Асимптотическое разложение фундаментальной матрицы (для нестационарных систем)
Расчет старших коэффициентов и построение разложения в асимптотический ряд фундаментальной матрицы для линейной сингулярно возмущенной динамической системы в случае нестационарной матрицы коэффициентов. Особенности применения метода пограничных функций.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 17.05.2014 |
| Размер файла | 312,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://allbest.ru
Министерство образования Республики Беларусь
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Факультет прикладной математики и информатики
Кафедра методов оптимального управления
Курсовая работа
Асимптотическое разложение фундаментальной матрицы (для нестационарных систем)
Студента 4 курса 8 группы
Панько Александра Сергеевича
Минск 2014
ВВЕДЕНИЕ
Численное решение задач оптимального управления предполагает неоднократное интегрирование прямой и сопряженной систем. Заметим, что в случае сингулярно возмущенных динамических систем наличие переменных, с существенно различными скоростями изменения значительно усложняет их численное интегрирование. В связи с этим возрастает роль асимптотических методов. При их применение происходит декомпозиция исходной задачи на задачи меньшей размерности.
В этом курсовом проекте применялся метод пограничных функций в случае нестационарной матрицы коэффициентов. С помощью него можно построить асимптотическое разложение (ряд, асимптотику) решения сингулярно возмущенной системы.
сингулярный матрица пограничный асимптотический
1. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПОГРАНИЧНЫХ ФУНКЦИЙ
Рассмотрим линейную сингулярно возмущенную систему управления с нестационарной матрицей коэффициентов:
(1)
Где м - малый положительный параметр, y - n-вектор, z - m-вектор, а остальные элементы задачи имеют соответствующие размеры.
Введем в рассмотрение следующие обозначения:
Тогда систему (1) можно записать в таком виде:
(2)
Фундаментальная матрица системы является решением следующего дифференциального уравнения:
(3)
Представим ее в блочном виде:
(4)
где матрицы размеров nЧn, nЧm, mЧn, mЧm соответственно.
Эти матрицы могут быть разложены в асимптотические ряды с помощью метода пограничных функций:
(5)
где
Распишем систему (3) для фундаментальной матрицы с учетом ее блочного представления (4) и блочного представления матрицы A(t,):
(6)
(7)
Итак получаем:
Отсюда, подставляя в дифференциальное уравнение для каждой функции ее разложение в асимптотический ряд (5) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях м, получим соотношения для искомых коэффициентов. Отдельно приравниваются коэффициенты, зависящие от t, и коэффициенты, содержащие пограничные члены и зависящие от s, с учетом того, что таккже поступаем и для момента времени t=T и, как следствие, s=0, то есть на правом конце траектории.
Теперь приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях отдельно для t и s, получим:
И условие на правом конце:
Как и в предыдущем случае получаем соотношения для коэффициентов:
Условие на правом конце:
Итак, целью является составление задач Коши для старших коэффициентов, решая которые, мы и найдем их.
,
?,
.
Тогда для получим такую задачу Коши.
Из уравнений находим:
.
Тогда
,
где есть решение такой задачи:
.
Аналогично как и для , получаем , а следовательно и , и . Отсюда также получаем
,
.
На данный момент уже имеется задача Коши для :
Обозначим ее решение за
Далее из того, что
и
Таким образом:
,
.
Для имеется дифференциальное уравнение
,
но нет начального условия.
При нахождении этого условия воспользуемся тем, что пограничные члены стремятся к нулю при .
Это обусловлено тем, что они должны корректировать решение в левой окрестности нуля, а вне этой окрестности должны быть близки к нулю при малых м.
Устремив , получим:
,
.
Рассмотрим задачу Коши для :
Таким образом получили, что
.
А так как
,
.
Тогда получаем задачу Коши для :
.
И задача Коши для
.
И тогда
.
.
,
.
Получили задачу Коши для :
.
Построим задачу для :
,
,
Получаем:
.
Теперь определены дифференциальные уравнения для и :
,
.
Для того, чтобы построить задачи Коши для этих пограничных членов, осталось найти начальные условия.
Устремив , получим:
.
Таким образом получили задачу:
.
.
Устремив , получим
.
Тогда имеем:
,
где определяется из соответствующей задачи.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе:
· Был применен метод пограничных функций.
· С помощью этого метода было построено разложение фундаментальной матрицы сингулярно возмущенной системы в случае нестационарной матрицы коэффициентов в асимптотический ряд.
· Были получены системы для нахождения старших коэффициентов этого разложения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Калинин А.И. Асимптотические методы оптимизации возмущенных динамических систем. Мн., 2000. - 183c.
2. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М., 1973. - 272с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Поиск собственных чисел и построение фундаментальной системы решений. Исследование зависимости жордановой формы матрицы А от свойств матрицы системы. Построение фундаментальной матрицы решений методом Эйлера, решение задачи Коши и построение графиков.
курсовая работа [354,7 K], добавлен 14.10.2010Линейные операции над матрицами. Умножение и вычисление произведения матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду и вычисление ранга матрицы. Вычисление обратной матрицы и определителя матрицы, а также решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
учебное пособие [658,4 K], добавлен 26.01.2009Понятие обратной матрицы. Пошаговое определение обратной матрицы: проверка существования квадратной и обратной матрицы, расчет определителя и алгебраического дополнения, получение единичной матрицы. Пример расчета обратной матрицы согласно алгоритма.
презентация [54,8 K], добавлен 21.09.2013Вычисление и построение матрицы алгебраических дополнений. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса. Определение главной и проверка обратной матрицы. Аналитическая геометрия на плоскости.
контрольная работа [126,9 K], добавлен 20.04.2016Основные правила решения системы заданных уравнений методом Гаусса с минимизацией невязки и методом простых итераций. Понятие исходной матрицы; нахождение определителя для матрицы коэффициентов. Пример составления блок-схемы метода минимизации невязок.
лабораторная работа [264,1 K], добавлен 24.09.2014Преобразование матрицы: умножение, приведение коэффициентов на главной диагонали матрицы к 1. Решение системы уравнений методом Крамера. Определители дополнительных матриц. Определение вероятности события (теория вероятности), математическая статистика.
контрольная работа [73,5 K], добавлен 21.10.2010Метод Гаусса - последовательное исключение переменных из системы уравнений. Определение понятия расширенной матрицы. Метод Крамера, расчет определителя системы. Метод обратной матрицы. Расчет алгебраических дополнений для элементов полученной матрицы.
презентация [184,4 K], добавлен 21.09.2013Исследование и подбор матрицы, удовлетворяющей условиям заданного уравнения. Разложение функции по формуле Тейлора в окрестности точки, расчет коэффициентов. Формирование уравнения гиперболы, имеющего заданные координаты фокусов. Расчет корней уравнения.
контрольная работа [113,2 K], добавлен 16.04.2016Понятие матрицы, ее ранга, минора, использование при действиях с векторами и изучении систем линейных уравнений. Квадратная и прямоугольная матрица. Элементарные преобразования матрицы. Умножение матрицы на число. Класс диагональных матриц, определители.
реферат [102,8 K], добавлен 05.08.2009Основные операции над матрицами и их свойства. Произведение матриц или перемножение матриц. Блочные матрицы. Понятие определителя. Панель инструментов Матрицы. Транспонирование. Умножение. Определитель квадратной матрицы. Модуль вектора.
реферат [109,2 K], добавлен 06.04.2003Вид в матричной форме, определитель матрицы, алгебраического дополнения и всех элементов матрицы, транспоная матрица. Метод Крамера, правило Крамера — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с определителем основной матрицы.
задача [93,5 K], добавлен 08.11.2010Общие определения, связанные с понятием матрицы. Действия над матрицами. Определители 2-го и 3-го порядков, порядка n, порядок их вычисления и характерные свойства. Обратные матрицы и их ранг. Понятие и этапы элементарного преобразования матрицы.
лекция [30,2 K], добавлен 14.12.2010Понятие матрицы и ее основные элементы. Пример нахождения ее ранга путем приведения к ступенчатому виду. Описание действий над матрицами. Разбор умножения их на примере. Особенности алгебраического дополнения. Алгоритм определения обратной матрицы.
презентация [617,0 K], добавлен 15.09.2014Расчет показателей матрицы, ее определителя по строке и столбцу. Решение системы уравнений методом Гаусса, по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы. Вычисление предела без использования правила Лопиталя. Частные производные второго порядка функции.
контрольная работа [95,0 K], добавлен 23.02.2012Понятие матрицы и линейные действия над ними. Свойства операции сложения матриц. Определители второго и третьего порядков. Применение правила Саррюса. Основные методы решения определителей. Элементарные преобразования матрицы. Свойства обратной матрицы.
учебное пособие [223,0 K], добавлен 04.03.2010Понятие матрицы, прямоугольная матрица размера m x n - совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Численная характеристика квадратной матрицы - ее определитель. Действия над матрицами, ранг матрицы.
реферат [87,2 K], добавлен 01.08.2009Разложение определителя 4-го порядка. Проверка с помощью функции МОПРЕД() в программе Microsoft Excel. Нахождение обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Гаусса. Составление общего уравнения плоскости.
контрольная работа [138,7 K], добавлен 05.07.2015Определение матрицы, характеристика основных ее видов. Правила транспонирования матриц. Элементы матрицы-произведения. Свойства определителей, примеры нахождения. Формулировка и следствие теоремы о ранге матрицы. Доказательство теоремы Кронекера-Капелли.
реферат [60,2 K], добавлен 17.06.2014Понятие, типы и алгебра матриц. Определители квадратной матрицы и их свойства, теоремы Лапласа и аннулирования. Понятие обратной матрицы и ее единственность, алгоритм построения и свойства. Определение единичной матрицы только для квадратных матриц.
реферат [296,6 K], добавлен 12.06.2010Понятие и типы матриц. Определители (детерминанты) квадратной матрицы и их свойства. Алгебраические действия над матрицами. Теоремы Лапласа и аннулирования. Понятие и свойства обратной матрицы, алгоритм ее построения. Единственность обратной матрицы.
курс лекций [336,5 K], добавлен 27.05.2010
