Дифференциальное исчисление функции одного переменного
Применение правила Лопиталя, пример нахождения асимптоты функции. Понятие точки глобального экстремума, формула её расчета. Вычисление локального экстремума и построение эскиза графика функции, её исследование на монотонность. Дифференциальное исчисление.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 16.05.2014 |
| Размер файла | 174,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Российская федерация
Министерство образования и науки
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования «Тюменский государственный университет»
Контрольная работа
г. Тюмень, 2013г.
Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного
№ 1. Вычислить предел:
При подстановке значения x = 0 получаем неопределенность вида Поэтому воспользуемся эквивалентностью при . А затем несколько раз применим правило Лопиталя.
.
При подстановке значения x = 0 получаем неопределенность вида
Еще раз применим правило Лопиталя.
.
№ 2. Найти асимптоты функции.
.
лопиталь асимптота экстремум график
Решение:
1.) Функция неопределенна в точке .
Найдем односторонние пределы функции в точке .
,
.
Поэтому -- вертикальная асимптота графика функции.
2.) Найдем горизонтальные асимптоты.
Однако,
поэтому горизонтальных асимптот нет.
3.) Найдем наклонные асимптоты. Будем искать их в виде: .
,
.
Таким образом, наклонная асимптотой является прямая .
№ 3. Определить глобальные экстремумы при
Решение:
Область определения функции: .
Точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения в ограниченной области, называют точками абсолютного (или глобального) экстремума.
Чтобы найти глобальные экстремумы нужно вычислить значения функции в критических точках, а также наибольшие и наименьшее значения на границах отрезка.
Найдем критические точки, т.е. точки, в которых .
,
при
т.е. , или .
Но , поэтому критической не является.
Решаем уравнение , находим -- критическая точка.
Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка.
;
.
Сравниваем найденные значения. Таким образом,
;
Значит, точка является точкой глобального максимума, а точка -- точкой глобального минимума.
№ 4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции
.
Решение:
Исследуем функцию на монотонность.
Для этого найдем первую производную функции и точки, в которых (точки возможного экстремума).
при , т.е. при
-- критические точки.
Критические точки разрывают числовую прямую на интервалы: , , , .
Таким образом, при функция возрастает,
а при функция убывает.
При переходе через точку сменяет свой знак с «+» на «--», поэтому она является точкой максимума. А при переходе через точку , сменяет свой знак с «--» на «+», поэтому -- точка минимума.
Построим схематически график.
№ 5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
Решение:
Для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба найдем вторую производную функции и точки, в которых
,
,
при , -- критическая точка.
Построим вспомогательную таблицу.
|
х |
1 |
|||
|
-- |
0 |
+ |
||
|
- 1 |
При , , график функции выпуклый вверх, а при , ,
график функции выпуклый вниз.
При переходе через вторая производная меняет свой знак с «--» на «+», поэтому является точкой перегиба.
Дифференциальное исчисление функций и его приложение
№ 1. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции.
Решение:
1. Область определения .
2. Т.к. , и , то функция ни четной, ни нечетной не является. Поэтому график не симметричен относительно оси ОУ и относительно начала координат.
3. Так как , то -- точка пересечения с ОY.
при , -- точка пересечения с осью Ox.
Единственной точкой пересечения с осями координат является точка (0; -1).
4. Найдем асимптоты графика функции.
а) точек разрыва нет, поэтому вертикальных асимптот нет;
б) найдем горизонтальную асимптоту графика функции,
Так как
, т.е. горизонтальных асимптот нет.
в) найдем наклонную асимптоту графика функции, будем искать ее в виде
,
наклонных асимптот нет.
5. Найдем промежутки возрастания, убывания функции, точки экстремума.
,
при , т.е. при ,
. -- критические точки.
При функция возрастает, а при функция убывает.
При переходе через точку меняет свой знак с «+» на «--», поэтому она является точкой максимума.
При переходе через точку меняет свой знак с «--» на «+», поэтому она является точкой минимума.
6. Найдем промежутки выпуклости, вогнутости графика функции, точки перегиба.
,
при ,
-- критическая точка.
Построим вспомогательную таблицу.
|
х |
-1 |
|||
|
«--» |
0 |
«+» |
||
При график выпуклый вверх,
а при график выпуклый вниз.
7. Сделаем чертеж.
№ 2. Найти локальные экстремумы функции
Решение:
Вычислим частные производные первого передка данной функции:
.
Находим точки возможного экстремума (критические точки):
Отсюда находим:
Итак, -- критические точки.
Исследуем знак приращения в окрестностях найденных точек. Для этого вычислим частные производные второго порядка функции в этих точках.
Для :
.
Т.к. и , то точка является точкой строгого минимума.
Для :
.
Т.к. , то точка точкой экстремума не является.
Для :
.
Т.к. , то точка точкой экстремума не является.
Для :
.
Т.к. , то точка точкой экстремума не является.
Итак, точка является точкой строгого минимума.
№ 3. Определить экстремумы функции , если .
Решение:
Из уравнения связи находим . Подставив его в уравнение получаем:
Получим функцию одной переменной .
Находим точки локальных экстремумов:
,
при , т.е. при .
.
Получаем точку .
Нетрудно увидеть, что в точке функция достигает наименьшего значения.
Таким образом, .
Интегральные исчисления функции одного переменного
№ 1--3. Найти неопределенный интеграл
1) .
Решение:
1.)
где С -- const;
2.) .
Решение:
, где С -- const;
3. .
Решение:
, где С -- const.
№ 4. Вычислить
.
Решение:
№ 5. Определить длину кривой, описываемой графиком функции , .
Решение:
Сделаем чертеж.
Воспользуемся формулой:
, где .
,
.
Тогда
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного. Нахождение локальных экстремумов функции. Интегральное исчисление функции, пределы интегрирования. Практический пример определения площади плоской фигуры, ограниченной кривыми.
контрольная работа [950,4 K], добавлен 20.01.2014Основные определения и теоремы производной, дифференциала функции; техника дифференцирования. Применение производных к вычислению пределов. Исследование функции на монотонность и точки локального экстремума. Полное исследование функции, асимптоты графика.
контрольная работа [539,8 K], добавлен 20.03.2016Локальные экстремумы функции. Теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа. Достаточные условия экстремума функции. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба. Асимптоты графика функции. Схема построения графика.
курс лекций [445,7 K], добавлен 27.05.2010Нахождение асимптот функции, локальных и глобальных экстремумов. Промежутки выпуклости и точки перегиба функции. Область определения функции и точки пересечения с осями. Нахождение определенного и неопределенного интегралов. Выполнение деления с остатком.
контрольная работа [312,9 K], добавлен 26.02.2012Производные функций, заданных в явном и неявном виде. Исследование функций методами дифференциального исчисления. Точки перегиба и экстремума, градиент функции. Объем тела, образованного вращением фигуры и ограниченной графиками функций, вокруг оси.
контрольная работа [77,3 K], добавлен 11.07.2013Исследование функции, построение ее графика, используя дифференциальное исчисление. Вычисление неопределенных интегралов, используя методы интегрирования. Пределы функции. Определение области сходимости степенного ряда. Решение дифференциальных уравнений.
контрольная работа [592,7 K], добавлен 06.09.2015Дифференциальное исчисление функции одной переменной: определение предела, асимптот функций и глобальных экстремумов функций. Нахождение промежутков выпуклости и точек перегиба функции. Примеры вычисления неопределенного интеграла, площади плоской фигуры.
задача [484,3 K], добавлен 02.10.2009Задачи оптимального управления и ее разновидности. Вычислительные аспекты динамического программирования. Дифференциальное и интегральное исчисление в образах: функции, последовательности, ряды. Транспортная задача, модель-Леонтьева, задачи на повторение.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 20.06.2012Область определения функции. Очки пересечения с осями координат, промежутки знакопостоянства. Исследование функции на непрерывность. Асимптоты, определение точки экстремума и точки перегиба. Расчет области определения функций, заданных аналитически.
контрольная работа [178,7 K], добавлен 14.06.2013Область определения и свойства функции (четность, нечетность, периодичность). Точки пересечения функции с осями координат. Непрерывность функции. Характер точек разрыва. Асимптоты. Экстремумы функции. Исследование функции на монотонность. Точки перегиба.
презентация [298,3 K], добавлен 11.09.2011Элементы аналитической геометрии и линейной алгебры. Методы построения графика функции. Предел и непрерывность функции. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Определители и системы уравнений. Построение прямой и плоскости в пространстве.
методичка [1,0 M], добавлен 24.08.2009Элементы линейной алгебры. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций нескольких независимых переменных. Интеграл.
методичка [90,5 K], добавлен 02.11.2008Условия существования предела в точке. Расчет производных функции, заданной параметрически. Нахождение точки экстремума, промежутков возрастания и убывания функций, выпуклости вверх и вниз. Уравнение наклонной асимптоты. Точка локального максимума.
курсовая работа [836,0 K], добавлен 09.12.2013Определение точки экстремума для функции двух переменных. Аналог теоремы Ферма. Критические, стационарные точки. Теорема "Достаточное условие экстремума", доказательство. Схема исследования функции нескольких переменных на экстремум, практический пример.
презентация [126,2 K], добавлен 17.09.2013Теоремы, позволяющие связать значение первой производной данной функции с характером ее монотонности. Понятие экстремума функции и его значение в исследовании поведения. Интервалы выпуклости и вогнутости функции, определение ее асимптот и схема изучения.
реферат [255,0 K], добавлен 12.08.2009Нахождение экстремума функции нескольких переменных не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющему некоторому условию. Практический пример нахождения точки максимума и минимума функции. Главные особенности метода множителей Лагранжа.
презентация [112,6 K], добавлен 17.09.2013Правило нахождения точек абсолютного или глобального экстремума дифференцируемой в ограниченной области функции. Составление и решение системы уравнений, определение всех критических точек функции, сравнение наибольшего и наименьшего ее значения.
практическая работа [62,7 K], добавлен 26.04.2010Определение вертикальной, горизонтальной и наклонной асимптот графиков функций. Точки разрыва и область определения функции. Нахождение конечного предела функции. Неограниченное удаление точек графика от начала координат. Примеры нахождения асимптот.
презентация [99,6 K], добавлен 21.09.2013Развитие численных линейных методов решения задач линейного программирования. Знакомство с методами поиска целевой функции: равномерный симплекс, методы Коши, Ньютона, сопряжённого градиенты, квазиньютоновский метод. Алгоритмы нахождения экстремума.
курсовая работа [716,1 K], добавлен 12.07.2012Вычисление предела функции, не используя правило Лопиталя. Нахождение производной функции и построение ее графика. Исследование неопределенных интегралов и выполнение проверки дифференцированием. Вычисление площади фигуры, ограниченной графиками функций.
контрольная работа [317,3 K], добавлен 25.03.2014
