Принципы линейной алгебры
Определение длины ребер и угла меду ними при заданных координатах вершины пирамиды. Вычисление пределов, без использования правила Лопиталя. Вычисление производных заданных функций, а также порядок построения графика. Расчет неопределенных интегралов.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 15.05.2014 |
| Размер файла | 79,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
1. Даны координаты вершин пирамиды
А (-2; -1; 1), В (-3; -1; 5), С (-4; 0; 1), D (-2; 1; 3)
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Найти:
1) длины ребер АВ и АС
(лин. ед.)
(лин. ед.)
2) угол между ребрами АВ и АС
А ? 77° 33/
3) площадь грани АВС
(кв. ед.)
4) объем пирамиды
парал. = ;
(куб. ед.)
5) уравнение прямой АВ
АВ:,
т.е. прямая АВ принадлежит у = -1
6) уравнение плоскости АВС
-4x - 8y - z - 15 = 0 - уравнение плоскости АВС.
2. Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя
а)
б) .
Введя новую переменную или , получаем
в) . Имеем неопределенность вида . Для разрешения воспользуемся эквивалентными бесконечными малыми функциями: tg2x ~ 2x
3. Найти производные следующих функций
а)
б)
в)
.
4. Исследовать функцию и построить ее график
Исследование выполним по примерной схеме, имеющейся в учебниках и практических руководствах. График можно строить либо по ходу исследования, либо в конце исследования (рис. 2).
1) Область определения функции
2) Проверить является ли функция четной, нечетной, общего вида.
- четная функция.
3) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. Пусть х = 0, тогда у = -2.
А (0; -2) - точка пересечения с Оу. Точек пересечения с осью Ох нет.
4) Найти интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции и точки экстремума.
Найдем производную первого порядка.
Найдем критические точки первого рода и выясним знаки на полученных интервалах в окрестности критических точек.
, х = 0 - критическая точка
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Так как при переходе через точку х = 0 производная меняет знак с «+» на «?», значит х = 0 - точка максимума функции у(0) = -2.
Итак, функция возрастает на интервалах , убывает на интервалах .
5) Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба.
Вычислим производную второго порядка и найдем критические точки второго рода.
Точек перегиба нет. Следовательно, исследуем на интервалы выпуклости и вогнутости графика функции:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
По знакам видно, что - интервалы вогнутости; (-1; 1) - интервал выпуклости кривой.
6) Найти асимптоты графика функции (вертикальные, наклонные, горизонтальные).
Вертикальная асимптота может быть в точке разрыва или на границе области определения. Здесь две вертикальные асимптоты х = -1, х = 1.
- предел слева в точке х = -1;
- предел справа.
,
Наклонная асимптота вида у = kх + в. Найдем, если существуют конечные пределы и .
Здесь
Так как k = 0, следовательно, наклонной асимптоты нет.
Найдем .
у = 0 - уравнение горизонтальной асимптоты.
7) Построение графика функции.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Дополнительные точки
лопиталь интеграл координата
5. Найти неопределенные интегралы
а)
=
б)
Здесь применяется метод интегрирования по частям по формуле
Применим x = u, 75xdx = dv
в) . Этот интеграл от рациональной функции можно решить двумя способами.
Первый способ: разложим подинтегральную функцию на простейшие дроби по известному правилу, предварительно разложив знаменатель дроби на множители .
Тогда , где А, В-неопределенные коэффициенты, которые надо найти. Приведя обе части последнего равенства к общему знаменателю, найдем
.
Такое равенство отношений с одинаковыми знаменателями возможно только в случае равенства числителей, то есть (А + В) х + 3А + 2В = 1. Приравнивая коэффициенты при х в одинаковых степенях в левой и правой частях последнего равенства, получим систему уравнений:
Решение системы:
Переходим к интегрированию
Второй способ: выделим в знаменателе полный квадрат суммы
Переходим к интегрированию:
Сделаем замену , тогда
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Изучение способов нахождения пределов функций и их производных. Правило дифференцирования сложных функций. Исследование поведения функции на концах заданных промежутков. Вычисление площади фигуры при помощи интегралов. Решение дифференциальных уравнений.
контрольная работа [75,6 K], добавлен 23.10.2010Вычисление пределов функций. Нахождение производные заданных функций, решение неопределенных интегралов. Исследование функции и построение ее графика. Особенности вычисления площади фигуры, ограниченной линиями с использованием определенного интеграла.
контрольная работа [283,1 K], добавлен 01.03.2011Задания на установление заданных пределов без использования правила Лопиталя. Определение точек разрыва функции и построение ее графика. Правило вычисления производной, заданной неявно. Исследование функции методами дифференциального исчисления.
контрольная работа [570,8 K], добавлен 10.10.2011По заданным координатам пирамиды, ее основанию и высоте нахождение длины ребер и угла между ними, площадь основания и объем пирамиды, проекцию вершины на плоскость, длину высоты. Расчет угла наклона ребра к основанию пирамиды. Построение чертежа.
контрольная работа [66,3 K], добавлен 29.05.2012Вычисление пределов функций, производных функций с построением графика. Вычисление определенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Общее решение дифференциального уравнения, его частные решения. Исследование сходимости ряда.
контрольная работа [356,6 K], добавлен 17.07.2008Вычисление предела функции, не используя правило Лопиталя. Нахождение производной функции и построение ее графика. Исследование неопределенных интегралов и выполнение проверки дифференцированием. Вычисление площади фигуры, ограниченной графиками функций.
контрольная работа [317,3 K], добавлен 25.03.2014Нахождение неопределенных интегралов (с проверкой дифференцированием). Разложение подынтегральных дробей на простейшие. Вычисление определенных интегралов, представление их в виде приближенного числа. Вычисление площади фигуры, ограниченной параболой.
контрольная работа [123,7 K], добавлен 14.01.2015Условия существования предела в точке. Расчет производных функции, заданной параметрически. Нахождение точки экстремума, промежутков возрастания и убывания функций, выпуклости вверх и вниз. Уравнение наклонной асимптоты. Точка локального максимума.
курсовая работа [836,0 K], добавлен 09.12.2013Нахождение произведения для заданных множеств. Вычисление предела функции с использованием основных теорем. Раскрытие неопределенности с использованием правила Лопиталя. Нахождение производной и вычисление неопределенного интеграла методом подстановки.
контрольная работа [260,0 K], добавлен 02.02.2011Понятие и назначение интегралов, их классификация и разновидности. Вычисление интегралов от тригонометрических функций: методика, основные этапы, используемые инструменты. Интегралы, зависящие от параметра, их отличительные особенности и вычисление.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 19.09.2011Вычисление скалярного и векторного произведений векторов, заданных в прямоугольной декартовой системе координат. Расчет длины ребра пирамиды по координатам ее вершин. Поиск координат симметричной точки. Определение типа линии, описываемой уравнением.
контрольная работа [892,1 K], добавлен 12.05.2016Определение корня первого и второго многочлена, вычисление предела функции. Применение правила Лопиталя (предел отношения функций равен пределу отношения их производных). Пример использования замечательного предела, который применяется в виде равенства.
контрольная работа [95,5 K], добавлен 19.03.2015Вычисление пределов и устранение неопределенности. Поиск производных функций. Вычисление приближенного значения 8.051/3. Определение полного дифференциала функции z=3sin(2x+3y). Формула интегрирования по частям. Решение линейного однородного уравнения.
контрольная работа [439,6 K], добавлен 25.03.2014Расчет неопределенных интегралов по частям и по формуле Ньютона-Лейбница. Вычисление несобственного интеграла или доказательство его расходимости. Расчет площади фигуры, ограниченной кардиоидой. Расстановка пределов двумя альтернативными способами.
контрольная работа [251,2 K], добавлен 28.03.2014Определение предела последовательности. Понятие производной и правила дифференцирования. Теоремы Роля, Лангража, правило Лапиталя. Исследования графиков функций. Таблица неопределенных и вычисление определенных интегралов. Функции нескольких переменных.
презентация [917,8 K], добавлен 17.03.2010Определение производной, понятие интеграла и определение предела функции. Дифференцирование и применение производной к решению задач. Исследование функции, вычисление интегралов и доказательство неравенств. Порядок вычисления пределов, Правило Лопиталя.
курсовая работа [612,2 K], добавлен 01.06.2014Линейные операции над матрицами. Умножение и вычисление произведения матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду и вычисление ранга матрицы. Вычисление обратной матрицы и определителя матрицы, а также решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
учебное пособие [658,4 K], добавлен 26.01.2009Вычисление и исследование предела и производной функции, построение графиков. Вычисление неопределенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Нахождение решения дифференциального уравнения и построение графиков частных решений.
контрольная работа [153,6 K], добавлен 19.01.2010Нахождение производных заданной функции. Частные производные первого и второго порядка. Вычисление неопределенных интегралов. Решение задачи комбинаторики. Расчет коэффициентов прямых материальных затрат с помощью межотраслевого балансового метода.
контрольная работа [359,1 K], добавлен 15.04.2013Использование формулы Тейлора для разложения основных элементарных функций в степенной ряд. Сущность форм Лагранжа и Пеано, примеры вычисление пределов функций. Особенности использования принципа разложения в ряд на ЭВМ в режиме реального времени.
курсовая работа [107,1 K], добавлен 29.04.2011
