Инвариантность формы первого дифференциала функций двух переменных
Описание особенностей непрерывных частных производных заданной функции. Определение полного дифференциала данной функции. Изучение формул, когда х и у были функциями одной переменной. Расчет коэффициентов при дифференциалах независимых переменных.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.04.2014 |
| Размер файла | 49,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Федеральное агентство по образованию Российской Федерации
Московский государственный строительный университет
Кафедра высшей математики
Реферат
Инвариантность формы первого дифференциала функций двух переменных
Выполнил: Казмирук И.В.
ПГС-1-9
Проверил: Ситникова Е.Г.
Москва 2011
Пусть функция z=f(x,y) имеет непрерывные частные производные z'x и z'y, причем х и у, в свою очередь, являются функциями от новых переменных t и u:
x=ц (t,u), y=ш (t,u)
также имеющими непрерывные частные производные x't , x'u , y't , y'u. Тогда не только существуют производные от сложной функции z по t и u, но эти производные также непрерывны по t и u, как это легко усмотреть из (1):
z't = z'x · x't + z'y · y't (1)
Если бы х и у были независимыми переменными, то полный дифференциал функции z был бы равен
dz = z't · dt + z'u · du
Но, в силу (1),
z't = z'x · x't + z'y · y't
и, аналогично,
функция дифференциал переменный частный
z'u = z'x · x'u + z'y · y'u
Подставив эти значения в выражение для dz, будем иметь:
dz = (z'x · x't + z'y · y't ) · dt +( z'x · x'u + z'y · y'u) · du
Перегруппируем члены следующим образом:
dz = z'x · (x't · dt + x'u · du) + z'y · (y't · dt + y'u · du)
Нетрудно видеть, что выражения, стоящие в скобках, представляют собой дифференциалы функций х и у, так что мы можем на писать:
dz = z'x · dx + z'y · dy
Мы пришли к той же самой форме дифференциала, что и в случае, когда х и у были независимыми переменными.
Итак, для функций двух переменных имеет место инвариантность формы первого дифференциала, как и для функций одной переменной.
Может случиться, что х и у будут зависеть от различных переменных, например,
x=ц (t), y=ш (t,w)
В таком случае мы всегда можем считать, что
x=ц1 (t,w), y=ш (t,w)
и все предыдущие рассуждения будут применимы и к этому случаю.
Следствия.
Для случая, когда х и у были функциями одной переменной, мы имели следующие формулы:
d(cx) = c · dx
d(x±y) = dx ± dy
d(xy) = y · dx + x · dy
d ( ) =
Эти формулы верны и в том случае, когда х и у являются функциями любого числа переменных, то есть когда
x=ц (t,w,…), y=ш (t,w,…)
Докажем последнюю формулу. Для этого примем сначала х и у за независимые переменные, тогда:
d ( ) = · dx - · dy =
Видим, что при этом предположении дифференциал имеет тот же вид, что и для функций х и у одной переменной. На основании же инвариантности формы дифференциала можно утверждать, что эта формула справедлива и в том случае, когда х и у являются функциями любого числа переменных.
Примеры. Доказанное свойство полного дифференциала и следствия из него позволяют упрощать вычисление дифференциалов, например:
1) d arctg (xy) = · d (xy) =
2) d = =
Так как коэффициентами при дифференциалах независимых переменных являются соответствующие частные производные, то отсюда сразу же получаются и значения этих последних.
Например, для u= arctg (xy) имеем непосредственно
= ,
=
А для u = получим сразу
=
= -
= -
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие функции двух и более переменных, ее предел и непрерывность. Частные производные первого и высших порядков. Определение полного дифференциала. Необходимые и достаточные условия существования экстремума и его нахождение на условном множестве.
реферат [145,4 K], добавлен 03.08.2010Расчет частных производных первого порядка. Поиск и построение области определения функции. Расчет полного дифференциала. Исследование функции на экстремум. Поиск наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области. Производные второго порядка.
контрольная работа [204,5 K], добавлен 06.05.2012Понятие, предел и непрерывность функции двух переменных. Частные производные первого порядка, нахождение полного дифференциала. Частные производные высших порядков и экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия существования экстремума.
контрольная работа [148,6 K], добавлен 02.02.2014Нахождение частных производных по направлению вектора. Составление уравнения касательной плоскости к поверхности в заданной точке. Исследование на экстремум функции двух переменных. Определение условного максимума функции при помощи функции Лагранжа.
контрольная работа [61,5 K], добавлен 14.01.2015Нахождение частной производной первого порядка. Определение области определения функции. Расчет производной от функции, заданной неявно. Полный дифференциал функции двух переменных. Исследование функции на экстремум, ее наименьшее и наибольшее значения.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 12.11.2014Понятие функции нескольких переменных. Аргументы, частное значение и область применения функции. Рассмотрение функции двух и трех переменных. Предел функции нескольких переменных, теорема. Главная сущность непрерывности функции нескольких переменных.
реферат [86,3 K], добавлен 30.10.2010Понятия зависимой, независимой переменных, области определения функции. Примеры нахождения области функции. Примеры функций нескольких переменных: линейная, квадратическая, функция Кобба-Дугласа. Построение графика и линии уровня функции двух переменных.
презентация [104,8 K], добавлен 17.09.2013Вычисление пределов и устранение неопределенности. Поиск производных функций. Вычисление приближенного значения 8.051/3. Определение полного дифференциала функции z=3sin(2x+3y). Формула интегрирования по частям. Решение линейного однородного уравнения.
контрольная работа [439,6 K], добавлен 25.03.2014Определение годовых издержек пополнения и хранения запасов, приращения и дифференциала заданной функции, ее абсолютного и относительного отклонение. Выведение нормальных уравнений методом наименьших квадратов и формул Крамера для линейной функции.
контрольная работа [277,4 K], добавлен 29.01.2010Методы нахождения минимума функции одной переменной и функции многих переменных. Разработка программного обеспечения вычисления локального минимума функции Химмельблау методом покоординатного спуска. Поиск минимума функции методом золотого сечения.
курсовая работа [95,1 K], добавлен 12.10.2009Определение точки экстремума для функции двух переменных. Аналог теоремы Ферма. Критические, стационарные точки. Теорема "Достаточное условие экстремума", доказательство. Схема исследования функции нескольких переменных на экстремум, практический пример.
презентация [126,2 K], добавлен 17.09.2013Тождества, используемые для системы Жигалкина. Многочлен Жигалкина функции одной, двух и трех переменных. Содержание теоремы. Практический пример преобразования многочлена с помощью метода цепочки и неопределенных коэффициентов. Закон полного поглощения.
контрольная работа [95,5 K], добавлен 06.08.2013Условия существования предела в точке. Расчет производных функции, заданной параметрически. Нахождение точки экстремума, промежутков возрастания и убывания функций, выпуклости вверх и вниз. Уравнение наклонной асимптоты. Точка локального максимума.
курсовая работа [836,0 K], добавлен 09.12.2013Производные от функций, заданных параметрически. Геометрический смысл дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Теоремы Коши, Лагранжа и Ролля о дифференцируемых функциях, их геометрическая интерпретация. Правило Лопиталя.
презентация [334,8 K], добавлен 14.11.2014Определение частных производных первого и второго порядков заданной функции, эластичности спроса, основываясь на свойствах функции спроса. Выравнивание данных по прямой методом наименьших квадратов. Расчет параметров уравнения линейной парной регрессии.
контрольная работа [99,4 K], добавлен 22.07.2009Метод интегрирования по частям. Задача на нахождение частных производных 1-го порядка. Исследование на экстремум заданную функцию. Нахождение частных производных. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Условия признака Лейбница.
контрольная работа [90,0 K], добавлен 24.10.2010Элементы линейной алгебры. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций нескольких независимых переменных. Интеграл.
методичка [90,5 K], добавлен 02.11.2008Функции нескольких переменных. Локальные экстремумы функции двух переменных. Производная по направлению. Двойные и тройные интегралы. Вычисление объемов тел и площадей плоских фигур. Тройной интеграл, криволинейные интегралы первого и второго рода.
учебное пособие [511,2 K], добавлен 23.04.2012Решение системы линейных уравнений методами Крамера, обратной матрицы и Гаусса. Расчет длин и скалярного произведения векторов. Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно направляющему вектору. Расчет производных функций одной и двух переменных.
контрольная работа [984,9 K], добавлен 19.04.2013Основные определения и теоремы производной, дифференциала функции; техника дифференцирования. Применение производных к вычислению пределов. Исследование функции на монотонность и точки локального экстремума. Полное исследование функции, асимптоты графика.
контрольная работа [539,8 K], добавлен 20.03.2016
