Эконометрические исследования математической модели зависимости грузооборота от пассажирооборота

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МОДЕЛИРОВАНИЯ

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЭКОНОМЕТРИКА»

ТЕМА РАБОТЫ: «ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЗАВИСИМОСТИ ГРУЗООБОРОТА ОТ ПАССАЖИРООБОРОТА»

Санкт-Петербург - 2013г.

«УТВЕРЖДАЮ»

Заведующий кафедрой «Математика

и моделирование»

профессор В. Ходаковский

« » 2013 г.

З А Д А Н И Е

НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

по дисциплине «ЭКОНОМЕТРИКА»

Студентке ЭББц -203 учебной группы О.В.Ермошиной

Выдано_____________ Срок защиты_____________

Руководитель: профессор П.В. Герасименко

Т Е М А Р А Б О Т Ы: «ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ГРУЗООБОРОТА ОТ ПАССАЖИРООБОРОТА»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью курсовой работы является освоение и отработка навыков использования основных эконометрических методов, алгоритмизации и программирования в процессе решения прикладной задачи статистического анализа грузооборота и пссажирооборота.

ЭТАПЫ И ТРЕБОВАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ РАЗДЕЛОВ РАБОТЫ

Подготовительный - включает подбор и ознакомление с литературой, обоснование актуальности исследования, изучение подходов к решению поставленной задачи

Моделирования - обосновывается применение тех или иных методов математического моделирования решения задачи, осмысливается все понятия и зависимости, на которых базируется модель, преимущества выбранного метода по сравнению с другими и производится описание метода.

Алгоритмизации и программирования - изучение алгоритмов и программ расчетов на ПЭВМ. Алгоритм вычисления должен быть представлен в виде блок-схемы. При выборе программного обеспечения можно остановиться на прикладных пакетах программ или создать собственный программный продукт. Программа должна обеспечивать не только расчет с требуемой точностью, но и предусматривать их наглядное представление в виде таблиц, графиков и т.п.

Расчетный - применение алгоритма и программы для вычислений статистических параметров и коэффициентов функций регрессии.

Анализа - заключается в оценке погрешности вычислений и раскрытии сущности полученных результатов, их взаимосвязи с исходными данными. Для проведения анализа рекомендуется использовать различные виды наглядности: схемы, графики, диаграммы, таблицы и т.п.

Заключительный - включает в себя оформление расчетно-пояснительной записки и подготовку к защите.

ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ

Рассчитать методом наименьших квадратов параметры уравнений линейной и нелинейной парной регрессии.

Оценить тесноту связи грузооборота и пассажирооборота с помощью показателей корреляции и детерминации.

Выполнить дисперсионный анализ линейной и степенной регрессий.

Провести сравнительную оценку силы связи фактора (пассажирооборота) с результатом (грузооборота) с помощью среднего коэффициента эластичности.

Оценить с помощью ошибки аппроксимации качество уравнения регрессии грузооборота от пассажирооборота.

Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов линейного регрессионного моделирования.

Рассчитать прогнозное значение грузооборота в предположении увеличения значения пассажирооборота на 10% от ее среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости 0,05.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Для разработки математической модели используются опытные данные, представленные в таблице 1.1

Таблица 1.1

наименование дороги	место управления дороги	грузооборот млн.ткм	пассажирооборот,млн. пасс.-км
		X	Y
Октябрьская	Санкт-Петербург	90467	20653
Московская	Москва	70730	39063
Свердловская	Екатеренбург	101099	14188
Северо-кавказкая	Ростов-на-Дону	35852	9307
Западно-сибирская	Новосибирск	128256	12544
Дальневосточная	Хабаровск	64318	4105
Северная	Ярославль	91387	9472
Горьковская	Нижний-Новгород	75056	13252
Куйбышевская	Самара	75760	10212
Южно-уральскяа	Челябинск	91266	7149
Юго-восточная	Воронеж	49098	10428
Приволжская	Саратов	37914	4757
Восточно-сибирская	Иркутск	62333	6504
Забайкальская	Чита	78769	4547
Красноярская	Красноярск	46320	3547
Сахалинская	Южно-Сахалинск	505	232
Калиннградская	Калининград	1161

ПРЕДСТАВИТЬ

Пояснительную записку, которая должна содержать: титульный лист, оглавление и введение; краткие теоретические сведения по моделированию; необходимые аналитические зависимости и расчетные формулы; схемы алгоритмов и программы решения задач; результаты расчетов, оформленные в виде таблиц, диаграмм и графиков; анализ полученных результатов; список литературы. эконометрический метод алгоритмизация

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Ковалев В.И. Организация вагонопотоков на сети железных дорог России. С-Пб: Информационный центр «Выбор», 2002.- 144с.

2. Кузнецов А.П. Методологические основы управления грузовыми перевозками в транспортных системах. - ВИНИТИ РАН, 2002 - 276 с.

3. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. М: МГУ им. М.В.Ломоносова, 2001. - 368 с.

4. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. - 311 с.

5. Эконометрика: Учебник /Под ред. И. И. Елисеевой. - М: Финансы и статистика, 2002. - 344 с.

Введение

2.1 Расчет параметров уравнений линейной и нелинейной парной регрессии

2.1.1 Расчет параметров линейной парной регрессии

2.1.2 Расчет параметров степенной парной регрессии

2.1.3 Расчет параметров показательной парной регрессии

2.2 Дисперсионный анализ линейной и степенной регрессии

2.3 Оценка тесноты связи грузооборота и пассажирооборот с помощью показателей корреляции и детерминации

2.4 Оценка ошибки аппроксимации уравнений регрессии

2.5 Сравнительная оценка силы связи грузооборота и пассажирооборота с помощью среднего коэффициента эластичности

2.6 Оценка статистической надежности результатов линейного регрессионного моделирования

2.7 Расчет прогнозного значения грузооборота по линейной модели при увеличении пассажирооборота дороги

2.8 Реализация решенных задач на компьютере

Выводы

Введение

В конце прошлого столетия разработаны и широко применяется для решения большого числа практических задач экономики математические модели, в основу которых положены уравнения регрессии. В настоящей курсовой работе стоит задача обосновать математическую модель грузооборота в зависимости от пассажирооборота. Исходными данными для ее расчета являются реальные значения грузооборота и пассажирооборота (всего 17 железных дорог). Для обоснования модели в курсовой работе рассматриваются ряд функций регрессии: линейные и нелинейные парные функции регрессии. В работе на основе полученных функций регрессии выполнен выбор математической модели, позволяющей прогнозировать грузооборот в зависимости от увеличения пассажирооборота.

Расчет параметров уравнений линейной и нелинейной парной регрессии

Расчет параметров линейной парной регрессии

Парная линейная регрессия имеет вид:

yx = a + b · x,

где yx - результативный признак, характеризующий теоретический грузооборот;

x - фактор (пассажирооборот);

a, b - параметры, подлежащие определению.

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессии используется метод наименьших квадратов. Он позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (грузооборот) y от теоретических yx будет минимальной. В этом случае для определения параметров a и b линейной регрессии необходимо решить следующую систему уравнений:

n·a + b(x1 + x2 + ...... + x17) = y1 + y2 + .... + y17

a(x1 + x2 + ... + x17) + b(x12 + x22 + ... + x172) = y1x1+ y2x2+ ...+ y17x17.

С учетом обозначений

= (y1 + y2 + .... + y17)/17; = (x1 + x2 + ...... + x17)/17;

= (y1x1+ y2x2+ .....+ y17 x17)/17;

= (x12 + x22 + ...... + x17)/17; Sx2 = - 2

значения параметров линейной регрессии вычисляются по формулам:

b =		=	0,1081
a =		=	3196,5945

На основании исходных данных выполнены расчеты сумм приведенной системы уравнений, теоретических значений функции регрессии, разности функции регрессии и опытных значений, а так же ошибки аппроксимации, которые представлены в таблице 2.1

Таблица 2.1

наименование дороги	грузооборот млн.ткм	пассажирооборот,млн. пасс.-км
	x	y	x*y	x2	y2	yx	?y - yx ?	( y - yx)2
Октябрьская	90467	20653	1868414951	8184278089	426546409	12975,3228	7677,6772	58946727,7443
Московская	70730	39063	2762925990	5002732900	1525917969	10842,354	28220,646	796404860,8369
Свердловская	101099	14188	1434392612	10221007801	201299344	14124,3183	63,681749	4055,3652
Северо-кавказкая	35852	9307	333674564	1285365904	86620249	7073,10413	2233,8959	4990290,7650
Западно-сибирская	128256	12544	1608843264	16449601536	157351936	17059,1631	4515,1631	20386697,8270
Дальневосточная	64318	4105	264025390	4136805124	16851025	10149,412	6044,412	36534916,7061
Северная	91387	9472	865617664	8351583769	89718784	13074,7468	3602,7468	12979784,1624
Горьковская	75056	13252	994642112	5633403136	175615504	11309,8629	1942,1371	3771896,5814
Куйбышевская	75760	10212	773661120	5739577600	104284944	11385,9438	1173,9438	1378144,1588
Южно-уральскяа	91266	7149	652460634	8329482756	51108201	13061,6703	5912,6703	34959670,5088
Юго-восточная	49098	10428	511993944	2410613604	108743184	8504,59343	1923,4066	3699492,8449
Приволжская	37914	4757	180356898	1437471396	22629049	7295,94355	2538,9435	6446234,3330
Восточно-сибирская	62333	6504	405413832	3885402889	42302016	9934,89396	3430,894	11771033,3685
Забайкальская	78769	4547	358162643	6204555361	20675209	11711,1251	7164,1251	51324688,9230
Красноярская	46320	3547	164297040	2145542400	12581209	8204,37621	4657,3762	21691153,1511
Сахалинская	505	232	117160	255025	53824	3253,16964	3021,1696	9127465,7520
Калиннградская	1161	0
Сумма	1099130	169960	13178999818	89417679290	3042298856	169960,00	84122,89	1074417113,03
Среднее значение	68695,625	10622,5	823687488,6	5588604956	190143679	10622,5		67151069,5643
Sx, Sy	29487,5577	8792,3929
S2x, S2y	869516061,5	77306172

Тогда уравнение регрессии, являющееся линейной моделью грузооборота в зависимости от пассажирооборота примет вид:

yx = 3196,5945 + 0,1081 · x

Расчет параметров степенной парной регрессии

Степенная парная регрессия относится к нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам. Однако она считается внутренне линейной, так как логарифмирование ее приводит к линейному виду. Таким образом, построению степенной модели

yx = a · xb

предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация позволяет использовать для определения параметров функции регрессии метод наименьших квадратов. При этом оценки параметров будут состоятельными, несмещенными и эффективными.

Для этой цели проведем логарифмирование обеих частей уравнения:

lg y = lga + b lgx.

Обозначим через Y = lg y; X = lgx; C = lga . Тогда уравнение примет вид:

Y = А + b · X

Для расчета параметров С и b использованы соотношения метода наименьших квадратов, поскольку в новых переменных Y и X соотношение стало линейным, а, следовательно, оценки параметров будут состоятельными, несмещенными и эффективными.

b =		=	0,7437
А =		=	0,3619
Степенное уравнение:
Y =	А + bx
lg y = lg a + b lg x
Y = lg y х = lg x А = lg a

Следовательно, степенное уравнение регрессии с учетом логарифмических переменных будет иметь вид:

Y = 0,3619 +0,7437·X.

Выполнив его потенцирование получим:

y x = 100,3619 x 0,7437 = 2,30116 x 0,74371

Подставляя в данное уравнение фактические значения x, получаем теоретическое значение yx. Эти значения приведены в таблице 2.2.

Таблица 2.2

наименование дороги
	X	Y	X*Y	X2	Y2	Yx	yx	?y - yx ?	( y - yx)2
Октябрьская	4,95649	4,3150	21,3872	24,5668	18,6191	4,0481	11171,6327	9481,3673	89896325,3062
Московская	4,84960	4,5918	22,2682	23,5187	21,0843	3,9686	9303,0320	29759,968	885655693,2957
Свердловская	5,00475	4,1519	20,7793	25,0475	17,2384	4,084	12134,0398	2053,9602	4218752,3879
Северо-кавк	4,55451	3,9688	18,0760	20,7436	15,7515	3,7492	5612,6010	3694,399	13648583,9434
Западно-сиб	5,10808	4,0984	20,9351	26,0925	16,7972	4,1609	14482,8207	1938,8207	3759025,8424
Дальневосточная	4,80833	3,6133	17,3740	23,1201	13,056	3,9379	8668,2403	4563,2403	20823161,6090
Северная	4,96088	3,9764	19,7267	24,6104	15,8121	4,0514	11256,0151	1784,0151	3182709,7418
Горьковская	4,87539	4,1223	20,0977	23,7694	16,9932	3,9878	9722,9613	3529,0387	12454113,8291
Куйбышевская	4,87944	4,0091	19,5622	23,8089	16,073	3,9908	9790,7047	421,2953	177489,7314
Южно-уральскяа	4,96031	3,8542	19,1182	24,6047	14,8552	4,051	11244,9294	4095,9294	16776637,8858
Юго-восточная	4,69106	4,0182	18,8496	22,0061	16,1459	3,8507	7091,1636	3336,8364	11134477,1773
Приволжская	4,57880	3,6773	16,8378	20,9654	13,5228	3,7672	5850,9444	1093,9444	1196714,3427
Восточно-сибирская	4,79472	3,8132	18,2831	22,9893	14,5403	3,9278	8468,4856	1964,4856	3859203,8580
Забайкальская	4,89636	3,6577	17,9095	23,9743	13,379	4,0034	10078,4561	5531,4561	30597006,3917
Красноярская	4,66577	3,5499	16,5628	21,7694	12,6015	3,8319	6790,5551	3243,5551	10520649,9438
Сахалинская	2,70329	2,3655	6,3946	7,3078	5,59553	2,3724	235,7217	3,7217279	13,8513
Калиннградская			0	0,0000	0		0,0000	0	0,0000
Сумма	75,2878	61,783	294,1622	358,895	242,065	61,78	141902,3037	76496,03	1107900559,1375
Среднее знач	4,70549	3,8614	18,38514	22,4309	15,1291	3,8614		4781,0021	69243784,95
Sx, Sy	0,5379	0,4672
S2x, S2y	0,28932	0,2183

Расчет параметров показательной парной регрессии

Поскольку показательная функция относится к классу нелинейных по оцениваемым параметрам, то построению функции парной показательной регрессии y x = a·bx

предшествует, как и в случае степенной функции регрессии, процедура линеаризации переменных с помощью логарифмирования обеих частей функции регрессии. После логарифмирования получим выражение:

lg y =lga + x lgb.

Для определения параметров все вычисления, как и ранее, сведем в таблицу 2.3.

При этом в таблице приведены переменные

Y = lg y, C = lga, B = lgb.

Тогда получим линейное уравнение регрессии в новых переменных Y = С + B x.

C учетом табличных данных значения параметров линейной регрессии составят:

В =		=	0,00002158
С =		=	2,2376
yx =	a*bx
lg yx =	lg a + x lg b

Таким образом, получено уравнение

Y = 2,2376 + 0,00002x

или после потенцирования

yx = 102,237610 0,00002x = 1722,8224 (1,00004) x.

Таблица 2.3

наименование дороги	грузооборот млн.ткм	пассажирооборот,млн. пасс.-км
	x	Y	x*Y	x2	Y2	Yx	yx	?y - yx ?	( y - yx)2
Октябрьская	90467	4,31498	390363,5802	8184278089	18,6191	4,09222	12365,7406	8287,259432	68678668,89
Московская	70730	4,59177	324775,5804	5002732900	21,0843	3,88301	7638,4973	31424,50268	987499368,4
Свердловская	101099	4,15192	419755,0794	10221007801	17,2384	4,20492	16029,4762	1841,476193	3391034,568
Северо-кавк	35852	3,96881	142289,7659	1285365904	15,7515	3,5133	3260,6271	6046,372922	36558625,51
Западно-сиб	128256	4,09844	525649,0134	16449601536	16,7972	4,49278	31101,6572	18557,65724	344386642,1
Дальневосточ	64318	3,61331	232401,0759	4136805124	13,0560	3,81504	6531,9181	2426,918101	5889931,47
Северная	91387	3,97644	363395,0767	8351583769	15,8121	4,10197	12646,5519	3174,551905	10077779,8
Горьковская	75056	4,12228	309401,9548	5633403136	16,9932	3,92886	8489,1368	4762,863226	22684866,11
Куйбышевска	75760	4,00911	303730,2347	5739577600	16,0730	3,93633	8636,2644	1575,73558	2482942,619
Южно-ур	91266	3,85425	351761,5513	8329482756	14,8552	4,10069	12609,2580	5460,257995	29814417,37
Юго-вост.	49098	4,0182	197285,6338	2410613604	16,1459	3,65371	4505,1446	5922,855443	35080216,6
Приволжская	37914	3,67733	139422,4091	1437471396	13,5228	3,53516	3428,9277	1328,072278	1763775,975
Восточно-сиб	62333	3,81318	237686,9821	3885402889	14,5403	3,794	6222,9990	281,0010055	78961,56507
Забайкальска	78769	3,65772	288115,3369	6204555361	13,3790	3,96822	9294,3994	4747,399394	22537801,01
Красноярская	46320	3,54986	164429,5703	2145542400	12,6015	3,62426	4209,8045	662,8045272	439309,8412
Сахалинская	505	2,36549	1194,5714	255025	5,5955	3,13862	1376,0142	1144,014248	1308768,599
Калиннградс	1161		0	0	0			0	0
Сумма	1099130	61,7831	4391657,416	89417679290	242,065	61,7831	148346,417	97643,74216	1572673110
Среднее знач	68695,625	3,86144	274478,5885	5588604956	15,1291	3,86144	9271,651065		98292069,4
Sx, Sy	29487,5577	0,4672
S2x, S2y	869516061	0,2183

На рисунке приведены графики функций регрессии и значения опытных данных.

Дисперсионный анализ линейной и степенной регрессии

Центральное место в дисперсионном анализе занимает разложение общей суммы квадратов отклонения результирующего показателя y от его среднего значения на 2 части, а именно на объясненную (факторную) и остаточную.

n n n

?(yi - )2 = ?( yxi - )2 + ?(yi - yxi )2, (*)

i=1 i=1 i=1

где

?(yi - )2 - общая сумма квадратов отклонений;

?( yxi - )2 - объясненная (факторная) сумма квадратов;

?(yi - yxi )2 - остаточная сумма квадратов.

Таблица 2.4.

наименование дороги	Пассаж Ирообо рот,млн. пасс.-км
	y	у - у(ср)	( y - у(ср))2	yx	yx- уср	( yx- уср)2	y - yx	( y - yx)2
Октябрьская	20653	10030,5	100610930,25	12975,32276	2352,8228	5535774,9575	7677,677236	58946727,74
Московская	39063	28440,5	808862040,25	10842,354	219,8540	48335,7799	28220,646	796404860,8
Свердловская	14188	3565,5	12712790,25	14124,31825	3501,8183	12262731,0622	63,68174912	4055,3652
Северо-кавказкая	9307	-1315,5	1730540,25	7073,104128	-3549,3959	12598211,0532	2233,895872	4990290,765
Западно-сибирская	12544	1921,5	3692162,25	17059,1631	6436,6631	41430631,8734	-4515,163101	20386697,83
Дальневосточная	4105	-6517,5	42477806,25	10149,41202	-473,0880	223812,2338	-6044,412023	36534916,71
Северная	9472	-1150,5	1323650,25	13074,74675	2452,2468	6013514,1350	-3602,746752	12979784,16
Горьковская	13252	2629,5	6914270,25	11309,86288	687,3629	472467,7329	1942,137117	3771896,581
Куйбышевская	10212	-410,5	168510,25	11385,94385	763,4438	582846,5094	-1173,943848	1378144,159
Южно-уральскяа	7149	-3473,5	12065202,25	13061,67034	2439,1703	5949551,9307	-5912,670337	34959670,51
Юго-восточная	10428	-194,5	37830,25	8504,593427	-2117,9066	4485528,2518	1923,406573	3699492,845
Приволжская	4757	-5865,5	34404090,25	7295,943547	-3326,5565	11065977,8374	-2538,943547	6446234,333
Восточно-сибирская	6504	-4118,5	16962042,25	9934,893961	-687,6060	472802,0655	-3430,893961	11771033,37
Забайкальская	4547	-6075,5	36911700,25	11711,12513	1088,6251	1185104,6805	-7164,125133	51324688,92
Красноярская	3547	-7075,5	50062700,25	8204,376209	-2418,1238	5847322,6692	-4657,376209	21691153,15
Сахалинская	232	-10390,5	107962490,25	3253,16964	-7369,3304	54307029,9594	-3021,16964	9127465,992
Калиннградская	0		0,00	0		0,0000	0	0
Сумма	169960	-	1236898756	169960,00	-	162481642,7318	-	1074417113,268
Среднее значение	10622,5	-

а, следовательно, равенство (*) выполняется.

Если коэффициент b изменить в 1,1 раз, то измененное уравнение линейной регрессии будет иметь вид: yx = 3196,5945 + 0,1081 · x и приведенное выше соотношение (*) выполняться не будет (см. таблицу 2.5).

Таблица 2.5

наименование дороги
	y	у - у(ср)	( y - у(ср))2	yx	yx- уср	( yx- уср)2	y - yx	( y - yx)2
Октябрьская	20653	10030,5	100610930,25	13210,6050	2588,1050	6698287,6986	7442,3950	55389242,74
Московская	39063	28440,5	808862040,25	10864,3394	241,8394	58486,2937	28198,6606	795164459,8
Свердловская	14188	3565,5	12712790,25	14474,5001	3852,0001	14837904,5853	-286,5001	82082,2935
Северо-кавказкая	9307	-1315,5	1730540,25	6718,1645	-3904,3355	15243835,3743	2588,8355	6702069,032
Западно-сибирская	12544	1921,5	3692162,25	17702,8294	7080,3294	50131064,5668	-5158,8294	26613520,89
Дальневосточная	4105	-6517,5	42477806,25	10102,1032	-520,3968	270812,8029	-5997,1032	35965247,1
Северная	9472	-1150,5	1323650,25	13319,9714	2697,4714	7276352,1033	-3847,9714	14806884,11
Горьковская	13252	2629,5	6914270,25	11378,5992	756,0992	571685,9568	1873,4008	3509630,665
Куйбышевская	10212	-410,5	168510,25	11462,2882	839,7882	705244,2764	-1250,2882	1563220,666
Южно-уральскяа	7149	-3473,5	12065202,25	13305,5874	2683,0874	7198957,8362	-6156,5874	37903568,05
Юго-восточная	10428	-194,5	37830,25	8292,8028	-2329,6972	5427489,1847	2135,1972	4559067,212
Приволжская	4757	-5865,5	34404090,25	6963,2879	-3659,2121	13389833,1832	-2206,2879	4867706,304
Восточно-сибирская	6504	-4118,5	16962042,25	9866,1334	-756,3666	572090,4992	-3362,1334	11303940,71
Забайкальская	4547	-6075,5	36911700,25	11819,9876	1197,4876	1433976,6634	-7272,9876	52896349,31
Красноярская	3547	-7075,5	50062700,25	7962,5638	-2659,9362	7075260,4297	-4415,5638	19497203,93
Сахалинская	232	-10390,5	107962490,25	2516,2366	-8106,2634	65711506,2509	-2284,2366	5217736,862
Калиннградская	1161		0,00	0		0,0000	0	0
Сумма	169960	-	1236898756	169960,00	-	196602787,7054	-	1076041929,6955
Среднее значение	10622,5	-

Из таблицы следует

1236898756 ? 196602787,7054 + 1076041929,6955 т.е.

n n n

?(yi - )2 ? ?( yxi - )2 + ?(yi - yxi )2

i=1 i=1 i=1

Оценка тесноты связи грузооборота и пассажирооборот с помощью показателей корреляции и детерминации

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции rxy. Существуют различные формы записи линейного коэффициента корреляции. Наиболее часто встречаются следующие:

rxy = b(Sx/Sy) = Mxy/( Sx \ Sy) = ( - )/ SxSy.

Как известно, линейный коэффициент корреляции находится в пределах: -1 ? rxy ? 1. Если коэффициент регрессии b > 0, то 0 ? rxy ? 1, и, наоборот, при b<0, -1 ? rxy ? 0.

Используя первое выражение для rxy, рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

rxy = b(Sx/Sy) = 0,1081 (29487,5577/8792,3929) = 0,3625

Для оценки качества подбора линейной функции необходимо определить квадрат линейного коэффициента rxy2, который называется коэффициентом детерминации. Он характеризует долю дисперсии (разброса) пассажирооборота y, объясняемую зависимостью от грузооборота x, в общей дисперсии, возникающей за счет влияния множества факторов не учтенных функцией регрессии.

Соответственно величина 1 - rxy2 характеризует долю дисперсии пассажирооборота y, вызванную влиянием остальных не учтенных в математической модели факторов.

Определим коэффициент детерминации:

ryx2 = ( 0,3625 )2 = 0,1314

Следовательно, изменение результата (грузооборота) на 13,14% объясняется изменением фактора (пассажирооборота).

В отличие от линейной регрессии нелинейная регрессия характеризуется не коэффициентом корреляции, а индексом корреляции Rxy и индексом детерминации Rxy2:

Rxy = ( 1 - (Sост2/Sy2 )1/2,

где

Sост2 = ( (y1 - yx1)2 + (y2 - yx2)2 + ....+ (y7 - yx17)2 )/ n;

Sy2 = ( (y1 - )2 + (y2 - )2 + ....+ (y7 - )2 )/ n.

Величина данного показателя находится в пределах

0 ? Rxy ? 1, причем чем она ближе к единице, тем теснее связь между грузооборотом и пассажирооборотом, тем более надежное уравнение регрессии.

Расчеты показателей степени связи между грузооборотом и пассажирооборотом при степенной модели показывают, что она несколько лучше линейной модели.

Аналогичная оценка для показательной функции регрессии находится на уровне линейной, несколько хуже степенной.

Оценка ошибки аппроксимации уравнений регрессии

Из приведенных в таблицах расчетных данных следует, что фактическое значение пассажирооборота y (результативный признак) отличаются от теоретических yx, рассчитанных по одному из уравнений регрессии. Очевидно, чем меньше это отличие, тем ближе опытные данные к теоретическим значениям и тем лучше качество модели.

Величина, представляющая собой разность опытного и теоретического результативного признака, (y - yx ) для каждого опыта представляет собою ошибку аппроксимации функции, связывающей грузооборот и пассажирооборот. В данном случае число таких опытов равно семнадцати. Для оценки каждого опыта используются не сами разности, а их абсолютные значения разности опытного и теоретического результативного признака отнесенные к опытному, выраженные в процентах, то есть:

Аi =¦(yi-yxi)/yi|100% .

Оценка качества всей функции регрессии может быть осуществлена как средняя ошибка аппроксимации - средняя арифметическая Аi :

А = (А1 + А2 + …..+ А16 ) / 16 .

Найдем величину средней ошибки аппроксимации линейной функцией связи между грузооборотом и пассажирооборотом:

А = 0,5274· 100% = 52,54 %.

Аналогично получим среднюю ошибку аппроксимации для степенной А = 52,47 % и для показательной функций А = 77,48 %.

Сравнительная оценка силы связи грузооборота и пассажирооборота с помощью среднего коэффициента эластичности

Средний коэффициент эластичности Э показывает, на сколько процентов в среднем изменится пассажирооборот y от своей средней величины при грузооборота x на 1% от своего среднего значения. Он может быть вычислен по формуле:

Э = y' (x)· / yЇ.

С учетом приведенной формулы средний коэффициент эластичности Э для линейной функции регрессии

yx = 3198,5945 + 0,1081 · x

примет вид:

Э = y' (x)· / yЇ= b· / ( a + b) = 0,1081· 68695,625/ (3198,5945 + 0,1081· 68695,625) = 0,6989.

Коэффициент эластичности Э для степенной функции регрессии

y x = 2,30116 x 0,74371

вычисляется по соотношению:

Э = y' (x)· / yЇ= a·b·xb¬1·( x/a·xb) = b = 0,7437.

Коэффициент эластичности Э для показательной функции регрессии yx = 1722,8224 (1,00004) x

Оценка статистической надежности результатов линейного регрессионного моделирования

Оценка статистической надежности уравнения регрессии в целом будем производить с помощью F-критерия Фишера. При этом примем нулевую гипотезу H0, что коэффициент регрессии b равен нулю. В таком случае фактор x не оказывает влияние на результат y, то есть грузооборот не оказывает влияния на пассажирооборот. Альтернативная гипотеза H1 будет состоять в статистической надежности линейного регрессионного моделирования. Для установления истинной значимости линейной модели необходимо выполнить сравнение факторного Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия Фишера. Факторный F-критерий Фишера вычисляется по формуле:

Fфакт = Sфакт2 / Sост2,

где Sфакт2 - фактическая выборочная дисперсия, вычисленная на одну степень свободы по соотношению:

Sфакт2 = ((y x1 - )2 + (y x2 - )2 + ....+ (y x17 - )2)/ 1;

Sост2 - остаточная выборочная дисперсия, вычисленная на одну степень свободы по соотношению:

Sост2 = ( (y1 - yx1)2 + (y2 - yx2)2 + ....+ (y17 - yx17)2 )/ n - 2;

Если нулевая гипотеза справедлива, то факторная и остаточная выборочные дисперсии не отличаются друг от друга. Для опровержения нулевой гипотезы H0 необходимо, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную дисперсию в несколько раз. Табличное Fтабл значений F-критерия Фишера - это максимальное величина критерия (отношения дисперсий) под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости б, который примем равным 0,05.

Если Fтабл < Fфакт , то нулевая гипотеза о случайной природе коэффициента регрессии, а, следовательно, и оцениваемой модели отвергается и признается их статическая значимость и надежность. Если Fтабл > Fфакт, то нулевая гипотеза не отклоняется и признается статическая не значимость и ненадежность уравнения регрессии.

По таблице значений F-критерия Фишера при уровне значимости б = 0,05 и степенях свободы к1 = 1, к2 = 14 получаем Fтабл = 4,63. Выполнив расчет получим Fфакт = 162481642,732 : (1074417113,03:14) = 2,11718

Полученные значения F-критерия Фишера указывают, что Fтабл < Fфакт, поэтому необходимо отвергнуть нулевую гипотезу о случайной природе коэффициента регрессии, а, следовательно, и оцениваемой модели и принять альтернативную гипотезу.

Расчет прогнозного значения грузооборота по линейной модели при увеличении пассажирооборота дороги

Полученное уравнение линейной регрессии позволяет использовать его для прогноза. Согласно заданию на курсовую работу следует рассчитать прогнозное значение грузооборота, если прогнозное значение пассажирооборота увеличиться на 10% от ее среднего значения. При этом установить доверительный интервал прогноза для уровня значимости равном 0,05.

Если прогнозное значение грузооборота составит:

xp = 1,1· = 1,1· 68695,625 = 75565,1875

то прогнозное точечное значение пассажирооборота можно вычислить по соотношению:

yp = 3198,5945 +0,1081·xp=3198,5945 + 0,1081·75565,1875 = 11367,91

Для определения доверительного прогноза необходимо вычислить ошибку прогноза по формуле:

myp=Sост·(1+1/7+( xp - )2/( (x1 - )2 +(x2 - )2+...+(x7 -

)2))1/2 = 2191,7478 · ((1 + 1/7+ (75565,1875 - 68695,625)2 / ( 1391225693,75))1/2 = 127,65

Предельная ошибка прогноза, которая с вероятностью 0,95 не будет превышена, составит:

?yp = tтабл · myp = 2,1315· 127,65 = 272,086

Здесь tтабл табличное значение t-статистки Стьюдента для числа степеней свободы n-2= 14 и уровне значимости 0,05.

Тогда предельные значения доверительного интервала прогноза грузооборота при прогнозируемом увеличении пассажирооборота на 10% можно вычислить по формулам:

yxpmin = yxp - ?yp = 11367,91- 272,086= 11095,824;

yxpmax = yxp + ?yp = 11367,91+ 272,086= 11639,996.

Выполненный прогнозный расчет по линейной регрессионной модели показал, что при достаточной надежности (вероятность 0,95), она достаточно точна, так как отношение значений верхней и нижней границ доверительного интервала составляет 1,049.

Реализация решенных задач на компьютере

Определение линейной функции регрессии выполним с помощью ППП Excel. Реализацию осуществим на компьютере с применением встроенной статистической функции ЛИНЕЙН. Она позволяет вычислить параметры линейной регрессии:

Yx = a + b · x .

Вся регрессионная статистика будет выводиться по схеме:

значение коэффициента b	значение коэффициента а
Среднеквадратическое откл. b		среднеквадратическое.	откл а
коэффициент детерминации	среднеквадратическое	откл y
F-статистика		число степеней свободы
регрессионная сумма квадрат.	остаточная сумма квадратов

Алгоритм вычисления регрессионной статистики включает следующие этапы:

1.Подготовку исходных данных.

2.Выделение области пустых ячеек 5 x 2 для вывода результатов регрессионной статистики.

3.Активизировать Мастер функций одним из способов:

а) в главном меню выбрать ВСТАВКА/ФУНКЦИЯ;

в) на панели СТАНДАРТНАЯ щелкнуть по кнопке ВСТАВКА ФУНКЦИИ.

4.В окне КАТЕГОРИЯ выбрать СТАТИСТИЧЕСКИЕ, в окне ФУНКЦИЯ - ЛИНЕЙН. Далее щелкнуть по кнопке ОК;

5.Заполнить аргументы функции.

6.В левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Для раскрытия всей таблицы необходимо нажать на клавишу «F2», а затем нажать на комбинацию клавишей «CTRL» + «SHIFT» + «ENTER».

Ниже приводятся результаты регрессионной линейной математической модели грузооборота в зависимости от пассажирооборота по статистическим данным РФ.

Значение коэффициента b 0,108069553	Значение коэффициента a 3198,59452
Среднеквадр. отклонение b 0,074271748	Среднеквадр. отклонение а 5552,33103
Коэффициент детерминации 0,...

Подобные документы

• Численные методы для решения нелинейных уравнений

  Изучение численных методов приближенного решения нелинейных систем уравнений. Составление на базе вычислительных схем алгоритмов; программ на алгоритмическом языке Фортран - IV. Приобретение практических навыков отладки и решения задач с помощью ЭВМ.
  
  методичка [150,8 K], добавлен 27.11.2009
  

• Математический расчет объема выпуска продукции

  Методы определения объемов выпуска изделий каждой модели, при которых прибыль будет максимальна Составление математической модели задачи целочисленного программирования. Решение задачи симплекс-методом. Поиск целочисленного решения методом отсечения.
  
  контрольная работа [156,9 K], добавлен 30.01.2011
  

• Методы Ритца и Галеркина

  Изучение прямых методов решения вариационных и краевых задач математического анализа. Основные идеи методов Ритца и Галеркина для нахождения приближенного обобщенного решения задачи минимизации функционала. Особенности, сходство и отличие данных методов.
  
  презентация [187,9 K], добавлен 30.10.2013
  

• Математические модели задач линейного программирования

  Знакомство с особенностями построения математических моделей задач линейного программирования. Характеристика проблем составления математической модели двойственной задачи, обзор дополнительных переменных. Рассмотрение основанных функций новых переменных.
  
  задача [656,1 K], добавлен 01.06.2016
  

• Решение и постоптимальный анализ задачи линейного программирования

  Теоретические положения симплекс-метода и постоптимального анализа. Построение математической модели задачи. Нахождение ценностей ресурсов. Определение относительных и абсолютных диапазонов изменения уровней запасов дефицитных и недефицитных ресурсов.
  
  курсовая работа [86,7 K], добавлен 19.11.2010
  

• Построение математической модели задачи и ее решение в MS Excel

  Создание математической модели движения шарика, подброшенного вертикально вверх, от начала падения до удара о землю. Компьютерная реализация математической модели в среде электронных таблиц. Определение влияния изменения скорости на дальность падения.
  
  контрольная работа [1,7 M], добавлен 09.03.2016
  

• Использование современной компьютерной техники и программного обеспечения для решения прикладной задачи из инженерно-буровой практики

  Применение математических и статистических методов в процессе бурения. Нахождение среднеарифметической выборки, среднеквадратического отклонения, дисперсии, корреляции. Оценка влияния двух реагентов на предельное напряжение сдвига бурового раствора.
  
  курсовая работа [378,6 K], добавлен 05.12.2011
  

• Линейная алгебра и математическое программирование

  Решение систем уравнений по правилу Крамера, матричным способом, с использованием метода Гаусса. Графическое решение задачи линейного программирования. Составление математической модели закрытой транспортной задачи, решение задачи средствами Excel.
  
  контрольная работа [551,9 K], добавлен 27.08.2009
  

• Исследование динамики системы с использованием математической модели

  Решение дифференциальных уравнений математической модели системы с гасителем и без гасителя. Статический расчет виброизоляции. Определение собственных частот системы, построение амплитудно-частотных характеристик и зависимости перемещений от времени.
  
  контрольная работа [1,6 M], добавлен 22.12.2014
  

• Построение математических моделей

  Составление математической модели для предприятия, характеризующей выручку предприятия "АВС" в зависимости от капиталовложений (млн. руб.) за последние 10 лет. Расчет поля корреляции, параметров линейной регрессии. Сводная таблица расчетов и вычислений.
  
  курсовая работа [862,4 K], добавлен 06.05.2009
  

• Определение оптимального плана работы почтовых отделений

  Порядок преобразования исходных данных и построения математической модели оптимального плана доставки газет. Выбор метода решения и основные этапы его реализации. Принципы освоения и практического применения оптимизационного пакета прикладных программ.
  
  курсовая работа [235,0 K], добавлен 25.03.2017
  

• Симплекс-метод

  Составление математической модели задачи. Определение всевозможных способов распила 5-метровых бревен на брусья 1,5, 2,4, 3,2 в отношении 1:2:3 так, чтобы минимизировать общую величину отходов. Решение задачи линейного программирования симплекс-методом.
  
  задача [26,1 K], добавлен 27.11.2015
  

• Математические модели

  Выбор основного алгоритма решения задачи. Требования к функциональным характеристикам программы. Минимальные требования к составу и параметрам технических средств и к информационной и программной совместимости. Логические модели, блок-схемы алгоритмов.
  
  курсовая работа [13,1 K], добавлен 16.11.2010
  

• Текстовые задачи

  Структура текстовой задачи. Условия и требования задач и отношения между ними. Методы и способы решения задач. Основные этапы решения задач. Поиск и составление плана решения. Осуществление плана решения. Моделирование в процессе решения задачи.
  
  презентация [247,7 K], добавлен 20.02.2015
  

• Метод линейного программирования

  Сущность линейного программирования. Изучение математических методов решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейной целевой функцией. Нахождение точек наибольшего или наименьшего значения функции.
  
  реферат [162,8 K], добавлен 20.05.2019
  

• Сравнительный анализ методов оптимизации

  Оптимизация как раздел математики, ее определение, сущность, цели, формулировка и особенности постановки задач. Общая характеристика различных методов математической оптимизации функции. Листинг программ основных методов решения задач оптимизации функции.
  
  курсовая работа [414,1 K], добавлен 20.01.2010
  

• Методические особенности обучения решению текстовых задач учащихся начальной школы

  Понятие текстовой задачи, ее роль в процессе обучения математике. Изучение основных способов решения текстовых задач, видов их анализа. Применение метода моделирования в обучении решению данных заданий. Описание опыта работы учителя начальных классов.
  
  дипломная работа [69,6 K], добавлен 13.01.2015
  

• Математическое моделирование деформаций грунтового основания сваи сложной конфигурации

  Основные положения теории математического моделирования. Структура математической модели. Линейные и нелинейные деформационные процессы в твердых телах. Методика исследования математической модели сваи сложной конфигурации методом конечных элементов.
  
  курсовая работа [997,2 K], добавлен 21.01.2014
  

• Лекции по математической логике и теории алгоритмов

  Алгебра логики, булева алгебра. Алгебра Жегалкина, педикаты и логические операции над ними. Термины и понятия формальных теорий, теорема о дедукции, автоматическое доказательство теорем. Элементы теории алгоритмов, алгоритмически неразрешимые задачи.
  
  курс лекций [652,4 K], добавлен 29.11.2009
  

• Методы статистического исследования

  Применение в статистике конкретных методов в зависимости от заданий. Методы массовых наблюдений, группировок, обобщающих показателей, динамических рядов, индексный метод. Корреляционный и дисперсный анализ. Расчет средних статистических величин.
  
  контрольная работа [29,5 K], добавлен 21.09.2009
  

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам