Разнообразие языков как знаковых систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тема: Разнообразие языков как знаковых систем

1. История открытия языковой системы как интеллектуальной продукции в знаковой форме

Опорную функцию языка впервые систематически исследовал известный логик конца XIX века Готлоб Фреге (1848 - 1925). Вот его слова: “Нам удаётся управлять нашим вниманием и направлять мысль в желательное для нас русло благодаря знакам. Когда мы воспроизводим знак, то мы тем самым создаём определённую опору нашей мысли, - определённый центр, вокруг которого возникают различные представления. Из этих представлений мы выбираем одно и опять фиксируем его с помощью знака. Так удаётся шаг за шагом проникнуть во внутренний мир наших представлений и двигаться в этом мире в нужном направлении. Чувственно-наглядное (в форме знаков) позволяет нам не потонуть в потоке восприятий и представлений, непрерывно захлёстывающих наше внимание”.

В первой половине XX столетия Эсту, Кондона и Ципф провели исследования, которые завершились открытием статистического рангового распределения элементов словаря.

В чём суть этого открытия? Известно, что одни слова, как знаковые единицы, употребляются чаще, чем другие. Упорядочим их так: в качестве номера слова возьмём частоту n вхождения этого слова в тексты. Эту частоту назовём рангом, так что самое частое слово имеет ранг 1, второе по частоте слово имеет ранг 2 и т. д. Пусть Pn обозначает случайную частоту появления в тексте слова с рангом n. Тогда существует статистическое распределение, выражающее функциональную зависимость частоты Pn от ранга n. Бенуа Мандельброт объявил ранговое распределение законом языка. Этот закон представляется аналитической зависимостью [2], [12]:

P = k/(+n),

где «гамма» приблизительно равна 1, постоянные величины k и выражаются через частоту вхождения самого частого слова и длину текста.

Компьютерная обработка текстов показала, что закон Мандельброта не выражает математическое ожидание, к которому, по вероятности, сходятся ранговые распределения слов длинных текстов. То есть не выполняется статистический закон больших чисел. Более того, на разных текстовых выборках слова не сохраняют вероятности вхождения. Таким образом, гипотеза Мандельброта о законе языка в форме рангового распределения не подтвердилась.

В семидесятые годы советский кибернетик Ю. Орлов предположил, что закон Мандельброта справедлив для завершённых текстов [2]. Тем самым поставлена задача исследования закономерностей целостного восприятия текстов различной природы: художественных, музыкальных, специализированных. Фактически, это подводит нас к проблеме моделирования смысловых отношений в знаковых системах, представляющих тексты... В историческом плане работа в этом направлении только начинается. Впереди - открытия, которые помогут нам осознать закономерности функционирования интеллектуальных систем посредством изучения текстовых структур - основного интеллектуального продукта.

2. Сущность языковых систем

Интеллект является процессом и продуктом мышления и отражает отношения объектов различной природы в виде мыслительных образов. Эти образы составляют субъективный информационный мир личности, а обмен информацией между людьми осуществляется посредством различных языковых систем. Знаковые или символьные языковые системы позволяют каждому индивидууму реализовать мысленную систему образов в виде языковых единиц - слов и их структурных образований - текстов.

Различаются три основные функции языка, это:

отслеживание мысли (опорная функция);

формирование умозаключений (логическая функция);

средство общения (коммуникационная функция).

Такую роль языку отводил великий математик Леонард Эйлер (1707 - 1763). Он писал: “Язык нужен людям, чтобы они могли следить за своими мыслями и развивать их, а также общаться друг с другом”, [1, с.282].

Приведём языковые понятия, при помощи которых формируется понятие текста.

Знаковая или символьная система, используемая для такой организации структуры мыслительных образов, которая представляет информацию, называется символьным или знаковым языком. Например, Система дискретных звуковых знаков есть общепринятое понятие человеческого языка, являющегося средством общения; система последовательностей двух символов 0 и 1 представляет язык числовых кодов: 110001, 100100100, и т.д.; система знаков представляющих музыкальные звуки называется нотами. Языковой способ коммуникации, то есть передачи информации, основан на композиции знаковых единиц - потоке слов, организованных в предложения - тексты.

Каждый предмет (литература, математика, экономика и т. д.) имеет свой язык. Разные модели одного предмета имеют разные языки, например:

литературное произведение на русском и английском языках;

геометрический и координатный языки в математических моделях;

геометрическая и аналитическая теория интеграла, и т. д.

Каждый из этих предметов и моделей является реализацией процесса мышления в виде языковой модели-текста. Поэтому текст можно считать основным продуктом интеллектуальной деятельности. Следовательно, исследование интеллектуального уровня и интеллектуальных функций - это исследование языковых продуктов.

Особым подходом к языку музыки отличился архитектор и композитор-авангардист ХХ века Янис Ксенакис. Считая архитектуру «застывшей музыкой», он делал всё возможное, чтобы объединить эти два вида искусства - два языка - в одно целое. В результате ему удалось использовать универсальную систему обозначений, которая позволяла ему включать архитектурные и математические элементы в музыку, а музыкальные «фразы» использовать в архитектуре.

Эскизы павильона «Филипс» Ноты произведения “Metastasis”

Насколько значительна роль математических стереотипов в исследовании общих текстовых структур автору - неизвестно. Очевидно лишь то, что рождение новых информационных технологий и автоматизация интеллектуального труда требует ревизии многих сложившихся формализаций в науке, и соответствующие исследования лежат в пересечении гуманитарных и точных наук.

Мы рассмотрим математику как искусственный язык. Поэтому главная наша задача состоит в том, чтобы понять назначение этого ремесла. Мы считаем, что смысл математического языка заключается в знаковой формализации канонических образов, которыми оперирует интеллект в различных информационных областях. Под знаковой формализацией образов мы понимаем направленное или волевое действие трех функций языка:

присваивание мыслительному образу знака (действие опорной функции);

оперирование образами как знаками (действие логической функции);

реализация мысли в виде системы знаков (коммуникационная функция).

В указанном языковом смысле математику следует считать искусственной составляющей естественного интеллекта, развиваемой самим интеллектом для оптимизации своей деятельности. Выходит, что сущность языковых систем состоит в том, что закономерности мыслительных процессов реализуются в законах организации текстовых структур.

3. Хронология и характеристика математических языков

Человек обладает способностью образно различать количества предметов и представлять количественные образы в знаковой или символьной системе, а соответствующая символьная реализация называется натуральным рядом… Рассмотрим несколько примеров математических языков. Сначала проанализируем процесс построения натурального ряда (язык перечисления).

3.1 Язык перечисления (натуральный ряд)

Эмпирические свойства, предопределяющие структуру натурального ряда.

1о. Любой объект может быть выбран начальным элементом перечисления.

2о. Для любого количества перечисленных элементов определено единственное следующее за ним количество.

3о. начальному элементу не предшествует никакое количество.

4о. Двум одинаковым количествам предшествуют два одинаковых количества.

5о. Построенное множество количеств однозначно в том смысле, что все другие построенные таким образом количества совпадают и могут отличаться только символьными системами.

Дадим символьную реализацию операций 1о-5о. Свойство 1о позволяет выбрать первый элемент, обозначим его 1. Свойство 2о устанавливает операцию следования на множестве элементов. Эту операцию представим в виде схемы

Свойство 4о указывает, что схема (2) реализоваться не может. Свойство 3о устанавливает первый элемент, и мы приходим к линейной цепочке

1 > s(1) > … > x > s(x) > …

Наконец, свойство 5о утверждает, что всякая другая линейная цепочка со свойствами 1о-4о будет отличаться только знаковой системой

1 > > … > > > …

Практическая необходимость перечислять предметы привела к формированию понятия натурального ряда. Практическая же необходимость арифметических операций над натуральными числами приводит к формированию более широкого класса величин - рациональным числам (язык арифметики).

3.2 Язык арифметики

Множество чисел представимых в виде несократимых дробей m/n, где: m, n, N, n 0 называется множеством рациональных чисел и обозначается Q. На этом множестве определим операции , , :, и результат действия этих операций над рациональными числами есть снова рациональное число.

Наличие операций сложения и умножения позволяет построить представление целых чисел при помощи алфавита, содержащего К знаков, называемых цифрами.

Такое представление дается записью вида: a N

a = anKn+... + a1K+ao (5)

и называется систематической К-ичной записью по основанию К. Символы ao, a1, ... , an принимают одно из К значений 0,1,2, ... , K-1. Если K10, то для обозначения K цифр используют первые К цифр десятичной системы 0,1,2, ... , К-1. Для обозначения степеней оснований (классов) К1, К2, ..., Кn используются уже введенные числовые обозначения (классы “тиражируются медленнее”, чем числа, входящие в эти классы).

Кроме реализации арифметических операций, систематическое представление чисел дает алгоритм сравнения чисел по величине.

Аксиомы операции сложения.

Для всякой упорядоченной пары х,у элементов из Q определен некоторый элемент х+у - Q, называемый суммой х и у.

Аксиомы операции умножения.

Для всякой упорядоченной пары х, у элементов из Q определен некоторый элемент ху - Q, называемый произведением х и у.

Аксиома связи сложения и умножения.

(Дистрибутивность) Для любых х, у, z - Q

(х+у) . z = x . z+у . z

Аксиомы порядка.

Всякие два элемента х, у, - Q вступают в отношение сравнения . При этом выполняются следующие условия:

Аксиома связи сложения и порядка.

Для любых x, y, z -Q,

(x y) x+z y+z

Аксиома связи умножения и порядка.

(0 x)(0 y) (0 xy)

Аксиома непрерывности Архимеда.

Для любых a > b > 0 существует m - N и n - Q такие, что m 1, n < b и

a= mb+n.

Следствие.

Аксиомы множества Q позволяют:

Построить систематическую запись рациональных чисел при помощи конечного алфавита (цифровых символов).

Определить алгоритмы реализации операций , , :, в систематической записи рациональных чисел.

Решение задач, имеющих практический интерес, не исчерпывается арифметическими операциями над числами.

3.3 Язык геометрии

языковой алгоритм арифметический дробь

Непрерывными операциями мы называем вычислительные алгоритмы, состоящие из арифметических и других простых операций, пронумерованных натуральным рядом. Описание непрерывных операций потребует разработки вспомогательных понятий. Избежать такой дополнительной работы можно аксиоматическим заданием множества действительных чисел.

Построить представление чисел, в котором иррациональные числа приближаются рациональными числами наилучшим образом. Рациональная дробь p/q приближает иррациональное число наилучшим образом, если для любого рационального числа m/n с nq выполняется равенство |-p/q| < |-m/n|.

Таким образом, представление числа «цепной дробью» более удобно, чем представление десятичной дробью.

Добавим к аксиомам, определяющим в П. З. множество рациональных чисел Q, еще одну, следующую аксиому.

Аксиома непрерывности Кантора.

Пусть элементы x,x,…,x,…,y,y,…,y,… удовлетворяют условию x<x<…<x<…<y<…y<y и пусть для любого положительного элемента >0, начиная с некоторого номера n, выполняются условия y-x< , k = n, n+1, … . Тогда существует элемент Z такой, что при всех значениях n выполняется x< Z < y.

То, что элемент Z, о котором говорится в этой аксиоме, является единственным, несложно доказать от противного.

Напомним, что до сих пор не найдены эффективные алгоритмы арифметических операций для представлений чисел в виде цепных дробей.

Но и языка арифметики не оказалось достаточно для познания, для изучения окружающего мира. Например, понадобилось измерить длину или ширину. Для этого нужен был другой, более совершенный для таких операций язык. Так появился язык геометрии.

Вся система аксиом состоит из 20 аксиом и содержит 26 требований, которые описывают 5 видов отношений между тремя геометрическими объектами - точками, прямыми и плоскостями. Отметим, что эти геометрические объекты - точки, прямые и плоскости никак не определяются, рассматриваются как первичные понятия, суть которых раскрывается через описываемые отношения. По типам отношений аксиомы образуют 5 групп и формируются следующим образом:

Группа 1. Аксиомы соединения.

Эта группа аксиом описывает отношения инцидентности (связи и принадлежности) между точками, прямыми и плоскостям.

Группа 2. Аксиомы порядка.

Аксиомы этой группы определяют линейный порядок точек на прямой и понятие полуплоскости относительно прямой на плоскости. Первая аксиома содержит два требования.

Группа 3. Аксиомы конгруэнтности.

Группы аксиом 1-3 позволяют доказать основные свойства отношения конгруэнтности между геометрическими фигурами, определить понятие движения в геометрии и установить признаки конгруэнтности геометрических фигур.

Группа 4. Аксиомы непрерывности.

Для описания свойства непрерывности расположения точек на прямой, определения длины отрезка и величины угла, установление взаимно однозначного соответствия между длинами всех отрезков и множеством действительных чисел вводим две следующие аксиомы.

Группа 5. Аксиома параллельности.

Через любую точку А не инцидентную прямой “a” , можно провести в плоскости (определяемой этой точкой А и прямой “a”) не более одной прямой, не пересекающейся с “a”.

Казалось бы, теперь всё понятно, теперь есть возможность выполнения и операций измерения. Но, как оказалось, и у этого языка есть два недостатка.

Первым является аксиоматика. Дело в том, что часть формулируемых аксиом содержит понятия, обоснование которых проводится на уровне теорем существования, доказываемых из предыдущих аксиом. Например, формулировка аксиомы Паша требует понятия отрезка и существования его внутренних точек (последнее приходится доказывать, см. теорему 4 в группе II Аксиом порядка). Далее, требование откладывания конгруэнтного угла с заданной стороны прямой в аксиоме 16, требует же доказательства существования двух сторон, на которые всякая прямая разбивает плоскость.

Второй «недостаток» состоит в том, что описание отношений между основными геометрическими объектами - точками, прямыми и плоскостями, приведенное в аксиоматике Д. Гилберта, не может быть индуктивно перенесено на «мыслимые» свойства «мыслимых» же геометрических объектов размерности большее трех. Необходимость построения многомерной геометрии была продиктована задачами аналитической механики систем n-точек уже в XIX веке. В XX веке модель многомерной геометрии возникла в экономических задачах линейного программирования и других задачах естествознания и социальной практики человека.

Для аксиоматического построения многомерной евклидовой геометрии потребовалось переосмыслить процесс арифметизации (введения координат) трехмерного евклидова пространства, связать этот процесс со структурой n-мерного векторного пространства. Начнем с изучения структуры векторного пространства на множестве обыкновенных направленных отрезков.

3.4 Язык векторных структур

Задачи механики и физики используют модели, элементами которых являются объекты, характеризуемые величиной действия в заданном направлении. Такими объектами являются силы, скорости, ускорения и др. Над этими объектами определены операции сложения по определенному закону и умножения на число. При этом как сами объекты, так и результаты операции над ними не зависят от параллельного переноса в пространстве. В качестве геометрической модели или знаковой системы для определения этих объектов удобно использовать направленные отрезки, которые имеют заданное направление и длину. Сформулируем нашу первую задачу.

А. Построить систему свойств (аксиоматику), достаточную для описания модели направленных отрезков с операциями сложения и умножения на число.

Так как направление и длина направленного отрезка не зависит от параллельного переноса, то направленный отрезок изображает класс направленных отрезков, совместимых параллельными переносами. Этот факт будем называть инвариантностью направленного отрезка относительно параллельного переноса.

На множестве направленных отрезков , , , ... определим операции сложения и умножения на действительное число и установим свойства этих операций.

Суммой направленных отрезков и назовем направленный отрезок

=+

который имеет то же начало, что и и тот же конец, что и , если начало отрезка параллельным переносом совместить с концом .

Направленные отрезки с операциями сложения по правилу треугольника (параллелограмма) и умножения на число называются векторами.

В силу инвариантности направленных отрезков относительно параллельного переноса заключаем, что: 1) вектор - это класс направленных отрезков, определяемый всеми параллельными переносами любого из его представителей; 2) свойства операций сложения векторов и умножения на число так же инвариантны относительно параллельного переноса.

Множество всех векторов назовем векторным пространством, а построенную модель направленных отрезков - геометрической моделью векторного пространства.

Заключение

Рассмотрели математические знаковые системы на примере четырёх языков. Вывод: математические языки развивались, создавая необходимость в появлении последующих. Когда перечисления стало недостаточно, появился язык арифметики; когда понадобилось считать не только количество, но и измерять пространство - появился язык геометрии, который, в свою очередь, обусловил появление векторных структур. Выходит, что математика развивается и меняется, как и все живые языки. И нужно это для того, чтобы достичь поставленной человечеством цели - оцифровать интеллектуальную деятельность. А произойдёт это или нет и в какую сторону это будут изменения - время покажет.

Размещено на Allbest.ru