Математичне моделювання прямих та обернених задач екології

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математичне моделювання прямих та обернених задач екології

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми дослідження. Підвищений інтерес до розв'язання задач екології та зростаюча актуальність математичного моделювання складних екологічних процесів викликані потребою вирішення проблем забруднення навколишнього середовища відходами промислових підприємств, транспорту, продуктами розпаду радіоактивних елементів після аварії на ЧАЕС, тощо. При спробі математичного моделювання цих процесів виникає цілий комплекс проблем, які пов'язані з дослідженням та прогнозуванням процесів розповсюдження забруднень повітрям та грунтовими водами.

Для ефективного вирішення проблем охорони та раціонального використання природних ресурсів особливого значення набуває розробка методів дослідження процесів міграції забруднень. Основи теорії міграції викладені в численних роботах вітчизняних та закордонних дослідників. Серед них виділимо роботи М.М. Біляєва, М.Є. Берлянда, Ф.М. Бочевера, М.М. Верігіна, О.М. Глобуса, О.В. Ликова, Л. Лукнера, В.І. Лялька, Г.І. Марчука, Ф. Мезінгера, А.Ю. Орадовської, П. Роуча, Р. Скорера, А.Ф. Чудновського, які розробили фізичні моделі та сформулювали і обгрунтували основні математичні моделі процесів. Більшість цих процесів описується параболічними рівняннями в необмежених, або частково обмежених просторово-часових областях. Для розв'язання практичних задач потрібно додатково задавати початкові та граничні умови різних типів.

Розробці методів розв'язання параболічних систем присвячено багато фундаментальних праць, серед яких слід відзначити монографії О. Зенкевича, Л.О. Коздоби, А. Найфе, К. Ректоріса, Р. Рихтмайєра, О.А. Самарського, А.М. Тихонова, Д. Ши та багатьох інших. Значна кількість таких досліджень пов'язана з використанням аналітичних методів. Зокрема це монографії Е.М. Карташова, О.В. Ликова, П.Я. Полубарінової-Кочиної. Нові методи чисельного розв'язання багатьох класів задач переносу забруднень побудовані П.М. Вабіщевим, В.С. Дейнекою, М.З. Згуровським, Я.М. Котляром, І.І. Ляшком, Г.І. Марчуком, І.В. Сергієнком, В.В. Скопецьким, П.В. Цоєм. Все більшої уваги заслуговують проблеми розв'язання обернених задач. В багатьох випадках вони зводяться до задач керування динамічними об'єктами з розподіленими параметрами. Питання побудови та дослідження розв'язків задач керування системами такого типу висвітлені, зокрема, в працях Б.М. Бублика, А.Г. Бутковського, М.Ф. Кириченка, К.А. Лур'є, С.І. Ляшка, О.Г. Наконечного, Ю.І. Самойленка та багатьох інших. Однак універсальних підходів до вирішення цих проблем на сьогодні немає. Ситуація ускладнюється у випадку, коли задача (зокрема задача керування процесом) має неоднозначний розв'язок, або коли його зовсім не існує.

Розв'язанню цих та пов'язаних з ними деяких питань і присвячена дана дисертаційна робота. Запропоновані прості й водночас надійні методи математичного моделювання складних екологічних процесів в довільних просторово-часових областях, однаково придатні для дослідження динаміки цих процесів як в прямій, так і в оберненій постановках.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у відділі «Математичних систем моделювання проблем екології і енергетики» Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України за період 1997-2001 рр. Частина наукових та практичних результатів отримана у рамках виконання:

держбюджетної теми ІП.175.01 «Розробка методів і програмно-алгоритмічних засобів системи екологічного моніторингу по дослідженню процесів у почвоґрунтах та підземних водах» (1993-1995 рр.);

держбюджетної теми ІП.175.03 «Розробка математичних моделей та програмно-алгоритмічних засобів дослідження процесів волого-теплопереносу в неоднорідних ґрунтових середовищах з включеннями» НАН України (1997-2001 рр.);

проекту 01.07/0005 «Розробка математичних методів та інформаційних технологій моделювання прямих та обернених задач динаміки систем з розподіленими параметрами» Міносвіти і науки України (2001 р.).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка методики побудови та дослідження загальних розв'язків (або середньоквадратичних наближень до них) початково-крайових задач та задач керування параболічними рівняннями - основи більшості математичних моделей екологічних процесів.

Для досягнення поставленої мети розв'язані наступні задачі:

Побудовані множини функцій, моделюючих початково-крайовий стан екологічного процесу та виконаний перехід від диференціальної моделі процесу до інтегральної, або функціональної (в залежності від постановки задачі).

Розроблені чисельно-аналітичні методи та обчислювальні алгоритми побудови та дослідження загальних розв'язків прямих та обернених задач динаміки параболічних систем, що описують досліджувані процеси.

Встановлені оцінки точності та критерії єдиності розв'язків розглядуваних систем в необмежених, частково-обмежених та обмежених просторово-часових областях.

Створене програмне забезпечення для реалізації запропонованого підходу до математичного моделювання екологічних процесів в прямій та оберненій постановках.

Наукова новизна одержаних результатів.

Уперше запропоновано загальну методику математичного моделювання екологічних процесів, які зводяться до розв'язання прямих та обернених задач для параболічних систем.

Установлені критерії точності та єдиності розв'язання проблем математичного моделювання класів задач.

Побудовані та досліджені множини функцій, якими з середньоквадратичною точністю описуються розв'язки початково-крайових задач та задач керування (в різних постановках) розглядуваними процесами, як в однозв'язних, так і в багатозв'язних просторових областях.

Практичне значення одержаних результатів дисертаційної роботи полягає у тому, що запропоновані підходи до математичного моделювання, а також чисельно-аналітичні методи та обчислювальні алгоритми їх реалізації можуть бути використані при розв'язанні конкретних екологічних задач розрахунку переносу забруднень, при розв'язанні та дослідженні задач керування в довільних (у тому числі неоднозв'язних) просторових областях.

Особистий внесок здобувача. Результати дисертаційних досліджень виконані автором особисто та в співпраці з науковим керівником. В публікації [5] авторові дисертації належать розробки з вводу фізичних параметрів, програмній реалізації методів розв'язання розглядуваних задач та графічній обробці результатів. У публікаціях [6-10], написаних у співавторстві з професорами В.В. Скопецьким та В.А. Стояном, останнім належить постановка задачі та участь в обговоренні результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на Міжнародній конференції «Моделювання та оптимізація складних систем» (Київ, 2001); Міжнародній конференції «Dynamical systems modelling and stability investigation» (Київ, 2001); Міжнародному симпозіумі «Питання оптимізації обчислень - XXX» (Кацівелі (Крим), 2001), наукових семінарах в Інституті кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України та Київському національному університеті імені Тараса Шевченка (1997-2001).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 10 наукових праць, з них 8 статей у вітчизняних провідних фахових виданнях, дві - у збірниках доповідей міжнародних конференцій.

Структура та обсяг дисертаційної роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, п'яти розділів, висновків, бібліографічного списку із 124 найменувань. Загальний обсяг роботи - 132 сторінки, розміщено 14 рисунків.

Основний зміст роботи

обчислювальний алгоритм параболічний математичний

У вступі обґрунтовується актуальність теми дисертації, формулюється мета та задачі дослідження, викладено основні результати із зазначенням їх теоретичної та практичної цінності.

Перший розділ присвячено огляду літератури та вибору напрямків досліджень. Виконано аналітичний огляд стану наукових досліджень за обраною тематикою, розглянуто питання математичного моделювання та чисельного розв'язання задач математичної фізики в різних середовищах та обґрунтована актуальність теми дисертаційної роботи.

У другому розділі описується загальна методика й основні методи досліджень. Описані основні етапи обчислювального експерименту, запропоновані диференціальні моделі процесів екології, що приводять до параболічних рівнянь, можливі типи крайових умов, методи псевдообернення інтегральних та функціональних рівнянь.

Третій розділ присвячений побудові множин псевдорозв'язків крайових задач для параболічного рівняння в необмежених, частково обмежених та обмежених просторово-часових областях.

Розділ починається з розгляду початково-крайової задачі для параболічного рівняння вигляду

, (1)

де компоненти коефіцієнта k=() - задані додатні числа, вектор , а q (x, t) - інтегровна за Ріманом в області [0, T] та обмежена функція. Початково-крайові умови для рівняння (1) мають вигляд

, (2)

, . (3)

Тут n - зовнішня нормаль до , - контур, який обмежує область .

Розв'язок задачі (1) - (3) побудований у вигляді суми

, (4)

складові якої моделюють вплив на стан розглядуваної системи функції зовнішньо-динамічних збурень, початкових та крайових умов (2), (3). Тут

(-, 0), [0, T],

- функція Гріна рівняння (1) в необмежених областях зміни координат () та часу t. У підрозділі 3.2, з використанням символічного методу Лур'є побудована функція Гріна, яка співпадає з відомим виразом для фундаментального розв'язку параболічного рівняння (1). Аналітичний вигляд функції Гріна проілюстрований, для одновимірного випадку, графічно.

Підрозділи 3.3 - 3.5 присвячені побудові та дослідженню множин аналітичних розв'язків (або середньоквадратичних наближень до них) рівняння (1) при заданих початково-крайових (2), (3), або тільки початкових (задача в необмеженій просторовій області), або тільки крайових (задача необмежена за часом) умовах. Розв'язання задачі зводиться до визначення функцій фіктивних зовнішньо-динамічних впливів (), які через складові (4), (5) моделюють дію початкових та крайових умов. Застосовувана методика дозволяє провести таке моделювання для двох випадків:

- дискретизовані початково-крайові умови моделюються неперервними зовнішньо-динамічними збуреннями;

- неперервні функції та , якими задані початково-крайові умови, моделюються дискретними значеннями функцій та .

При розв'язанні отримуваних таким чином задач значення просторово-часових координат s дискретизувалися точками (), (), , , а - точками (). Останнє дозволило задачу знаходження моделюючих функцій (або їх дискретних значень).

З використання методики обернення систем алгебраїчних рівнянь поширеної М.Ф. Кириченком та В.А. Стояном на функціональні та інтегральні перетворення, побудовані множини розв'язків рівнянь (7) та (8), або середньоквадратичних наближень до них згідно критеріям.

Ці множини, умови їх однозначності та аналітичні вирази для похибок моделювання визначені у наступних теоремах:

Теорема 1. Множини функцій в розв'язку (4), (5) рівняння (1), побудовані згідно (9), матимуть вигляд

. (11)

Тут - довільні функції, інтегровні в області зміни своїх аргументів, - матриця псевдообернена до матриці

, а

Похибки моделювання функціями початково-крайових умов (2), (3) визначаються величиною

=.

У випадку, коли , моделювання точне; в інших випадках - наближене.

Моделювання початково-крайових умов (2), (3) функціями , або наближення до них з точністю буде однозначним, якщо

При цьому

.

Теорема 2. Вектор значень функцій та в точках побудований згідно (10), визначається співвідношенням:

, (12)

Похибка моделювання

.

При умови (2), (3) векторами та моделюються точно; при це моделювання буде наближеним. Умова однозначності моделювання початково-крайових умов величинами , матиме вигляд . При цьому .

У підрозділах 3.4, 3.5 задача Коші та крайова задача для рівняння (1) розглядаються як частинні випадки загальної початково-крайової задачі (1) - (3). Множини середньоквадратичних наближень до їх розв'язків, умови однозначності та похибки моделювання сформульовані в твердженнях, що є

наслідками теорем 3.1, 3.2.

У підрозділі 3.6 розглянуто початково-крайову задачу для рівняння (1) в неоднозв'язній просторово-часовій області. На контурах (), що обмежують порожнини, задані крайові умови вигляду

, , (13)

де - нормалі до відповідних контурів . Розв'язок початково-крайової задачі в цьому випадку побудований на основі узагальнення результатів одержаних у підрозділі 3.3.

Четвертий розділ присвячений розробці методів керування екологічними системами, стан яких описується параболічним рівнянням типу (1) з початковими умовами (2). Розглянутий випадок, коли на контурі , що обмежує , задані крайові умови

. (14)

Поставлені та розв'язані задачі переводу стану y (x, t) системи на момент часу t=T в заданий Y(x). При розв'язанні цих задач керування виконувалось q(s) - функцією зовнішньо-динамічних впливів, та - функціями початкових та крайових умов, а також їх комбінацією.

У підрозділі 4.2 розв'язана задача термінального керування функцією зовнішньо-динамічних впливів q (x, t) при заданих початково-крайових умовах. З урахуванням того, що система може бути некерованою, задача розв'язувалась так, що

. (15)

Тут [0, T]. Для визначення функції q (x, t) та функцій фіктивних зовнішньо-динамічних впливів проведена дискретизація рівняння (15) за просторово-часовими координатами та , або тільки за s (). Введені до розгляду вектори

, .

Задача знаходження значень таких, щоб досліджувана система при дискретизованих точками початкових (2) та - крайових (14) умовах в точках на момент часу t=T найкраще в середньоквадратичному сенсі досягала значень , зведена до обернення наступної системи лінійних алгебраїчних рівнянь/

При цьому справедлива:

Теорема 3. Вектор значень моделюючо-керуючих функцій , та в розв'язку (4), (17) задачі (1), (2), (14), (15) такий, що .

. (20)

Тут - матриця псевдообернена до . Похибка розв'язання дискретизованої задачі (1), (2), (14), (15)

.

Множина буде давати однозначний розв'язок (), або однозначне середньоквадратичне наближення () до нього, якщо . При дискретизації просторово-часових координат точками задача знаходження значень таких, щоб стан системи (1), (2), (14) на момент часу t=T найкраще в середньоквадратичному сенсі наближався до Y(x), зведена до обернення наступної системи функціональних рівнянь

У підрозділах 4.3 - 4.6, як частинні випадки вищенаведеного, розглянуто задачі керування функцією зовнішньо-динамічних збурень в сукупності з

початковими умовами за заданих крайових умов;

крайовими умовами за заданих початкових умов;

початковими та крайовими умовами.

Отримано аналітичні вирази для множин керуючих та моделюючих функцій кожної з цих задач, досліджені умови точності та однозначності розв'язку. У підрозділі 4.7 сформульовано та доведено теореми для розв'язків задачі керування умовами на порожнинах в неоднозв'язній області.

У п'ятому розділі розглянуті питання чисельного моделювання вищенаведених екологічних задач за допомогою розробленого для цих цілей програмового комплексу. Наведено розв'язки ряду тестових та практично важливих задач поширення забруднень, зокрема розв'язані задачі поширення забруднень в необмеженому просторовому середовищі від точкового та розподіленого в просторі забруднювача, а також задача керування функцією розподілених зовнішньо-динамічних впливів процесу поширення забруднень в обмежених просторово-часових середовищах. При порівнянні результатів чисельно-аналітичного моделювання задач керування функцією джерел (стоків) процесу з точними розв'язками відносні похибки не перевищували .

Висновки

Основні напрямки досліджень, проведених в дисертаційній роботі:

розвиток чисельно-аналітичних методів математичного моделювання, прогнозування та керування зовнішньо-екологічними ситуаціями, які описуються системою параболічного типу, в різних просторово-часових областях;

створення програмового забезпечення для розрахунку впливу на екологічні ситуації розподілених (зосереджених) в досліджуваній області та на її границі джерел (стоків) забруднень.

Основні результати дисертації:

Побудована функція Гріна для параболічного рівняння і виконаний перехід від диференціальної форми моделі поширення забруднень до інтегральної.

Побудовані та досліджені множини фіктивних зовнішньо-динамічних збурень, якими моделюється стан оточуючого досліджувану область просторово-часового середовища.

Побудовані та досліджені множини зосереджених за межами досліджуваної просторово-часової області точкових джерел (стоків), якими з середньоквадратичною точністю моделюється аналітично заданий початково-крайовий стан досліджуваного середовища.

Побудовані функції стану параболічної системи за заданими початково-крайовими умовами та розподіленому впливі на неї в області з порожнинами.

Запропонована методика розв'язання та дослідження задач керування станом забрудненого середовища в обмежених за просторово-часовими координатами, обмежених частково, або необмежених областях через функції зовнішньо-динамічних впливів, крайових та початкових збурень.

Розв'язана задача термінального керування функцією стану параболічної системи в просторово-часовій області з порожнинами через функції задані на границях останніх.

Побудований програмово-моделюючий комплекс для практичної реалізації запропонованих методик розв'язання прямих та обернених задач динаміки параболічних систем.

Розв'язані тестові та практично важливі задачі дослідження стану екологічного середовища та керування ним.

Список основних публікацій за темою дисертації

Благовещенская Т.Ю. Построение и исследование общих решений уравнений параболического типа в ограниченной временной области // Компьютерная математика. - Киев. -2000. - С. 32-40.

Благовещенська Т.Ю. До побудови функції Гріна для задачі поширення забруднень в необмеженій просторово-часовій області // Вісн. Київ. ун-ту. Сер. фіз.-мат. науки. - 2000. - Вип. 3. - С. 191-194.

Благовещенська Т.Ю. Про моделювання зовнішньо-динамічних умов поширення забруднень в грунтових середовищах // Тез. міжнар. конф. «Dynamical systems modelling and stability investigation» (Kyiv, 22-25 May, 2001). - К.: -2001. - С. 143.

Благовещенська Т.Ю. Побудова та дослідження загальних розв'язків задачі поширення забруднень в обмеженій просторово-часовій області // Праці міжнар. конф. «Моделювання та оптимізація складних систем» (МОСС-2001), Видавничо-поліграфічний центр «Київський університет», К.: -2001. - Т.3. - С. 18-20.

Сергиенко И.В., Скопецкий В.В., Дейнека В.С., Благовещенская Т.Ю., Марченко О.А., Рыбачишин С.И., Стасюк В.Р. Система автоматизированного расчета полей и оптимизации конструкций (САРПОК) на ПЭВМ типа IBM PC AT. - Киев, 1992. -24 с. (Препр. / АН Украины. Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова; 92-26).

Скопецкий В.В., Стоян В.А., Благовещенская Т.Ю. Об интегральных и функциональных преобразованиях в пространственно-временных областях с пустотами // Кибернетика и системный

анализ. -2001. - №1. - С. 78-82.

Скопецкий В.В., Стоян В.А., Благовещенская Т.Ю. К управлению динамикой систем с пространственно-временными интегральными моделями // Кибернетика и системный анализ. -2001. - №4. - С. 84-91.

Скопецький В.В., Стоян В.А., Благовещенська Т.Ю. До побудови та дослідження загальних розв'язків задачі вологомасопереносу в обмеженій просторово-часовій області // Доп. НАН України. -2001. - №9. - С. 96-102.

Скопецький В.В., Стоян В.А., Благовещенська Т.Ю. Про математичне моделювання просторово-часових процесів // Комп'ютерна математика. Оптимізація обчислень: Зб. наук. пр. НАН України. Ін-т кібернетики ім. В.М. Глушкова. - К.: 2001. - Т.2. - С. 403-410.

Стоян В.А., Благовещенська Т.Ю. До побудови розв'язку задачі вологомасопереносу в просторово-часових областях з включеннями // Журн. обчислювальної та прикладної математики. -2001. - №1 (86). -

С. 79-84.

Размещено на Allbest.ru

...