Расчёт аппроксимаций экспериментальных данных методом наименьших квадратов посредством программных средств MatLAB
Определение понятия "аппроксимация", сущность и особенности метода аппроксимации при анализе, обобщении и использовании эмпирических результатов. Получение эмпирических формул методом наименьших квадратов. Расчёт аппроксимаций экспериментальных данных.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 03.05.2014 |
| Размер файла | 1001,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Задание
Вариант №5
Данные по давлению водорода на линии насыщения представлены в таблице. Аппроксимировать эти данные параболической и экспоненциальной зависимостями, оценить погрешность аппроксимации.
|
T,K |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
|
P,мм рт ст |
1,93 |
5,62 |
13,9 |
30,2 |
58,8 |
100,3 |
161,1 |
246,0 |
360,3 |
Определить давление водорода при температуре насыщения T=12,5; T=15,4; T=17,7 с использованием программы расчета.
Реферат
Пояснительная записка представляет собой отчет о выполнении курсовой работы. В ней рассматриваются вопросы по получению эмпирических формул методом наименьших квадратов (МНК). Расчеты проведены средствами пакета Mathcad.
Целью данной работы является решение поставленной задачи, связанной с исследованиями функций, а также развитие и закрепление навыков работы с различными программными средствами.
Задачей работы является расчёт аппроксимаций экспериментальных данных методом наименьших квадратов посредством программных средств MatLAB. аппроксимация эмпирический формула экспериментальный
Содержание
- Введение
- 1. Постановка задачи
- 2. Теоретический материал. Аппроксимация эксперементальных завиимостей методом наименьших квадратов
- 3. Структурное описание разработки. Описание основных алгоритмов и их особенностей
- 4. Инструкции пользователя
- 6. Контрольный пример. Результаты работы программы
- Выводы
- Список литературы
Введение
Аппроксимация (от латинского "approximate" - "приближаться") - приближенное выражение каких-либо математических объектов (например, чисел или функций) через другие более простые, более удобные в пользовании или просто более известные. В научных исследованиях аппроксимация применяется для описания, анализа, обобщения и дальнейшего использования эмпирических результатов.
Как известно, между величинами может существовать точная (функциональная) связь, когда одному значению аргумента соответствует одно определенное значение, и менее точная (корреляционная) связь, когда одному конкретному значению аргумента соответствует приближенное значение или некоторое множество значений функции, в той или иной степени близких друг к другу. При ведении научных исследований, обработке результатов наблюдения или эксперимента обычно приходиться сталкиваться со вторым вариантом. При изучении количественных зависимостей различных показателей, значения которых определяются эмпирически, как правило, имеется некоторая их вариабельность. Частично она задается неоднородностью самих изучаемых объектов неживой и, особенно, живой природы, частично обуславливается погрешностью наблюдения и количественной обработке материалов. Последнюю составляющую не всегда удается исключить полностью, можно лишь минимизировать ее тщательным выбором адекватного метода исследования и аккуратностью работы. Поэтому при выполнении любой научно-исследовательской работы возникает проблема выявления подлинного характера зависимости изучаемых показателей, этой или иной степени замаскированных неучтенностью вариабельности значений. Для этого и применяется аппроксимация - приближенное описание корреляционной зависимости переменных подходящим уравнением функциональной зависимости, передающим основную тенденцию зависимости (или ее "тренд").
При выборе аппроксимации следует исходить из конкретной задачи исследования. Обычно, чем более простое уравнение используется для аппроксимации, тем более приблизительно получаемое описание зависимости. Поэтому важно считывать, насколько существенны и чем обусловлены отклонения конкретных значений от получаемого тренда. При описании зависимости эмпирически определенных значений можно добиться и гораздо большей точности, используя какое-либо более сложное, много параметрическое уравнение. Однако нет никакого смысла стремиться с максимальной точностью передать случайные отклонения величин в конкретных рядах эмпирических данных. Гораздо важнее уловить общую закономерность, которая в данном случае наиболее логично и с приемлемой точностью выражается именно двухпараметрическим уравнением степенной функции. Таким образом, выбирая метод аппроксимации, исследователь всегда идет на компромисс: решает, в какой степени в данном случае целесообразно и уместно «пожертвовать» деталями и, соответственно, насколько обобщенно следует выразить зависимость сопоставляемых переменных. Наряду с выявлением закономерностей, замаскированных случайными отклонениями эмпирических данных от общей закономерности, аппроксимация позволяет также решать много других важных задач: формализовать найденную зависимость; найти неизвестные значения зависимой переменной путем интерполяции или, если это допустимо, экстраполяции.
1. Постановка задачи
Аппроксимация - это процесс подбора эмпирической функции ц(х) для установления из опыта функциональной зависимости y= ц(х). Пусть величина y является функцией аргумента x. Это означает, что любому значению x из области определения поставлено в соответствии значение y. Вместе с тем на практике часто неизвестна явная связь между y и x, т.е. невозможно записать эту связь в виде y=f(x). Наиболее распространенным и практически важным случаем, когда вид связи между параметрами x и y неизвестен, является задание этой связи в виде некоторой таблицы {xi yi}. Это означает, что дискретному множеству значений аргумента {xi} поставлено в соответствие множество значений функции {yi} (i=0,1.n). Эти значения - либо результаты расчетов, либо экспериментальные данные. На практике могут понадобиться значение величины y и в других точках, отличных от узлов xi. Однако получить эти значения можно лишь путем очень сложных расчетов или провидением дорогостоящих экспериментов. Таким образом, с точки зрения экономии времени и средств появляется необходимость использования имеющихся табличных данных для приближенного вычисления искомого параметра y при любом значении (из некоторой области) определяющего параметра x, поскольку точная связь y=f(x) неизвестна. Этой цели и служит задача об аппроксимации функций: данную функцию f(x) требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией g(x) так, чтобы отклонение (в некотором смысле) g(x) от f(x) в заданной области было минимальным. Функция g(x) при этом называется аппроксимирующей.
Обычно определение параметров при известном виде зависимости осуществляют по методу наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов позволяет по экспериментальным данным подобрать такую аналитическую функцию, которая проходит настолько близко к экспериментальным точкам, насколько это возможно. Именно поэтому он является полезным при обработке экспериментальных данных.
В работе требуется:
1. Используя метод наименьших квадратов функцию , заданную таблично, аппроксимировать многочленом второй степени
;
2. Для каждой зависимости вычислить коэффициент детерминированности.
3. Вычислить коэффициент корреляции (только в случае а).
4. Для каждой зависимости построить линию тренда.
5. Вычислить числовые характеристики зависимости y от x.
6. Провести вычисления в программе Mathcad.
2. Теоретический материал. Аппроксимация экспериментальных зависимостей методом наименьших квадратов
Пусть в результате эксперимента получена зависимость, зафиксированная в таблице 3.1
Таблица 2.1 -Исходные данные
|
t |
… |
… |
||||||
|
… |
… |
Необходимо найти аналитическую формулу , аппроксимирующую экспериментальную (табличную) зависимость.
Выберем зависимость в виде полинома второй степени, то есть
. (2.1)
В выражении (2.1) коэффициенты a0, a1, a2 подлежат определению, причем эти коэффициенты должны быть подобраны таким образом, чтобы зависимость лучше всего приближала экспериментальную зависимость. Назовем отклонением отличие между табличным значением в точке и значением в той самой точке, то есть
. (2.2)
Согласно методу наименьших квадратов (МНК) "наилучшими" коэффициентами зависимости (2.1) будут те, для которых сумма квадратов отклонений будет минимальная, то есть
(2.3)
Используя необходимые условия существования экстремума для функции нескольких переменных , найдем уравнение для определения коэффициентов зависимости (2.1):
(2.4)
Из условий (2.4) получим нормальную систему линейных алгебраических уравнений
(2.5)
Решив систему (2.5), найдем коэффициенты аппроксимирующей зависимости (2.1).
3. Структурное описание разработки. Описание основных алгоритмов и их особенностей
Решим данную задачу.
Данные по давлению водорода на линии насыщения представлены в таблице. Аппроксимировать эти данные параболической и экспоненциальной зависимостями, оценить погрешность аппроксимации
|
T,K |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
|
P,мм рт ст |
1,93 |
5,62 |
13,9 |
30,2 |
58,8 |
100,3 |
161,1 |
246,0 |
360,3 |
Определить давление водорода при температуре насыщения T=12,5; T=15,4; T=17,7 с использованием программы расчета.
Решение
Для проведения анализа исходных данных с целью выбора вида аппроксимирующего многочлена представим в виде графика экспериментальные данные из таблицы 2.1. График приведен на рисунке 3.1.
В результате анализа данных выберем в качестве аппроксимирующего многочлена 2-го порядка параболу:
P2(x)=a0+a1x+a2x2. (3.1)
Для упрощения вычислений сделаем следующую замену
(3.2)
Для определения коэффициентов необходимо записать систему уравнений вида (7.5). Для составления системы удобно воспользоваться данными, приведенными в таблице 3.3.
Рисунок 3.1 - Экспериментальная зависимость P=f(T) примера 3.1.
Таблица 3.3 - Вспомогательные данные к составлению системы линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов параболической аппроксимации
|
i |
Ti |
||||||||
|
0 |
10 |
0,1 |
1,93 |
0,193 |
0,01 |
0,00193 |
0,001 |
0,0001 |
|
|
1 |
11 |
0,11 |
5,62 |
0,6182 |
0,0121 |
0,0074802 |
0,00133 |
0,0001464 |
|
|
2 |
12 |
0,12 |
13,9 |
1,668 |
0,0144 |
0,0240192 |
0,00173 |
0,0002074 |
|
|
3 |
13 |
0,13 |
30,2 |
3,926 |
0,0169 |
0,0663494 |
0,0022 |
0,0002856 |
|
|
4 |
14 |
0,14 |
58,8 |
8,232 |
0,0196 |
0,1613472 |
0,00274 |
0,0003842 |
|
|
5 |
15 |
0,15 |
100,3 |
15,045 |
0,0225 |
0,3385125 |
0,00338 |
0,0005063 |
|
|
6 |
16 |
0,16 |
161,1 |
25,776 |
0,0256 |
0,6598656 |
0,0041 |
0,0006554 |
|
|
7 |
17 |
0,17 |
246 |
41,82 |
0,0289 |
1,208598 |
0,00491 |
0,0008352 |
|
|
8 |
18 |
0,18 |
360,3 |
64,854 |
0,0324 |
2,1012696 |
0,00583 |
0,0010498 |
|
|
N=9 |
1,26 |
978,1 |
162,132 |
0,1824 |
4,5693717 |
0,02722 |
0,0041701 |
Используя данные, которые приведены в последней строке таблицы 3.3, систему уравнений (3.3) запишем в виде
(3.3)
В результате решения системы (3.8) получим следующие значения коэффициентов
a0=977,62;
a1=-173,44;
a2=7,69.
Итак, искомый аппроксимирующий многочлен имеет вид
. (3.4)
Полученная аналитическая зависимость (3.4) обобщает экспериментальные данные таблицы 3.1.
Для оценки погрешности аппроксимирующей зависимости составим таблицу значений P, которые определим по формуле (3.4). Результаты занесем в таблицу 3.2.
Таблица 3.2 - Расчетные значения Р
|
T |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
|
P |
12,22 |
0,27 |
3,7 |
22,51 |
56,7 |
106,27 |
171,22 |
251,55 |
347,26 |
Для оценки точности параболической аппроксимации необходимо сравнить значение Р из таблицы 3.1 и таблицы 3.2. Модуль разницы соответствующих значений дает P - абсолютная погрешность аппроксимации, значения которой представлены в таблице 3.3. В таблице приведена также относительная погрешность .
Таблица 3.3 - Абсолютная и относительная погрешности аппроксимации
|
Т |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
|
Р |
10,29 |
-5,35 |
-10,2 |
-7,69 |
-2,1 |
5,97 |
10,12 |
5,55 |
-13,04 |
|
|
P,% |
16 |
18 |
6 |
5 |
10 |
18 |
15 |
16 |
20 |
Сравнительный анализ погрешностей показывает, что полученная аналитическая зависимость удовлетворительно обобщает исходные экспериментальные данные.
Для интегральной оценки аппроксимации можно воспользоваться формулой
4. Инструкции пользователя
Вызов Mathcad 13: ПУСК - Программы- MathSoft Apps- Mathcad 13.
Вызов на рабочий стол панели математических операций Math: щелкнуть мышкой по позиции в головном меню View далее ToolbarsMath.( В русской версии Mathcad 14: Вид Панели инструментов Математическая.)
Так же можно вызвать панели Calculus (Исчисление), Simbolic (Символика), Evaliation (Вычисление),Graph (Графики), Calculator (Калькулятор),
Programming (Программирование), Boolean (Логическая), Matrix (Матрицы), Greek (Греческая). Так же кнопки в панели инструментов Math открывают рабочие панели различных математических операторов или символов.
Рис. 4.1 Область построения решений в Mathcad
Можно вставлять любые операторы щелчком мыши на соответствующей кнопке рабочей панели инструментов. Как только указатель мыши задерживается на какой-либо пиктограмме панели инструментов, появляется сообщение о характере действия кнопки. Арифметические действия с переменными можно выполнять, используя панель Calculator (Калькулятор), на которой также имеются кнопки с наиболее употребляемыми функциями ( ,, …) Умножение производится с помощью клавиши «*»,деление - с помощью клавиши «/», вычитание-клавишей «-»,сложение-клавишей «+».
Запись в MATHCAD некоторых функций: пишем ,пишем , пишем пишем пишем , пишем , пишем ,…
Чаще производите операцию File Save ,чтобы сохранить набранный текст. Переменные и интервалы значений, в которых они определены
Имя переменной (идентификатор) задается как совокупность буквенных и цифровых символов. Надо задавать идентификатор через оператор присваивания: =, которому соответствует клавиша <:>( +Shift) в английском регистре, или используйте кнопку <> панели Evaliation(Вычисление)
Чтобы задать переменную i, которая изменяется в интервале от 1 до 100 с шагом 9, набираем на клавиатуре i:=1,10..100 (первые две цифры соответствуют первому и второму значению переменной). Если шаг равен единице, то набираем i:=1..100.(применяем кнопку<m…n> панелиMatrix)
Заданная переменная считается доступной для всех выражений, расположенных на рабочем листе ниже и правее.
Создание таблицы
Вызываем из головного меню Insert (Добавить), далее Data (Данные) Table (Таблица) и в соответствующем знакоместе пишем имя таблицы. Чтобы элементы таблицы нумеровались с ячейки (1,1), пишем ORIGIN:=1,иначе нумерация с (0,0). Чтобы увеличить в таблице на экране число столбцов (строк ), надо щелкнуть курсором внутри таблицы, затем нажать курсором на черный квадратик в центре правой (нижней) границы таблицы и, не снимая нажима, повести курсор вправо (вниз). Затем снять нажим.
Аналогично действуем для уменьшения числа столбцов (строк)
Функция submatrix (A,in,ik,jn,jk) формирует из таблицы A матрицу, которая является блоком таблицы A, расположенным в строках с in по ik и в столбцах с n по jk.
Операции с матрицами и векторами Для ввода матрицы (вектора) надо нажать Ctrl+M , в появившемся окне вставить числа строк(rows) и столбцов(columns), нажать OK и вставить элементы матрицы в знакоместа( или применить панель Matrix (Матрица или вектор)).
В панели Matrix: |X|-определитель матрицы X; -транспонированная матрица или вектор ; -обратная матрица;-произведение; ввод знака умножения «*». -j-ый столбец матрицы; -n-ый элемент вектора , --ый элемент матрицы ; -скалярное произведение векторов; -векторное произведение векторов; -значения переменной от до .
Действие суммирования элементов вектора (матрицы) производится, используя кнопку панели Calculus (Исчисление) (,) и т. д.
Рекомендуется заголовки и текстовые пояснения вводить с клавиатуры по мере необходимости.
Для того чтобы набрать текст в рабочем исте Mathcad, необходимо щелкнуть мышкой в месте, где нужно набрать текст (появится курсор - красный крест), 2) в головном меню щелкнуть мышкой по позиции <Insert><Text Region>, 3) установить нужный тип и размер шрифта (для набора текста на русском языке, следует пользоваться шрифтами Arial Cyr , Arial CYR или Times New Roman CYR), 4) выставить русский язык (Alt+Shift), 5) щелкнуть вне текстовой области.
Построение графиков в системе Mathcad .
1. Расположить красный плюс в свободном месте листа, щелкнуть мышью по изображению графика в прямоугольной системе координат (пиктограмме) в рабочей палитре операторов .
2. Вставить параметры в соответствующих местах:
Внизу: по горизонтальной оси - в центре ввести через запятую обозначения аргументов, слева - минимальное значение, справа - максимальное значение аргументов. Можно предварительно определить ии вставитьи .
По вертикальной оси в центре ввести через запятую обозначения функций, графики которых надо построить. На одном рисунке допускается построение не более 16 графиков. Графики автоматически масштабируются по вертикальной оси Можно на соответствующем месте внизу ввести минимальное значение.
3. Щелкнуть мышью на другом месте листа. Появится изображение графиков.
4. Если дважды щелкнуть мышью по рисунку, появится окно форматирования.
Можно нанести координатные сетки по каждой оси (grid lines), определить для графиков (Traces), тип линий (Line), их цвет (Color), толщину (Line Weight).
6. Контрольный пример. Результаты работы программы
Ввод исходных данных:
Линейная аппроксимация функции:
Нахождение коэффициентов.
Построение графика экспотенциальной аппроксимации в MathCAD:
Рис.6. Исходная функция
Экспоненциальная аппроксимация данных:
Нахождение коэффициентов а1, а2, z.
Построение графика экспоненциальной аппроксимации в MathCAD:
Рис.8. Исходная функция и линия тренда для экспоненциальной аппроксимации.
На рисунке 3.2 приведенные два графика, один из которых построен по данным аппроксимации (табл.3.3), а второй - по исходным данным (табл. 3.1).
Рисунок 3.2 - Кривая аппроксимации и исходные данные
Сравнивая эти графики, можно также отметить удовлетворительную сходимость теоретических и экспериментальных данных.
Определение давление водорода при температуре насыщения T=12,5; T=15,4; T=17,7 с использованием программы расчета:
Т = 12,5 Р = 11,18
Т = 15,4 Р = 130,4
Т = 17,7 Р = 303,03
Выводы
Поскольку коэффициент корреляции равен 0,99, а среднеквадратическое отклонение расчетных значений от экспериментальных мало, квадратичный многочлен хорошо соответствует табличным данным.
Рассмотренный в общем виде метод наименьших квадратов для оценки коэффициентов регрессионного уравнения, аппроксимирующего таблично заданную функцию, может быть реализован средствами программирования системы Mathcad.
Отметим, что рассмотренный алгоритм позволяет оценить коэффициенты уравнений при нескольких независимых переменных, т.е. является алгоритмом множественной линейной регрессии. Основная задача пользователя - правильно определить факторы и вычислить их значения для матрицы факторов.
Mathcad имеет ряд встроенных функций, реализующих алгоритмы аппроксимации для различных видов уравнений. Как правило, предполагается наличие одной независимой переменной.
Список литературы
Бахвалов Н.С., Численные методы. - М., Наука, 1972.
Демидович В.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М., Наука,1976.
Брановицкая С.В. и др. Вычислительная математика в химии и химической технологии. -К. Вища школа,1989.
Самарский А.А., Гулин А.В., Численные методы - М., Наука, 1989.
Методичнi вказiвки до вивчання роздiлу “Основи обчислювальної математики” курсу “Обчислювальна математика i програмування та разрахунки для ЕОМ”, Дн-вськ, УДХТУ, 1993.
Методические указания к практическим занятиям по курсу “Вычислительная математика и вычислительная техника”. Для студентов 1 курса всех технологических специальностей. Часть I и II. Составители Найвельт В.М., Суриков В.Е., Демиденко Л.Г.),- Дн-ск, ДХТИ, 1986.
Плис А.И., Сливина Н.А., MATHCAD: математический практикум. - М., «Финансы и статистика», 1999.
Джон Г. Мэтьюз, Куртис Д. Финк. Численные методы. - М: Издательский дом «Вильямс», 2001.
...Подобные документы
Исследование вопросов построения эмпирических формул методом наименьших квадратов средствами пакета Microsoft Excel и решение данной задачи в MathCAD. Сравнительная характеристика используемых средств, оценка их эффективности и перспективы применения.
курсовая работа [471,3 K], добавлен 07.03.2015Аппроксимация экспериментальных зависимостей методом наименьших квадратов. Правило Крамера. Графическое отображение точек экспериментальных данных. Аномалии и допустимые значения исходных данных. Листинг программы на С++. Результаты выполнения задания.
курсовая работа [166,7 K], добавлен 03.02.2011Постановка задачи аппроксимации методом наименьших квадратов, выбор аппроксимирующей функции. Общая методика решения данной задачи. Рекомендации по выбору формы записи систем линейных алгебраических уравнений. Решение систем методом обратной матрицы.
курсовая работа [77,1 K], добавлен 02.06.2011Особенности метода аппроксимации табулированных функций. Рассмотрение преимуществ работы в среде математической программы Mathcad. Метод наименьших квадратов как наиболее распространенный метод аппроксимации экспериментальных данных, сферы применения.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 30.09.2012Оценка неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки, при помощи метода наименьших квадратов. Аппроксимация многочленами, обзор существующих методов аппроксимации. Математическая постановка задачи аппроксимации функции.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 12.02.2013Изучение аппроксимации таблично заданной функции методом наименьших квадратов при помощи вычислительной системы Mathcad. Исходные данные и функция, вычисляющая матрицу коэффициентов систему уравнений. Выполнение вычислений для разных порядков полинома.
лабораторная работа [166,4 K], добавлен 13.04.2016Непрерывная и точечная аппроксимация. Интерполяционные полиномы Лагранжа и Ньютона. Погрешность глобальной интерполяции, квадратичная зависимость. Метод наименьших квадратов. Подбор эмпирических формул. Кусочно-постоянная и кусочно-линейная интерполяции.
курсовая работа [434,5 K], добавлен 14.03.2014Вероятностное обоснование метода наименьших квадратов как наилучшей оценки. Прямая и обратная регрессии. Общая линейная модель. Многофакторные модели. Доверительные интервалы для оценок метода наименьших квадратов. Определение минимума невязки.
реферат [383,7 K], добавлен 19.08.2015Аппроксимация функций методом наименьших квадратов. Описание программного средства: спецификация переменных, процедур и функций, схемы алгоритмов. Реализация расчетов в системе Mathcad. Порядок составления графика в данной среде программирования.
курсовая работа [808,9 K], добавлен 09.05.2011Интерполяция (частный случай аппроксимации). Аппроксимация функцией. Метод наименьших квадратов. Из курса математики известны 3 способа задания функциональных зависимостей: аналитический, графический, табличный.
реферат [70,4 K], добавлен 26.05.2006Преобразование коэффициентов полиномов Чебышева. Функции, применяемые в численном анализе. Интерполяция многочленами, метод аппроксимации - сплайн-аппроксимация, ее отличия от полиномиальной аппроксимации Лагранжем и Ньютоном. Метод наименьших квадратов.
реферат [21,5 K], добавлен 27.01.2011Аппроксимация и теория приближений, применение метода наименьших квадратов для оценки характера приближения. Квадратичное приближение таблично заданной функции по дискретной норме Гаусса. Интегральное приближение функции, которая задана аналитически.
реферат [82,0 K], добавлен 05.09.2010Основные задачи регрессионного анализа в математической статистике. Вычисление дисперсии параметров уравнения регрессии и дисперсии прогнозирования эндогенной переменной. Установление зависимости между переменными. Применение метода наименьших квадратов.
презентация [100,3 K], добавлен 16.12.2014Аппроксимация функции y = f(x) линейной функцией y = a1 + a2x. Логарифмирование заданных значений. Расчет коэффициентов корреляции и детерминированности. Построение графика зависимости и линии тренда. Числовые характеристики коэффициентов уравнения.
курсовая работа [954,7 K], добавлен 10.01.2015Разделенные разности и аппроксимация функций методом наименьших квадратов. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона. Экспериментальные данные функциональной зависимости. Система уравнений для полинома. Графики аппроксимирующих многочленов.
реферат [139,0 K], добавлен 26.07.2009Исследование точности прогнозирования случайного процесса с использованием метода наименьших квадратов. Анализ расхождения между трендом и прогнозом, последующая оценка близости распределения расхождений наблюдений и распределения сгенерированного шума.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 29.01.2010Вычисление приближенных величин и погрешностей. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений, интерполяция функций и методы численного интегрирования. Применение метода наименьших квадратов к построению эмпирических функциональных зависимостей.
курсовая работа [378,5 K], добавлен 08.01.2013Определение годовых издержек пополнения и хранения запасов, приращения и дифференциала заданной функции, ее абсолютного и относительного отклонение. Выведение нормальных уравнений методом наименьших квадратов и формул Крамера для линейной функции.
контрольная работа [277,4 K], добавлен 29.01.2010Определение частных производных первого и второго порядков заданной функции, эластичности спроса, основываясь на свойствах функции спроса. Выравнивание данных по прямой методом наименьших квадратов. Расчет параметров уравнения линейной парной регрессии.
контрольная работа [99,4 K], добавлен 22.07.2009Построение теоретико-вероятностной модели исследуемого явления случайной величины математическими выводами. Реализация выборки статистической моделью, описывающей серию опытов. Точечная (выборочная) оценка неизвестного параметра и кривая регрессии.
курсовая работа [311,7 K], добавлен 10.04.2011
