Нормальное распределение случайной величины и его параметры

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (РГГУ)

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА

ФАКУЛЬТЕТ УПРАВЛЕНИЯ

Реферат по Теории вероятностей и математической статистике 1-го курса дистанционной (заочной) формы обучения

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ И ЕГО ПАРАМЕТРЫ

Кундиренко Екатерины Викторовны

Руководитель

Высоков Игорь Евгеньевич

Кандидат психологических наук, доцент

Москва 2014

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Распределение

Тип распределения

Обозначение

Плотность распределения

Функция распределения

Подсчет моментов

Асимметрия и эксцесс

Мода и медиана

Характеристическая функция

Моделирование наблюдений распределения

Квантили распределения

Примеры решения задач

Заключение

Литература

асимметрия эксцесс мода нормальное распределение

Введение

Нормальный закон распределения (часто называемый законом Гаусса) играет исключительно важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Это - наиболее часто встречающийся на практике закон распределения. Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях. Так, к примеру, сумма достаточно большого числа независимых случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения (при соблюдении некоторых весьма нежестких ограничений), приближенно подчиняется нормальному закону. Большинство встречающихся на практике случайных величин, таких, например, как ошибки измерений, ошибки стрельбы и т.д., могут быть представлены как суммы весьма большого числа сравнительно малых слагаемых - элементарных ошибок, каждая из которых вызвана действием отдельной причины, не зависящей от остальных. Каким бы законам распределения ни были подчинены отдельные элементарные ошибки, особенности этих распределений, в сумме большого числа слагаемых нивелируются, и сумма оказывается подчиненной закону, близкому к нормальному.

Распределение

Одномерное нормальное распределение (гауссово).

Тип распределения

Одномерное нормальное распределение является непрерывным.

Обозначение

Если и , то распределение называется стандартным нормальным, таким образом. стандартная нормальная случайная величина . Известно, что если , то

.

И наоборот, если , то

.

Плотность распределения

Нормальная плотность имеет вид

Эта функция имеет перегибы (т.е. вторая производная равняется нулю)

в точках .

Для стандартной нормальной с.в.

Связь между значениями плотностей

Учитывая эту связь, табулируют лишь значение f_z(x), а поскольку f_z(x) ? четная, то ее значение табулируют лишь для x ? 0:

Отметим, что нормальное (или гауссово ? по имени Карла Фридриха Гаусса) распределение играет исключительно важную роль в теории вероятностей.

Даже на купюре 10 DM изображен портрет Гаусса:

Если внимательно присмотреться, то слева от портрета Гаусса можно рассмотреть график стандартной гауссовой плотности:

Функция распределения

Этот интеграл не берется в квадратурах. Для стандартной нормальной с.в. функция распределения обозначается через и называется функцией Лапласа:

Очевидно, что .

Связь между функциями распределения

Учитывая эту связь, табулирую лишь значения Ф(x), а поскольку Ф(?x) = 1 ? Ф(x), то значения Ф(x) табулируют лишь для x > 0:

Подсчет моментов

· обычные (начальные):

· начальные:

Асимметрия и эксцесс

• асимметрия:

(распределение симметричное),

• эксцесс: .

Мода и медиана

Поскольку мода определяется как

,

а медиана определяется (хотя и не всегда однозначно! ? а иногда и вообще ее найти невозможно) из соотношения (а для непрерывной с.в. еще и из соотношения ), то для нормальной случайной величины имеем:

* (что очевидно, ? див., например, график для f_о(x) выше), т.е. гауссово распределение является одномодальным.

• (так как Ф(0) =0.5).

Характеристическая функция

Для имеем

Для имеем

Моделирование наблюдений распределения методами Microsoft Excel

Известно, что если случайные величины и независимы и имеют одинаковое равномерное распределение на [0,1], то случайные величины и являются независимыми и имеют распределение, а являются независимыми и имеют распределение.

В MicroSoft XL равномерное распределение на [0,1] моделируют с помощью встроенной функции “=СЛЧИС()” (без аргумента). Так в двух последних столбиках следующей таблицы имеем 20 реализаций случайной величины при m = 2 и у = 3:

Квантили распределения

При установленной связи между нормальным и стандартным нормальным распределениями достаточно охарактеризовать квантили стандартного нормального распределения. Как функция, квантиль является функцией, обратной к функции распределения: U_S - квантиль стандартного нормального распределения:

Приведем квантили стандартного нормального распределения, которые встречаются чаще всего:

Примеры решения задач

Задача 1. Пусть нормальная с.в. имеет плотность . Найти значение параметра и .

Решение. Плотность нормального распределения имеет вид

.

Значит . Откуда . Таким образом ,.

Задача 2. Шарик для подшипника считается набракованным если её диаметр удовлетворяет условью . Известно, что Найти вероятность того, что шарик будет бракованным.

Решение. Используя связь между нормальной и стандартной нормальной случайными величинами рассмотрим с.в. .

Тогда

.

Искомая вероятность равна

( тут ). Используя таблицы, находим, что , а значит.

Задача 3. Вероятность производства бракованной лампочки равна . Найти вероятность того, что из 1000 наугад выбранных лампочек бракованными окажется не менее 5 и не более 10.

Решение. Пусть - случайная величина равная количеству бракованных лампочек. Обозначим

где .

Тогда

Согласно интегральной теореме Муавра-Лапласа имеем

Заключение

В работе показаны основные определения и свойства нормального распределения: плотность, функция распределения, связь между нормальными с.в. и стандартными нормальными с.в., подсчитаны начальные и центральные моменты. Указаны значения моды, медианы, асимметрии и эксцесса, характеристические функции и некоторые квантили нормального распределения. Приведены примеры решения некоторых задач, в частности связанных с теоремой Муавра-Лапласа, которая на примере биномиального распределения показывает глубокую связь между нормальным распределением и другими распределениями.

Литература

1.Гихман И. Теория вероятностей и математическая статистика/ И. Гихман, А. Скороход, М. Ядренко; К.: 1988. - 439 с.

2.Дороговцев А. Теория вероятностей. Сборник задач / К.: 1980, - 431 с.

3.Ефимов А.В. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике для ВТУЗов / [А.В. Ефимов и др.]; М.: 1990. - 220 с.

4.Свешников А.В. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных процессов / М.: 1965. - 448 с.

5.Севастьянов В.А. Сборник задач по теории вероятностей / Б. А. Севастьянов, В. П. Чистяков, А. М. Зубков; М.: 1980. - 217 с.

6.Скороход А.В. Элементы теории вероятностей и теории случайных процессов / К.: 1975. - 270 с.

7.Ширяев А.Н. Вероятность / М.: 1989. - 576 с.

Размещено на Allbest.ru