Лагранж Жозеф Луи

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«СЕВЕРОКАВКАЗСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ

ГУМАНИТАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

СРЕДНЕПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ

Доклад

По математике.

На тему: Лагранж Жозеф Луи

Выполнила:

Студентка группы ПСО 1-2

Бабоева Лейла

Содержание

Введение

1. Первые достижения

2. Берлинский период

3. Годы Французской революции

4. Последние годы и смерть

5. Труды Жозефа Луи Лагранжа

6. Интересные факты

Заключение

Список литературы

Введение

В наше время нельзя забывать о великих научных деятелях, которые дали толчок развитию науки. Именно они положили начало огромнейшему обогащению в различных сферах деятельности. Отсюда следует, что значение их трудов и достижений достаточно велико, так как именно эти достижения мы применяем и по сей день, что не может быть неактуально в наше время.

Целью данного реферата является изучение биографии, научной деятельности французского математика, астронома и механика Жозефа Луи Лагранжа. Необходимо рассмотреть его достижения и оценить вклад в науку.

В соответствии целью нашего исследования были поставлены следующие задачи:

собрать, изучить и систематизировать теоретический материал по теме исследования;

изучить жизнь и деятельность математика;

представить основные достижения Жозефа Луи Лагранжа;

указать значение его трудов и достижений;

рассмотреть интересные факты;

При написании данной работы огромную помощь оказали журналы и книги различных изданий.

Я выбрала данную тему, потому что для меня интересна не только биография известного математика, но и его труды. Это тема достаточно обширная. В данном реферате я начну с рассмотрения биографии Жозефа Луи Лагранжа. Далее будем рассматривать труды этого великого математика.

1. Первые достижения

Отец Лагранжа, одно время военный казначей Сардинии, был женат на Марии Терезии Гро, единственной дочери богатого врача из Камбиано (местечко неподалеку от Турина в Италии), и имел с ней 11 детей. Из них один лишь самый младший Жозеф Луи, родившийся 25 января 1736 года, не умер в младенческом возрасте. Его отец был состоятельным человеком, но также и неисправимым дельцом, и когда Жозеф Луи был готов вступить в свои права единственного наследника, было уже нечего наследовать. Из-за материальных затруднений семьи он был вынужден рано начать самостоятельную жизнь. Позже Лагранж вспоминал об этом несчастье как об одном из самых удачных событий, случившихся с ним: «Если бы я наследовал состояние, мне, вероятно, не пришлось бы связать свою судьбу с математикой».

Первые школьные интересы Лагранжа были сосредоточены на древних языках. Его отец хотел, чтобы сын стал адвокатом, и поэтому определил его в Туринский университет. В связи с изучением классики он рано познакомился с геометрическими сочинениями Евклида и Архимеда. Но последние, кажется, не произвели на него сильного впечатления. Затем в руки юного Лагранжа попало сочинение Галлея (друга Ньютона) о преимуществах анализа над синтетическими геометрическими методами древних греков. Он был пленен и обращен в новую веру, почувствовав свое настоящее призвание. В невероятно короткое время он освоил совершенно самостоятельно все, что к тому времени было сделано в анализе, и в 16 лет стал преподавать математику в Артиллерийском училище в Турине. Так началась его деятельность, одна из самых ярких в истории математики.

С самого начала Лагранж был аналитиком, а не геометром. Его аналитическая обработка механики отмечает первый полный разрыв с традицией древних греков. Ньютон, его современники и непосредственные продолжатели постоянно пользовались чертежами, помогавшими им при исследовании задач механики. Лагранж отдавал предпочтение анализу. Эта особенность его мышления четко выявилась в "Аналитической механике", задуманной еще 19-летним юношей в Турине, но изданной в Париже лишь в 1788 году, когда Лагранжу было 52 года. "Вы не найдете чертежей в этой книге", -- писал он в предисловии. Лагранж показал, что большая гибкость и несравненно большая мощь достигаются, если общие аналитические методы используются с самого начала.

В 1755 году Лагранж был назначен преподавателем математики в Королевской артиллерийской школе в Турине, где пользовался, несмотря на свою молодость, славой прекрасного преподавателя. Молодой профессор читал лекции студентам, которые все были старше его. Вскоре из наиболее способных он организовал научное общество, которое выросло затем в Туринскую Академию наук. Первый том трудов академии вышел в 1759 году, когда Лагранжу было 23 года. Сам Лагранж представил здесь статью о максимумах и минимумах по вариационному исчислению. С помощью именно этого исчисления Лагранж унифицировал механику и, как сказал Гамильтон, создал "своего рода научную поэму".

В том же туринском томе Лагранж делает другой большой шаг вперед: он применяет анализ к теории вероятностей, существенно продвигается дальше Ньютона в математической теории звука. В 23 года Лагранж был признан равным величайшим математикам века -- Эйлеру и Бернулли.

Эйлер всегда великодушно оценивал работы других ученых. Когда 19-летний Лагранж послал Эйлеру некоторые из своих работ, знаменитый математик сразу же признал их достоинства и поощрил блестящего начинающего ученого. 4 года спустя Лагранж сообщил Эйлеру подлинный метод решения изопериметрических задач вариационного исчисления, которые не поддавались в течение многих лет полугеометрическим методам Эйлера. Но вместо того чтобы поторопиться с печатанием решения, которое он искал много лет, Эйлер откладывает его до того времени, пока Лагранж не сможет первым опубликовать его, -- "чтобы не лишить Вас ни одной частицы славы, которую Вы заслуживаете".

К этому можно добавить, что Эйлер добился избрания Лагранжа иностранным членом Берлинской академии наук (2 октября 1759 года), несмотря на необычно молодой возраст -- 23 года. Это официальное признание за границей было большой помощью для Лагранжа на родине.

Эйлер и Даламбер, отчасти по личным мотивам, жаждали видеть своего блестящего юного друга придворным математиком в Берлине. После длительных переговоров они добились своего.

Будучи преданным другом и великодушным поклонником Лагранжа, Даламбер поощрял своего скромного юного друга заниматься трудными и важными задачами. Он также заставил Лагранжа благоразумно заботиться о своем здоровье, хотя и его собственное здоровье не было крепким. На письма Даламбера Лагранж кратко отвечал, что он чувствует себя превосходно и работает, как сумасшедший. Но, в конце концов, он заплатил за это. В этом отношении деятельность Лагранжа сходна с деятельностью Ньютона. К среднему возрасту длительное сосредоточение на задачах первостепенной важности притупило энтузиазм Лагранжа, и, хотя его ум оставался по-прежнему мощным, он стал безразлично относиться к математике. К счастью для математики, до черной депрессии Лагранжа с ее неизбежным следствием -- убеждением, что никакое человеческое знание не стоит того, чтобы к нему рьяно стремиться, -- оставалось еще 20 славных лет с того времени, как Эйлер и Даламбер замыслили привлечь Лагранжа в Берлин.

В 1759 году Лагранж издает труды по механике и вариационному исчислению, впервые применяет анализ к теории вероятностей, развивает теорию колебаний и акустику.

В 1762 году Лагранж дает первое описание общего решения вариационной задачи. Оно не было ясно обосновано и встретило резкую критику. Эйлер в 1766 году дал строгое обоснование вариационным методам и в дальнейшем всячески поддерживал Лагранжа.

Среди задач, которыми занимался Лагранж до приезда в Берлин, была задача о либрации Луны, пример знаменитой задачи трех тел. Почему Луна всегда обращена к Земле одной стороной и при этом имеются некоторые небольшие непонятные неправильности в ее движении. За решение задачи о либрации Луны: в данном случае три тела это Земля, Солнце, Луна, взаимно притягивающие друг друга обратно пропорционально квадрату расстояний между их центрами тяжести. Лагранжу в 1764 году была присуждена Большая премия Парижской академии наук - ему тогда было только 28 лет. Ободренная таким блестящим успехом, Академия предложила еще более трудную задачу, и Лагранж снова получил премию в 1766 году. Это была задача шести тел, материалом для которой послужила система Юпитера (Солнце, Юпитер и четыре спутника, известные к тому времени). Полное математическое решение находится вне пределов наших возможностей, но, применив приближенные методы, Лагранж значительно продвинулся в объяснении наблюдаемых неправильностей.

Такого рода применения ньютоновой теории представляли для Лагранжа наибольший интерес в течение всей его активной жизни. В 1772 году он снова получил Парижскую премию за работу о задаче трех тел, а в 1774 и 1778 годах добился аналогичного успеха в связи с работами о движении Луны и возмущениях комет.

6 ноября 176о году, по приглашению прусского короля Фридриха Второго, Лагранж переехал в Берлин (тоже по рекомендации Даламбера и Эйлера). Фридрих Великий, "величайший король Европы", как он "скромно" величал себя, приветствовал Лагранжа в Берлине, заявив, что он считает для себя честью иметь при своем дворе "величайшего математика". Последнее, во всяком случае, было верно. Лагранж стал директором физико-математического отделения Берлинской академии наук и в течение двадцати лет наполнял ее "Мемуары" своими выдающимися работами, следовавшими одна за другой. Читать лекции от него не требовалось.

2. Берлинский период

Берлинский период(1766 -- 1787) был самым плодотворным в жизни Жозефа Луи. Врожденная неприязнь Лагранжа к дискуссиям сослужила емухорошую службу в Берлине. Этим он выгодно отличался от Эйлepa, который

бросался от одного религиозного или философского спора к другому. Лагранж, зажатый в угол доводами и побуждаемый к ответу, всегда искренне предварял свое мнение высказыванием: "Не знаю". Но, когда затрагивались его убеждения, он умел постоять за них, o6peтая и воодушевление и логику. Здесь он выполнил важные работы по алгебре и теории чисел, в том числе строго доказал несколько утверждений Ферма и теорему Вильсона.

Вскоре после устройства в Берлине Лагранж вызвал из Турина одну из своих молодых родственниц, кузину по матери Виктории Конти, и в 1767 году женился на ней. Женитьба оказалась счастливой. Но вскоре жена надолго заболела. Лагранж, забывая о сне, ухаживал за ней. В 1783 году, когда она умерла, его сердце было разбито. Утешение он нашел в работе: "Мои занятия свелись к тому, что я спокойно и тихо разрабатываю математику".

В 1767 году Лагранж публикует мемуар «О решении числовых уравнений» и затем ряд дополнений к нему. Оно касалось общих вопросов разрешимости алгебраических уравнений. В то время впервые в математике появляется конечная группа подстановок. Лагранж высказал предположение, что не все уравнения выше 4-й степени разрешимы в радикалах. Строгое доказательство этого факта и конкретные примеры таких уравнений дал Абель в 1824 1826 годах, а общие условия разрешимости нашёл Галуа в 1830-1832 годах.

В 1772 году Лагранж избран иностранным членом Парижской Академии Наук.

После смерти Фридриха Великого (17 августа 1786 года) возмущение против непруссаков и наступившее безразличие к науке сделали Берлин неподходящим местом жительства для Лагранжа и его коллег-иностранцев, связанных с академией, он стал добиваться отставки. Она была ему разрешена с условием, что он будет посылать статьи в Берлинскую академию в течение нескольких лет, на что Лагранж согласился. Он с радостью принял приглашение Людовика ХVI продолжать математические исследования в Париже в качестве члена Французской академии. По прибытии в Париж в 1787 году он был с большими почестями принят королевской фамилией, а также академией. В Лувре ему была отведена комфортабельная квартира, в которой он жил до самой революции.

В возрасте 50 лет Лагранж почувствовал, что он выдохся. Это был классический случай нервного истощения, вызванного длительным и чрезмерным переутомлением. Парижане нашли в нем любезного и благожелательного собеседника, но не властителя умов. Он говорил, что его энтузиазм выгорел и что он потерял вкус к математике. Экземпляр "Аналитической механики" («Mecanique analytique»), лежал на его письменном столе не раскрытым в течение двух лет ставшая вершиной научной деятельности Лагранжа.

Гамильтон назвал этот шедевр «научной поэмой». В этой работе введены обобщенные координаты, разработан принцип наименьшего действия и впервые со времен Архимеда монография по механике не содержит ни одного чертежа, чем Лагранж особенно гордился. Устав от всего, что связано с математикой, Лагранж обратился к философии, эволюции мышления, истории религии, общей теории языков, медицине и ботанике. Увлекшись этой странной смесью, он удивил своих друзей обширными познаниями и проницательностью ума по вопросам, далеким от математики. Он предвидел, что в будущем лучшие умы человечества проявят наибольший интерес к химии, физике и естественным наукам, а математику считал законченной или, по крайней мере, вступившей в период упадка. К счастью, Лагранж жил достаточно долго, чтобы увидеть здоровое начало великой деятельности Гаусса, первого из пляды великих математиков -- Абеля, Галуа, Коши и других.

3. Годы Французской революции

В первые годы Революции друзья убеждали Лагранжа возвратиться в Берлин, но он отказался покинуть Париж, сказав, что предпочитает остаться и увидеть «эксперимент» полностью. Ни он, ни его друзья не предвидели периода террора, и, когда он наступил, Лагранж горько пожалел о том, что оставался до тех пор, когда стало слишком поздно, чтобы бежать.

Революция разрушила апатию Лагранжа. Грандиозные планы революционеров переделать человечество и изменить природу человека не производили впечатления на Лагранжа. Но когда его друг химик Лавуазье, бывший откупщиком, попал на гильотину, Лагранж выразил свое негодование к тупости казни словами: "Им понадобится только один момент, чтобы упала его голова, но, может быль, сотни лет не хватит, чтобы появилась голова, подобная ей". Хотя практически вся творческая жизнь Лагранжа прошла под покровительством королевских особ, его симпатии не были на стороне роялистов, но они не принадлежали и революционерам. К Лагранжу относились терпимо. Специальным декретом ему была пожалована "пенсия", а когда инфляция свела эту пенсию практически к нулю, его назначили членом Комитета изобретений, затем Комитета монетного дела, чтобы дать ему возможность существовать. Также Лагранж занимался разработкой метрической системы мер и весов и нового календаря. Наиболее важной деятельностью Лагранжа в период революции было его ведущее участие в усовершенствовании метрической системы мер и весов. Только благодаря иронии и здравому смыслу Лагранжа число 12 не было выбрано в качестве основания вместо числа 10.

«Преимущества» числа 12 очевидны, и их выдвижение продолжается до сих пор во впечатляющих трактатах ревностными пропагандистами, которые лишь на волос отличаются от тех, кто ищет квадратуру круга. Число взятое вместо числа 10 нашей системы счисления, было бы шестигранной затычкой пятигранной дыры». Чтобы довести до сознания защитников числа 12 абсурдность такого решения, Лагранж предложил число 11, как еще более лучшее, поскольку любое простое число, лежащее в основе системы счисления, определяет то ее преимущество, что все дроби при этом оказываются с одним и тем же знаменателем. Недостатки этого предложения многочисленны и достаточно очевидны для каждого, кто постиг деление с сокращениями. Комиссия усмотрела суть вопроса и удержала число 10.

Несмотря на всю эту интересную деятельность, Лагранж все еще был одиноким и склонным терять присутствие духа. Он был избавлен от сумеречного состояния между жизнью и смертью в возрасте 56 лет девушкой, дочерью своего друга, астронома Лемонье. Она была тронута несчастной судьбой Лагранжа и вышла за него замуж. Брак оказался идеальным. Из всех своих удач наиболее высоко он ценил то, что нашел такого заботливого и преданного спутника, как его юная жена.

В 1795 году была учреждена Нормальная школа, Лагранж стал ее профессором математики. Когда Нормальная школа закрылась и была основана знаменитая Политехническая школа (1797), Лагранж составил план курса математики в ней и стал ее первым профессором. Ему пришлось читать лекции для слабо подготовленных студентов. Приспосабливаясь к уровню знаний своих студентов, Лагранж повел их через арифметику и алгебру к анализу, сам напоминая больше учащегося, чем профессора. Величайший математик столетия стал великим учителем математики, подготавливая неистовую молодую когорту наполеоновских военных инженеров. Уйдя значительно дальше элементарного уровня, он на глазах своих учеников развивал новую математику, и вскоре они сами приняли участие в ее развитии. Лагранж дал изложение анализа без использования лейбницевых "бесконечно малых" и ньютонова специфического понятия предела. Его собственная теория была опубликована в двух рудах: "Теория аналитических функций" (1797) и "Лекции об исчислении функций" (1801).

Важность этих трудов заключалась в том, что они дали толчок Коши и другим ученым к строгому построению анализа.

Французы воздавали Лагранжу почести. Ученый, бывший фаворитом Марии Антуанетты, стал теперь кумиром людей, приговоривших ее к смерти. Когда декретом Конвента было постановлено изгнать из Франции всех, родившихся вне ее пределов, то для Лагранжа было сделано особое исключение из этого правила. Его слава была так велика, что в 1796 году, когда Франция аннексировала Пьемонт, Талейрану было приказано нанести визит отцу Лагранжа, еще жившему в Турине, и сообщить ему: "Ваш сын, которым гордятся родивший его Пьемонт и владеющая им Франция, оказывает честь своим гением всему человечеству". Когда Наполеон обращался к гражданским делам в перерывах между своими военными походами, он часто разговаривал с Лагранжем о философских вопросах и о роли математики в государстве и выказывал исключительное уважение к своему спокойному и никогда не проявлявшему догматизма собеседнику.

За спокойствием Лагранжа скрывалось едкое остроумие, которое неожиданно вспыхивало при случае. Однажды он сказал: "Эти астрономы-- странные люди, они не верят теории, пока она не согласуется с их наблюдениями". Даже искреннее почитание Ньютона не лишено слабой примеси той же мягкой иронии: "Как повезло Ньютону, что в его время система мира еще оставалась неоткрытой".

В эти годы Лагранж публикует два своих важных трудах -- «Теория аналитических функций («Theorie des fonctions analytiques», 1797) и «О решении численных уравнений» («De lа resolution des equations numeriques», 1798) -- где подытожил всё, что было известно по этим вопросам в его время, а содержавшиеся в них новые идеи к методы были развиты в работах математиков 19 века. В 1801 году публикуются «Лекции об исчислении функций».

4. Последние годы и смерть

Последнее научное усилие Лагранжа было связано с переработкой и расширением "Аналитической механики" для второго издания. Прежние силы целиком вернулись к нему, хотя ему было уже за 70. Вспомнив свои прежние привычки, он работал непрестанно, но лишь установил, что его тело не подчиняется боярыне его разуму. Болезнь Лагранжа, о которой он знал, что она приведет к смерти, не нарушала его безмятежности; всю свою жизнь он прожил, так как нравится жить философам, равнодушным к своей судьбе.

За 2 дня до смерти Лагранжа Монж и другие друзья пришли к нему, зная, что он умирает и хочет что-то рассказать им о своей жизни. Они нашли его временно поправившимся, если не считать потери памяти.

«Я хочу умереть, да,", хочу умереть и нахожу в этом удовольствие... Я сделал свое дело, я добился некоторой известности в математике. Я никогда никого не ненавидел, я не делал ничего плохого...» Он умер рано утром 10 апреля 1813 г, на 78-м году жизни. Похоронен в Пантеоне.

5. Труды Жозефа Луи Лагранжа

Работы Лагранжа по математике, астрономии и механике составляют 14 томов. Ему удалось успешно разработать многие важные вопросы математического анализа. Лагранж дал очень удобную для практики формулу выражения остаточного члена ряда Тейлора, формулу конечных приращений и интерполяционную формулу, ввел метод множителей для решения задачи по нахождению условных экстремумов.

В алгебре он разработал теорию, обобщением которой является теория Галуа, нашел метод приближенного вычисления корней алгебраического уравнения при помощи непрерывных дробей, метод разделения корней алгебраического уравнения, метод исключения переменной из системы уравнений, разложение корней уравнения в так называемый ряд Лагранжа. В теории чисел с помощью неправильных дробей решил неопределенные уравнения второй степени с двумя неизвестными, развил теорию квадратичных форм.

В области дифференциальных уравнений Лагранж разработал теорию особых решений и метод вариации произвольных констант при решении линейных дифференциальных уравнений. Исходя из основных законов динамики, он указал две основные формы дифференциальных уравнений движения несвободной системы, которые теперь известны как уравнения Лагранжа первого рода, и вывел уравнения в обобщенных координатах-- уравнения Лагранжа второго рода.

Особо характерно для Лагранжа, по сравнению с его ближайшими предшественниками и современниками, было создание обширных теоретических концепций, которые сочетали в себе целый ряд проблем, утверждений и отдельных методов. Был собран и систематизирован колоссальный новый материал, нуждающийся в дальнейшем обобщении. Лагранж выделялся "совершенством аналитического метода" (слова знаменитого математика Фурье), особенной элегантностью, лаконичностью, и одновременно обобщенностью изложения, которые стали отличительными особенностями французской математической школы.

6. Интересные факты

Свое мнение о могуществе ума Лагранж выражал словами: «Если вы хотите увидеть поистине великий ум, посетите кабинет Ньютона, в котором он разложил солнечный свет и открыл систему мира».

"Лаплас и Лавуазье были членами комиссии, как только она была образована, но через 3 месяца были выведены из нее в ходе «чистки» вместе с некоторыми другими учеными. Председателем комиссии остался Лагранж. «Я не понимаю, почему они оставили меня», -- заметил он, не сознавая, что его молчаливость сохранила ему не только должность, но и голову.

"Заметив поглощенного беззаботностью Лагранжа на музыкальном вечере, кто-то спросил его, почему он любит музыку. «Я люблю ее потому, -- ответил Лагранж,-- что она изолирует меня. Я слышу первые три такта; на четвертом я ничего не различаю; я предаюсь своим мыслям, и ничто не отвлекает меня, именно таким образом я решил не одну трудную задачу».

Даже его искреннее почитание Ньютона не лишено слабой примеси той же мягкой иронии. «Ньютон, -- заявил он, -- несомненно, несравненный гений, но мы должны согласиться, что он и счастливейший из гениев: только один раз можно открыть систему мира». И еще: «Как повезло Ньютону, что в его время система мира еще оставалась неоткрытой».

«...среди тех, кто самым эффективным образом раздвинул пределы наших знаний, Ньютон и Лагранж в самой высокой степени владели счастливым искусством открывания новых данных, представляющих собой существо знаний...»,-- писал о Лагранже Лаплас.

Имя Лагранжа внесено в список величайших ученых Франции, помещённый на первом этаже Эйфелевой башни.

В его честь названы: кратер на Луне, улицы в Париже и в Турине, множество научных понятий и теорем в математике, механике и астрономии.

жозеф лагранж математик астроном

Заключение

И в заключении можно сказать, что Жозеф Луи Лагранж весьма талантливый человек и развитый во всех направлениях. Изучив биографию, научную деятельность и достижения математика Жозефа Луи Лагранжа, мы можем сделать вывод, что ученый внес неоценимый вклад в развитие науки. Он дал новые направления на изучение еще не открытых областей знаний.

Также в работе были рассмотрены основные достижения Жозефа Луи Лагранжа. Еще одной проблемой, указанной в нашей работе, является значение его трудов и достижений. Помимо этого были рассмотрены интересные факты из жизни великого математика.

В ходе написания реферата была достигнута его цель -- изучена биография, научная деятельность французского математика, астронома и механика Жозефа Луи Лагранжа, рассмотрены его достижения и оценен вклад в науку.

Основные труды -- труды по математическому анализу, вариационному исчислению, алгебре, теории чисел, дифференциальным уравнениям и механике. Опубликованы работы Лагранжа "Аналитическая механика", "Трактат о решении численных уравнений всех степеней", "Теория аналитических функций", "Лекции по исчислению функций".

В математическом анализе Лагранж вывел ряд формул, ввел способ множителей для решения задачи отыскания условных экстремумов. В области дифферециальных уравнений и алгебры вывел теории решений всевозможных задач, уравнений.

Структура реферата определяется ее целью и задачами.

Данная работа представляет интерес для студентов и аспирантов физико-математических факультетов, преподавателей, а также людей, занимающихся точными науками.

Список литературы

1. Жозеф Луи Лагранж. 1736 -- 1936. Сб. статей к 200-летию со дня рождения. М. -- Л.,1937 [с. 231-232].

2. Лагранж Ж.Л. Аналитическая механика. М. -- Л., 1950 [с. 12, 14].

3. Белл Э. Т. Творцы математики. М.: Просвещение, 1979, глава 10.

4. История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука. Том 111: Математика ХV111 столетия. (1972) [с. 350].

5. Тюлина H. А. Жозеф Луи Лагранж: 1736 -- 1813. М.: Книжный дом «Либроком», 2010, Серия: Физико-математическое наследие [с.224]

6. Сайт: http//mathem.hl.ru/lagranzh.html

Размещено на Allbest.ru