Стабилизация нелинейной модели маятника
Методика составления и анализ математической модели маятника с двумя нелинейностями, ось подвеса которого можно перемещать по горизонтальной прямой. Кусочно-линейная и кусочно-постоянная аппроксимация нелинейности. Сопровождающая квадратичная задача.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.05.2014 |
| Размер файла | 59,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Введение
Проблемы демпфирования и стабилизации динамических систем [1, 2] относятся к центральным проблемам теории управления [3-5]. Классические методы решения этих проблем основаны на классических результатах теории устойчивости (метод функций Ляпунова [6], частотные методы [7] и т.п.). Многие из известных методов предполагают заданной структуру обратной связи с точностью до нескольких параметров и сводят задачу стабилизации к подбору таких значений параметров, при которых выполняются достаточные условия асимптотической устойчивости. При таком подходе, как правило, трудно учесть ограничения на стабилизирующие воздействия. Однако из-за требований практики наличие таких ограничений стало характерным для современных постановок задач. В связи с этим с начала последнего десятилетия XX века стали систематически исследовать указанные проблемы для линейных систем с ограничениями. При этом оказалось, что при использовании (для учета ограничений на управляющие воздействия) операции «насыщения» (срезки) для классических линейных стабилизирующих обратных связей получаются малые области притяжения состояний равновесия замкнутых систем. Ограничения на стабилизирующие обратные связи учитываются и в рамках систем с переменной структурой [8, 9]. С созданием теории оптимального управления появилась возможность естественным образом учитывать ограничения на управления, поскольку указанные ограничения являются неотъемлемым элементом современных задач оптимального управления. При этом можно не задавать структуру обратных связей, получать большие области притяжения и придавать переходным процессам дополнительные полезные качества.
В [10, 11] (на основе рассмотрения линейной задачи оптимального управления) предложен новый подход к проблеме синтеза оптимальных систем, который в [12] был использован для построения стабилизаторов линейных систем. Новый подход, в частности, позволяет учитывать любые ограничения. В [13, 14] подход [10-12] обобщается на случай нелинейных систем. При этом используется вспомогательная задача оптимального управления с негладким критерием качества. А в [15] этот подход применяется для решения задач с квадратичным критерием качества.
1. Постановка нелинейной задачи
Будем рассматривать математическую модель маятника с двумя нелинейностями, ось подвеса которого можно перемещать по горизонтальной прямой. В этом случае уравнение движения маятника примет вид:
где , - угол отклонения маятника от нижнего положения равновесия и угловое ускорение (в момент ) соответственно, - управляющий момент, приложенный к оси подвеса маятника, - время.
Состояние является устойчивым нижним положением равновесия системы (2.1), а состояние - ее неустойчивым верхним положением равновесия.
Функция
,
называется дискретной (с периодом квантования ) стабилизирующей обратной связью, если:
1) ;
2) траектория замкнутой системы
представляет непрерывное решение уравнения с управлением , , ;
3) ненулевое решение , , уравнения асимптотически устойчиво и - область притяжения состояния равновесия .
Задача построения ограниченной стабилизирующей обратной связи состоит в поиске такой стабилизирующей обратной связи (2.2), которая при заданном , , удовлетворяет ограничению
, .
Очевидно, что таким образом определенная обратная связь (2.2) может быть построена многими способами. При этом естественно потребовать, чтобы:
4) область притяжения X была достаточно большой;
5) переходные процессы в замкнутой системе (2.3) были в некотором смысле наилучшими. Учитывая перечисленные требования, в данной работе одна из возможных реализаций функции (2.2) строится с помощью определяемой кусочно-линейно-квадратичной задачи оптимального управления.
2. Кусочно-линейная и кусочно-постоянная аппроксимация нелинейности
Для того, чтобы определить кусочно-линейно-квадратичную задачу оптимального управления введем кусочно-линейную аппроксимацию нелинейности.
В качестве возьмем область:
.
Область (2.2) разобьем на подобласти:
,
,
,
,
,
,
.
Выберем следующие аппроксимации функций и :
3. Сопровождающая кусочно-линейно-квадратичная задача
математический маятник аппроксимация нелинейность
Решать приводимую ниже вспомогательную (сопровождающую) задачу оптимального управления можно в различных классах функций. В связи с ориентацией на использование вычислительных устройств дискретного действия, эта задача (в качестве простейшего варианта) рассматривается в классе кусочно-постоянных функций с периодом квантования :
, ,
Выберем параметр (N - натуральное число) и рассмотрим в классе допустимых управлений (4.1) вспомогательную (сопровождающую) задачу оптимального управления:
,
, , ,
, .
Пусть , , - оптимальное программное (дискретное) управление задачи (4.2), - множество начальных состояний , для которых существует данное управление. Тогда функцию
, ,
назовем оптимальным (стартовым) управлением типа обратной связи.
В дальнейшем именно данное оптимальное стартовое управление типа обратной связи будет рассматриваться в качестве искомой ограниченной стабилизирующей обратной связи.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Непрерывная и точечная аппроксимация. Интерполяционные полиномы Лагранжа и Ньютона. Погрешность глобальной интерполяции, квадратичная зависимость. Метод наименьших квадратов. Подбор эмпирических формул. Кусочно-постоянная и кусочно-линейная интерполяции.
курсовая работа [434,5 K], добавлен 14.03.2014Анализ движения математического маятника без трения в случае произвольных колебаний. Построение численно соответствующих кривых движения при различных начальных условиях. Закон движения маятника в эллиптических функциях, графики его траекторий.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 08.04.2014Многочлены Чебышева. Многочлены равномерных приближений. Экономизация степенных рядов. Свойства многочлена Чебышева. Интерполяция по Чебышевским узлам. Многочлены равномерных приближений. Теорема Вейерштрасса. Кусочно-квадратичная аппроксимация.
курс лекций [175,3 K], добавлен 06.03.2009Создание математической модели движения шарика, подброшенного вертикально вверх, от начала падения до удара о землю. Компьютерная реализация математической модели в среде электронных таблиц. Определение влияния изменения скорости на дальность падения.
контрольная работа [1,7 M], добавлен 09.03.2016Вывод уравнения движения маятника. Кинетическая и потенциальная сила энергии. Определение всех положений равновесия. Исследование на устойчивость. Аналитический и численный расчет траектории системы. Изображение траектории системы разными способами.
контрольная работа [344,2 K], добавлен 12.04.2016Длина интервала группирования. Гистограмма относительных частот. Кусочно-постоянная функция. Среднеквадратичное отклонение оценки математического ожидания случайной величины. Коэффициент корреляции. Границы доверительного интервала для ожидания.
курсовая работа [622,9 K], добавлен 18.02.2009Длина интервала группирования. Графическое описание выборки. Гистограмма относительных частот. Кусочно-постоянная функция. Границы доверительного интервала математического ожидания. Вычисление коэффициента корреляции. Эмпирическая функция распределения.
практическая работа [737,5 K], добавлен 14.02.2009Понятие верхнего центрального показателя системы, характеристические показатели Ляпунова. Семейство кусочно-непрерывных и равномерно ограниченных функций, способы их решения. Соотношения между старшим и верхним центральным показателями линейных систем.
дипломная работа [277,5 K], добавлен 07.09.2009Основные положения теории математического моделирования. Структура математической модели. Линейные и нелинейные деформационные процессы в твердых телах. Методика исследования математической модели сваи сложной конфигурации методом конечных элементов.
курсовая работа [997,2 K], добавлен 21.01.2014Построение массива конечных разностей. Выполнение экстраполяции. Вычисление приближенной функции с помощью многочлена Лагранжа. Определение значения функции с помощью формул Ньютона. Квадратичная сплайн-интерполяция. Среднеквадратичная аппроксимация.
контрольная работа [1004,9 K], добавлен 01.12.2009Определение верхнего центрального показателя диагональной системы и поиск верхнего центрального числа соответствующего конечного семейства, условия их совпадения. Семейство кусочно-непрерывных и равномерно ограниченных функций. Норма матрицы Коши.
курсовая работа [92,0 K], добавлен 21.08.2009Описание подходов к построению динамической модели технологического процесса, этапы и направления данного процесса, ее конкретное представление. Аппроксимация заданных уравнений и оценка полученных результатов, решение и математическое значение.
контрольная работа [92,9 K], добавлен 11.03.2015Интеграл Фурье в комплексной форме. Формулировка теоремы о сходимости интеграла для кусочно-гладких и абсолютно интегрируемых на числовой прямой функции. Примеры нахождения преобразования Фурье, сверстка и преобразование, спектр, некоторые приложения.
курсовая работа [231,5 K], добавлен 27.08.2012Знакомство с особенностями построения математических моделей задач линейного программирования. Характеристика проблем составления математической модели двойственной задачи, обзор дополнительных переменных. Рассмотрение основанных функций новых переменных.
задача [656,1 K], добавлен 01.06.2016Решение дифференциальных уравнений математической модели системы с гасителем и без гасителя. Статический расчет виброизоляции. Определение собственных частот системы, построение амплитудно-частотных характеристик и зависимости перемещений от времени.
контрольная работа [1,6 M], добавлен 22.12.2014Методы определения объемов выпуска изделий каждой модели, при которых прибыль будет максимальна Составление математической модели задачи целочисленного программирования. Решение задачи симплекс-методом. Поиск целочисленного решения методом отсечения.
контрольная работа [156,9 K], добавлен 30.01.2011Линейная производственная задача. Двойственная задача. Задача о "Расшивке узких мест производства". Транспортная задача. Распределение капитальных вложений. Динамическая задача управления запасами. Анализ доходности и риска.
курсовая работа [530,4 K], добавлен 29.05.2006Задача исследования устойчивости нелинейной динамической системы. Аппроксимации функций с использованием обобщений полиномов Бернштейна. Анализ скорости сходимости и эффективности итерационной формулы, сравнение с классическими численными методами.
дипломная работа [1002,2 K], добавлен 23.06.2011Вычисление определителя, алгебраических дополнений. Выполнение действий над матрицами. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера, методом Гауса. Определение плана выпуска химикатов на заводе. Составление экономико-математической модели задачи.
контрольная работа [184,8 K], добавлен 25.03.2014Рассмотрение статических и динамических характеристик машины. Выбор математической модели систем электроприводов. Расчет параметров двигателя постоянного тока. Аппроксимация полученной переходной характеристики элементарными динамическими звеньями.
курсовая работа [833,3 K], добавлен 18.04.2014
