Статистическая диагностика автоматизированных систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

Диагностика и надежность автоматизированных систем

Используемые формулы

1. Вариационный ряд значений

,

где N - общее число испытаний;

2. Ширина диапозона группы (2.2)

3. Частость попаданий

4. Накопленная частость попаданий

5. Функция вероятности безотказной работы P(t)

6. Функция интенсивности отказов л(t)

7. При образовании интервальных групп по частичным интервалам статистическая оценка Т₁^* может быть получена по формуле

,

8. Статистическая оценка дисперсии при образовании частичных интервалов имеет вид

, при N ? 25

, при N > 25

9. Среднее квадратическое отклонение у, равное квадратному корню из дисперсии

10. Безразмерный коэффициент вариации

11. Значениям интеграла вероятностей Ф(х) для каждого i-ого частичного интервала.

,

где Т_i^в - верхняя граница i-ого частичного интервала;

T₁ - математическое ожидание;

у - среднее квадратическое отклонение.

12. Нечетности интеграла вероятностей Ф(х).

13. Абсолютное значение разности D_max

D = F^*(х) - Ф(х);

14. Критерия согласия Колмогорова

15. Нижняя m_нi и верхняя m_вi границы доверительного интервала для средней наработки до отказа Т₁

Выполнение контрольной работы

Исходные данные выбираем из методических указаний таблицы 3.1, варианта 3.

3 вариант
№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xi,час.	960	1000	1030	1110	1140	1160	1200	1230	1240	1260
№	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
xi,час.	1270	1300	1320	1330	1350	1360	1370	1390	1410	1420
№	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
xi,час.	1440	1450	1470	1500	1540	1550	1570	1630	1660	1730

Пусть поле рассеивания случайных величин наработок до отказа t_i партии составляет интервал Д = 960…1730 часов, причем случайные величины имеют различную частоту их появления внутри этого интервала.

При расчётах составим интервальный статический ряд распределения случайных величин. Общая последовательность составления ряда распределения заключается в следующем:

Статическая совокупность результатов испытаний представляется в виде вариационного ряда значений

Т1, Т2, Т3,…, ТN,

где N - общее число испытаний равное 30,

1. Число групп распределяем СК=(6ч10); примем К=7

2. Определим ширину диапазона группы Д по формуле (2.2)

3. Определяем границы диапазонов ТЯ и занесём в таблицу 3

Т1=Тmin=960;

Т2= Т1+ Д=960+110=1070;

Т3= Т2+ Д=1070+110=1180;

Т4= Т3+ Д=1180+110=1290;

Т5= Т4+ Д=1290+110=1400;

Т6= Т5+ Д=1400+110=1510;

Т7= Т6+ Д=1510+110=1620;

Т8= Т7+ Д=1620+110=1730;

4. Определим частоты mЯ количество значений которые находятся в пределах

Проверим тождество по формуле: Уm=N,

4+3,5+8+2,5+5+4+3=30;

5. Определим частость попаданий результатов испытаний в каждый из частичных интервалов по формуле (2.3) результат занесём в таблицу 2.

< 1,

Проверим тождество по формуле: У РЯ = 1,

0,13+0,11+0,26+0,08+0,16+0,13+0,1=0,97?1;

6. Определим накопленные частости попаданий результатов испытаний по каждому частичному интервалу по формуле

Таблица 2. Интервальный статистический ряд распределения

№ частичного интервала	Границы частичных интервалов	Середины интервалов xiср	Частоты mi	Частости, РЯ mi/N	Накопленные частости У mi/N
1	960…1070	1015	4	0,13	0,13
2	1070…1180	1125	3,5	0,11	0,24
3	1180…1290	1235	8	0,26	0,5
4	1290…1400	1345	2.5	0,08	0,58
5	1400…1510	1455	5	0,16	0,74
6	1510…1620	1565	4	0,13	0,87
7	1620…1730	1675	3	0,1	0,97

7. По таблице 3 построим эмпирическое распределение случайных величин наработок до отказа t_i в виде гистограммы и полигона рисунок 1.

Рисунок 1. Гистограмма и полигон распределения случайных величин t_i.

8. Построим графики эмпирических функций f(t), F(t), P(t), л(t). Для этого составим таблицу 4, в которую занесем значения указанных функций по всем частичным интервалам.

Значения функций f(t) и F(t) по частичным интервалам соответствуют частостям и накопленным частостям, вычисленным ранее и записанным в таблицу 3, перепишем в таблицу 4.

Наряду с интегральной функцией F(t) в теории надежности используется функция вероятности безотказной работы P(t)

которая характеризует вероятность безотказной работы элемента до заранее выбранного момента времени t. Вычисления запишем в таблицу 3.

Вместе с функцией вероятности безотказной работы P(t) другой важной характеристикой надежности невосстанавливаемых объектов является функция интенсивности отказов л(t), которая представляет собой отношение функции плотности распределения вероятностей f(t) к функции вероятности безотказной работы P(t). Вычисления запишем в таблицу 3.

Таблица 3. Исходные данные для построения графиков функций f(t), F(t), P(t), л(t)

Середины частичных интервалов, час	1015	1125	1235	1345	1455	1565	1675
f(t)	0,13	0,11	0,26	0,08	0,16	0,13	0,1
F(t)	0,13	0,24	0,5	0,58	0,74	0,87	0,97
P(t)	0,87	0,76	0,5	0,42	0,26	0,13	0,03
л(t)	0,149	0,144	0,52	0,19	0,61	1	3,33



Рис. 2. График эмпирической функции плотности распределения вероятностей f(t)

Рис. 3. График эмпирической интегральной функции распределения вероятностей F(t)



Рис. 4. График эмпирической функции вероятности безотказной работы P(t)

Рис. 5. График эмпирической функции интенсивности отказов л(t)

9. Сравнение с теоретическим законом:

При образовании интервальных групп по частичным интервалам статистическая оценка Т₁^* может быть получена по формуле

,

где T_ci - середина i-ого частичного интервала в ряду значений наработок;

k - число частичных интервалов;

m_i - число объектов, попадающих в i-ый частичный интервал

k₁ = 1015 • (4 / 30) = 135,33;

k₂ = 1125 • (3,5 / 30) = 131,25;

k ₃ = 1235 • (8 / 30) = 329,33;

k ₄ = 1345 • (2,5 / 30) = 112,08;

k ₅ = 1455 • (5 / 30) = 242,5;

k ₆ = 1565 • (4 / 30) = 208,66;

k ₇ = 1675 • (3 / 30) = 167,5;

Т₁^* = 135,33+131,25+329,33+112,08+242,5+208,66+167,5 = 1326,65 ч.

Другой существенной характеристикой распределения случайных величин является дисперсия, которая представляет собой момент второго порядка от функции f(t) относительно математического ожидания.

Статистическая оценка дисперсии при образовании частичных интервалов имеет вид

, при N > 25

При практических расчетах удобнее за меру рассеивания случайных величин принимать не дисперсию, а среднее квадратическое отклонение у, равное квадратному корню из дисперсии

k₁ = (1015-1326,65)² • (4 / 30) =12626.34;

k₂ = (1125-1326,65)² • (3,5/ 30) =4472.89;

k₃ = (1235-1326,65)² • (8/ 30) =2183.92;

k₄ = (1345-1326,65)² • (2,5/ 30) =26.93;

k₅ = (1455-1326,65)² • (5 / 30) = 20.53;

k₆ = (1565-1326,65)² • (4 / 30) = 7385.39;

k₇ = (1675-1326,65)² • (3 / 30) =13348.24;

у^* = v 12626.34+4472.89+2183.92+26.93+

+20.53+7385.39+13348.39= 200.16 ч.

Для оценки степени рассеивания случайных величин относительно математического ожидания используют безразмерный коэффициент вариации

V ^* = 200.16/ 1326.65 = 0,0753;

Коэффициент вариации V используется также для ориентировочного выбора теоретического закона распределения случайных величин, в частности, если V < 0,30, то расчеты производится в соответствии с положениями закона нормального распределения.

T₁ = 1326,65 ч; у = 200.16 ч; V =0,0753. В связи с тем, что вычисленный коэффициент вариации V = 0,0753 < 0,3 выбираем закон нормального распределения.

Значения теоретической интегральной функции распределения F(t) для закона нормального распределения с известными параметрами T₁ и у определяются по табличному интегралу вероятностей Ф(х), который показывает вероятность нахождения случайной величины х в пределах от 0 до t и соответствует площади под кривой распределения, заключенной между осью симметрии и ординатой кривой.

Значения функции F(t) принимаются равными значениям интеграла вероятностей Ф(х) для каждого i-ого частичного интервала.

Для данного примера

,

где Т_i^в - верхняя граница i-ого частичного интервала;

T₁ - математическое ожидание;

у - среднее квадратическое отклонение.

Для 1-ого частичного интервала величина x₁ равна

Таблица 5. Значения теоретической и эмпирической интегральных функций распределения по всем частичным интервалам

Верхняя граница частичного нтервала, час	1070	1180	1290	1400	1510	1620	17\30
Нормированная случайная величина наработки по интервалам xi	-1,28	-0,73	-0,18	0,36	0,91	1,45	2,01
Значение теоретической интегральной функции Ф(х)	0,061	0,164	0,334	0,552	0,755	0,893	0,964
Значение эмпирической интегральной функции F*(х)	0,1	0,2327	0,4286	0,6406	0,8183	0,9265	0,9778
Абсолютное значение разности D между эмпирической и теоретической интегральными функциями	0,039	0,0687	0,0946	0,0886	-0,0633	-0,0335	0,0138

По справочной таблице [1] для x₁ = -1,28

В справочной литературе встречаются значения интеграла вероятностей Ф(х) только для положительных значений нормированных случайных величин. В этом случае для определения численного значения функции F(t) следует воспользоваться свойством нечетности интеграла вероятностей Ф(х).

,

где = 0,5.

Для рассматриваемого решения (смотрю приложение)

Ф(x₁) = Ф (1,28) = 0,3997

Ф(-x₁) = Ф (-1,28) = Ф(+?) - Ф (1,28) = 0,5-0,3997 = 0,1

Аналогично произвожу расчёт для остальных

Ф(-x₂) = Ф (-0,73) = Ф(+?) - Ф (0,73) = 0,5-0,2673= 0,2327;

Ф(-x₃) = Ф (-0,18) = Ф(+?) - Ф (0,18) = 0,5-0,0714 = 0,4286;

При положительном:

Ф(x₄) = Ф (0,36) = 0,1406+0,5 = 0,6406;

Ф(x₅) = Ф (0,91) = 0,3183+0,5 = 0,8183;

Ф(x₆) = Ф (1,45) = 0,4265+0,5 = 0,9265;

Ф(x₇) = Ф (2,01) = 0,4778+0,5 = 0,9778

Абсолютное значение разности D между эмпирической и теоретической интегральными функциями: D = F^*(х) - Ф(х);

10. По известному значению D_max определяют значение критерия согласия м академика А.Н. Колмогорова по формуле

m = 0,0946 • v30 = 0,51;

Распределение значений критерия согласия м подчиняется определенному закону в соответствии с которым вычисляется вероятность согласия Р(м). Выбираю по таблице 2.4 из методических указаний по выполнению контрольной работы.

Р(м) = 1,000

11. При условии, что [1 - Р(м)] < м

1-1,000 = 0 < 0,51

следовательно, гипотеза о применимости закона нормального распределения к эмпирическому распределению принимается.

Расхождение между эмпирическими и теоретическими данными в этом случае составляет малый процент стремящийся к нулю.

12. Вычислим интервальную оценку средней наработки до отказа Т₁, которая позволяет получить результат с заранее заданной достоверностью (доверительной вероятностью г), которую на практике принимают равной г = 0,8…0,9.

По ГОСТ 11.004-74 нижняя m_нi и верхняя m_вi границы доверительного интервала для средней наработки до отказа Т₁ определяются как

где t_г(г) - квантиль распределения Стьюдента с г = N - 1 степенями свободы для статистической выборки из N значений.

Для значений г = 0,9 и N = 30 квантиль распределения Стьюдента [1] составляет t_г(г) = 1,71.

Следовательно, доверительные границы для средней наработки до отказа Т₁ с уровнем значимости б = 0,10 составят

Таким образом, с доверительной вероятностью г = 0,9 можно утверждать, что значение средней наработки объекта до первого отказа Т₁ будет находиться в интервале

распределение вариационный статистический

Список используемой литературы

1. Труханов В.М. Надежность в технике. М.: Машиностроение, 1999. - 598 с.

2. Решетов Д.Н., Иванов А.С., Фадеев В.Э. Надежность машин. М.: Высшая школа, 1988. - 236 с.

3. Большев, Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983. - 464 с.

Размещено на Allbest.ru

...