Бесконечно малые функции

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Глава 1. Бесконечно малые функции

1.1 Понятие бесконечно малых функций

1.2 Свойства бесконечно малых функций

1.3 Вычисление пределов

Глава 2. Эквивалентные функции

2.1 Эквивалентные бесконечно малые функции

Глава 3. Символ «o» малое

3.1 Определения

3.2 Обозначения

3.3 Другие подобные обозначения

3.4 Основные свойства

3.5 Асимптотические обозначения в уравнениях

3.6 Примеры использования

Глава 4. Асимптотические равенства

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Понятие бесконечности является одним из наиболее важных и в то же время "таинственных" в науке. Еще в древности многие философы и математики задумывались над противоречивостью этого понятия. Как пишет Ф. Энгельс, "противоречием является уже то, что бесконечность должна слагаться из одних только конечных величин, а между тем это именно так. Ограниченность материального мира приводит к не меньшим противоречиям, чем его безграничность, и всякая попытка устранить эти противоречия ведет к новым худшим противоречиям. Именно тому, что бесконечность есть противоречие, она представляет собой бесконечный, без конца развертывающийся во времени и пространстве процесс. Уничтожение этого противоречия было бы концом бесконечности.

В математике противоречия, связанные с идеей бесконечного числа, обострились после создания в конце XIX в. теории бесконечных множеств и последовавшего вскоре парадоксов этой теории. В то время как многие ученые, не обращая внимания на такие парадоксы, широко используют в своих работах теорию множеств, другие подвергают теоретико-множественные методы в математике жестокой критике. Споры, связанные с теорией множеств, стали еще ожесточеннее после того, как группа французских математиков, пишущих под псевдонимом Николя Бурбаки, попыталась построить все здание математической науки, опираясь лишь на понятие множества. Эта попытка, восторженно встреченная рядом математиков и оказавшая значительное влияние на развитие науки XX в., подвергалась осуждению со стороны других ученых за излишнюю формализацию, попытку оторвать математическую науку от питающих ее животворных практических приложений.

Введение актуальной бесконечности как базисного научного понятия в математику, как почти всякое значительное нововведение в науке, создало столько же новых проблем, сколько и позволило решить старых. Точнее говоря, создало, конечно же, больше. Однако с самого начала удалось провести аккуратное различение понятий в области, где столь долгое время было много путаницы.

Именно благодаря данной проблеме философия и математика сблизились, так как общей целью этих наук является достижение истинного знания по бесконечной величине. Не случайно же понятие бесконечного исследовалось в работах Больцано и Кантора, которые были как философами, так и математиками. Поэтому данная тема всегда актуальна.

Определившись с темой работы, передо мной возникла цель - исследовать свойства бесконечно малых функций.

Для подготовки работы я активно использовал работы Банаха, Богачева, Грина, а также литературу, содержащую основные положения их работ.

математика число уравнение алгоритм

Глава 1. Бесконечно малые функции

1.1 Понятие бесконечно малых функций

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x>a или при x>?, если или , т.е. бесконечно малая функция - это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Примеры.

1. Функция f(x)=(x-1)² является бесконечно малой при x>1, так как (см. рис.).

Рисунок 1

2. Функция f(x)= tgx - бесконечно малая при x>0.

3. f(x)= ln (1+x) - бесконечно малая при x>0.

4. f(x)= 1/x - бесконечно малая при x>?.

Установим следующее важное соотношение:

Теорема. Если функция y=f(x) представима при x>a в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины

б(x): f(x)=b+б(x)то.

Обратно, если , то f(x)=b+б(x), где a (x) - бесконечно малая при x>a.

Доказательство.

1. Докажем первую часть утверждения. Из равенства f(x)=b+б(x) следует |f(x) - b|=|б|. Но так как a(x) - бесконечно малая, то при произвольном е найдется д - окрестность точки a, при всех x из которой, значения a(x) удовлетворяют соотношению |б(x)|<е. Тогда |f(x) - b|<е. А это и значит, что .

2. Если , то при любом е>0для всех х из некоторой д - окрестность точкиa будет |f(x) - b|<е. Но если обозначим f(x) - b= б, то|б(x)|<е, а это значит, что a - бесконечно малая.

Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций.

Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

Доказательство. Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть f(x)=б(x)+в(x), где и . Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом е>0 найдется д>0, такое, что для x, удовлетворяющих неравенству |x - a|<д, выполняется |f(x)|<е.

Итак, зафиксируем произвольное число е>0. Так как по условию теоремы б(x)- бесконечно малая функция, то найдется такое д₁>0, что при |x - a|<д₁ имеем |б(x)|<е/2. Аналогично, так как в(x)- бесконечно малая, то найдется такое д₂>0, что при |x - a|<д₂ имеем | в(x)|<е/2.

Возьмем д=min{д₁,д₂}.Тогда в окрестности точки a радиуса д будет выполняться каждое из неравенств |б(x)|<е/2 и| в(x)|<е/2. Следовательно, в этой окрестности будет

|f(x)|=| б(x)+в(x)| ?|б(x)| + | в(x)| <е/2 +е/2=е,

т.е. |f(x)|<е, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой функцииa (x) на ограниченную функцию f(x) при x>a (или при x>?) есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значения хx из некоторой окрестности точкиa |f(x)|?M. Кроме того, так как a(x) - бесконечно малая функция при x>a, то для произвольного е>0 найдется окрестность точки a, в которой будет выполняться неравенство |б(x)|<е/M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем |бf|<е/M= е. А это и значит, что af - бесконечно малая. Для случая x>? доказательство проводится аналогично.

Из доказанной теоремы вытекают:

Следствие 1. Если и , то .

Следствие 2. Если и c=const, то.

Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции б(x) на функцию f(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Пусть . Тогда 1/f(x) есть ограниченная функция. Поэтому дробь есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.

1.2 Свойства бесконечно малых функций

Свойства бесконечно малых.

1. Если функции и являются бесконечно малыми, то функция также есть бесконечно малая. Это свойство распространяется на случай алгебраической суммы любого конечного числа бесконечно малых.

2. Произведение ограниченной при функции на бесконечно малую есть функция бесконечно малая.

3. Произведение постоянной на бесконечно малую есть бесконечно малая.

4. Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая. Это свойство распространяется на любое конечное число бесконечно малых.

1.3 Вычисление пределов

1. Исследуем поведение дробно-рациональной функции, когда

, то есть

Многочлены стремятся к бесконечности, когда .

Вынесем в каждом многочлене высшую степень за скобки:

Пример 1. .

Пример 2. .

Пример 3. .

2. Пусть теперьx . P_n(a)= 0,Q_m(a)=0, то есть x = a является корнем (нулём) каждой из функций P_n(x) и Q_m(x), а, значит, можно выделить множитель(x - a), то есть

.

и ,

То x = a - простой корень каждого из многочленов. Сокращая общий множитель, получаем ответ:

.

,, то,

,.

Пример 4. .

При вычислении пределов, содержащих иррациональные выражения, часто используются следующие приёмы:

а) введение новой переменной для получения рационального выражения; б) перевод иррациональности из знаменателя в числитель и наоборот.

Глава 2. Эквивалентные функции

2.1 Эквивалентные бесконечно малые функции

Определение: бесконечно малые функции и называются эквивалентными или равносильными бесконечно малыми одного порядка при , если

Обозначают: при .

Пример:

Задание. Проверить, являются ли функции и эквивалентными бесконечно малыми при .

Решение. Проверим вначале, что данные функции являются бесконечно малыми функциями в точке :

Найдем предел отношения этих функций:

Ответ. Заданные функции и являются эквивалентными бесконечно малыми.

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций при

Предельные равенства для эквивалентных бесконечно малых функций.

Теорема:

Предел отношения двух б.м. функций и при равен пределу отношения эквивалентных им б.м. функций и при , то есть верны предельные равенства:

Пример:

Задание. Найти предел

Решение. При :

Ответ.

Теорема:

Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем каждая из них.

Верно и обратное утверждение.

Теорема:

Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Слагаемое, которое эквивалентно сумме б.м. функций, называется главной частью указанной суммы.

Замена суммы бесконечно малых функций ее главной частью называется отбрасыванием бесконечно малой высшего порядка.

Пример:

Задание. Найти предел

Решение. При :,

Ответ.

· Найти

Заменяяэквивалентной величиной, получаем

· Найти

Так как при получим

· Вычислить .

Используя формулу: , тогда как, используя калькулятор (более точные вычисления), получили: , таким образом ошибка составила 0,005 (менее 1%), то есть метод полезен, благодаря своей простоте, при грубой оценке арифметических корней близких к единице.

Глава 3. Символ «o» малое

3.1 Определение

«o» малое () -- математические обозначения для сравнения асимптотического поведения функций. Используются в различных разделах математики, но активнее всего -- в математическом анализе, теории чисел и комбинаторике, а также в информатике и теории алгоритмов.

, «о малое от » обозначает «бесконечно малое относительно », пренебрежимо малую величину при рассмотрении .

Пусть и -- две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки , причем в этой окрестностине обращается в ноль. Говорят, что:

· является «O» большим от при , если существует такая константа , что для всехиз некоторой окрестности точкиимеет место неравенство ;

· является «о» малым от при , если для любого найдется такая проколотая окрестность точки , что для всех имеет место неравенство

Иначе говоря, в первом случае отношение в окрестности точкиограничено сверху, а во втором оно стремится к нулю при .

3.2 Обозначения

Обычно выражение «f является „O“ большим („о“ малым) от g» записывается с помощью равенства f(x) =O(g(x)) (соответственно, f(x) =o(g(x))).

Это обозначение очень удобно, но требует некоторой осторожности при использовании (а потому в наиболее элементарных учебниках его могут избегать). Дело в том, что это не равенство в обычном смысле, а несимметричное отношение.

В частности, можно писать

(или),

но выражения

(или)

бессмысленны.

Другой пример: при верно, что

.

,

т.е. бесконечно малая величина является ограниченной, но неверно, что ограниченная величина является бесконечно малой:

.

Вместо знака равенства методологически правильнее было бы употреблять знаки принадлежности и включения, понимая O и o как обозначения для множеств функций, то есть, используя запись в форме

Однако на практике такая запись встречается крайне редко, в основном, в простейших случаях.

При использовании данных обозначений должно быть явно оговорено (или очевидно из контекста), о каких окрестностях (одно- или двусторонних; содержащих целые, вещественные или комплексные числа ит.п.) и о каких допустимых множествах функций идет речь (поскольку такие же обозначения употребляются и применительно к функциям многих переменных, к функциям комплексной переменной, к матрицам и др.).

3.3 Другие подобные обозначения

Для функций f(n) и g(n) при n > n₀ используются следующие обозначения:

Таблица 1

Обозначение	Интуитивное объяснение	Определение
	ограничена сверху функцией(с точностью до постоянного множителя) асимптотически
	ограничена снизу функцией(с точностью до постоянного множителя) асимптотически
	ограничена снизу и сверху функциейасимптотически
	доминирует надасимптотически
	доминирует надасимптотически
	эквивалентнаасимптотически

Где U -- проколотая окрестность точки n₀.

3.4 Основные свойства

Транзитивность:

Рефлексивность:

Симметричность:

Перестановочная симметрия

Другие:

3.5 Асимптотические обозначения в уравнениях

· Если в правой части уравнения находится только асимптотическое обозначение (наприме рn=O(nІ)), то знак равенства обозначает принадлежность множеству (nЃёO(nІ)).

· Если в уравнении асимптотические обозначения встречается в другой ситуации, они рассматриваются как подставляемые взамен их некоторые функции. Например, при x> 0 формула обозначает, что , где -- функция, о которой известно только то, что она принадлежит множеству . Предполагается, что таких функций в выражении столько, сколько раз встречаются в нём асимптотические обозначения. Например, -- содержит только одну функцию из класса .

· Если асимптотические обозначения встречаются в левой части уравнения, используют следующее правило: какие бы мы функции ни выбрали (в соответствии с предыдущим правилом) взамен асимптотических обозначений в левой части уравнения, можно выбрать функции вместо асимптотических обозначений (в соответствии с предыдущим правилом) в правой части так, что уравнение будет правильным. Например, запись обозначает, что для любой функции , существует некоторая функция такая, что выражение -- верно для всех.

· Несколько таких уравнений могут быть объединены в цепочки. Каждое из уравнений в таком случае следует интерпретировать в соответствии с предыдущим правилом. Например: . Отметим, что такая интерпретация подразумевает выполнение соотношения .

Приведенная интерпретация подразумевает выполнение соотношения:

,

Где A, B, C-- выражения, которые могут содержать асимптотические обозначения.

3.6 Примеры использования

· при

· при (следует из формулы Стирлинга)

· при .

При выполнено неравенство . Поэтому положим .

Отметим, что нельзя положить , так как и, следовательно, это значение при любой константебольше.

· Функция при имеет степень роста .

Чтобы это показать, надо положить и . Можно, конечно, сказать, что имеет порядок , но это более слабое утверждение, чем то, что .

· Докажем, что функция при не может иметь порядок .

Предположим, что существуют константыитакие, что для всех выполняется неравенство .

Тогда для всех . Но принимает любое, как угодно большое, значение при достаточно большом , поэтому не существует такой константы, которая могла бы мажорировать для всех больших некоторого .

.

Для проверки достаточно положить . Тогда для .

Глава 4. Асимптотические равенства

Функции и при означают, что в некоторой окрестности точких_а (за исключением точки х₀)

При (х₀-конечная или бесконечная предельная точка множества, на котором определены рассматриваемые функции). Если функция g(x).не обращается в нуль в некоторой окрестности точки x₀, то это условие равносильно требованию

Иначе говоря, А. р. Функций при означает в этом случае, что относительная погрешность приближенного равенства функций и , т.е. величина является бесконечно малой при . А. р. функций содержательно для бесконечно малых и бесконечно больших функций. Асимптотические равенства функций и обозначается при и обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. В силу этого совокупность бесконечно малых при функций распадается на классы эквивалентности бесконечно малых. Примером асимптотически равных функций (они наз. также эквивалентными) при являются функции ,,

Если и при , то

причем из существования каждого из написанных пределов следует существование другого.

Заключение

В результате исследования установил, что бесконечно малые функции - это функция y=f(x) при x>a или при x>?, если или , т.е. бесконечно малая функция - это функция, предел которой в данной точке равен нулю. Бесконечно малые функции имеют следующие функции:

1. Если функции и являются бесконечно малыми, то функция также есть бесконечно малая. Это свойство распространяется на случай алгебраической суммы любого конечного числа бесконечно малых.

2. Произведение ограниченной при функции на бесконечно малую есть функция бесконечно малая.

3. Произведение постоянной на бесконечно малую есть бесконечно малая.

4. Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая. Это свойство распространяется на любое конечное число бесконечно малых.

Эквивалентные функции - это бесконечно малые функции и называемые также равносильными бесконечно малыми функциями одного порядка при , если

Символ «o» малое - математическое обозначение для сравнения асимптотического поведения функций. Используемое в различных разделах математики, но активнее всего -- в математическом анализе, теории чисел и комбинаторике, а также в информатике и теории алгоритмов.

Таким образом, можно представить, что без употребления этих функций, символов и равенств будет не возможно решение многих задач, например таких как нахождение пределов:

Исследуем поведение дробно-рациональной функции, когда

, то есть

Многочлены стремятся к бесконечности, когда .

Вынесем в каждом многочлене высшую степень за скобки:

Пример1. .

Пример2. .

Пример3. .

Список использованной литературы

1. Д. Грин, Д. Кнут. Математические методы анализа алгоритмов. -- Пер. с англ. -- М.: Мир, 1987.

2. В.Н. Крупский. Введение в сложность вычислений. -- М.: Факториал Пресс, 2006.

3. Бугров, Никольский. Высшая математика, том 2.

4. Зорич В.А. Математический анализ.

5. Хелемский A.Я. Лекции по функциональному анализу.- М.: МЦНМО, 2009.

6. Богачев В.И., Смолянов О.Г.Действительный и функциональный анализ. Университетский курс. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009.

7. Банах С.Теория линейных операций. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

Размещено на Allbest.ru

...