Элементы теории вероятностей и математической статистики
Расчет количества невозвратов кредитов и квадратичного отклонения. Дисперсия и среднее квадратичное отклонение случайной величины. Построение гистограммы частот по распределению выборки. Проверка гипотезы о числовом значении математического ожидания.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 25.05.2014 |
| Размер файла | 103,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Контрольная работа
Элементы теории вероятностей и математической статистики
1. В банке, осуществляющем кредитование населения, 1000 клиентов. Каждому из них выдается кредит 500 000 рублей при условии возврата 110% этой суммы. Вероятность невозврата кредита каждым из клиентов в среднем составляет 0,01. Какая прибыль гарантирована банку с вероятностью 0,8?
Решение
Пусть независимых опытов (кредитования), в каждом из которых с вероятносьтю происходит невозврат. Тогда в соответствии с нормальным приближением, среднее количество невозвратов равно кредитов. Для случайной величины Х количество невозврашенных кредитов, среднеквадратическое отклонение равно
и случайная величина
.
Вероятность
.
Подставляя наши данные получим:
.
Откуда
.
Т.е. с вероятностью 0,8 количество невозвратов будет меньше 13, а значить прибыль как минимум
.
Ответ: .
2. Случайная величина задана плотностью распределения в интервале ; вне этого интервала . Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины
Решение
Найдем математическое ожидание по формуле:
дисперсия квадратичное отклонение гистограмма
.
М(Х)==++===.
Для вычисления дисперсии Д(Х) воспользуемся формулой
.
Вычислим :
.
Среднее квадратическое отклонение у(Х) вычисляем по формуле:
,
.
Ответ: ; .
3. Построить гистограмму частот по данному распределению выборки, найдя предварительно плотность частоты для каждого интервала ( - сумма частот вариант интервала):
|
Номер интервала |
Частичный интервал |
||
|
1 |
2 - 7 |
5 |
|
|
2 |
7 - 12 |
10 |
|
|
3 |
12 - 17 |
25 |
|
|
4 |
17 - 22 |
6 |
|
|
5 |
22 - 27 |
4 |
Решение
Построим гистограмму частот по данному распределению выборки. Объем выборки равен , интервал длины . Найдем предварительно плотность частоты для каждого интервала и заполним таблицу:
|
Номер интервала |
Частичный интервал |
Сумма частот вариант интервала |
Плотность частоты |
|
|
1 |
2 - 7 |
5 |
1 |
|
|
2 |
7 - 12 |
10 |
2 |
|
|
3 |
12 - 17 |
25 |
5 |
|
|
4 |
17 - 22 |
6 |
1,2 |
|
|
5 |
22 - 27 |
4 |
0,8 |
Построим на оси абсцисс заданные интревалы длины . Проведем над этими интревалами отрезки, параллельные оси абсцисс и находщиеся о нее на расстояниях, равных соответствующим плотностям частоты . Например, над интервалом (2,7) построим отрезок, параллельный оси абсцисс, на растоянии ; аналогично строят остальные отрезки.
3. Найти несмещенную оценку дисперсии случайной величины на основании данного распределения выборки:
|
Вариант |
Распределение |
|||||
|
176. |
0,01 |
0,04 |
0,08 |
0,14 |
||
|
19 |
28 |
31 |
22 |
Решение
Найдем выборочную среднюю по формуле
,
где - варианта выборки, - частота варианты, - объем выборки.
Несмещенную оценку дисперсии случайной величины найдем по формуле
.
Получим:
Ответ: .
5. Проверить нулевую гипотезу о том, что заданное значение является математическим ожиданием нормально распределенной случайной величины при 5% - процентном уровне значимости (а= 0,05) для двусторонней критической области, если в результате обработки выборки объема получено выборочное среднее , а несмещенное среднее квадратичное отклонение равно
|
Вариант |
||||
|
186. |
70 |
66 |
8 |
Решение
Требуется проверить гипотезу о числовом значении математического ожидания нормально распределенной случайной величины при неизвестной генеральной дисперсии. В этом случае в качестве критерия выбирают функцию
где - выборочная средняя, - математическое ожидание, S - выборочное среднее квадратичное отклонение (в табл.).
|
70 |
66 |
8 |
Случайная величина Т имеет t -распределение (распределение Стьюдента) с к = n ?1 степенями свободы.
Требуется найти критическую область для нулевой гипотезы. :
При альтернативной гипотезе H1: .
Найдем наблюдаемое значение критерия
.
По таблице критических точек распределения Стьюдента, по уровню значимости а= 0,05 и числу степеней свободы:
к = n ?1 =10 ?1 = 9
Находим критическую точку
.
Получаем что |-1,5| < 2,26.
Так как , поэтому нулевая гипотеза подтверждается.
Ответ: нулевая гипотеза подтверждается.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Определение вероятности того, что из урны взят белый шар. Нахождение математического ожидания, среднего квадратического отклонения и дисперсии случайной величины Х, построение гистограммы распределения. Определение параметров распределения Релея.
контрольная работа [91,7 K], добавлен 15.11.2011Определение вероятности наступления определенного события по законам теории вероятности. Вычисление математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения. Нахождение выборочного уравнения регрессии по данным корреляционной таблицы.
контрольная работа [212,0 K], добавлен 01.05.2010Определение вероятностей различных событий по формуле Бернулли. Составление закона распределения дискретной случайной величины, вычисление математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения случайной величины, плотностей вероятности.
контрольная работа [344,8 K], добавлен 31.10.2013Вычисление вероятностей возможных значений случайной величины по формуле Бернулли. Расчет математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения, медианы и моды. Нахождение интегральной функции, построение многоугольника распределения.
контрольная работа [162,6 K], добавлен 28.05.2012Определение вероятности для двух несовместных и достоверного событий. Закон распределения случайной величины; построение графика функции распределения. Нахождение математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения случайной величины.
контрольная работа [97,1 K], добавлен 26.02.2012Решение задач линейного программирования, построение графиков линий по точкам. Среднее время ожидания в очереди и исправленное среднее квадратичное отклонение для выборки. Корреляционный анализ связи между числом посетителей и выручкой магазина.
контрольная работа [609,0 K], добавлен 13.11.2011Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения.
контрольная работа [38,5 K], добавлен 25.03.2015Закон распределения случайной величины Х, функция распределения и формулы основных числовых характеристик: математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонение. Построение полигона частот и составление эмпирической функции распределения.
контрольная работа [36,5 K], добавлен 14.11.2010Определение вероятности определенного события. Вычисление математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично. Расчет корреляционных признаков.
контрольная работа [725,5 K], добавлен 12.02.2010Среднее арифметическое (математическое ожидание). Дисперсия и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Третий центральный момент и коэффициент асимметрии. Законы распределения. Построение гистограммы. Критерий Пирсона. Доверительный интервал.
курсовая работа [327,1 K], добавлен 29.03.2013Построение полигона относительных частот, эмпирической функции распределения, кумулянты и гистограммы. Расчет точечных оценок неизвестных числовых характеристик. Проверка гипотезы о виде распределения для простого и сгруппированного ряда распределения.
курсовая работа [216,2 K], добавлен 28.09.2011Сущность закона распределения и его практическое применение для решения статистических задач. Определение дисперсии случайной величины, математического ожидания и среднеквадратического отклонения. Особенности однофакторного дисперсионного анализа.
контрольная работа [328,2 K], добавлен 07.12.2013Дискретные случайные величины и их распределения. Формула полной вероятности и формула Байеса. Общие свойства математического ожидания. Дисперсия случайной величины. Функция распределения случайной величины. Классическое определение вероятностей.
контрольная работа [33,8 K], добавлен 13.12.2010Определение вероятности попадания в мишень по формуле Бернулли. Закон и многоугольник распределения случайной величины. Построение функции распределения, графика. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение случайной величины.
контрольная работа [86,4 K], добавлен 26.02.2012Классическое определение вероятности. Формулы сложения и умножения вероятностей. Дисперсия случайной величины. Число равновозможных событий . Матрица распределения вероятностей системы. Среднее квадратическое отклонение, доверительный интервал.
контрольная работа [89,7 K], добавлен 07.09.2010Понятия теории вероятностей и математической статистики, применение их на практике. Определение случайной величины. Виды и примеры случайных величин. Закон распределения дискретной случайной величины. Законы распределения непрерывной случайной величины.
реферат [174,7 K], добавлен 25.10.2015Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии, соответствующие вероятности. Исследование статистических характеристик случайной величины на основе выбора объема. Теоретическая и эмпирическая плотность распределения.
курсовая работа [594,4 K], добавлен 02.01.2012Функции эритроцитов в организме человека, учет изменения их количества в связи с возрастом в рамках теории вероятностей и математической статистики. Обработка исходных данных, построение диаграммы рассеивания, гистограммы признаков; проверка гипотез.
курсовая работа [1,6 M], добавлен 18.02.2012Непрерывная случайная величина и функция распределения. Математическое ожидание непрерывной случайной величины. Среднее квадратичное отклонение. Кривая распределения для непрерывной случайной величины. Понятие однофакторного дисперсионного анализа.
контрольная работа [165,5 K], добавлен 03.01.2012Длина интервала группирования. Гистограмма относительных частот. Кусочно-постоянная функция. Среднеквадратичное отклонение оценки математического ожидания случайной величины. Коэффициент корреляции. Границы доверительного интервала для ожидания.
курсовая работа [622,9 K], добавлен 18.02.2009
