Разработка математической модели второго порядка методом планирования эксперимента
Особенности планирования эксперимента. Ортогональный центрально-композиционный план второго порядка. Коэффициенты аппроксимирующего полинома в виде полной квадрики. Проверка значимости коэффициентов аппроксимирующего полинома по критерию Стьюдента.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 23.04.2014 |
| Размер файла | 398,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Оглавление
Аннотация
Annotation
1. Исходные данные
2. Сущность и особенности планирования эксперимента
Выбор входных и выходных переменных
Выбор области экспериментирования
Выбор математической модели объекта исследования
Составление плана эксперимента
Обработка результатов эксперимента
Интерпретация результатов
Список литературы
Аннотация
эксперимент полином стьюдент аппроксимирующий
Планирование эксперимента состоит в выборе числа и условий проведения опытов, позволяющих получить необходимые знания об объекте исследования с требуемой точностью.
Важнейшим условием научно-поставленного эксперимента является минимизация числа опытов, а следовательно затрат материальных, трудовых и временных ресурсов, однако это не должно существенно отражаться на качестве полученной информации, применение методов планирования эксперимента ограничено сложностью или невозможностью постановки эксперимента в реальных условиях.
Однако методы моделирования позволяют проводить с помощью ЭВМ различные эксперименты с моделями объектов исследования. Функционально реальные системы, связанные со случайным проявлением действия некоторого фактора легко эмитируется в машинном эксперименте с помощью специальных программ.
Annotation
Design of experiments is to choose the number and experimental conditions that allow to obtain the necessary knowledge about the study with the required accuracy.
The most important condition for scientific experiments carried out is to minimize the number of experiments, and hence cost of materials, labor and time resources, but this should not significantly affect the quality of information received, the application of experimental design is limited complexity or inability of the experiment in the real world.
However, simulation techniques allow for a variety of computer-aided experiments with models of the objects of study. Functionally, the real system associated with a random display of some of the factors easily emitted to the computer experiment, with special programs.
1. Исходные данные
|
Параметр |
Фактор |
|||
|
Х1 |
Х2 |
Х3 |
||
|
Нижний уровень Х i min |
80 |
150 |
0,08 |
|
|
Верхний уровень Х i max |
110 |
200 |
0,10 |
Результаты эксперимента
|
№ опыта |
Фактор |
Отклик |
|||
|
Х1 |
Х2 |
Х3 |
Y1 |
||
|
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
5,07 |
|
|
2 |
1 |
-1 |
-1 |
8,04 |
|
|
3 |
-1 |
1 |
-1 |
5,61 |
|
|
4 |
1 |
1 |
-1 |
5,05 |
|
|
5 |
-1 |
-1 |
1 |
1,29 |
|
|
6 |
1 |
-1 |
1 |
4,40 |
|
|
7 |
-1 |
1 |
1 |
6,68 |
|
|
8 |
1 |
1 |
1 |
5,03 |
|
|
9 |
-a |
0 |
0 |
4,86 |
|
|
10 |
a |
0 |
0 |
8,04 |
|
|
11 |
0 |
-a |
0 |
5,24 |
|
|
12 |
0 |
a |
0 |
6,57 |
|
|
13 |
0 |
0 |
-a |
7,21 |
|
|
14 |
0 |
0 |
a |
4,37 |
|
|
15 |
0 |
0 |
0 |
6,,07 |
Составить план эксперимента. Найти коэффициенты аппроксимирующего полинома в виде полной квадрики. Оценить значимость коэффициентов аппроксимирующего полинома. Проверить адекватность найденного уравнения регрессии. Дать интерпретацию полученных результатов в терминах объекта исследования.
2. Сущность и особенности планирования эксперимента
Суть данного метода обработки данных и его особенности рассматривается по пунктам:
Выбор входных и выходных переменных
Входные переменные Хi, i=, которые определяют состояние объекта исследования называется влияющими факторами. Основное требование, предъявляемое к ним - это достаточная управляемость, то есть возможность установить нужный уровень фактора, стабилизируя его в течение всего опыта.
Выходная переменная Y - реакция объекта исследования на влияющие факторы - функция отклика. Выбор этой функции определяется целью исследования, которая может представлять собой оптимизацию экономической (стоимость, производительность), технологической (точность, качество, быстродействие), конструктивной (надёжность) или другой характеристикой объекта исследования.
Выбор области экспериментирования
Область эксперимента - область факторного пространства, изучение которой представляет интерес для исследования. Границы этой области по каждому фактору Хi, обусловлены его min и max значением, то есть Xi min < Xi < Xi max, как показано на Рис. 1.
Рисунок 1 Схема определения области эксперимента для 2-х факторного эксперимента
В случае 3-х факторного эксперимента область эксперимента будет представлять собой параллелепипед. При большем числе факторов область эксперимента ограничена гиперплоскостями в k-мерном пространстве.
Оценка границ области эксперимента или области существенных факторов производится на основе принципиального ограничения либо из других соображений. Первый вид ограничений не может быть нарушен не при каких обстоятельствах, например, для температуры нижний предел - абсолютный ноль. При выборе ограничений второго вида исследования руководствуются конкретными обстоятельствами, например, временем протекания процесса, стоимостью материала.
Устанавливая область определения необходимо также выполнить условие совместимости факторов, то есть значения факторов должны быть выбраны так, чтобы эксперимент можно было реализовать.
Выбор математической модели объекта исследования
Если аналитическую зависимость, связывающую функцию отклика (Y) с влияющими факторами (Xi), найти невозможно, и вид функции априори неизвестен, то есть Y=f(X1, X2, …., Xi), то целесообразно использовать степенной ряд:
(1),
где k - число влияющих факторов.
Выражение (1) служит математической моделью исследуемого объекта, так как, исходя из требований практики, число членов степенного ряда ограничивается, то аппроксимируемая функция представляет собой степенной ряд некоторой степени.
Для определения коэффициента аппроксимирующего полинома, применяется наиболее универсальный метод - метод наименьших квадратов.
Как отмечалось выше, при его использовании необходимым условием является выполнение неравенства (N>S), где N - число опытов, S - количество коэффициентов аппроксимирующего полинома, то есть количество проведённых опытов должно быть больше чем число коэффициентов аппроксимирующего полинома. Увеличить количество опытов N возможно повторением опытов в исходных точках либо увеличением количества этих точек.
Для удобства обработки результатов экспериментов целесообразно все факторы представить в безмерной форме для чего проводится операция кодирования переменных. Её сущность заключается в том, что начало координатного факторного пространства переносится в точку с координатой - эта точка центр эксперимента:
(2).
Кроме того интервал варьирования факторов разбивается на ряд уровней симметрично относительно центра эксперимента. В случае составления симметричных двухуровневых планов все k - факторов изменяются на 2-х уровнях. При этом Xi min ставится в соответствии с кодированием переменных -1, а Xi max - +1.
Для количественных факторов связь между физическими (Xi) и кодированными (хi) значениями факторов определяется следующим соотношением:
(3), (4),
где Ii - интервал варьирования.
Составление плана эксперимента
Выбрав математическую модель объекта исследования определяем какое значение должен принимать каждый из факторов в каждом из опытов. Таблица, составленная из значений факторов для каждого опыта - матрица планирования. Она включает как независимые факторы, так и зависимые. Та её часть, которая включает независимые факторы, называется планом эксперимента. Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов - полный факторный эксперимент (ПФЭ).
Если k - факторов варьируются на 2-х уровнях, то число всех возможных сочетаний факторов равен 2к, следовательно ПФЭ будет называться ПФЭ типа 2к. Если k - факторов варьируются на n - уровнях, то получится ПФЭ типа nк. Таким образом число опытов ПФЭ типа nк будет находиться по формуле: N= nк, где n - число уровней, к - число факторов.
В общем случае ПФЭ типа 2к обладает следующими свойствами:
1. Симметричность относительно центра эксперимента. При этом алгебраическая сумма элементов вектора столбца для каждого фактора равна 0:
2. Соответствие условиям нормировки. При этом сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов:
3. Соответствие условиям ортогональности. При этом сумма почленных произведений любых 2-х вектор-столбцов матрицы планирования равно 0:
.
Ортогональность матриц планирования позволяет при обработке данных при методе наименьших квадратов получить независимые друг от друга оценки коэффициентов. При выполнении данных условий коэффициенты аппроксимирующего полинома находятся по формуле:
(5),
(6).
Модель, включающая в себя только линейные эффекты и эффекты парных взаимодействий факторов, имеет соответствующие ей планы, которые называются планами первого порядка. В случае необходимого учёта нелинейного влияния фактора аппроксимирующий полином должен содержать члены более высокого порядка, в связи с этим для оценки коэффициентов аппроксимирующего полинома следует пользоваться более сложными планами, чем планы 1-го порядка. В данной работе используем план 2-го порядка.
Планы второго порядка позволяют сформировать функцию отклика в виде полного квадратичного полинома, который содержит большее число членов, чем неполный квадратичный полином, сформированный по планам первого порядка, и поэтому требуют большего числа выполняемых опытов. Полный квадратичный полином при n =2 содержит 6 членов:
(7)
при n = 3 - 11 членов
(8)
Известно, что для получения квадратичной зависимости каждый фактор должен фиксироваться как минимум на трех уровнях.
Для планов второго порядка область планирования может:
* Быть естественной, то есть включать область планирования планов первого порядка и дополнительные точки (такие планы называются композиционными). Дополнительные точки могут выходить за область плана первого порядка - единичного гиперкуба. В этом случае опыты в них реализуются при установлении факторов за пределами варьирования. Это надо учитывать при определении области совместимости факторов.
* Не выходить за пределы единичного гиперкуба, то есть для всех точек
плана выполняется условие .
* Не выходить за пределы единичного гипершара, определяемую соотношением таких значений факторов в плане, что .
Во втором и третьем случаях используют специальные приемы выполнения приведенных соотношений в плане. План с одной областью планирования можно перестроить в план другой областью планирования.
Если уже был ранее сформирован план ПФЭ, но точность его функции отклика не удовлетворяет, то мы можем достроить этот план до плана второго порядка (композиционный план) и сформировать функцию отклика в виде полного квадратичного полинома, без потери информации о ранее сделанных опытах.
Ортогональный центрально-композиционный план второго порядка.
Ортогональным планом называется такой план, у которого матрица планирования Х строится так, что бы матрица С=ХtХ оказалась диагональной.
Используем этот подход и при построении планов второго порядка. План называется центральным, если все точки расположены симметрично относительно центра плана. ОЦКП - центральный симметричный ортогональный композиционный план.
В ОЦКП входят: ядро - план ПФЭ с N0= 2n точками плана, n0 (одна для этого плана) центральная точка плана и по две “звездные” точки для каждого фактора
б- плечо “звездных” точек.
При этом в каждой плоскости, содержащей ось Y и координатную ось i-того фактора (проходящей через центр плана), оказываются три значения фактора хi (-б; 0; б) и три соответствующих значения Y.
Общее количество точек в плане ОЦКП составляет (9)
где для ОЦКП n0=1.
При n > 2 в ОЦКП оказывается меньшее количество точек, чем в плане ПФЭ 3n.
Число точек в плане
|
n |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
ОЦКП |
9 |
15 |
25 |
43 |
77 |
|
|
ПФЭ 32 |
9 |
27 |
81 |
243 |
729 |
Графическое представление ОЦКП для n=3 приведено на рисунке 2.
Рис. 2 ОЦКП при n=3
Для ортогонального плана необходимо, чтобы выполнялось соотношение
(10)
Так как, то для столбцов j=1, 2,…., m+1 должно выполняться условие
(11)
Это означает необходимость выполнения требования, чтобы сумма элементов любого столбца (кроме j=0), включая столбцы, соответствующие квадратам фактора, должна быть равна нулю. Это возможно, если члены столбцов, соответствующих квадратам факторов, преобразованы, иначе сумма квадратов факторов не может быть равна нулю.
Преобразование элементов этих столбцов осуществляется в виде
(12)
где а - величина, зависящая от числа факторов.
Сумма элементов столбца, соответствующего квадратам факторов
(13)
Откуда
(14)
В общем случае ОЦКП обладает следующими свойствами:
1. Симметричность относительно центра эксперимента. При этом алгебраическая сумма элементов вектора столбца для каждого фактора равна 0:
2. Соответствие условиям ортогональности. При этом сумма почленных произведений любых 2-х вектор-столбцов матрицы планирования равно 0:
.
Коэффициенты полинома определяются как:
(14)
Можно преобразовать полином к виду:
Где
Обработка результатов эксперимента
Обработка результатов проведённого эксперимента осуществляется по следующей схеме:
1. На основании данных параллельных наблюдений оценивается дисперсия воспроизводимости (отклонение) для каждой строки плана:
(15).
Затем определяется критерий Кохрена - критерий равноточности погрешности опыта:
(16).
При этом расчётное значение критерия Кохрена сравнивают с табличным. В случае, если Gрасч < Gтабл. приходят к выводу, что все опыты выполнены с равной погрешностью. Если Gрасч > Gтабл. делают вывод, что опыты выполнены не с равной погрешностью и эксперимент нужно переделать.
Также осуществляется расчёт погрешности опыта и проверка однородности дисперсии опыта:
(17),
где m - число повторений опытов.
2. С помощью метода наименьших квадратов определяются коэффициенты аппроксимирующего полинома (формула (14)) Найденные коэффициенты подставляем в аппроксимирующий полином.
3. Производится проверка адекватности модели по критерию Фишера:
(18),
где Dy адекв - дисперсия адекватности
(19),
где N - число опытов,
S - число коэффициентов полинома,
YPi - расчётное значение,
Yi - экспериментальное,
Dy опыт - дисперсия опыта.
Полученное значение критерия Фишера сравнивается с табличным. Если F< Fтабл., то модель считается адекватной. Если F > Fтабл., то модель считается неадекватной.
4. Проверка значимости коэффициентов аппроксимирующего полинома по критерию Стьюдента:
(20),
(21),
(22).
Где дai - среднеквадратическое отклонение коэффициента аппроксимирующего полинома, tai - коэффициент Стьюдента, Dai - дисперсия коэффициента аппроксимирующего полинома.
Для оценки значимости коэффициента аппроксимирующего полинома расчётные значения критерия Стьюдента необходимо сравнить с табличным. Если tр > tт приходят к выводу, что коэффициент оказывает существенное влияние и из рассмотрения не исключается. Если tр < tт, то следует, что коэффициент не оказывает существенное влияние и этот коэффициент исключают из полинома.
5. Интерпретация модели в терминах:
Анализ результатов эксперимента завершается интерпретацией модели в терминах объекта исследования. Прежде всего выясняется в какой мере каждый из факторов влияет на функцию отклика, то есть X на Y. Чем больше коэффициент аi, тем сильнее влияние. Знак коэффициента позволяет судить о характере зависимости функций отклика от соответствующих факторов. Если положительный коэффициент, то связь прямо пропорциональная, если отрицательный, то обратно пропорциональная. Затем следует проанализировать эффекты парных взаимодействий.
3. Расчетная часть:
Все расчёты выполнены в среде Mathcad.
Кодирование исходных факторов эксперимента
Для удобства обработки результатов эксперимента целесообразно все факторы представить в безразмерной форме, для чего проводим операцию кодирования переменных:
Исходные значения:
Найдем значения x4, x5, x6, x7, x8, x9:
Найдем коэффициенты аппроксимирующего полинома в виде полной квадрики:
Производим проверку адекватности модели по критерию Фишера:
Имеем Fт = 2,96 > F = 1.049. Следовательно, гипотеза об адекватности выбранной модели не отвергается.
Коэффициент Стьюдента:
Для проверки значимости коэффициентов необходимо определить коэффициент Стьюдента.
Имеем Fт = 2,96 > F =0.828. Следовательно, гипотеза об адекватности выбранной модели не отвергается.
Интерпретация результатов
Из трех факторов, линейно влияющих на функцию отклика, выделились все 3 фактора- x1,x2 и x3 -температура, количество реагента и расход едкого натра. Причем расход едкого натра влияет сильнее на функцию т.к. а3>а1>а2. Характер влияния факторов разный - x1 и х2 зависимость прямо пропорциональная, х3 обратно пропорциональная.
Среди трех факторов, оказывающих парное взаимодействие, выделились 2 фактора - x1x2, x2x3.влияние температуры раствора и количества реагента; влияние количества реагента и расхода едкого натра. Причем взаимное влияние температуры раствора и количества реагента оказывает большее влияние на функцию отклика, чем взаимное влияние количества реагента и расхода едкого натра т.к. |a4|>|a6|. Характер влияния эффектов парных взаимодействий не одинаков. Взаимное влияние температуры раствора и количества реагента обратно пропорциональна, т.е. с увеличением этих факторов, функция отклика уменьшается. Взаимное влияние количества реагента и расхода едкого натра носит прямо пропорциональную зависимость, т.е. с увеличением этих факторов, функция отклика увеличивается.
Совместное влияние температуры раствора и расхода едкого натра не оказывает влияния на функцию отклика, т.к. коэффициент a5 не значим.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Метод планирования второго порядка на примере В3-плана. Получение и исследование математической модели объекта в виде полинома второго порядка. Статистический анализ полученного уравнения и построение поверхностей отклика. Расчет коэффициентов регрессии.
курсовая работа [128,4 K], добавлен 18.11.2010Уравнение для описания поверхности второго порядка в аффинной системе координат. Виды квадрики в прямоугольной системе координат: мнимый эллипсоид, гиперболоид, конус, параболоид, цилиндр, плоскости. Способы приведения квадрики к каноническому виду.
курсовая работа [4,5 M], добавлен 19.09.2012Роль идей и методов проективной геометрии в математической науке. Закономерности кривых второго порядка и кривых второго класса, основные теоремы Паскаля и Брианшона, описывающие замечательное свойство шестиугольника вписанного в кривую второго порядка.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 04.11.2013Исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам. Инвариантность выражения АС-В2. Классификация линий второго порядка. Уравнения, определяющие эллипс и гиперболу. Директрисы кривых второго порядка.
курсовая работа [132,1 K], добавлен 14.10.2011Основные свойства кривых второго порядка. Построение кривой в канонической и общей системах координат. Переход уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений.
курсовая работа [166,1 K], добавлен 17.05.2011Исследование кривой второго порядка. Определение типа кривой с помощью инвариантов. Приведение к каноническому виду, построение графиков. Исследование поверхности второго порядка. Определение типа поверхности. Анализ формы поверхности методом сечений.
курсовая работа [231,0 K], добавлен 28.06.2009Кривая и формы поверхности второго порядка. Анализ свойств кривых и поверхностей второго порядка. Исследование форм поверхности методом сечений плоскостями, построение линии, полученной в сечениях. Построение поверхности в канонической системе координат.
курсовая работа [132,8 K], добавлен 28.06.2009Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка, общий вид. Линейная зависимость векторов и функций. Определитель Вронского, практические примеры его нахождения. Неоднородные уравнения второго порядка, теорема и доказательство, решение.
презентация [272,9 K], добавлен 17.09.2013Общее уравнение кривой второго порядка, преобразование систем координат. Классификация кривых по инвариантам, исследование уравнения кривой второго порядка. Изучение и примеры исследования инвариант поворота и параллельного переноса систем координат.
курсовая работа [654,1 K], добавлен 28.09.2019Эллипс, гипербола, парабола как кривые второго порядка, применяемые в высшей математике. Понятие кривой второго порядка - линии на плоскости, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением. Теоремма Паскамля и теорема Брианшона.
реферат [202,6 K], добавлен 26.01.2011Доказательство теоремы единственности для кривых второго порядка. Преимущества и недостатки разных способов доказательства теоремы единственности. Пучок кривых второго порядка. Методы решения теоремы единственности для поверхностей второго порядка.
курсовая работа [302,7 K], добавлен 22.01.2011Построение математической модели технологического процесса напыления резисторов методами полного и дробного факторного эксперимента. Составление матрицы планирования. Рандомизация и проверка воспроизводимости. Оценка коэффициентов уравнения регрессии.
курсовая работа [694,5 K], добавлен 27.12.2021Использование кривых второго порядка в компьютерных системах. Кривые второго порядка в 3d grapher. Жезл, гиперболическая спираль. Спираль Архимеда, логарифмическая спираль. Улитка Паскаля, четырех и трехлепестковая роза. Эпициклоида и гипоциклоида.
реферат [221,1 K], добавлен 26.12.2014Определения оптимизации схемы планирования эксперимента при работе со швейной машиной. Расчёт коэффициентов уравнения регрессии и выделение значимых коэффициентов прочности ткани и растяжения между лапкой и иглой. Проверка гипотезы адекватности модели.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 30.12.2014Построение квадратичных двумерных стационарных систем с заданными интегралами. Выражение коэффициентов интегралов через коэффициенты системы, связь последних между собой тремя соотношениями. Необходимые и достаточные условия существования у системы.
дипломная работа [480,0 K], добавлен 07.09.2009Вычисление градиента, дивергенции и ротора однократным дифференцированием функций. Дифференциальные операций и операторы второго порядка. Выполнение условий дифференцируемости и непрерывности. Оператор Лапласа, градиент дивергенции, формулы Грина.
реферат [527,5 K], добавлен 21.03.2014Линейные операторы, собственные значения. Общее понятие о квадратичных формах. Упрощение уравнений второго порядка на плоскости. Упрощение уравнений фигур в пространстве. Ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду.
курсовая работа [162,9 K], добавлен 13.11.2012Общее уравнение кривой второго порядка. Составление уравнений эллипса, окружности, гиперболы и параболы. Эксцентриситет гиперболы. Фокус и директриса параболы. Преобразование общего уравнения к каноническому виду. Зависимость вида кривой от инвариантов.
презентация [301,4 K], добавлен 10.11.2014Планирование эксперимента и факторы параметра оптимизации. Математическая модель и матрица планирования, коэффициенты уравнения регрессии и абсолютная величина доверительного интервала. Имитационный эксперимент и дифференциальные уравнения колебаний.
курс лекций [240,8 K], добавлен 22.09.2011Правила вычисления коэффициентов n-образов. Рассмотрение алгоритмов решения линейных ОДУ с переменными коэффициентами второго и произвольного порядков. Общепринятые способы определения частного решения неоднородного дифференциального уравнения.
книга [1,7 M], добавлен 03.10.2011
