Дослідження критичних випадків стійкості нелінійних систем з квадратичною правою частиною та моделей зі слабким запізненням

Размещено на http://www.allbest.ru

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

УДК 517.929

Дослідження критичних випадків стійкості нелінійних систем з квадратичною правою частиною та моделей зі слабким запізненням

01.05.04. - Системний аналіз і теорія оптимальних рішень

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Бендіткіс Дмитро Борисович

Київ 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка на кафедрі моделювання складних систем.

Захист відбудеться 17 жовтня 2002 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.09 Київського національного університету імені Тараса Шевченка, 03127, Київ, проспект Глушкова, 2, корпус 6, факультет кібернетики, ауд. 40 (тел. 252-58-83, факс 252-59-77, e-mail: rada@unicyb.kiev.ua).

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий 7 вересня 2002 року

Учений секретар спеціалізованої вченої ради Шевченко В.П.

диференціальний корінь квадратичний

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. При моделюванні динамічних процесів у біології, медицині, фізиці та інших галузях природознавства останнім часом широке поширення знайшли диференціальні рівняння з квадратичною правою частиною. Вони більш адекватно описують реальні процеси, ніж лінійні моделі, враховують ефекти насичення та обмеженості. Тому розробка методів аналізу нелінійних систем є надзвичайно актуальною задачею. Одним з ефективних апаратів дослідження таких систем є другий метод Ляпунова. За його допомогою можна розв'язувати такі задачі системного аналізу, як дослідження стійкості розв'язків та одержання оцінки характеристик перехідних процесів, стабілізації системи до заданого степеня та розв'язування задач оптимального керування. Теоретичні основи методу для систем звичайних диференціальних рівнянь були закладені в середині XX-го сторіччя в роботах Четаєва М.Г., Малкіна І.Г., Персидського К.П.

Надалі другий метод Ляпунова був розповсюджений на дослідження інших класів динамічних систем, а саме, диференціальних рівнянь з розподіленими параметрами (Сиразетдінов Т.К, Бублик Б.М.), диференціальних рівнянь з післядією (Хейл Дж., Мишкіс А.Д., Красовський М.М., Колмановський В.Б., Хусаінов Д.Я.), керованих систем (Кунцевич В.М., Кириченко М.Ф., Гаращенко Ф.Г.).

Проблеми побудови функцій Ляпунова розглядались також в роботах Зубова В.І., Мартинюка А.А., Матросова В.М., Барбашина Є.О., Валєєва К.Г., Мазка О.Г, Оболенського А.Ю. та ін. При тому, що теоретичні питання дослідження стійкості та існування функцій Ляпунова для багатьох випадків розв'язані, при дослідженні конкретних систем (особливо у критичних випадках) виникають значні труднощі.

Питання пошуку аналітичної форми розв'язку за скінченну кількість кроків навіть для лінійних систем з післядією, за винятком систем спеціального вигляду, до цього часу залишається відкритим. Суттєвою особливістю цих систем є нескінченновимірність простору розв'язків, тому одержати конструктивні умови стійкості надто важко.

Диференціальні рівняння з післядією є одним з видів динамічних систем, що знайшли поширене застосування при моделюванні еволюційних процесів. Вони враховують не тільки поточний стан системи, але й попередній і особливо ефективні при моделюванні в екології, медицині, соціальних явищах. Використовуються системи з післядією і при моделюванні динаміки процесів у комп'ютерних мережах, банківській сфері. Саме тому аналіз систем, що описуються рівняннями з післядією, та керування ними є надзвичайно важливою та актуальною задачею.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалася згідно з планами наукових досліджень кафедри моделювання складних систем факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка № 97063 “Розвиток теорії проектування складних систем на основі теорії стійкості та недиференційованої оптимізації” та № 01БФ015-05 “Розробка структурованих математичних та програмних технологій”. Ряд результатів одержано також в рамках проекту ДКНТ України, № 01.07/00081.

Мета і задачі досліджень. Метою дисертаційної роботи є: одержання конструктивних умов стійкості нульового розв'язку систем диференціальних рівнянь з квадратичною правою частиною; обчислення гарантованої області стійкості у критичному випадку одного нульового кореня та пари чисто уявних коренів; знаходження умов стійкості систем з чисто квадратичною правою частиною; дослідження математичної моделі взаємодії вузлів в інформаційній мережі; побудова оцінок впливу зовнішніх збурень та початкового стану системи на її функціонування; дослідження керованості та обчислення характеристик динаміки систем зі слабким запізненням.

Наукова новизна одержаних результатів. Одержані нові достатні умови стійкості та досліджено вплив коефіцієнтів квадратичних складових на стійкість нульового розв'язку систем диференціальних рівнянь. Вперше одержані необхідні та достатні умови існування інтегралу еліпсоїдального вигляду для системи з чисто квадратичною правою частиною. Введено поняття слабкого запізнення і одержані необхідні та достатні умови слабкого запізнення для лінійних стаціонарних систем. Вперше одержано явний вигляд розв'язку двовимірних та тривимірних систем із слабким запізненням та наведено умови керованості двовимірних систем. Вивчено нову математичну модель взаємодії вузлів у комп'ютерній мережі. Проведено дослідження моделей без оберненого та з оберненим зв'язками.

Практичне значення отриманих результатів. Результати дисертації можуть бути використані при дослідженні динаміки систем з квадратичною правою частиною в біології та економіці. Введене в роботі поняття “систем із слабким запізненням” дозволить будувати більш адекватні математичні моделі в біології та економіці, які мають розв'язок в аналітичному вигляді. Побудована та досліджена модель взаємодії вузлів комп'ютерної мережі дасть можливість виявляти у комп'ютерних мережах перевантаження та позбавлятись їх.

Особистий внесок здобувача. Науковому керівникові проф. Хусаінову Д.Я. та проф. Дібліку Й. належить постановка задач та їх обговорення, Шарифу М. належить постановка задач з моделювання динаміки комп'ютерної мережі. Доведення всіх результатів дисертації, які виносяться на захист, проведено автором самостійно.

Апробація результатів роботи. Результати роботи доповідались на Міжнародній конференції “Dynamical System Modeling and Stability Investigation” (Київ, травень 2001 р.), Міжнародній конференції “Моделювання та оптимізація складних систем” (Київ, січень 2001 р.), Українському міжнародному конгресі (Чернівці, серпень 2001 р.), наукових семінарах факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка, Інституту математики НАН України, Інституту кібернетики НАН України.

Публікації. За темою дисертації у виданнях, затверджених ВАК України, опубліковано 5 статей, а також 2 тези.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, 16 параграфів, висновків, списку використаної літератури (142 назви) та додатку, основний зміст викладений на 142 стор., повний зміст дисертації викладений на 178 стор.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі до роботи обґрунтовано актуальність проблематики дисертації, сформульовано мету роботи, розглянуто її зміст за розділами з висвітленням найважливіших результатів.

У першому розділі наведений детальний аналіз робіт, присвячених другому методу Ляпунова та дослідженню стійкості нульових розв'язків нелінійних систем. Розглянуто історичний шлях розвитку методу Ляпунова, його ефективність при дослідженні динамічних систем різного типу. Підкреслено, що особливістю методу є його універсальність, можливість не тільки одержувати твердження про стійкість розв'язків систем, а й обчислення різних характеристик динамічних систем, застосування при обчисленні області стійкості.

Наведено основні результати з теорії систем з післядією. Для лінійних систем із сталим запізненням характерна нескінченновимірність простору розв'язків, і при розв'язуванні навіть лінійних однорідних скалярних рівнянь виникають труднощі.

Другий розділ присвячено дослідженню стійкості нульового розв'язку систем з квадратичною нелінійністю в критичних випадках.

У першому параграфі розглянута система трьох диференціальних рівнянь з квадратичною нелінійністю у критичному випадку наявності одного нульового характеристичного показника лінійної частини

Досліджена стійкість нульового розв'язку та вплив коефіцієнтів системи.

Введемо наступні позначення :

? екстремальні значення відповідних матриць.

Справедливе наступне твердження.

Теорема 1. Нехай існує симетрична додатно визначена матриця , для якої матриця також додатно визначена та виконуються умови

Тоді нульовий розв'язок системи (1) стійкий за Ляпуновим та область стійкості містить еліпсоїд

Розглянута автономна система з квадратичними правими частинами в (n+1) - вимірному просторі, тобто система

Перед формулюванням основного результату введемо такі позначення:

? симетрична, додатно визначена матриця.

Теорема 2. Нехай матриця H ? симетрична додатно визначена, така, що матриця є також додатно визначеною і виконуються умови

тоді тривіальний розв'язок системи (5) є стійким. Гарантована область стійкості містить еліпсоїд

У третьому параграфі розглянута тривимірна система з одним від'ємним і двома спряженими чисто уявними власними числами, тобто, система вигляду

Введемо такі позначення:

Доведено, що при виконанні умов нульовий розв'язок системи (8) буде стійким, а область стійкості містить еліпсоїд

Розглянута система диференціальних рівнянь з квадратичною правою частиною в (n+2)-вимірному просторі

Введемо такі позначення:

Теорема 3. Нехай існує додатно визначена матриця H, така, що матриця також додатно визначена. Якщо виконуються рівності то нульовий розв'язок системи (11) стійкий за Ляпуновим.

В четвертому параграфі розглянуті системи з чисто квадратичною правою частиною

- матриці, в яких і-й рядок являє собою вектор , а інші елементи нульові, - симетричні матриці зі сталими коефіцієнтами. Знайдені умови, за виконання яких є інтегралом системи (13). Звідси, якщо матриця H додатно визначена, то нульовий розв'язок буде стійким за Ляпуновим.

Введемо такі позначення:

- це i-й стовбчик (рядок) симетричної матриці - вектор, складений з відповідних елементів матриць . Оскільки матриці - симетричні, то , - нуль-вектор розмірності n.

Теорема 4. Функція є інтегралом системи (13) тоді і тільки тоді, коли виконуються умови

Наслідок 1. Якщо існує додатно визначена матриця H, для якої виконуються умови (15), то нульовий розв'язок є стійким за Ляпуновим.

Третій розділ присвячений вивченню систем зі слабким запізненням. Під системами зі слабким запізненням розуміємо лінійні системи диференціальних рівнянь із запізненням, які мають скінченну кількість коренів характеристичного квазіполінома.

В першому параграфі розглянута система лінійних диференціальних рівнянь із запізненням

Характеристичне рівняння системи (16) має вигляд або, після розкриття, і має зліченну кількість коренів.

Означення 1. Система (17) називається системою зі слабким запізненням, якщо

Розглянуто двовимірний випадок (n=2).

Теорема 5. Для того, щоб двовимірна система з запізненням була системою зі слабким запізненням, необхідно і достатньо виконання умов

Для двовимірних систем із слабким запізненням одержано наступне.

Введемо такі позначення:

- жорданова нормальна форма матриці ;

S - матриця, що приводить А до жорданового вигляду :

Теорема 6. Нехай параметри системи (16) (n=2) задовольняють умови (18). Тоді її розв'язок, що задовольняє початковим умовам , , , має вигляд , де

Розглянуто системи з запізненням (18) у тривимірному просторі. Позначимо

- вектори-рядки матриці А,

- вектори-рядки матриці В,

- визначники матриць, в яких на першому, другому та третьому рядках відповідно стоять вектори

Теорема 7. Система (16) при n=3 є системою зі слабким запізненням тоді і тільки тоді, коли виконуються умови

Розглянуто частинний випадок, коли в матриці А всі елементи, що розташовані вище діагоналі, нульові, а в матриці В нульовими є елементи, що розташовані вище діагоналі та діагональні.

Наслідок 2. Нехай матриці А і B мають вигляд, тоді система (16) є системою зі слабким запізненням і розв'язок задачі Коші має вигляд

Отримано умови слабкого запізнення для систем загального вигляду. Нехай

? вектор-рядок, в якому на i - му місці стоїть одиниця, а всі інші елементи нульові,

? вектори-рядки матриці А,

? вектори-рядки матриці В,

? визначники, в яких на k-му рядку стоїть вектор-рядок , .

- множина векторів , в яких координат дорівнює нулеві, координат дорівнює одиниці, і відповідно, координат дорівнює двійці, причому .

Теорема 8. Система (16) є системою із слабким запізненням тоді і тільки тоді, коли

Одержано умови керованості систем із слабким запізненням на площині.

Означення 2. Назвемо систему з запізненням (23) відносно керованою, якщо для довільних початкового положення , , моменту часу і кінцевого стану існує таке керування , де - множина кусково-неперервних функцій, що система (23) має розв'язок , який задовольняє крайовим умовам

Теорема 9. Для того, щоб система із слабким запізненням (3.25) на площині була відносно керованою, необхідно і достатньо, щоб і При цьому функція керування може мати вигляд

У четвертому розділі досліджені математичні моделі взаємодії вузлів у комп'ютерній мережі. Розглянуто дві моделі, без оберненого зв'язку та з оберненим зв'язком.

Модель без оберненого зв'язку має вигляд

Отримано розв'язок неоднорідної лінеаризованої системи в околі початку координат при досить малих . Він має вигляд

Мажорантна оцінка розв'язку нелінійної системи при обмеженнях , має вигляд

Для мажорування розглядається також система

Теорема 10. Нехай , ? розв'язки систем (25), (26) з початковими умовами що задовольняють нерівностям

Тоді при будуть виконуватись нерівності

Розглянута модель з оберненим зв'язком, що має вигляд системи чотирьох диференціальних рівнянь з запізненням

- кількість пакетів на клієнті в момент t 0, призначених для відправлення до серверу (запити);

- кількість пакетів на сервері в момент t 0, призначених для відправлення до клієнту (відповіді);

- кількість пакетів на клієнті в момент t 0, призначених для користувача (відповіді);

- кількість пакетів на сервері в момент t 0, призначених для відправки до локальної мережі сервером (відповіді);

? потік запитів від користувача на клієнті;

? потік запитів від локальної мережі на сервер.

Знайдено розв'язок відповідної лінеаризованої системи і досліджено стійкість точки спокою при . А саме при у системи (27) , без запізнення при сталих входах існує положення рівноваги і при воно буде асимптотично стійким, а при нестійким.

Аналогічно випадку для системи без оберненого зв'язку отримані обмеження розв'язку системи (26) при умова.

ВИСНОВКИ

В роботі отримано такі результати:

Одержано достатні умови стійкості нульового розв'язку систем з квадратичною правою частиною у випадку одного нульового та пари чисто уявних власних чисел лінійної частини. Обчислено оцінки радіуса гарантованої області стійкості. Одержано необхідні та достатні умови існування еліпсоїдального інтегралу в системах з чисто квадратичною правою частиною.

Введено поняття систем із слабким запізненням та одержано необхідні та достатні умови слабкого запізнення в лінійних стаціонарних системах. Побудовано явний вигляд розв'язку задачі Коші систем із слабким запізненням загального вигляду на площині та трикутного вигляду в тривимірному просторі.

Одержано умови керованості систем із слабким запізненням на площині, побудовано вигляд функції керування.

Методами лінеаризації та мажорантного оцінювання проведено дослідження двовимірної нелінійної математичної моделі взаємодії вузлів комп'ютерної мережі без оберненого зв'язку.

Для чотиривимірної математичної моделі взаємодії вузлів комп'ютерної мережі з оберненим зв'язком одержано умови стійкості стаціонарного розв'язку.

СПИСОК ДРУКОВАНИХ ПРАЦЬ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

1. Хусаінов Д.Я, Діблік Й., Бендіткіс Д.Б. Про стійкість квадратичних систем з одним нульовим власним числом // Вісник Київського університету. Серія : Фізико-математичні науки. - 2000. - №3. - С. 313 - 318.

2. Хусаінов Д.Я., Діблік Й., Бендіткіс Д.Б. Про стійкість систем диференціальних рівнянь з чисто квадратичною правою частиною // Вісник Київського університету. Серія: Фізико-математичні науки. - 2000. - № 4. - С. 321 - 329.

3. Діблік Й., Хусаінов Д.Я, Бендіткіс Д.Б. Про стійкість квадратичних систем диференціальних рівнянь з двома спряженими чисто уявними власними числами // Вісник Київського університету. Серія : Кібернетика. - 2001. - № 2. - С. 25-31.

4. Benditkis D.B., Diblik J., Khusainov D.Ya. Systems with weak delay on the plane // Вісник Київського університету. Серія : Фізико-математичні науки. - 2001. - №. 3. - PP. 175-182.

5. Shareef M., Benditkis D.B., Khusainov D.Ya. Investigation of mathematical model “client-server” without back connection in a computer network // Вісник Київського університету. Серія: Фізико-математичні науки. - 2001. - №. 4. - PP. 315-322.

6. Бендіткіс Д.Б. Дослідження критичних випадків стійкості диференціальних систем з квадратичною правою частиною // Міжнародна конференція “Моделювання та оптимізація складних систем”. Тези доповідей. - Том 1. - Київ: ВПЦ “Київський університет”, - 2001. - C. 106.

7. Khusainov D.Ya., Diblik J., Benditkis D.B. The stability of the trivial solution of the differential equation systems with quadratic right-hand sides // Український математичний конгрес - 2001. “Диференціальні рівняння і нелінійні коливання”. Тези доповідей, Київ, - 2001. - С. 186.

Размещено на Allbest.ru