Определение и свойства локального экстремума функции
Сущность основного условия для достижения функцией локального максимума в точке. Исследование достаточных критериев локального экстремума. Применение формулы Тейлора для доказательства теоремы о существовании минимума функции в стационарной точке.
| Рубрика | Математика |
| Вид | доклад |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 20.05.2014 |
| Размер файла | 103,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Размещено на http://www.allbest.ru
Функция достигает в точке локального максимума (минимума), если можно указать такое , что ее приращение в точке удовлетворяет неравенству:
,
соответственно:
По теореме Ферма, если функция достигает в точке локального экстремума и в этой точке производная существует, то она равна нулю:
.
По определению точка называется стационарной для функции , если в ней производная от существует и равна нулю .
Если задана на некотором интервале функция , и надо найти все ее точки локального экстремума, то их, очевидно, надо искать среди, во-первых, стационарных точек, т.е. таких, в которых производная существует и равна нулю и, во-вторых, среди точек, где не имеет производной, если таковые на самом деле имеются. Стационарные точки находятся из уравнения:
, (1)
которое надо решить. Конечно, не всякая стационарная точка функции есть точка локального экстремума .
Условие (1) является необходимым для того, чтобы дифференцируемая функция имела в точке локальный экстремум, но недостаточным. Например, есть стационарная точка функции , но в ней эта функция возрастает.
Очевидно также, что не всякая точка, где не имеет производной, есть точка локального экстремума .
Так или иначе, если нам уже известно, что есть стационарная точка или точка, где производная от не существует, нам нужны критерии распознавания, будет ли действительно эта точка точкой локального экстремума, а если будет, то какого - максимума или минимума.
Ниже мы приводим достаточные критерии локального экстремума.
Теорема 1. Пусть - стационарная точка функции (т.е. ) и имеет вторую непрерывную производную в окрестности . Тогда: если , то есть точка локального максимума ; если же , то есть точка локального минимума .
Доказательство. Разложим по формуле Тейлора по степеням при . Так как , то формула Тейлора функции в окрестности точки имеет вид:
. (2)
В этой формуле может быть .
Пусть . Так как производная по условию непрерывна в окрестности , то найдется такое, что:
.
Но тогда остаточный член в формуле (2):
,
что показывает, что:
.
локальный экстремум стационарный
т.е. имеет в локальный максимум.
Аналогично, если , то в некоторой окрестности и . Поэтому остаточный член формулы (2) в окрестности неотрицательный, а вместе с ним и , т. е. имеет в локальный минимум.
Теорема 2. Пусть и , и непрерывна в окрестности точки , тогда:
- если - четное и , то имеет в локальный максимум;
- если - четное и , то имеет в локальный минимум;
- если - нечетное и , то заведомо не имеет в локального экстремума.
Доказательство этой теоремы снова основано на применении формулы Тейлора. Имеем:
. (3)
В случае если - четное, рассуждаем в точности так же, как в случае формулы (2). Пусть теперь - нечетное, и пусть, как было предположено, . Вследствие непрерывности в окрестности существует интервал , на котором сохраняет знак . Если будет возрастать в окрестности слева направо, то при переходе через переменит знак, а будет сохранять один и тот же знак. Это показывает, что правая часть (4) и, следовательно, при переходе через меняет знак и экстремум в невозможен.
Теорема 3. Пусть функция непрерывна на отрезке и имеет производную отдельно на интервалах и . При этом:
, (4)
. (5)
Тогда есть точка локального максимума (минимума) функции .
Здесь не обязательно предполагается, что существует.
Доказательство. Из непрерывности на отрезке и свойства (4) следует, что не убывает (не возрастает) на этом отрезке и, следовательно:
. (6)
А из непрерывности на и свойства (5) следует:
. (7)
Но тогда из (6) и (7) следует:
,
и мы доказали теорему 3.
Теорема 3 утверждает, что если первая производная функции при переходе через точку меняет знак, то имеет в точке минимум, если знак меняется (при возрастании !) с на , и максимум, если он меняется с на . При этом не обязательно, чтобы существовала. Но требуется, чтобы была непрерывна в точке .
Теорема 4. Пусть функция удовлетворяет условиям и . Тогда в точке имеет локальный минимум (максимум).
Доказательство. Так как:
,
то на основании теоремы 2 § 3.2 в достаточно малой окрестности точки , т.е. для и для . По теореме 3 заключаем, что в точке локальный минимум. Случай исследуется аналогично.
Замечание 1. Теорема 4 содержит в себе теорему 1 как частный случай, потому что в ней не предполагается, что непрерывна в окрестности точки . Требуется лишь существование .
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Основные определения и теоремы производной, дифференциала функции; техника дифференцирования. Применение производных к вычислению пределов. Исследование функции на монотонность и точки локального экстремума. Полное исследование функции, асимптоты графика.
контрольная работа [539,8 K], добавлен 20.03.2016Условия существования предела в точке. Расчет производных функции, заданной параметрически. Нахождение точки экстремума, промежутков возрастания и убывания функций, выпуклости вверх и вниз. Уравнение наклонной асимптоты. Точка локального максимума.
курсовая работа [836,0 K], добавлен 09.12.2013Методы нахождения минимума функции одной переменной и функции многих переменных. Разработка программного обеспечения вычисления локального минимума функции Химмельблау методом покоординатного спуска. Поиск минимума функции методом золотого сечения.
курсовая работа [95,1 K], добавлен 12.10.2009Многие переменные, минимизация их функций. Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции. Условия существования экстремумов функции многих переменных. Квадратичная форма, принимающая, как положительные, так и отрицательные значения.
реферат [70,2 K], добавлен 05.09.2010Определение точки экстремума для функции двух переменных. Аналог теоремы Ферма. Критические, стационарные точки. Теорема "Достаточное условие экстремума", доказательство. Схема исследования функции нескольких переменных на экстремум, практический пример.
презентация [126,2 K], добавлен 17.09.2013Нахождение экстремума функции нескольких переменных не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющему некоторому условию. Практический пример нахождения точки максимума и минимума функции. Главные особенности метода множителей Лагранжа.
презентация [112,6 K], добавлен 17.09.2013Локальные экстремумы функции. Теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа. Достаточные условия экстремума функции. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба. Асимптоты графика функции. Схема построения графика.
курс лекций [445,7 K], добавлен 27.05.2010Нахождение частных производных по направлению вектора. Составление уравнения касательной плоскости к поверхности в заданной точке. Исследование на экстремум функции двух переменных. Определение условного максимума функции при помощи функции Лагранжа.
контрольная работа [61,5 K], добавлен 14.01.2015Теоремы, позволяющие связать значение первой производной данной функции с характером ее монотонности. Понятие экстремума функции и его значение в исследовании поведения. Интервалы выпуклости и вогнутости функции, определение ее асимптот и схема изучения.
реферат [255,0 K], добавлен 12.08.2009Определение пределов функции с помощью Mathcad. Доказать, что предел данной функции в указанной точке не существует. Построение ее графика в окрестности указанной точки. Вычисление производных функции по определению в произвольной или фиксированной точке.
лабораторная работа [718,5 K], добавлен 25.12.2011Применение второго замечательного предела для раскрытия неопределенности. Точки разрыва непрерывной функции 1-го и 2-го рода. Условия ее непрерывности в точке, интервале и на отрезке. Теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши. Обращение функции в ноль.
презентация [222,8 K], добавлен 20.03.2014Область определения функции. Очки пересечения с осями координат, промежутки знакопостоянства. Исследование функции на непрерывность. Асимптоты, определение точки экстремума и точки перегиба. Расчет области определения функций, заданных аналитически.
контрольная работа [178,7 K], добавлен 14.06.2013Общее понятие числовой последовательности. Предел функции в точке. Бесконечно большая и малая функция. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией. Признаки существования пределов. Основные теоремы о пределах: краткая характеристика.
презентация [137,0 K], добавлен 25.01.2013Масса как одна из фундаментальных физических характеристик и скалярная величина. Существующие противоречия в понятии дивергенции. Взаимосвязь локального объема и ограничивающей его поверхности с радиус-вектором из центра внутри локального объема.
статья [150,9 K], добавлен 23.12.2010Принцип максимума Понтрягина. Необходимое и достаточное условие экстремума для классической задачи на условный экстремум. Регулярная и нерегулярная задача. Поведение функции в различных ситуациях. Метод Ньютона решения задачи, свойства его сходимости.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 31.01.2014Основные свойства непрерывной функции. Теоремы о корне, промежуточном значении и об ограниченности непрерывной функции, их доказательство. Непрерывная на отрезке функция достигает максимума и минимума. Графическое представление корней уравнения.
лекция [497,0 K], добавлен 13.02.2009Теоремы дифференциального исчисления, как основа для правила Лопиталя и формулы Тейлора. Правило Лопиталя и методы раскрытия всех типов неопределенностей. Вывод формулы Тейлора и ее применение для нахождения эквивалентных функций и вычисления пределов.
курсовая работа [261,6 K], добавлен 05.09.2009Направление, задаваемое единичным вектором. Предел отношения приращения функции в направлении к величине перемещения. Скалярное произведение в координатах. Градиент функции в точке. Направление максимальной скорости изменения функции в данной точке.
презентация [91,0 K], добавлен 17.09.2013Определение предела функции в точке. Понятие односторонних пределов. Геометрический смысл предела функции при х, стремящемся в бесконечности. Основные теоремы о пределах. Вычисление пределов и раскрытие неопределенностей. Первый замечательный предел.
презентация [292,4 K], добавлен 14.11.2014Определения и параболические операторы. Принцип максимума для уравнений параболического типа. Применение принципа максимума при математическом моделировании процессов. Наличие экстремальных свойств уравнений. Решение уравнения теплопроводности.
курсовая работа [159,5 K], добавлен 22.08.2013
