Інтерполяцiйнi послiдовностi деяких класiв функцiй, аналiтичних в крузi

Размещено на http://www.allbest.ru/

Львівський національний університет імені Івана Франка

УДК 517.5

ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІ ПОСЛІДОВНОСТІ ДЕЯКИХ КЛАСІВ ФУНКЦІЙ,

АНАЛІТИЧНИХ В КРУЗІ

01.01.01 - математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Шепарович Ірина Богданівна

Львів - 2001



Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Дрогобицькому державному педагогічному університеті імені Івана Франка на кафедрі математичного аналізу.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, доцент Винницький Богдан Васильович, професор кафедри математичного аналізу Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Скасків Олег Богданович, професор кафедри теорії функцій і теорії ймовірностей Львівського національного університету імені Івана Франка,

кандидат фізико-математичних наук, доцент Гірник Маркіян Олексійович, доцент кафедри вищої математики і статистики Львівської комерційної академії.

Провідна установа: Харківський національний університет ім. В.Н.Каразіна, кафедра математичного аналізу.

Захист відбудеться “ 15 ” “ листопада ” 2001 р. о 15.20 год. на засіданні спеціаліованої вченої ради К 35.051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, м.Львів, вул.Університетська, 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розісланий “ 10 ” “ жовтня ” 2001 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради М.М.Бокало



Шепарович І. Б. Інтерполяцiйнi послiдовностi деяких класiв функцiй, аналiтичних в крузi. - Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.01 - математичний аналiз. - Львiвський державний унiверситет iмені Iвана Франка, Львiв, 2001

У дисертацiйнiй роботi отримано повний опис послiдовностей нулiв та інтерполяційних послідовностей класів функцiй, аналiтичних в крузі, що визначаються додатною зростаючою опуклою відносно логарифма мажорантою.

Ключовi слова: аналiтична функцiя, ціла функція, послiдовнiсть нулiв, iнтерполяцiйна послiдовнiсть, iнтерполяцiйна задача, функція, опукла відносно логарифма, мажоранта Ньютона, нескінченний добуток.



Sheparovych I. B. Interpolation sequences of some classes of functions analytic in the disk. - Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Phisical and Mathematical degree on the speciality 01.01.01 - Mathematical Analysis. - Lviv State University named after Ivan Franko, Lviv, 2001.

In the thesis descriptions sequences of zeros and interpolation sequences of classes of analytic functions in the disk determinated by positiv increasing convex majorant for logarithm are obtained.

Key words: analytic function, entire function, sequence of zeros, interpolation sequence, interpolation problem, convex function for logarithm, Newton majorant, infinite product.



Шепарович И. Б. Интерполяционные последовательности некоторых классов функций, аналитических в круге. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ, Львовский государственный университет имени Ивана Франко, Львов, 2001.

Диссертация состоит из введения, трех разделов, разбитых на подразделы, выводов и списка использованных источников. Объем диссертации 121 страница. Список используемых источников включает 116 наименований. інтерполяційний послiдовність логарифма мажоранта

Во введении дано обоснование актуальности темы, наводятся цель и задачи исследования, научная новизна, практическое значение и апробация полученных результатов, количество публикаций.

В первом разделе дан обзор работ, которые касаются описания последовательностей нулей и интерполяционных последовательностей, а также формулируются основные результаты диссертации.

Во втором разделе получено описание последовательностей нулей и интерполяциенных последовательностей классов функций, аналитических в круге, которые определяются положительной возростающей мажорантой, выпуклой относительно логарифма и, в частности, полностью решена интерполяционная задача в класе аналитических в единичном круге функций конечного порядка.

В третьем разделе получено описание интерполяционных последовательностей класса функций, аналитических в единичном круге конечного h-типа. А также получены условия при которых интерполяционная задача f(ln)=bn имеет единственное решение в некоторых подклассах целых функций конечного h-типа. Ключевые слова: аналитическая функция, целая функция, последовательность нулей, интерполяционная последовательность, интерполяционная задача, функция, выпуклая относительно логарифма, мажоранта Ньютона.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Проблема опису інтерполяційних послідовностей, тобто таких послідовностей (ln), для яких існує функція f із заданого класу, яка в заданих точках ln (вузлах інтерполяції) приймає задані значення bn:

f(ln) = bn,

досліджувалась в багатьох роботах. Потреба в дослідженні цієї проблеми зумовлена як розв'язанням практичних задач, наприклад, в радіотехніці (теорема Котельнікова), так і вирішенням теоретичних проблем, зокрема, в теорії базисів та проблем моментів.

Для многочленів інтерполяційна задача розглядалася ще Ньютоном і Лагранжем. Вперше критерій розв'язуваності цієї інтерполяційної задачі в класі цілих функцій порядку, що не перевищує заданий та в класі цілих функцій скінченного типу при заданому порядку знайшов О.Леонтьєв. В.Скваєрс, К.Малютін, А.Братищев знайшли інші, геометричні, критерії існування розв'язку інтерполяційної задачі в цих класах. Для класу цілих функцій, індикатор яких не перевищує заданий відносно уточненого порядку, інтерполяційну задачу вперше повністю розв'язав А.Гришин. Його результатам передували праці Б.Левіна, О.Фірсакової, А.Братищева, К.Малютіна. Інтерполяційну задачу в різних підкласах класу цілих функцій скінченного порядку розглядали також Г.Лапін, А.Братищев та Ю.Коробейник. Внаслідок цих та інших досліджень інтерполяційна задача в ряді важливих підкласів класу цілих функцій скінченного порядку певним чином розв'язана повністю.

Досить загальний підхід до інтерполяційних задач запропонував Ю.Коробейник.

В класі цілих функцій нескінченного порядку, який визначається заданою мажорантою h, інтерполяція розглядалась в працях К.Бернштейна і Б.Тейлора, Р.Хеймана, Т.Абаніної, яким передували дослідження Л.Хермандера. К.Бернштейн і Б.Тейлор, а потім Р.Хейман знайшли критерій за умови, що (ln) є підпослідовністю нулів функції з певного класу, і, таким чином, їх результати не є настільки завершеними, як вищезгадані результати в підкласах класу цілих функцій скінченного порядку. Накладаючи на h додаткові обмеження (з них випливає, що lnlnh(r)/lnrіс>0, Т.Абаніна знайшла критерій, аналогічний критеріям О.Леонтьєва, для одного класу цілих функцій нескінченно-го порядку. Задача про знаходження такого аналогу при мінімальних обмеженнях на зростання мажоранти h залишалася відкритою.

Інтерполяційну задачу в класі аналітичних і обмежених в одиничному крузі {z:|z|<1} розв'язав Л.Карлесон. Недавно новий критерій отримав К.Малютін. В цьому ж класі функцій проблема інтерполяції досліджувалася також У.Хейманом, Д.Ньюменом, Д.Ерлом, П.Джонсом та іншими, а в класі аналітичних в одиничному крузі функцій степеневого зростання - К. Сейпом. Інтерполяційна задача в класі аналітичних в одиничному крузі функцій, який визначається мажорантою, що зростає швидше степеневої функції, фактично, не розглядалася. Зокрема, залишалась відкритою задача про опис інтерполіційних послідовностей для класу аналiтичних в одиничному крузі функцій скінченного порядку. Правда, деякі результати для одиничного кругу можна отримати з результатів Б.Левіна, Н.Уена, К.Малютіна, A.Руссаковського, В.Шарана для верхньої півплощини С+. Проте, з їх допомогою не можна отримати відповідні критерії для класу функцій, що визначається зростаючою мажорантою, в тому числі й функцій скінченного порядку, оскільки в згаданих працях розглядаються функції, обмежені в кожному півкрузі, що лежить в С+. Деякий виняток становить робота А.Руссаковського, в якій анонсовано критерій розв'язуваності інтерполяційної задачі в класі аналітичних в С+ функцій цілком регулярного зростання з необмеженим індикатором за умови, що (ln) є послідовністю нулів деякої функції з цього класу.

Задача інтерполяції тісно пов'язана із задачею про опис послідовностей і підпослідовностей нулів функцій у відповідних класах та побудовою аналітичних функцій мінімального зростання із заданою послідовностю нулів. Цій темі присвячені відомі праці Е.Бореля, Р.Неванлінни, М.Джрбашяна, А.Гольдберга, А.Едрея і В.Фукса, А.Бьорлінга і П.Мальявена, Л.Рубеля і Б.Тейлора, Л.Ма+йлза, А.Кондратюка, Г.Скоди, М.Гірника, В.Бергвелера, А.Гришина і М.Содіна, А.Нафталевича, А.Седлецького, Б.Хабібуліна, Б.Винницького, В.Шарана, Б.Коренблюма, К.Сейпа та багатьох інших. Але незважаючи на велику кількість публікацій, задача про опис послідовностей нулів функцій багатьох важливих класів залишається відкритою.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Напрямок досліджень, вибраний у дисертації, передбачений планами наукової роботи Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є:

побудувати нескінченні добутки мінімального зростання із заданою послідовністю нулів, усереднена неванліннівська характеристика яких має задану оцінку зверху;

отримати опис інтерполяційних послідовностей класів функцій, аналітичних в крузі функцій, що визначаються зростаючою мажорантою при мінімальних обмеженнях на неї.

Методи дослідження. У дисертаційній роботі використовуються методи сучасної теорії аналітичних функцій та деякі прийоми з робіт Т.Абаніної, А.Братищева, Ю.Коробейника, К.Малютина, Б.Винницького та інших.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі одержані наукові результати є новими. У роботі вперше:

побудувано нескінченні добутки мінімального, в певному розумінні, зростання із заданою послідовністю нулів, усереднена неванліннівська характеристика яких має задану оцінку зверху, яка визначається опуклою відносно логарифма мажорантою;

отримано повний опис інтерполяційних послідовностей класів аналітичних в одиничному крузі функцій, що визначаються додатною зростаючою опуклою відносно логарифма мажорантою і, зокрема, повністю розв'язано інтерполяційну задачу в класі аналітичних в одиничному крузі функцій скінченного порядку;

отримано опис інтерполяційних послідовностей класів цілих функцій, які визначаються додатною зростаючою опуклою відносно логарифма мажорантою, і є узагальненням, зокрема, класу цілих функцій порядку меншого від заданого;

знайдено умови, за яких інтерполяційна задача f(ln) = bn має єдиний розв'язок в деяких підкласах класу цілих функцій скінченного h-типу.

новим моментом в доведенні майже всіх результатів є використання апроксимаційних теорем Клуні та Клуні-Кеварі.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Вони можуть знайти застосування в наступних дослідженнях з теорії інтерполяції, теорії опису послідовностей нулів аналітичних функцій, в теорії базисів, при дослідженні умов повноти систем аналітичних функцій.

Особистий внесок здобувача. Викладені в роботі результати отримано автором самостійно. Щодо розглянутих в дисертації задач, які розв'язані в працях, спільних з науковим керівником, Б.Винницькому належить постановка їх і загальне керівництво роботою.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались та обговорювались на Міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми математики" (Чернівці, 1998 р.), на Міжнародній Конференції "Математичний аналіз і економіка" (Суми, 1999 р.), на Міжнародній Конференції "Цілі і мероморфні функції" (Львів, 2000 р.), на VIII-ій Міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука (Київ, 2000 р.), на семінарі з теорії аналітичних функцій у Дрогобичі (керівник проф. Б.В.Винницький), на семінарі з теорії аналітичних функцій у Львові (керівники проф. А.А.Кондратюк, проф. О.Б.Скасків), на семінарі з теорії аналітичних функцій у Харкові (керівник проф. А.П.Гришин), на регіональному семінарі з математичного аналізу (керівник проф. М.М.Шеремета).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 6 роботах (4 без співавторів), з яких 4 - журнальні статті, опубліковані у виданнях, включених у перелік ВАК України, в яких слід публікувати матеріали дисертацій.

Основні положення дисертації, що виносяться на захист:

критерій існування аналітичних в крузі функцій, зображених у вигляді певних нескінченних добутків із заданою послідовністю нулів, усереднена неванліннівська характеристика нулів яких має задану оцінку зверху;

критерій існування розв'язку інтерполяційної задачі f(ln) = bn в класі аналітичних в одиничному крузі функцій скінченного порядку;

повний опис інтерполяційних послідовностей в підкласах аналітичних в крузі функцій скінченного h-порядку;

опис мажорант, при яких інтерполяційна задача f(ln) = bn має єдиний розв'язок в підкласах цілих функцій скінченного h-типу.

Структура і об'єм роботи. Дисертація складається із переліку умовних позначень, вступу, трьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків і списку використаних джерел. Обсяг дисертації 121 сторінка. Список використаних джерел займає 12 сторінок і включає 116 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми, дається короткий огляд результатів, що мають безпосереднє відношення до теми роботи, подається загальна характеристика дисертації.

У першому розділі наведено огляд праць, що стосуються опису інтерполяційних послідовностей та опису послідовностей нулів, а також формулюються основні результати дисертації.

Розділ 2 присвячений опису послідовностей нулів та інтерполяційних послідовностей класів аналітичних в крузі функцій, які визначаються зростаючою мажорантою h.

Нехай h:[0;+Ґ)®(0;+Ґ) - зростаюча опукла відносно lnt на проміжку [1;+Ґ) функція така, що lnt=o(h(t)) при t®Ґ.

Через с1, с2, ... позначимо додатні сталі, а через t1, t2 - сталі з проміжку (0;1).

У підрозділі 2.1 отримано опис послідовностей нулів та інтерполяційних послідовностей класу аналітичних в одиничному крузі функцій f, що задовольняють умову

Нехай (ln) - послідовність різних комплексних чисел таких, що |ln|Ѕ1.

Теорема 2.1. Нехай lnh(t) є опуклою відносно lnt на [1;+Ґ) і lnt=o(lnh(t)) при t®Ґ. Тоді для того щоб послідовність (ln) була послідовністю нулів деякої функції L5, необхідно і досить, щоб

(1)

При цьому показано, що якщо виконується умова (1), то таку функцію L можна побудувати у вигляді



.

Теорема 2.2. Нехай lnh(t) є опуклою відносно lnt на [1;+Ґ) і lnt=o(lnh(t)) при t®+Ґ. Тоді для того щоб для кожної послідовності (bn) комплексних чисел з властивістю

існувала функція f5, що є розв'язком інтерполяційної задачі

f(ln) = bn, (2)

необхідно і досить, щоб виконувалась умова (1) і одна з наступних умов:

1) для деякої функції L5, яка має прості нулі в точках ln,

nz(t) - кількість точок li, які лежать в крузі

Зауважимо, що при виконанні (1) умови 1) - 5) є еквівалентними.

Отримано також опис послідовностей нулів та інтерполяційних послідовностей класу аналітичних в одиничному крузі функцій, що задовольняють умову

(3)

Такий клас називаємо класом функцій скінченного h-порядку.

Теорема 2.6. Нехай lnh(t) є опуклою відносно lnt на [1;+Ґ). Тоді для того щоб послідовність (ln) була послідовністю нулів деякої аналітичної в одиничному крузі функції L з класу (3), необхідно і досить, щоб

Теорема 2.8. Нехай lnh(t) є опуклою відносно lnt. Тоді для того щоб для кожної послідовності (bn) комплексних чисел з властивістю

існувала аналітична в одиничному крузі функція f, що задовольняє умови (2) і (3), необхідно і досить, щоб виконувалися умови

де h-1 - функція обернена до h.

опуклості lnh(r) відносно lnr).

У розділі 3 розглядається інтерполяційна задача (2) в класі аналітичних в крузі функцій скінченного h-типу.

Підрозділ 3.1 присвячений класу A1[h] аналітичних в одиничному крузі {z:|z|<1} функцій f, що задовольняють умову

Такий клас називаємо класом функцій скінченного h-типу.

Нехай (ln) - послідовність різних комплексних чисел таких, що |ln|Ѕ1.

Теорема 3.1. Для того щоб для кожної послідовності (bn) комплексних чисел з властивістю

(5)

існувала функція f5A1[h], що є розв'язком інтерполяційної задачі (2), необхідно, щоб виконувались умови

(6)

(7)

(8)



а досить, щоби існувала функція L5A1[h], що має прості нулі в точках ln, така, що

(9)

Теорема 3.2. Нехай (ln) є послідовністю нулів деякої функції L5A1[h]. Тоді для того щоб для кожної послідовності (bn) комплексних чисел з властивістю (5) інтерполяційна задача (2) мала розв'язок в класі A1[h], необхідно і досить, щоб виконувалася одна з умов (7) - (9).

Крім інших доводяться також наступні теореми.

Теорема 3.7. Нехай h задовольняє умову (4). Тоді для того щоб (ln) була послідовністю нулів деякої функції L5A1[h], необхідно і досить, щоб виконувалася умова (6).

Теорема 3.8. Нехай h задовольняє умову (4). Тоді для того щоб для кожної послідовності (bn) комплексних чисел з властивістю (5) існувала функція f5A1[h], що є розв'язком інтерполяційної задачі (2), необхідно і досить, щоб виконувалась умова (6) і одна з наступних умов:

1) для деякої функції L5A1[h], яка має прості нулі в точках (ln)

Зауважимо, що для доведення вищезгаданих теорем використовується не стільки опуклість функції h, скільки існування цілої трансцендентної функції y такої, що

тобто певна апроксимація функції h функціями виду lnmy(r), де my(r) - максимальний член деякої цілої функції y .

В підрозділі 3.2 розглядається випадок, коли

де (yn) - така послідовність комплексних чисел така, що

(10)

Нехай (ln) - послідовність різних комплексних чисел таких, що |ln|Ѕ+Ґ.

Використовуючи результати Б.Винницького та М.Драгилева, В.Захарюти, Ю. Коробейника, отримуємо наступні твердження, які відрізняються від стандартних інтерполяційних теорем, бо в них знаходяться умови на мажоранту, за яких задана інтерполяційна задача має відповідний розв'язок.

Теорема 3.10. Нехай послідовність (kn(y)) задовольняє умову (10), h(r)=lnmy(r), 0<R<Ґ. Тоді для того щоб існувала послідовність комплексних чисел (ln) така, що для кожної послідовності (bn) комплексних чисел з властивістю

інтерполяційна задача (2) має єдиний розв'язок в класі цілих функцій f, що задовольняють умову

необхідно і досить, щоб виконувалася умова

Теорема 3.12. Нехай h(r)=lnmy(r) i послідовність (kn(y)) задовольняє умову (10). Тоді для того щоб існувала послідовність (ln) така, що для кожного RО(0;+Ґ] і для кожної послідовності (bn) такої, що

інтерполяційна задача f(ln) = bn, має єдиний розв'язок в класі цілих функцій, що задовольняють умову

необхідно, щоб



а досить, щоб

Теорема 3.14. Нехай h(r)=lnmy(r), послідовність (kn(y)) задовольняє умову (10) і

Тоді існує послідовність (ln) така, що для кожної послідовності (bn) комплексних чисел з властивістю

існує ціла функція f така, що f(ln)=bn і

Зауважимо, що умова (10) не є обмеженням на функцію h, оскільки для кожної послідовності (yn) існує послідовність () така, що (kn(y)) є неспадною і (r)=my(r).



ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі отримано розв'язок ряду актуальних задач теорії аналітичних функцій, і, зокрема:

I) побудувано нескінченні добутки мінімального, в певному розумінні, зростання із заданою послідовністю нулів, усереднена неванліннівська характеристика послідовностей нулів яких має задану оцінку зверху;

II) отримано повний опис інтерполяційних послідовностей класів аналітичних в одиничному крузі функцій, що визначаються додатною зростаючою опуклою відносно

логарифма мажорантою і, зокрема, повністю розв'язано інтерполяційну задачу в класі аналітичних в одиничному крузі функцій скінченного порядку;

III) отримано опис інтерполяційних послідовностей класів цілих функцій, які визначаються додатною зростаючою опуклою відносно логарифма мажорантою, що є узагальненням, зокрема, класу цілих функцій порядку меншого від заданого;

IV) отримано опис інтерполяційних послідовностей класу аналітичних в одиничному крузі функцій скінченного h-типу за умови, що ln є послідовністю нулів деякої функції з цього класу;

V) знайдено умови, за яких інтерполяційна задача f(ln)=bn має єдиний розв'язок в деяких підкласах класу цілих функцій скінченного h-типу.

Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані в наступних дослідженнях з теорії інтерполяції, теорії опису нулів аналітичних функцій, в теорії базисів, при дослідженні умов повноти систем аналітичних функцій, при розв'язуванні рівнянь типу згортки та крайових задач.

Основні результати мають форму критеріїв. При їх отриманні використовуються методи сучасної теорії аналітичних функцій.



СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

1. Винницький Б. В., Шепарович І. Б. Про інтерполяційні послідовності деяких класів цілих функцій // Матем. студії. - 1999. - 12, № 1. - C.76-84.

2. Sheparovych I. B. Interpolation in some class of analytic functions in the unit disk // Матем. студії. - 2000, - 13, № 2. - C.165-172.

3. Шепарович І. Б. Про єдиність розв'язку інтерполяційної задачі в одному класі цілих функцій // Матем. студії. - 2000. - 14, № 7. - C.109-110.

4. Шепарович І. Б. Про інтерполяційні послідовності деяких класів аналітичних функцій // Вісник Харківського національного університету. Серія "Математика, прикладна математика і механіка". - 2000. - № 475. - C. 204-207.

5. Винницький Б. В., Шепарович І. Б. Про інтерполяційні послідовності деяких підкласів цілих функцій // Сучасні проблеми математики. Матеріали Міжнародної наукової конференції. Частина 1. - Київ: Ін-т математики НАН України. -1998. - C. 98-100.

6. Шепарович І. Б. Інтерполяція в одному класі функцій, аналітичних в одиничному крузі // Матеріали VIII міжн. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука - м. Київ. - 2000. - C. 394.

Размещено на Allbest.ru

...