Вычисление интегралов
Описаны примеры решений задач: Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле. Вычислить двойной, тройной интеграл. Найти площадь области, ограниченной кривыми и объем тела, ограниченного поверхностями. Вычисления по формуле Грина.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 24.04.2014 |
| Размер файла | 197,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Вариант 11
1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
в декартовых координатах для области
2. Вычислить двойной интеграл:
3. Вычислить двойной интеграл:
4. Вычислить тройной интеграл:
5. Найти площадь области, ограниченной кривыми:
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: , ,
, .
7. Вычислить: , где дуга кривой , .
8. Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина: , где квадрат ,,,.
9. Проверить, является ли данное выражение полным дифференциалом. Если да, то найти .
10. Вычислите поток векторного поля через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями и ().Решить задачу непосредственно и по формуле Остроградского - Гаусса.
11. Найдите циркуляцию векторного поля по линии пересечения цилиндра и плоскости . Решить задачу непосредственно и по формуле Стокса. интеграл задача решение
12. Найти дивергенцию и ротор векторного поля ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:
Решение
1. Нарисуем область D:
Очевидно, что . Тогда:
.
Введем функцию:
Тогда
2.
Область D ограничена снизу двумя прямыми, а сверху функцией . Прямые пересекаются в точке (1,-1) под прямым углом. Прямая пересекается с функцией в точке (4,2). Тогда:
.
3.
Нарисуем область D: видно, что мы имеем часть, расположенную между двумя прямыми и дугами двух окружностей. Для решения переходим к полярным координатам. Предварительно найдем точки пересечения: (4/5, 8/5), (8/5,16/5),(4,4), (2,2). Угол .
Итак, после преобразования мы получим: . Тогда:
.
4.
Очевидно, . Имеем часть параболоида вращения, ограниченного сверху плоскостью z=2. Для вычисления интеграла перейдем в цилиндрические координаты:
.
5. В случае a=0 первое уравнение дает оси координат, а второе прямую y=-x, т.е. нет ограниченной фигуры. Поэтому считаем, что . Тогда имеем гиперболу и прямую: , причем если a>0, то область лежит выше гиперболы (прямая ограничивает область сверху), иначе - ниже. В итоге получаем:
.
6. Перепишем поверхности в виде Итак, имеем два параболических цилиндра (один вложен во второй, общая ось Oz), отрезанных плоскостями. Очевидно, . Область симметрична относительно плоскости Oyz, то есть достаточно рассмотреть лишь половину области (при ). Тогда получаем:
.
7. , где дуга кривой , .
Кривая задана параметрически, вычисляем КРИ-1 по формуле:
8. Вычислим интеграл сначала по формуле Грина:
Вычислим непосредственно.
AB: y=1-x, dy = - dx:
BC: y=x+1, dy = dx:
CD: y=-x-1, dy=-dx:
DA: y=x-1, dy=dx:
Просуммировав, получим искомый результат.
9. .
Проверим условие на полный дифференциал:
. Найдем U(x,y).
.
10. , внешняя сторона границы области, ограниченная поверхностями и ().
Имеем часть конуса, отсеченную сверху и снизу сферой. Найдем по формуле Остроградского-Гаусса. Итак имеем:
Вычислим каждый интеграл по отдельности.
Последний интеграл, аналогично, равен 0. Ответ 0.
11. , по линии пересечения цилиндра и плоскости .
Найдем по формуле Стокса: .
. Заданный контур - часть плоскости y+z = 0, ограниченная цилиндром. Из уравнения плоскости определяем направляющие косинусы: . Тогда:
12. . Найдем дивергенцию и ротор.
Следовательно, поле потенциальное. Найдем потенциал.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Поиск площади фигуры, ограниченной графиками функций с помощью двойного интеграла. Получение вращением объема тела вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной указанными линиями. Пределы интегрирования в двойном интеграле по области, ограниченной линиями.
контрольная работа [166,9 K], добавлен 28.03.2014Рассмотрение основных способов решения задач на вычисление неопределенных и определенных интегралов по формулам Ньютона-Лейбница и Симпсона. Ознакомление с примерами нахождения области, ограниченной линиями, и объема тела, ограниченного поверхностями.
контрольная работа [194,2 K], добавлен 28.03.2014Формула замены переменной в двойном интеграле. Понятие якобиана перехода и особенности его расчета. Анализ примеров вычисления двойного интеграла с ограниченной линиями (осью и верхней полуокружностью) интегральной областью. Введение новых переменных.
презентация [107,2 K], добавлен 17.09.2013Рассмотрение задач численного интегрирования по простейшим формулам. Понятие тройных интегралов и их применение для вычисления объема, массы, площади, моментов инерции, статистических моментов и координат центра масс тела на конкретных примерах.
курсовая работа [348,5 K], добавлен 17.12.2013Изучение теории кратных интегралов. Исследование понятия "двойной и тройной интеграл". Применение кратных интегралов для вычисления объема, массы, площади, моментов инерции, статистических моментов и координат центра масс тела на конкретных примерах.
курсовая работа [469,0 K], добавлен 13.12.2012Расчет неопределенных интегралов по частям и по формуле Ньютона-Лейбница. Вычисление несобственного интеграла или доказательство его расходимости. Расчет площади фигуры, ограниченной кардиоидой. Расстановка пределов двумя альтернативными способами.
контрольная работа [251,2 K], добавлен 28.03.2014Изменение порядка интегрирования функции. Расчет площади фигуры, ограниченной графиками функций. Поиск предела интегрирования. Определение производной скалярного поля в точке по направлению вектора. Поиск объема тела, ограниченного поверхностями.
контрольная работа [249,8 K], добавлен 28.03.2014Вычисление двойного интеграла в прямоугольных координатах. Замена переменных в двойном интеграле. Аналог формул прямоугольников и формулы трапеции. Теорема существования двойного интеграла, его геометрический и физический смысл и основные свойства.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 13.02.2013Понятие определённого интеграла, расчет площади, объёма тела и длины дуги, статического момента и центра тяжести кривой. Вычисление площади в случае прямоугольной криволинейной области. Применение криволинейного, поверхностного и тройного интегралов.
курсовая работа [2,1 M], добавлен 19.05.2011Разложение функции в ряд Фурье, поиск коэффициентов. Изменение порядка интегрирования, его предел. Расчет площади фигуры, ограниченной графиками функций, с помощью двойного интеграла, объема тела, ограниченного поверхностями, с помощью тройного интеграла.
контрольная работа [111,8 K], добавлен 28.03.2014Изменение порядка интегрирования функции. Поиск предела интегрирования. Расчет площади фигуры, ограниченной графиками функций. Поиск объема тела, ограниченного поверхностями. Определение производной скалярного поля в точке по направлению вектора.
контрольная работа [233,2 K], добавлен 28.03.2014Поиск общего интеграла дифференциального уравнения. Расстановка пределов интегрирования. Координаты вершины параболы. Объем тела, ограниченного поверхностями. Вычисление криволинейного интеграла. Полный дифференциал функции. Вычисление дуги цепной линии.
контрольная работа [298,1 K], добавлен 28.03.2014Вычисление относительной и абсолютной погрешности табличных определённых интегралов. Приближенные методы вычисления определённых интегралов: метод прямоугольников, трапеций, парабол (метод Симпсона). Оценка точности вычисления "не берущихся" интегралов.
курсовая работа [187,8 K], добавлен 18.05.2019Криволинейный интеграл первого и второго рода. Площадь области, ограниченной замкнутой кривой. Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой. Центр масс и моменты инерции кривой. Магнитное поле вокруг проводника с током. Сущность закона Фарадея.
реферат [1,4 M], добавлен 09.01.2012Способы вычисления интегралов. Формулы и проверка неопределенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Неопределенный, определенный и сложный интеграл. Основные применения интегралов. Геометрический смысл определенного и неопределенного интегралов.
презентация [1,2 M], добавлен 15.01.2014Особенности вычисления объемов тел, ограниченных поверхностями, с применением геометрического смысла двойного интеграла. Определение площадей плоских фигур, ограниченных линиями, с использованием метода интегрирования в курсе математического анализа.
презентация [67,9 K], добавлен 17.09.2013Понятие и геометрический смысл определенного интеграла, его свойства. Формула Ньютона–Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Объем тела вращения. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
курс лекций [514,0 K], добавлен 31.05.2010Криволинейный интеграл первого рода. Двойной интеграл в декартовой и полярной системе координат. Интеграл по поверхности (первого рода). Приложение определенного интеграла в геометрии: площадь плоской фигуры и цилиндрической поверхности, объем тела.
методичка [517,1 K], добавлен 27.01.2012Понятие двойного интеграла, условия его существования, свойства и методы вычисления: сведение двойного интеграла к повторному для прямоугольной и криволинейной областей; двойной интеграл в полярных координатах; замена переменных; вычисление объемов тел.
контрольная работа [321,9 K], добавлен 21.07.2013Связь с помощью формулы Грина криволинейного интеграла по замкнутому контуру с двойным интегралом по области, ограниченного этим контуром. Преобразование двойного интеграла по контуру, обходимого в положительном направлении. Доказательство теоремы.
презентация [44,7 K], добавлен 17.09.2013
