Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Математический поиск пределов функций. Расчет асимптот, промежутков возрастания и убывания, максимумов и минимумов, направлений выпуклости и перегибов графика. Использование формул правил дифференцирования и таблицы производных элементарных функций.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 22.05.2014 |
| Размер файла | 152,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Контрольная работа № 2
«Дифференциальное исчисление функций одной переменной»
1. Задание I. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя
предел асимптота дифференцирование производная
1)
Неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на х7, а затем воспользуемся теоремой о том, что величина, обратная бесконечно большой есть величина бесконечно малая:
2)
Пределы числителя и знаменателя при равны нулю. Умножив числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель и затем, сократив дробь, получим:
3)
Неопределенность вида . Преобразуем числитель и знаменатель дроби, воспользовавшись эквивалентностью при , получим:
4)
Неопределенность вида . Воспользуемся формулой
:
Вычислим отдельно .
Неопределенность вида . Дифференцируя числитель и знаменатель, найдем значение предела:
Окончательно получаем:
2. Задание II. Найти производные явно заданных функций
а)
Используя формулы Правил дифференцирования, Таблицу производных элементарных функций, получим:
Используя формулы Правил дифференцирования, Таблицу производных элементарных функций, получим:
Используя формулы Правил дифференцирования, Таблицу производных элементарных функций, получим:
Выразим заданную функцию через е:
Найдем производную полученной функции, используя формулы Правил дифференцирования, Таблицу производных элементарных функций:
Произведем обратную замену функции, окончательно получим:
3. Задание III. Найти производные неявно заданных функций и функций, заданных параметрически
а)
Перенесем все слагаемые в левую часть:
Рассмотрим функцию двух переменных:
Найдем производную функции по формуле:
Найдем частные производные:
Найдем производную функции по формуле:
Найдем производную :
Найдем производную :
4. Задание IV. Для данной функции указать область определения, асимптоты, промежутки возрастания и убывания, максимумы и минимумы, направления выпуклости, перегибы. Построить график функции
а) Найдем область определения функции: функция определена, если
б) Найдем асимптоты:
· вертикальные:
Прямая х=х0 называется вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы одно из предельных значений или равно или .
Подозреваемая точка х0=0 (граница области определения).
Найдем предел функции при :
Предел функции при равен 0, следовательно, вертикальных асимптот график функции не имеет.
· горизонтальные:
Прямая у=у0 называется горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы одно из предельных значений или равно у0.
Найдем предел функции при :
Предел функции при равен , следовательно, горизонтальных асимптот график функции не имеет.
· наклонные:
Прямая
у=kx+b
называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x), если для этой функции существуют пределы
и .
Найдем предел функции :
Предел функции при равен следовательно, наклонных асимптот график функции не имеет. в) Найдем производную функции:
Определим точки, в которых производная функции равна 0:
х=е-1
Определим интервалы, на которых производная функции принимает положительные и отрицательные значения:
- при производная функции принимает отрицательные значения, значит, функция убывает на этом интервале.
- при производная функции принимает положительные значения, следовательно, функция возрастает на этом интервале.
г) Определим максимумы и минимумы функции:
В точке х=е-1 функция достигает минимума:
д) Найдем вторую производную функции:
Определим точки, в которых вторая производная функции равна 0:
Уравнение корней не имеет, следовательно, функция не имеет точек перегиба.
на всей области определения функции, следовательно, график функции направлен выпуклостью вниз.
е) Найдем нули функции:
График функции пересекает ось Х в точке (1;0).
5. Задание V. Данную функцию разложить в ряд Тейлора в указанной точке с точностью до членов третьего порядка
Если функция f(x) в некотором интервале раскладывается в степенной ряд по степеням (x-a), то это разложение единственно и задается формулой:
-
ряд Тейлора
Найдем значение функции в точке х0=1:
Найдем производные функции:
Найдем значения производных в точке х0=1:
Подставим полученные значения в формулу Тейлора:
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Дифференциальное исчисление функции одной переменной: определение предела, асимптот функций и глобальных экстремумов функций. Нахождение промежутков выпуклости и точек перегиба функции. Примеры вычисления неопределенного интеграла, площади плоской фигуры.
задача [484,3 K], добавлен 02.10.2009Условия существования предела в точке. Расчет производных функции, заданной параметрически. Нахождение точки экстремума, промежутков возрастания и убывания функций, выпуклости вверх и вниз. Уравнение наклонной асимптоты. Точка локального максимума.
курсовая работа [836,0 K], добавлен 09.12.2013Изучение способов нахождения пределов функций и их производных. Правило дифференцирования сложных функций. Исследование поведения функции на концах заданных промежутков. Вычисление площади фигуры при помощи интегралов. Решение дифференциальных уравнений.
контрольная работа [75,6 K], добавлен 23.10.2010Элементы линейной алгебры. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций нескольких независимых переменных. Интеграл.
методичка [90,5 K], добавлен 02.11.2008Нахождение пределов функций. Определение значения производных данных функций в заданной точке. Проведение исследования функций с указанием области определения и точек разрыва, экстремумов и асимптот. Построение графиков функций по полученным данным.
контрольная работа [157,0 K], добавлен 11.03.2015Обзор таблицы производных элементарных функций. Понятие промежуточного аргумента. Правила дифференцирования сложных функций. Способ изображения траектории точки в виде изменения ее проекций по осям. Дифференцирование параметрически заданной функции.
контрольная работа [238,1 K], добавлен 11.08.2009Расчет производной функции. Раскрытие неопределенности и поиск пределов. Проведение полного исследования функции и построение ее графика. Поиск интервалов возрастания, убывания и экстремумов. Решение дифференциальных уравнений. Расчет вероятности события.
контрольная работа [117,5 K], добавлен 27.08.2013Вычисление пределов функций, производных функций с построением графика. Вычисление определенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Общее решение дифференциального уравнения, его частные решения. Исследование сходимости ряда.
контрольная работа [356,6 K], добавлен 17.07.2008Нахождение производных функций. Определение наибольшего и наименьшего значения функции. Область определения функции. Определение интервалов возрастания, убывания и экстремума. Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба. Производные второго порядка.
контрольная работа [98,4 K], добавлен 07.02.2015Производные функций, заданных в явном и неявном виде. Исследование функций методами дифференциального исчисления. Точки перегиба и экстремума, градиент функции. Объем тела, образованного вращением фигуры и ограниченной графиками функций, вокруг оси.
контрольная работа [77,3 K], добавлен 11.07.2013Элементы алгебры и введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной или нескольких переменных и элементы дифференциальной геометрии. Интегральное исчисление. Числовые и функциональные ряды. Кратные и криволинейные интегралы.
дипломная работа [188,5 K], добавлен 09.03.2009Поиск участков возрастания и убывания функций, классификация экстремума. Умножение матриц АВ–1С. Теория вероятности события и случайных величин. Построение интервальной группировки данных. Решение задачи линейного программирования, построение графика.
контрольная работа [127,1 K], добавлен 11.11.2012Понятие пределов функции, нахождение ее точки экстремума, промежутков возрастания и убывания. Определенный, неопределенный и несобственный интервал. Исследование степенного ряда на сходимость на концах интервала. Решение дифференциального уравнения.
контрольная работа [116,5 K], добавлен 01.05.2012Использование формулы Тейлора для разложения основных элементарных функций в степенной ряд. Сущность форм Лагранжа и Пеано, примеры вычисление пределов функций. Особенности использования принципа разложения в ряд на ЭВМ в режиме реального времени.
курсовая работа [107,1 K], добавлен 29.04.2011Нахождение производных функций, построение графика функции с помощью методов дифференциального исчисления, нахождение точки пересечения с осями координат. Исследование функции на возрастание и убывание, нахождение интегралов, установка их расходимости.
контрольная работа [130,5 K], добавлен 09.04.2010Определение второго замечательного предела. Понятие бесконечно малых функций. Математическое описание непрерывности зависимости одной переменной величины от другой в точке. Точки разрыва функции. Свойства и непрерывность ее в интервале и на отрезке.
презентация [314,4 K], добавлен 14.11.2014Определение плоскости комплексного переменного, последовательностей комплексных чисел и пределов последовательностей. Дифференцирование функций, условия Коши, интеграл от функции. Числовые и степенные ряды, разложение функций, операционные исчисления.
курсовая работа [188,4 K], добавлен 17.11.2010Определение коэффициентов элементарных функций: линейной, показательной, степенной, гиперболической, дробно-линейной, дробно-рациональной. Использование метода наименьших квадратов. Приближённые математические модели в виде приближённых функций.
лабораторная работа [253,6 K], добавлен 05.01.2015Способы построения интерполяционных многочленов Лагранжа, основные этапы. Интерполирование функций многочленами Ньютона, способы построения графика. Постановка задачи аппроксимации функции одной переменной, предпосылки повышения точности расчетов.
презентация [204,5 K], добавлен 18.04.2013Определение вертикальной, горизонтальной и наклонной асимптот графиков функций. Точки разрыва и область определения функции. Нахождение конечного предела функции. Неограниченное удаление точек графика от начала координат. Примеры нахождения асимптот.
презентация [99,6 K], добавлен 21.09.2013
