z₁ полагают равным -?, а наибольшее, т.е. z₈, полагают равным +?.

Д) Для каждого интервала вычисляется теоретическая вероятность попадания случайной величины в i-интервал.

Весь диапазон наблюдений значений х делится на интервалы, т.е. производится разделение ряда экспериментальных данных от наименьшего x_min до наибольшего х_max на 8 интервалов, и подсчитывают количество значений m_i, приходящихся на каждый i-ый интервал. Это число делят на общее число наблюдений n и находят частоту, соответствующую данному интервалу.

Сумма частот всех интервалов должна быть равна единице.

Оформим таблицу

№	Интервал	Частота в интервалеmi	Частность Pi=mi/n	Среднее значение интервала Хi	ХiPi	Центрированное значение ?=хi-mx	?i2	?i2pi
1	20;30	9	0,143	25	3	-22,37	500,417	71,56
2	30;40	11	0,175	35	6,1	-12,37	153,017	26,78
3	40;50	18	0,285	45	12,1	-2,37	5,617	1,6
4	50;60	11	0,175	55	9,2	7,63	58,217	10,19
5	60;70	9	0,143	65	9,2	17,63	310,817	44,45
6	70;80	5	0,079	75	4,3	27,63	763,417	60,31
У		63	1,00		43,81			220,19

m_x=43,81 D_x=220,19у_x=14,3

№	Интервал	mi	Рi	n Рi	(mi- n Рi)2/ n Рi
1	20;30	9	0,0899	5,66	2,0278
2	30;40	11	0,16503	10,4	0,0151
3	40;50	18	0,25617	16,13	0,2167
4	50;60	11	0,3091	19,4733	3,7599
5	60;70	9	0,13214	8,3248	0,8597
6	70;80	5	0,0532	3,3516	0,8107
У		63	1,00		7,6899

Для вычисления ч² составим расчетную таблицу:

Из таблицы находим ч²= 7,69.

Если полученное значение меньше табличного значения, взятого для числа степеней свободы k = 1 - s - 1, то различие между распределениями могут оказаться случайными (незначительными). В этом случае признается справедливой гипотеза о согласии эмпирического распределения с теоретическим.

k = 6-2-1 = 4.

k=3, то ²_табл=7,81 при Р=0,95

Так как ²<²_табл, то гипотеза о нормальности распределения принимается с вероятностью Р=0,95.

8.5 Построение гистограммы

Статистический ряд часто оформляется графически в виде так называемой гистограммы. Проведенные расчеты позволяют построить гистограмму. Гистограмма строится следующим образом. По оси абсцисс откладываются интервалы и на каждом из интервалов, как на основании, строится прямоугольник, площадь которого равна частоте данного интервала. Для построения гистограммы нужно частоту каждого интервала разделить на его длину и полученное число взять в качестве высоты прямоугольника.

Из способа построения гистограммы следует, что полная площадь ее равна единице. Очевидно, при увеличении числа опытов можно выбирать все более и более мелкие интервалы, при этом гистограмма будет все более приближаться к некоторой кривой, ограничивающей площадь, равную единице.

8.6 Определение доверительных границ

Определим доверительные границы ? случайной погрешности результата измерений по формуле:

где t_q - коэффициент Стьюдента, при заданной доверительной вероятности Р и числу измерений n.

Зададим доверительную вероятность Р = 0,95 , n = 63 , тогда t_q= 1.997.

? = 1.997*14,3 = 28,56.

8.7 Запись результата измерения

Результат измерения записывается в виде:

A = m_x ± ?,

А = 43,81±28,56 при Р = 0,95.

8.8 Исключение систематической погрешности

После проведения N измерений их разбивают на S серий (S>3) по n_jрезультатов наблюдений в каждой серии и затем устанавливают имеется или отсутствует систематическое расхождение между результатами наблюдений в разных сериях. После этого определяется внутрисерийная и межсерийная дисперсия:

где х_ij- i-тый результатj-той серии.

у_вс² характеризует случайные погрешности измерений.

у_мс² выражает силу действия фактора, вызывающего систематические различия между сериями.

Далее рассчитываем коэффициент ошибки по формуле:

у_вс²/(у_вс² +у_мс²)

Показатель дифференциации по формуле:

у_мс²/(у_вс²+у_мс²)

Чем больше отношение показателей дифференциации к коэффициенту ошибки, тем сильнее действие фактора, по которому группировались серии и тем больше систематического различия между ними.

Критерием оценки наличия систематической погрешности в данном случае является дисперсионный критерий Фишера

F=у_мс²/у_вс²

F находится по таблицам для уровней значимости q, числа Nи числа серий S.

K₂=N-S

K₁=S-1

ЕслиF>F_q, то гипотеза об отсутствии смещения результатов наблюдения по сериям отвергается, т.е. обнаруживается систематическая погрешность.

РазбиваемN измерений наS серий:

1) 50, 30, 40, 70, 40, 30, 40

2) 50, 25, 50, 20, 40, 50, 50

3) 30, 30, 50, 40, 30, 30, 40

4) 50, 40, 60, 60, 30, 40, 40

5) 45, 50, 60, 30, 60, 60, 45

6) 60, 45, 60, 20, 20, 30, 50

7) 24, 26, 55, 57, 42, 43, 44

8) 45, 46, 47, 21, 22, 23, 70

9) 30, 30, 60 ,60, 70, 70, 70

₁=42,86

₂=40,71

₃=35,71

₄=45,71

₅=50

₆=36,71

₇=44,43

₈=39,14

₉=54,57

у_вс²=8760,55 = 43,32у_мс²=266,2

Коэффициент ошибки равен 0,999

Показатель дифференциации 0,0009

Коэффициент Фишера F=0,0009

К₂=63-9=54К₁=9-1=8

При К₂=55 и К₁=5 по таблице имеем при q=0,05, F_0,05=2,4 ,

и приq=0,01, F_0,01=3,408.

Полученное значение F<2,21иF<3,02. Следовательно, в результатах не обнаруживается наличия систематических ошибок.



Заключение

Мы провели обработку многократных измерений: с помощью критерия «трёх сигм» подтвердили отсутствие грубой погрешности, используя критерий Фишера, подтвердили отсутствие систематической погрешности, построили гистограмму, на основании которых предположили, что результаты измерения подчиняются нормальному распределению. Проведя, более тщательный анализ по критерию Пирсона, мы доказали принадлежность результатов измерений нормальному распределению. Систематической погрешности не обнаружено.

Размещено на Allbest.ru

...