Основные понятия и определения теории множеств
Способы задания и операции над множествами. Основные тождества алгебры и проекция вектора. Свойства сложения и умножения (коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность). Операции над соответствиями. Диагональные элементы матрицы и линейные операции.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 13.05.2014 |
| Размер файла | 382,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
1.
1. Основные понятия и определения теории множеств
Понятие множества является исходным не определяемым строго понятием
Под многообразием или множеством я понимаю вообще все многое, которое возможно мыслить как единое, т.е. такую совокупность определенных элементов, которая посредством одного закона может быть соединена в одно целое.(С)
Множество можно рассматривать как совокупность определенных различаемых объектов, причем таких, что для каждого можно установить, принадлежит этот объект данному множеству или нет. Эти объекты, или элементы множества, считаются отличимыми друг от друга и от объектов, не входящих в данное множество.
2. Способы задания множеств
Два множества А и В считаются равными, если любой элемент х множества А является элементом множества В и наоборот. Из приведенного определения равных множеств следует, что множество полностью определяется своими элементами.
Способы задания конкретных множеств. Для конечного множества, число элементов которого относительно невелико, может быть использован способ непосредственного перечисления элементов. Элементы конечного множества перечисляют в фигурных скобках в произвольном фиксированном порядке \{1;3;5\}. Подчеркнем, что поскольку множество полностью определено своими элементами, то при задании конечного множества порядок, в котором перечислены его элементы, не имеет значения. Поэтому записи \{1;3;5\},\, \{3;1;5\},\, \{5;3;1\} и т.д. все задают одно и то же множество. Кроме того, иногда в записи множеств используют повторения элементов. Будем считать, что запись \{1;3;3;5;5\} задает то же самое множество, что и запись \{1;3;5\}.
В общем случае для конечного множества используют форму записи \{a_1,\ldots,a_n\}. Как правило, при этом избегают повторений элементов. Тогда конечное множество, заданное записью \{a_1,\ldots,a_n\}, состоит из n элементов. Его называют также n-элементным множеством.
Однако способ задания множества путем непосредственного перечисления его элементов применим в весьма узком диапазоне конечных множеств. Наиболее общим способом задания конкретных множеств является указание некоторого свойства, которым должны обладать все элементы описываемого множества, и только они.
Эта идея реализуется следующим образом. Пусть переменное x пробегает некоторое множество U, называемое универсальным множеством. Мы предполагаем, что рассматриваются только такие множества, элементы которых являются и элементами множества U. В таком случае свойство, которым обладают исключительно элементы данного множества A, может быть выражено посредством предиката P(x), выполняющегося тогда и только тогда, когда переменное x принимает произвольное значение из множества A. Иначе говоря, P(x) истинно тогда и только тогда, когда вместо x подставляется индивидная константа a\in A.
Предикат P называют в этом случае характеристическим предикатом множества A, а свойство, выражаемое с помощью этого предиката, -- характеристическим свойством или коллективизирующим свойством.
Множество, заданное через характеристический предикат, записывается в следующей форме:
A=\bigl\{x\colon~ P(x)\bigr\}. (1.1)
Например, A=\{x\in\mathbb{N}\colon\, 2x\} означает, что "A есть множество, состоящее из всех таких элементов x, что каждое из них есть четное натуральное число".
Термин "коллективизирующее свойство" мотивирован тем, что это свойство позволяет собрать разрозненные элементы в единое целое. Так, свойство, определяющее множество G (см. ниже), в буквальном смысле слова формирует некий "коллектив":
G = {х: х есть студент 2-го курса специальности ИУ5 МГТУ им. Баумана, поступивший в 1999 г.},
Если мы вернемся к канторовскому определению множества, то характеристический предикат множества и есть тот закон, посредством которого совокупность элементов соединяется в единое целое. Предикат, задающий коллективизирующее свойство, может быть тождественно ложным. Множество, определенное таким образом, не будет иметь ни одного элемента. Его называют пустым множеством и обозначают \varnothing.
В противоположность этому тождественно истинный характеристический предикат задает универсальное множество.
Обратим внимание на то, что не каждый предикат выражает какое-то коллективизирующее свойство.
3. Операции над множествами
1. Дизъюнкция : высказывание (читается: " или ") истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний и .
2. Конъюнкция : высказывание (читается: " и ") истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания и .
3. Отрицание : высказывание (читается: "не ") истинно тогда и только тогда, когда ложно.
4. Импликация : высказывание (читается: "если , то " или " влечет ") истинно тогда и только тогда, когда истинно высказывание или оба высказывания ложны.
5. Эквивалентность (или равносильность) : высказывание (читается: ", если и только если ") истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания и либо одновременно истинны, либо одновременно ложны. Любые два высказывания и , такие, что истинно , называют логически эквивалентными или равносильными.
4. Основные тождества алгебры множеств
|
Коммутативность объединения |
1'. Коммутативность пересечения |
|
|
2. Ассоциативность объединения |
2'. Ассоциативность пересечения |
|
|
3. Дистрибутивность объединения относительно пересечения |
3'. Дистрибутивность пересечения относительно объединения |
|
|
4. Законы действия с пустым и универсальным множествами |
4'. Законы действия с пустым и универсальным множествами |
|
|
5. Закон идемпотентности объединения |
5'. Закон идемпотентности пересечения
|
|
|
6. Закон де Моргана |
6'. Закон де Моргана |
|
|
7. Закон поглощения |
7'. Закон поглощения |
|
|
8. Закон склеивания |
8'. Закон склеивания |
|
|
9. Закон Порецкого |
9'. Закон Порецкого |
|
|
10. Закон двойного дополнения |
Выражение для разности:
12.
5. Векторы. Проекция вектора
Вектор-упорядоченный набор элементов. Элементы вектора называются координатами или компонентами. Число координат - длина вектора
Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и равны соответствующие координаты: и
Проекцией вектора на ось ( ) называется его i-я компонента.
Проекцией вектора на оси с номерами называется вектор длины .
6. Прямое произведение
Прямым (декартовым) произведением множеств и ( ) называется множество всех векторов , таких, что :
Множество X2 называют декартовым квадратом множества X, множество X3 называют - декартовым кубом множества X.
Декартово произведение двух множеств обладает следующими свойствами:
1. AЧB ? BЧA-некоммутативность
2. AЧ (BЧС) = (AЧB) ЧC= AЧBЧC - ассоциативность
3. AЧ (BC) = (AЧB) (AЧC) - дистрибутивность по объединению
4. AЧ (BC) = (AЧ B) (AЧ C) - дистрибутивность по пересечению
5. AЧ (B\C) = (AЧB)\(BЧC)- дистрибутивность по разности
6. (A Ч B)(C Ч D)=(AC)Ч(BD)
Доказать теоретико-множественные тождества
Доказать следующие тождества:
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. ;
10. ;
11. ;
12. ;
13. ;
14. ;
15. ;
16. ;
17. ;
18. ;
19. ;
20. ;
Доказать, что:
1. и ;
2. и ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. .
Множества конечные и бесконечные
Множество называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов, и бесконечным -- в противоположном случае.
Мощность конечного множества А - это число его элементов.
Мощность множества обозначают |A|.
Взаимно-однознаное соответствие множеств А и В - это такое соответствие, когда каждому элементу множества А ставится в соответствие единственный элемент множества В, и каждому элементу множества В ставится в соответствие единственный элемент множества А.
Два множества называются эквивалентными, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие. Такие множества ещё называют равномощными.
Множество А является счётным, если между А и множеством натуральных чисел можно установить взаимо-однозначное соответствие.
Пример.
Множества целых и рациональных чисел являются счётными.
Множество называется не более чем счётным, если оно конечно или счётно.
Множество называется несчётным, если оно бесконечно и не является счётным.
Множество [0, 1] и любое эквивалентное ему множество называются континуальными.
Континуальное множество - множество, равномощное множеству действительных чисел.
Нахождение мощности объединения множеств
Мощность объединения двух множеств:
Мощность объединения трех множеств:
Сформулировать и доказать теорему о мощности прямого произведения
Пусть - конечные множества. Соответственно мощности этих множеств равны:
.
Тогда мощность прямого произведения множеств равна произведению мощностей соответствующих множеств, т.е.
.
Доказательство методом математической индукции.
Для теорема тривиально верна. Предположим, что она верна и для и докажем ее справедливость для .
По предположению
.
Возьмем любой вектор из и припишем справа элемент . Это можно сделать способом, т. е. получим различных векторов из .
Таким образом, из всех векторов приписыванием справа элемента из можно получить векторов, причем все они различны. Поэтому для теорема верна и, следовательно, верна для любых .
Следствие:
Неравенство мощностей
Операции над мощностями
Свойства сложения и умножения (коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность):
Свойства, включающие возведение в степень:
Операции над соответствиями
Так как соответствия можно считать множествами, то все операции над множествами (пересечение, объединение, разность, дополнение и т.д.) можно применить и к соответствиям.
Свойства бинарных отношений
1. Рефлексивность
Отношение R на множестве X называется рефлексивным, если для любого xX имеет место xRx, то есть, каждый элемент xX находится в отношении R к самому себе.
Все диагональные элементы матрицы равны 1; при задании отношения графом каждый элемент имеет петлю - дугу (x, x).
2. Антирефлексивность
Отношение R на множестве X называется антирефлексивным, если из x1Rx2 следует, что x1x2 .(ни один элемент xX не находится в отношении R с самим собой).
Все диагональные элементы являются нулевыми; при задании отношения графом ни один элемент не имеет петли - нет дуг вида (x,x).
3. Симметричность
Отношение R на множестве X называется симметричным, если для каждой пары (x1,x2)X2 из x1Rx2 следует x2Rx1 (иначе говоря, для любой пары R выполняется либо в обе стороны, либо не выполняется вообще).
Матрица симметричного отношения является симметричной относительно главной диагонали, а в задающем графе для каждой дуги из xi в xk существует противоположно направленная дуга из xk в xi.
4. Асимметричность
Отношение R называется асимметричным, если для каждой пары (x1,x2) X2 из x1Rx2 следует, что не выполняется x2Rx1 (иначе говоря, для любой пары R выполняется либо в одну сторону, либо не выполняется вообще).
5. Антисимметричность
Отношение R называется антисимметричным, если из x1Rx2 и x2Rx1 следует, что x1=x2.
6. Транзитивность
Отношение R называется транзитивным, если для любых x1,x2,x3 из x1Rx2 из x2Rx3 следует x1Rx3.
В графе, задающем транзитивное отношение R, для всякой пары дуг таких, что конец первой совпадает с началом второй, существует третья дуга, имеющая общее начало с первой и общий конец со второй.
7. Антитранзитивность
Отношение R называется антитранзитивным, если для любых x1,x2,x3 из x1Rx2 и x2Rx3 следует, что x1Rx3 не выполняется.
8. Связность
Отношение R называется связным, если любой пары x1x2 R выполняется хотя бы в одну сторону (из x1Rx2 или x2Rx1)
Типы отношений
Отношение эквивалентности
Бинарное отношение называется отношением эквивалентности (обозначается ), если оно
1) рефлексивно;
2) симметрично;
3) транзитивно.
Отношение порядка
Бинарное отношение называется отношением частичного порядка (обозначается ), если оно
1) рефлексивно;
2) антисимметрично;
3) транзитивно.
Отношение строгого порядка
Бинарное отношение называется отношением строгого порядка (обозначается <), если оно
1) антирефлексивно (если a<b, то ab)
2) асимметрично (если a<b то не верно b<a)
3) транзитивно (если a<b и b<c, то a<c).
Отношение толерантности
Отношение называется отношением толерантности, если оно:
1) рефлексивно;
2) симметрично;
Отношение доминирования
Отношение называется отношением доминирования , если оно:
1) антирефлексивно;
2) асимметрично.
5. Правило суммы
Если некоторый объект A можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить (m+n) способами.
При использовании правила суммы надо следить, чтобы ни один из способов выбора объекта А не совпадал с каким-либо способом выбора объекта В. множество проекция вектор матрица
Если такие совпадения есть, правило суммы утрачивает силу, и мы получаем лишь (m + n - k) способов выбора, где k--число совпадений.
Правило произведения
Если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары (А,В) в указанном порядке можно осуществить mn способами.
При этом число способов выбора второго элемента не зависит от того, как именно выбран первый элемент.
Основные комбинаторные конфигурации
Набор элементов xi1,…, xik из множества X={x1, …, xn} называется выборкой объема k из n элементов или, иначе, (n, k)-выборкой.
Выборка называется упорядоченной, если задан порядок следования элементов в ней. Две упорядоченные выборки, различающиеся лишь порядком следования элементов, считаются различными. Если порядок следования элементов в выборке не является существенным, то такая выборка называется неупорядоченной.
Перестановкой без повторений из n элементов называется всякий упорядоченный набор из этих элементов.
Размещением без повторений из n элементов по k называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества (упорядоченная (n, k)-выборка без возвращений называется). Перестановка также является размещением из n элементов по n.
Число различных размещений (без повторений) из n элементов по k обозначается и вычисляется по формуле
Сочетанием без повторений из n по k называется неупорядоченный набор k элементов, выбранных из данных n элементов (неупорядоченная (n, k)-выборка без возвращения). Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.
Количество всех различных сочетаний (без повторений) из n элементов по k обозначают или :
Свойства сочетаний
Размещением с повторениями из n элементов по k называется упорядоченный набор из k элементов некоторого n-элементного множества, среди которых могут быть одинаковые элементы (упорядоченная (n, k)-выборка с возвращением). Число элементов каждого вида неограниченно. Число различных размещений с повторениями из n элементов по k обозначается и вычисляется по формуле
Перестановки с повторениями
Перестановками с повторениями из n элементов по k называется упорядоченное подмножество из k элементов n-элементного множества, в которой каждый элемент множества встречается ki раз (причем, k1+k2+...+kn=k). Число перестановок с повторениями обозначается
Сочетаниями с повторениями из n элементов по k называются неупорядоченные подмножества k элементов, выбранных из данных n элементов, среди которых могут быть одинаковые элементы, и которые отличаются они хотя бы одним элементом (неупорядоченная (n, k)-выборка с возвращением). Число элементов каждого вида неограниченно.
Число различных сочетаний с повторениями из n элементов по k обозначается и вычисляется по формуле
Размещением с повторениями из n элементов по k называется упорядоченный набор из k элементов некоторого n-элементного множества, среди которых могут быть одинаковые элементы (упорядоченная (n, k)-выборка с возвращением). Число элементов каждого вида неограниченно. Число различных размещений с повторениями из n элементов по k обозначается и вычисляется по формуле
Перестановки с повторениями
Перестановками с повторениями из n элементов по k называется упорядоченное подмножество из k элементов n-элементного множества, в которой каждый элемент множества встречается ki раз (причем, k1+k2+...+kn=k). Число перестановок с повторениями обозначается
Сочетаниями с повторениями из n элементов по k называются неупорядоченные подмножества k элементов, выбранных из данных n элементов, среди которых могут быть одинаковые элементы, и которые отличаются они хотя бы одним элементом (неупорядоченная (n, k)-выборка с возвращением). Число элементов каждого вида неограниченно.
Число различных сочетаний с повторениями из n элементов по k обозначается и вычисляется по формуле
Бином Ньютона
Бином Ньютона - это формула, выражающая выражение в виде многочлена. Эта формула имеет вид:
где число сочетаний из n элементов по k.
Широко известные формулы сокращённого умножения квадрата суммы и разности, куба суммы и разности, являются частными случаями бинома Ньютона. Если степень n бинома Ньютона невысока, коэффициенты многочлена могут быть найдены не расчётом по формуле количества сочетаний, а с помощью так называемого треугольника Паскаля.
Треугольник Паскаля имеет вид:
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
Формула бинома Ньютона может быть обобщена для произвольного числа слагаемых:
, где
Формула включений и исключений
Формула включений-исключений (или принцип включений-исключений) -- комбинаторная формула, позволяющая определить мощность объединения конечного числа конечных множеств, которые в общем случае могут пересекаться друг с другом. В теории вероятностей аналог принципа включений-исключений известен как формула Пуанкаре[1].
Например, в случае двух множеств формула включений-исключений имеет вид:
В сумме элементы пересечения учтены дважды, и чтобы компенсировать это мы вычитаем из правой части формулы. Справедливость этого рассуждения видна из диаграммы Эйлера-Венна для двух множеств, приведенной на рисунке справа.
Таким же образом и в случае множеств процесс нахождения количества элементов объединения состоит во включении всего, затем исключении лишнего, затем включении ошибочно исключенного и так далее, то есть в попеременном включении и исключении
Метод рекуррентных отношений
Основная идея метода заключается в том, что некоторые определители можно свести к вычислению определителей, имеющих аналогичный вид, но меньший порядок. Если удается установить вид этой зависимости в виде явной формулы, то эта формула -- последовательным ее применением -- позволит нам «спуститься» к определителям малых порядков.
Производящие функции
Производящей функцией последовательности
a0,a1,a2,… (1.1)
называют формальный степенной ряд вида
(1.2)
Часто бывает удобно рассматривать ряд вида
, (1.3)
который называется экспоненциальной производящей функцией последовательности a0,a1,a2,…
Числа an и называются коэффициентами ряда (1.2) и ряда (1.3) соответственно.
Линейные операции
наиболее часто встречающиеся операции над числовыми последовательностями
Если
то
Сдвиг начала
Вправо
Если
то
влево
Если
то
Изменение масштаба
Если
то
Подобие
Если
то
Свёртка
Если
то
Метод ветвей и границ
В основе метода ветвей и границ лежит идея последовательного разбиения множества допустимых решений на подмножества (стратегия “разделяй и властвуй”). На каждом шаге метода элементы разбиения подвергаются проверке для выяснения, содержит данное подмножество оптимальное решение или нет. Проверка осуществляется посредством вычисления оценки снизу для целевой функции на данном подмножестве. Если оценка снизу не меньше рекорда -- наилучшего из найденных решений, то подмножество может быть отброшено. Проверяемое подмножество может быть отброшено еще и в том случае, когда в нем удается найти наилучшее решение. Если значение целевой функции на найденном решении меньше рекорда, то происходит смена рекорда. По окончанию работы алгоритма рекорд является результатом его работы.
Если удается отбросить все элементы разбиения, то рекорд -- оптимальное решение задачи. В противном случае, из неотброшенных подмножеств выбирается наиболее перспективное (например, с наименьшим значением нижней оценки), и оно подвергается разбиению. Новые подмножества вновь подвергаются проверке и т.д.
Вычисление нижней границы является важнейшим элементом данной схемы. Для простейшей задачи размещения один из способов ее построения состоит в следующем.
Запишем исходную задачу в терминах целочисленного линейного программирования.
Введем следующие переменные:
С использованием введенных обозначений простейшая задача размещения записывается следующим образом
yi іxij, i ОI, j ОJ,
xij, yi , yi О {0, 1}, iОI, jОJ.
Двойственная задача линейного программирования имеет вид:
vj Ј gij + wij, iОI, jОJ,
wij і 0, iОI, jОJ.
Приближенное решение двойственной задачи используется в качестве нижней оценки.
Для сокращения размерности задачи применяется так называемый блок предварительной отбраковки. Он основан на применении условий дополняющей нежесткости для задач линейного программирования
Если для оптимального решения двойственной задачи выражение в скобках положительно для некоторого iОI , то “скорее всего” в исходной целочисленной задаче yi = 0, и размерность можно уменьшить. Понятно, что данный эвристический прием не всегда приводит к правильному решению. Поэтому в качестве порога лучше брать не 0, а некоторую величину d і0, выбор которой зависит от исходных данных. Эту величину называют порогом отбраковки. Очевидно, что при d і max ci, размерность задачи не сокращается.
Другой способ уменьшения трудоемкости алгоритма состоит в искусственном завышении нижней оценки. Предположим, что нас интересует не только оптимальное решение, но и приближенные решения с относительной погрешностью не более e. Тогда завышение нижней оценки в (1 + e ) раз приводит к желаемому результату.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие матрицы и линейные действия над ними. Свойства операции сложения матриц. Определители второго и третьего порядков. Применение правила Саррюса. Основные методы решения определителей. Элементарные преобразования матрицы. Свойства обратной матрицы.
учебное пособие [223,0 K], добавлен 04.03.2010Определение понятия множеств Г. Кантора, их примеры и обозначения. Способы задания, включение и равенство множеств, операции над ними: объединение, пересечения, разность, дополнение, их определение и наглядное представление на диаграмме Эйлера-Венна.
реферат [70,9 K], добавлен 11.03.2009Основные операции над матрицами и их свойства. Произведение матриц или перемножение матриц. Блочные матрицы. Понятие определителя. Панель инструментов Матрицы. Транспонирование. Умножение. Определитель квадратной матрицы. Модуль вектора.
реферат [109,2 K], добавлен 06.04.2003Понятие множества, его трактование Георгом Кантором. Условные обозначения множеств. Виды множеств, способы их задания. Операции над множествами (пересечение, объединение, разность и дополнение), условия их равенства и основные свойства, отношения.
презентация [1,2 M], добавлен 12.12.2012Сущность теории множеств и особенности ее практического применения. Операции над множествами и их главные закономерности. Порядок нахождения области определения функции, участков ее возрастания и убывания. Определение вероятности исследуемого действия.
контрольная работа [46,5 K], добавлен 02.12.2011Линейные операции над матрицами. Умножение и вычисление произведения матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду и вычисление ранга матрицы. Вычисление обратной матрицы и определителя матрицы, а также решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
учебное пособие [658,4 K], добавлен 26.01.2009Множеством именуется некоторая совокупность элементов, объединенных по какому-либо признаку. Над множествами определяют операции, во многом сходные с арифметическими. Операции над множествами интерпретируют геометрически с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
реферат [15,8 K], добавлен 03.02.2009Понятие множества, его обозначения. Операции объединения, пересечения и дополнения множеств. Свойства счетных множеств. История развития представлений о числе, появление множества натуральных, рациональных и действительных чисел, операции с ними.
курсовая работа [358,3 K], добавлен 07.12.2012Особенности системы индексных обозначений. Специфика суммирования в тензорной алгебре. Главные операции в алгебре, которые называются сложением, умножением и свертыванием. Применение операции внутреннего умножения. Симметричные и антисимметричные объекты.
реферат [345,7 K], добавлен 07.12.2009Понятия множеств и их элементов, подмножеств и принадлежности. Способы задания множеств, парадокс Рассела. Количество элементов или мощность. Сравнение множеств, их объединение, пересечение, разность и дополнение. Аксиоматическая теория множеств.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 07.02.2011Предпосылки развития алгебры множеств. Основы силлогистики и соотношение между множествами. Применение и типы жергонновых отношений. Понятие пустого множества и универсума. Построение диаграмм Эйлера и обоснование законов транзитивности и контрапозиции.
контрольная работа [369,0 K], добавлен 03.09.2010Операции на графах позволяют образовывать новые графы из нескольких более простых. Операции на графах без параллельных ребер. Объединение графов. Свойства операции объединения т, которые следуют из определения операции и свойств операций на множествах.
реферат [106,0 K], добавлен 27.11.2008Система, свойства и модели комплексных чисел. Категоричность и непротиворечивость аксиоматической теории комплексных чисел. Корень четной степени из отрицательного числа. Матрицы второго порядка, действительные числа. Операции сложения и умножения матриц.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 15.06.2011Основные понятия теории графов. Степень вершины. Маршруты, цепи, циклы. Связность и свойства ориентированных и плоских графов, алгоритм их распознавания, изоморфизм. Операции над ними. Обзор способов задания графов. Эйлеровый и гамильтоновый циклы.
презентация [430,0 K], добавлен 19.11.2013Векторы и основные линейные операции над ними. Понятие о скалярной величине, сложение и вычитание. Векторное произведение: понятие, свойства, особенности определения. Пример вычисления двойного векторного произведения. Доказательство тождества Лагранжа.
контрольная работа [261,9 K], добавлен 26.11.2013Свойства операций над множествами. Формулы алгебры высказываний. Функции алгебры логики. Существенные и фиктивные переменные. Проверка правильности рассуждений. Алгебра высказываний и релейно-контактные схемы. Способы задания графа. Матрицы для графов.
учебное пособие [1,5 M], добавлен 27.10.2013Изучение свойств геометрических объектов при помощи алгебраических методов. Основные операции над векторами. Умножение вектора на отрицательное число. Скалярное произведение векторов. Нахождение угла между векторами. Нахождение координат вектора.
контрольная работа [56,3 K], добавлен 03.12.2014Элементы линейной алгебры. Виды матриц и операции над ними. Свойства определителей матрицы и их вычисление. Решение систем линейных уравнений в матричной форме, по формулам Крамера и методу Гаусса. Элементы дифференциального и интегрального исчислений.
учебное пособие [1,5 M], добавлен 06.11.2011Понятие множества и его элементов. Обозначение принадлежности элемента множеству. Конечные и бесконечные множества. Строгое и нестрогое включение. Способы задания множеств. Равенство множеств и двухсторонее включение. Диаграммы Венна для трех множеств.
презентация [564,8 K], добавлен 23.12.2013Бинарные отношения на множестве. Рефлективность, примеры рефлективности. Симметричность, транзитивность, отношение порядка. Примеры дестрибутивных и недестребутивных решеток. Основные определения и свойства теории структур. Операции над множествами.
курсовая работа [64,0 K], добавлен 04.06.2015
