Оценка математического ожидания случайной величины x

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия» «СибАДИ»

Контрольная работа

по дисциплине «Прикладная математика»

Выполнил: Косарев Д.В.

Проверил: Карасёва Р.Б.

Сургут 2014

Задание 1.

математический среднеквадратический дисперсия интервал

1. Составить статистический ряд

2. Составить гистограмму (многоугольник распределения относительных частот)

3. Найти оценки математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения случайной величины x

4. Выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины x

5. Проверить гипотезу о законе распределения по критерию Пирсона

6. Найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии

0,79	1,07	13,50	11,87	19,44	5,51	6,07	3,15	6,48	13,47
9,04	5,35	1,86	2,15	16,78	4,32	10,64	22,28	2,51	7,92
0,35	3,26	4,13	13,83	4,90	1,38	0,28	1,34	5,46	4,26
2,30	1,63	1,69	0,89	4,18	17,80	9,56	0,53	3,19	15,97
1,88	7,90	2,97	0,10	5,65	7,72	2,67	6,85	2,38	7,21
1,14	0,31	0,63	10,85	7,11	4,41	5,89	15,19	1,74	2,72
2,96	0,81	10,51	7,99	9,21	6,85	0,46	4,28	1,80	1,36
1,18	4,59	9,65	1,03	1,04	1,15	2,09	2,99	0,92	5,62
8,99	8,19	1,77	6,30	1,26	9,36	2,23	11,53	11,80	3,89
2,07	18,83	7,80	0,28	9,23	5,06	0,15	0,99	3,77	5,57

Решение

1. Составить статистический ряд

Зададим статистическое распределение в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот:

· назначаем нижнюю границу а и верхнюю границу b для вариант так, чтобы отрезок [a; b] вместил всю выборку

В нашем случае положим а=0, b=24

· определим количество групп по формуле Стерджесса

где n=100 объём выборки

· рассчитаем длину интервалов группирования

· найдём минимальное и максимальное значения случайной величины

,

В интервал включают значения случайной величины, большие или равные нижней границе и меньшие верхней границы. При этом правая граница последнего интервала тоже включается.

В каждом из частичных интервалах в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал, т.е. частоту m_i.

Найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки.

Получаем сгруппированный ряд:



x	0…3	3…6	6…9	9…12	12…15	15…18	18…21	21…24
	43	21	14	12	3	4	2	1
	0,43	0,21	0,14	0,12	0,03	0,04	0,02	0,01

2. Составим гистограмму

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению (плотность относительной частоты).

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии .

В прямоугольной системе координат точки () соединяем отрезками прямых линий. Полученная фигура и будет являться многоугольником распределения.

3. Найдём оценки математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения случайной величины x.

Найдём середины выбранных интервалов:



	1,5	4,5	7,5	10,5	13,5	16,5	19,5	22,5
	43	21	14	12	3	4	2	1

Выборочное математическое ожидание (выборочное среднее) показывает среднее значение выборки:

Выборочная дисперсия характеризует разброс (рассеивание) значений вариант х_i от выборочного среднего значения .

Исправленная выборочная дисперсия:

Выборочным средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из выборочной дисперсии (средняя ошибка выборки):

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 5,58 в среднем на 4,87.

Исправленное среднее квадратичное отклонение:

4. Выдвинем гипотезу о законе распределения случайной величины x.

По внешнему виду гистограммы выдвинем нулевую гипотезу, что распределение случайной величины подчиняется показательному закону

который зависит только от одного параметра

5. Проверим выдвинутую гипотезу о законе распределения случайной величины по критерию Пирсона.

Критерий Пирсона применяют для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения предполагаемому теоретическому распределению при большом объёме выборки.

Запишем теоретический закон распределения в виде функции плотности вероятности с учётом, что

По формуле вероятности попадания случайной величины в заданный интервал [a; b]

найдём теоретические вероятности попадания случайной величины x в каждый их восьми интервалов и сравним их с соответствующими статистическими частотами .

Для удобства сравнения запишем результаты вычислений в таблицу:

	0…3	3…6	6…9	9…12	12…15	15…18	18…21	21…24
	0,43	0,21	0,14	0,12	0,03	0,04	0,02	0,01
	0,42	0,24	0,14	0,09	0,04	0,03	0,02	0,01

Из сравнения видно, что расхождение между опытными частотами и теоретическими вероятностями незначительны. Следовательно, вполне допустима гипотеза о показательном законе распределения случайной величины x.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы применим случайную величину:

Нулевую гипотезу о соответствии выборочного распределения теоретическому закону проверяем путём сравнения вычисленной случайной величины с критическим значением , которое найдём по таблице значений для степени свободы (l - количество параметров, оцениваемых по данной выборке), где - принятый уровень значимости.

Если выполняется неравенство , то нулевую гипотезу не отвергают.

В нашем случае , а значит условие неравенства приведённого выше выполняется (1,98, что даёт нам основание согласится с нулевой гипотезой о показательном законе распределения случайной величины.

4. Найдём доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.

Для оценки математического ожидания случайной величины x при известном среднем квадратическом отклонении S служит доверительный интервал

где - точность оценки, а t - аргумент функции Лапласа, при котором , где в качестве доверительной вероятности г выбирают г = 0,9; 0,95; 0,99

Так по таблице значений находим, что t=1,96 (для г = 0,95), тогда

Таким образом , и можно утверждать, что с вероятностью г = 0,95 математическое ожидание генеральной совокупности окажется внутри найденного интервала.

Доверительный интервал для дисперсии можно найти по формуле:



где , - квантили распределения , определяемые из таблиц.

В нашем случае ;

Тогда мы получаем интервал

Задание 2.

1(5) Число возможных способов, которыми можно из 6 учебников извлечь 2 равно…

Размещением из n элементов по k называют любое упорядоченное подмножество из k элементов множества, состоящего из n элементов.

n=6, k=2

Ответ: 30 способов.

2(10) Из ящика, где находятся 15 деталей, пронумерованных от 1 до 15, требуется вынуть 3 детали. Тогда количество всевозможных комбинаций номеров вынутых деталей равно…

Сочетаниями из n элементов по k называются такие размещения, которые одно от другого отличаются хотя бы одним элементом.



n=15, k=3

Ответ: комбинаций.

3(15) В квадрат со стороной 11 брошена точка.

Тогда вероятность того, что она попадёт в выделенную область, равна…

Так как площадь квадрата , а площадь вписанного треугольника (выделенной области)

вероятность попадания в выделенную область будет равна

Ответ:

4(20) Вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет 1, или 2, или 6 очков равна…

Пусть события A выпадение 1, событие B выпадение 2 и событие C выпадение 6, тогда

Ответ:

5(25) В урне лежат 5 белых и 3 чёрных шара. Из урны вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что один шар будет белый, а три чёрные.

Общее число равновозможных исходов, которыми можно вынуть 4 шара, равно . Подсчитаем число благоприятствующих исходов: для выбора белого шара , для чёрных шаров . Тогда

Ответ:

6(30) По оценкам экспертов вероятность банкротства для двух предприятий, производящих разнотипную продукцию, равна 0,3 и 0,25. Тогда вероятность банкротства обоих предприятий равна…

Пусть событие A банкротство первого предприятия, и событие B банкротство второго предприятия, тогда

Ответ: 0,625

7(35) Событие А может наступить только при появлении одного из двух несовместных событий B₁ и B₂, образующих полную группу событий. Известны вероятность и условные вероятности и . Найти P(A).

Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

По определению условной вероятности

тогда

8(40) Было застраховано 1800 автомобилей. Считается, что каждый из автомобилей может попасть в аварию с вероятностью 0,07. Для вычисления вероятности того, что число аварий среди застрахованных автомобилей не превзойдёт 130 нужно использовать…

Интегральная теорема Муавра-Лапласа позволяет при большом количестве испытаний находить приближенное значение вероятности в случаях, когда задан диапазон возможного количества появлений события.

Ответ: Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

9(45) Дискретная случайная величина задана законом распределения

X	-1	0	5
P	0,1	0,3	0,6

Тогда математическое ожидание случайной величины равно…

Для случайной величины Y запишем

Y	-4	0	20
P	0,1	0,3	0,6

Тогда

Размещено на Allbest.ru

...