Статистическое исследование случайной величины

Размещено на http://www.allbest.ru/

ПРИЛОЖЕНИЕ

К КУРСОВОЙ РАБОТЕ ПО ДИЦИПИПЛИНЕ

“ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА”

Химки 2014



Аннотация

Статистическое исследование случайной величины.

Новогорск, АГЗ МЧС, 2014г, 23 страницы, 8 таблиц. Список литературы - 3 наименования. Приложение к курсовой работе.

В данном курсовом проекте составляется и исследуется выборка, состоящая из 100 чисел таблицы № 1, выполняются задания I и II. Далее составляется выборка, состоящая из 20 чисел таблицы № 1. Выполняются задания III и IV.

Применяются различные методы статистики для вычисления показателей. Результатом выполнения курсовой работы является умение и навыки работы со статистическими данными.

Основными целями данной курсовой работы являются:

Закрепление, обобщение и углубление знаний, полученных при изучении курса высшей математики.

Овладение навыками применения приоритетных знаний для комплексного решения конкретных практических задач, производства расчетов, программирования.

Развитие навыков самостоятельного проведения научных исследований, обоснование применяемых решений.



Содержание

Введение

1. Теоретическая часть

1.1 Методы статистической обработки результатов выборки

1.2 Точечные оценки параметров распределения выборки

1.3 Интервальные оценки параметров распределения выборки

1.4 Статистическая проверка статистических гипотез

2. Практическая часть

2.1 Графическое представление выборки

2.2 Точечные оценки параметров распределения

2.3 Интервальные оценки параметров нормально распределенной случайной величины

2.4 Статистическая проверка статистических гипотез

Заключение

Список литературы



Введение

Математическая статистика - наука, разрабатывающая математические методы систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов.

Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, позволяющая оценивать надежность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала(например, оценить необходимый объем выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании).

Первая задача математической статистики - указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов.

Вторая задача математической статистики - разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования.

Первые начала математической статистики можно найти уже в сочинениях создателей теории вероятностей -- Я. Бернулли (конец 17 -- начало 18 веков), П. Лапласа (2-я половина 18 -- начало 19 веков) и С. Пуассона (1-я половина 19 века). В России методы математической статистики в применении к демографии и страховому делу развивал на основе теории вероятностей В. Я. Буняковский (1846). Решающее значение для всего дальнейшего развития математической статистики имели работы русской классической школы теории вероятностей 2-й половины 19 -- начала 20 веков (П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. М. Ляпунов, С. Н. Бернштейн). Многие вопросы теории статистических оценок были по существу разработаны на основе теории ошибок и метода наименьших квадратов [К. Гаусс (1-я половина 19 века) и А. А. Марков (конец 19 -- начало 20 веков)]. Работы А. Кетле (19 век, Бельгия), Ф. Гальтона (19 век, Великобритания) и К. Пирсона (конец 19 -- начало 20 веков, Великобритания) имели большое значение, но по уровню использования достижений теории вероятностей отставали от работ русской школы. К. Пирсоном была широко развёрнута работа по составлению таблиц функций, необходимых для применения методов математической статистики. В создании теории малых выборок, общей теории статистических оценок и проверки гипотез (освобожденной от предположений о наличии априорных распределений), последовательного анализа весьма значительна роль представителей англо-американской школы [Стьюдент (псевдоним У. Госсета), Р. Фишер, Э. Пирсон -- Великобритания, Ю. Нейман, А. Вальд -- США], деятельность которых началась в 20-х годах 20 века. В СССР значительные результаты в области математической статистики получены В. И. Романовским, Е. Е. Слуцким, которому принадлежат важные работы по статистике связанных стационарных рядов, Н. В. Смирновым, заложившим основы теории непараметрических методов математической статистики Ю. В. Линником, обогатившим аналитический аппарат математической статистики новыми методами. На основе данной науки особенно интенсивно разрабатываются статистические методы исследования и контроля массового производства, статистические методы в области физики, гидрологии, климатологии, звёздной астрономии, биологии, медицины и другие.

Основными целями данной курсовой работы являются:

1. Закрепление, обобщение и углубление знаний, полученных при изучении курса высшей математики.

2. Овладение навыками применения приобретенных знаний для комплексного решения конкретных практических задач, производства расчетов, программирования.

3. Развитие навыков самостоятельного проведения научных исследований, обоснования применяемых решений и самостоятельного научного творчества.



1. Теоретическая часть

1.1 Методы статистической обработки результатов выборки

Выборка и способы ее задания

Генеральной совокупностью называют полную совокупность объектов, из которых производится выборка.

Выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов из генеральной совокупности.

Объемом выборки называют число объектов этой выборки.

Если результаты выборки представлены числовыми значениями, то размах выборки - это разность между самым большим и самым малым значениями выборки.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем числовое значение x1 наблюдалось n1 раз, x2 - n2 раза, … , xr - nr раз. Тогда объем выборки

. (1)

Наблюдаемые значения xi выборки называют вариантами, а их последовательность, записанная в возрастающем порядке, - вариационным рядом. Числа ni называют частотами соответствующих вариантов, wi = ni/n - относительными частотами.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариантов и соответствующих им частот. Таким образом, статистическое распределение выборки задается в виде двух строк:

x1, x2, … , xr (2)

n1, n2, … , nr

или в виде таблицы, состоящей из двух строк (столбцов):

xi:c	x1	x2	…	xr
ni:	n1	n2	…	nr

Замечание. В тех случаях, когда число вариантов велико, статистическое распределение выборки можно задать в виде последовательности интервалов ?1, ?2, … , ?m, обычно, равной длины h. В этом случае в качестве вариантов xi*, представляющих интервал ?i, назначается среднее из вариантов, попавших на интервал, и ей назначается частота ni*, равная сумме частот вариантов из интервала. Такой способ представления выборки называют группировочным или интервальным.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения аргумента x относительную частоту наступления события, состоящего в том, что значение X выборочной варианты будет меньше x:

(4)

Графические элементы анализа

Графиком эмпирической функции распределения называют график функции F*(x). График строится на двух осях: на оси OX откладываются значения вариантов xi, а на оси OY - значения функции F*(x), подсчитываемые по формуле (4). График представляет ступенчатую фигуру, начинающуюся с 0 для x ? x1, и монотонно поднимающуюся до значения 1 при xr < x.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x1;n1), (x2;n2), … , (xr;nr).

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x1, w1), (x2, w2), … , (xr, wr).

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы ?i длиной h и высотой ni/h (плотность частот).

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы ?i длиной h и высотой wi/h (плотность относительных частот).

1.2 Точечные оценки параметров распределения выборки

Пусть из генеральной совокупности в результате n испытаний над количественным признаком X извлечена выборка объемом n: варианты x1, … , xr и их частоты n1, … , nr.

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Точечные оценки обычно используют в тех случаях, когда число наблюдений велико.

Выборочной средней xв называют среднее арифметическое значение вариантов выборки. Если значения вариант x1, x2, … , xr имеют соответственно частоты n1, n2, … , nr, то

. (5)

Выборочной дисперсией Dв называют среднее арифметическое квадратов отклонений вариантов xi от их среднего значения xв, т.е.



. (6)

Выборочным средним квадратическим отклонением ув называют квадратный корень из выборочной дисперсии Dв

. (7)

Исправленную (несмещенную оценку) дисперсию s2 выборки получают по формуле

. (8)

Аналогично вводится исправленное среднее квадратическое отклонение s

. (9)

1.3 Интервальные оценки параметров распределения выборки

Интервальной называют оценку, которая задается в виде интервала. Интервальные оценки удобно использовать в тех случаях, когда число наблюдений n относительно невелико.

Пусть для неизвестного параметра и количественного признака X генеральной совокупности статистическими методами найдено значение и*. Зададимся точностью д, т.е. | и - и* | < д.

Надежностью оценки неизвестного параметра и по вычисленному статистическими методами значению и* называют вероятность г, с которой выполняется неравенство| и - и* | < д, при этом д называется точностью оценки. В статистике обычно задаются надежностью г и определяют точность д.

Доверительным интервалом для параметра и называют интервал (и* - д, и* + д), который покрывает неизвестный параметр и с вероятностью г:

P[и* - д <X < и* + д] = г.

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение у неизвестно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание a по результатам выборки с заданной надежностью г.

Доверительный интервал с уровнем надежности г для математического ожидания a признака X, распределенного нормально, при неизвестном среднем квадратическом отклонении определяется как

, (10)

где xв - выборочное среднее; s - исправленное среднее квадратическое отклонение выборки; n - объем выборки. Точность оценки д в этом случае . Значение tг = t(г,n) можно найти из справочной таблицы ”Таблица значений tг = t(г,n)” для распределения Стьюдента.

Доверительный интервал с уровнем надежности г для среднего квадратического отклонения у признака X, распределенного нормально, определяется как

, (11)

где s - исправленное среднее квадратическое отклонение выборки; n - объем выборки. Значение q = q(г,n) можно найти из справочной таблицы ”Таблица значений q = q(г,n)” для распределения ч2.

В случае, когда q >1 доверительный интервал имеет вид .(11')

1.4 Статистическая проверка статистических гипотез

Статистической называют гипотезу (предположение) о виде неизвестного распределения или о параметрах известного распределения. Основной или нулевой гипотезой H0 называют выдвинутую гипотезу о неизвестном распределении, вместе с основной H0 выдвигается и конкурирующая (альтернативная) гипотеза H1, противоречащая основной.

Основной принцип проверки статистических гипотез состоит в следующем:

- в зависимости от вида гипотезы и характера неизвестного распределения вводится функция K, называемая критерием, по значениям ее будет приниматься решение о принятии или отклонении основной гипотезы H0. Вводится также уровень значимости б как вероятность того, что будет отвергнута верная нулевая гипотеза и принята неверная гипотеза H1.

Областью принятия гипотезы H0 называют те значения критерия K, при которых основная гипотеза H0 принимается, критической областью - отвергается. Для каждой выборки и конкретного вида критерия K по специальным таблицам находятся значения kкр, называемые критическими точками; критические точки отделяют область принятия гипотезы от критической области. Правосторонней называют критическую область, где K > kкр, левосторонней K < kкр и двусторонней (и симметричной) | K| > kкр.

Пусть из генеральной совокупности в результате n испытаний над количественным признаком X извлечена выборка объемом n: равноотстоящие с шагом h варианты x1, … , xr и их частоты n1, … , nr. Для нее подсчитаны по формулам (5-9) выборочное среднее xв и выборочное среднее квадратическое отклонение ув.

Для проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности c уровнем значимости б используется критерий ч2 Пирсона:

(12)

Критическое значение ч2кр = ч2 (б,k) для этого критерия находится из справочной таблицы “Критические точки распределения ч2”. Здесь k = r - 3. Если вычисленное по результатам наблюдений по формуле (12) значение критерия ч2набл больше ч2кр, основная гипотеза отвергается, если меньше - нет оснований отвергнуть основную гипотезу.

Если варианты x1, x2, … , xr не являются равноотстоящими или число их сравнительно велико, удобно сгруппировать варианты в отдельные интервалы ( не обязательно равноотстоящие ) [x1*;x2*), [x2*;x3*), …, [xm-1*;xm*). Каждому интервалу назначается представительное значение, равное середине интервала xi.ср* = (xi* + xi-1*)/2 и частота ni*, равная сумме частот, попавших на интервал. В соответствии с критерием Пирсона, частоты ni*, попавшие на интервалы [xi* ; xi-1*), сравниваются с теоретическими частотами ni', вычисленными для соответствующих интервалов нормальной случайной величины Z с нулевым математическим ожиданием и единичным средним квадратическим отклонением (Z принадлежит N(0,1)).

, (13)

ni' = nPi, где n - объем выборки;

Pi = Ф(zi+1) - Ф(zi), вероятности попадания X на интервал (xi*,xi+1*) или

Z на (zi,zi+1);

zi = (xi ср*-xв*) / у*; i = 2,3,..,m-1; крайние интервалы открываем z1 = -?,

zm = ?, а Ф(zi) - значение функции Лапласа.

Критическое значение ч2кр = ч2 (б,k) для этого критерия находится из справочной таблицы “Критические точки распределения ч2”. Здесь k = m - 3. Если вычисленное по результатам наблюдений по формуле (13) значение критерия ч2набл меньше ч2кр, нет оснований отвергнуть основную гипотезу, если больше - основная гипотеза не принимается.

Для проверки гипотез о дисперсии у2 генеральной совокупности с нормальным законом распределения при заданном уровне значимости б используется критерий

, (14)

где s2 - исправленная дисперсия выборки; n - объем выборки; у02 - гипотетическое значение дисперсии.

А) Пусть выдвинута нулевая гипотеза H0: у2 = у02 о равенстве неизвестной генеральной дисперсии у2 предполагаемому значению у02 при конкурирующей гипотезе H1: у2 ? у02. Для проверки этой гипотезы по результатам выборки вычисляется значение критерия (14) ч2выб. Затем по таблице «Критические точки распределения ч2», по заданному уровню значимости б и числу степеней свободы k = n - 1 находятся левое критическое значение ч2лев.кр(1 - б/2;k) и правое критическое значение ч2прав.кр(б/2;k). Если при этом ч2лев.кр < ч2выб < ч2прав.кр, нет оснований отвергнуть основную гипотезу, конкурирующая - отвергается. В противном случае принимается конкурирующая гипотеза и отвергается основная.

Б) Пусть теперь выдвинута нулевая гипотеза H0: у2 = у02 о равенстве неизвестной генеральной дисперсии у2 предполагаемому значению у02 при конкурирующей гипотезе H1: у2 > у02. Для проверки этой гипотезы по результатам выборки вычисляется значение критерия (14) ч2выб. Затем по таблице «Критические точки распределения ч2», по заданному уровню значимости б и числу степеней свободы k = n - 1 находится критическое значение ч2кр( б;k). Если при этом ч2выб < ч2кр, нет оснований отвергнуть основную гипотезу, а конкурирующая - отвергается.

В) Пусть теперь выдвинута нулевая гипотеза H0: у2 = у02 о равенстве неизвестной генеральной дисперсии у2 предполагаемому значению у02 при конкурирующей гипотезе H1: у2 < у02. Для проверки этой гипотезы по результатам выборки вычисляется значение критерия (14) ч2выб. Затем по таблице «Критические точки распределения ч2», по заданному уровню значимости б и числу степеней свободы k = n - 1 находится критическое значение ч2кр( 1- б;k).

Если при этом ч2выб > ч2кр, нет оснований отвергнуть основную гипотезу, конкурирующая - отвергается.

выборка статистический интервальный точечный



2. Практическая часть

Выполнение расчетной работы.

Выполнение всех расчетов и построений разбито по шагам 1-16.

Таблица 1Исходные данные по выборке (6-105)

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
156,6	181	198,9	181,4	187,6	198,3	155,7	180,9	164,3	199,3
178,1	168,6	169,4	191,5	191	124,1	241,1	171	157,3	190,3
168,3	198,4	180	184,5	179,7	163,4	196,5	175	199,1	185,7
212,8	179,2	196,6	190,1	194,1	164,4	162,1	188	141,9	206,4
192,1	170,3	193,3	168,5	182,4	174,7	204,4	183,2	182,1	179,2
194,7	169,1	136,4	178,8	186,4	180,4	175,1	186	144,9	188,2
192,9	172,2	147,6	168,8	172,8	183,9	149,5	162,6	146	186,4
193,7	188,3	183	178	168,5	187,3	158,3	163,4	166,4	201,1
190	176,3	178,7	195,2	225,7	183,5	168,1	143,4	136,1	152,6
164,3	181,3	162	182,7	148,3	169,7	122,2	172,2	171,9	188,1

2.1 Графическое представление выборки.

1. Минимальное и максимальное значения, размах выборки.

Размах(R)= X max- X min. Xmin= 122,2

Xmax= 241,1

R= 118,9

2. Разбиваем значения выборки на 10 интервалов.

R=118,9. ?(шаг выборки)=11,89



Таблица 2

1	122,2	134,9
2	134,9	146,79
3	146,79	158,68
4	158,68	170,57
5	170,57	182,46
6	182,46	194,35
7	194,35	206,24
8	206,24	218,13
9	218,13	230,02
10	230,02	241,91

3. Cоставьте вариационный ряд и статистическое распределение выборки.

Таблица 3.

	Вар. ряд	Интервал	Ni	?	Xi среднее
1	122,2	122,2-134,09	3	372	124
	124,1
	125,7
2	136,1	134,9-146,79	6	848,7	141,45
	136,4
	141,9
	143,4
	144,9
	146
3	147,6	146,79-158,68	7	1073,3	153,3285714
	148,3
	149,5
	155,7
	156,6
	157,3
	158,3
4	162	158,68-170,57	21	3501,6	166,7428571
	162,1
	162,6
	163,4
	163,4
	164,3
	164,3
	164,4
	166,4
	168,1
	168,3
	168,5
	168,5
	168,6
	168,8
	169,1
	169,1
	169,4
	169,7
	170,3
	170,3
	171	170,57-182,46	24	4252,2	177,175
	171,9
	172,2
	172,2
	172,2
	172,8
	174,7
	175
	175,1
	176,3
	178
	178,1
	178,7
	178,8
	179,2
	179,2
	179,7
	180
	180,4
	180,9
	181
	181,3
	181,4
	182,1
6	182,4	182,46-194,35	31	4699,7	151,6032258
	182,7
	183
	183,2
	183,5
	183,9
	184,5
	185,7
	186
	186,4
	187,3
	187,6
	188
	188,2
	188,3
	190
	190,1
	190,3
	191
	191,5
	192,1
	192,9
	193,3
	193,7
	194,1
7	194,7	194,35-206,24	10	1981,4	198,14
	195,2
	196,5
	196,6
	198,3
	198,4
	198,9
	199,1
	199,3
	204,4
8	206,4	206,24-218,13	2	419,2	209,6
	212,8
9	225,7	218,13-230,02	1	225,7	225,7
10	241,1	230,02-241,91	1	241,1	241,1



4. Постройте эмпирическую функцию распределения.

Перечень нужных статистических параметров выборки:

Таблица 4

	Ni	Ni cр	Сi= Ni/?	Wi= Ni/N	Wi=Wi/?	F*i
1	3	124	0,25231	0,03	0,00252
2	6	141,45	0,50463	0,06	0,00505
3	7	153,3285714	0,58873	0,07	0,00589
4	21	166,7428571	1,76619	0,21	0,01766
5	24	177,175	2,018503	0,24	0,020019
6	31	151,6032258	2,6073	0,31	0,02607
7	10	198,14	0,84104	0,1	0,00841
8	2	209,6	0,1682	0,02	0,00168
9	1	225,7	0,084	0,01	0,00084
10	1	241,1	0,084	0,01	0,00084

Wi= Ni/N -статистическая частота

Сi= Ni/? - приведенная частота

Wi=Wi/? - приведенная относительная частота

F*i =?Wk -эмпирическая функция распределения вероятности

?= 11,89

5. Постройте полигон частот. См. Приложение к курсовой работе.

6. Постройте полигон относительных частот. См. Приложение к курсовой работе.

7. Постройте гистограмму частот. См. Приложение к курсовой работе.

8. Постройте гистограмму относительных частот. См. Приложение к курсовой работе.

2.2 Точечные оценки параметров распределения

Рассчитайте выборочное среднее.

Хв.=? Wi * Xi ср.

Xв.= 176,149

Вычислите выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение.

Dв.=? wi (Ni ср- Xв) 2

Dв.=81,43+72,41+35,52+21,63+0,217+186,68+47,96+21,58+24,454+42,185=534,066

Среднее квадратическое отклонение

()= vD=v534,066=23,109

Вычислите исправленную выборочную дисперсию и исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение.

=534,066*100/99=539,46

Исправленное среднее квадратическое отклонение ()=v =v539,46=23,226

Хв.	176,149
Dв.	534,066
	23,109



	539,46
	23,226

Составляем выборку, состоящую из 20 чисел таблицы № 1, начиная с числа n, номер которого указан в таблице № 2. Выполняем задания III и IV.

Исходные данные по выборке с N=6 (51-70)

Таблица 5.
N	СВ	Вар.ряд
1	186.4	155,7
2	172.8	160,8
3	169.5	161,9
4	225.7	162,6
5	175.7	164,4
6	160.8	169,5
7	191.3	169,7
8	174.1	172,8
9	161.9	174,1
10	164.4	175,7
11	179.7	179,7
12	180.4	180,4
13	183.9	183,5
14	187.3	183,9
15	183.5	186,4
16	169.7	187,3
17	155.7	191,3
18	201.1	194,5
19	194.5	201,1
20	162.6	225,7

2.3 Интервальные оценки параметров нормально распределенной случайной величины

Вычислите доверительный интервал для оценки математического ожидания при неизвестном среднем квадратическом отклонении с надежностью 0,95.

Объем выборки n= 20

Надежность= 0,95

Найдем доверительный интервал для оценки М(х):

Хn=?xi/n ?xi=3581 Хв.= 3581/20=179,05

=?(Xi-Xn)2/n-1

=1/19((155,7-179.05)2+(160,8-179.05)2+(161,9-179.05)2+(162,6-179.05)2+(164,4-179.05)2+(169,5-179.05)2+(169,7-179.05)2+(172,8-179.05)2+(174,1-179.05)2+(175,7-179.05)2+(179,7-179.05)2+(180,4-179.05)2+(183,5-179.05)2+(183,9-179.05)2+(186,4-179.05)2+(187,3-179.05)2+(191,3-179.05)2+(194,5-179.05)2+(201,1-179.05)2+(225,7-179.05)2)=1/19*(545,23+333,06+294,13+270,6+214,63+91,20+87,43+39,06+24,5+11,23+0,4225+1,8225+19,80+23,5225+54,0225+68,0625+150,065+238,7025+486,2025+2,176,2225)= 2955,8687225/19=155,572

=155,572 =12,473

Доверительный интервал для математического ожидания равен:

n=20; г=0.95

tг=2.09

xв-tг s/n1/2 < a < xв+tг s/n1/2

179,05- 5.83 < a < 179,05+5.83

173.22< a < 184,88

Вычислите доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения с надежностью 0,95.



При объеме выборки n=20 и надежностью г=0.95,

s(1-q) < у < s(1+q)

Значение q находим из таблиц: q=0.37.

Тогда доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения у равен:

12,473 (1-0.37)< у < 12,473(1+0.37)

7,85 < у < 17,08

2.4 Статистическая проверка статистических гипотез

Проверьте гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости = 0,05.

В качестве нулевой (основной) гипотезы Н0 примем предположение о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости б = 0,05.

Разобьем выборку на 5 равных частей.

Размах(R)= X max- X min. Xmin= 155,7

Xmax= 225,7

R= 70

N= (X max- X min)/5=70/5=14 ?(шаг выборки)=14

Замечание: Интервалы, где частоты малы, могут быть объединены с соседними. В этом случае частоты складываются. В примере можно было бы объединить первый и второй интервалы с объединенной частотой 1+ 2.



Таблица 6.
№	границы интервалов	Xi ср	Частота ni
	Xi	Xi+1
1	155,7	169,7	163,51	7
2	169,7	183,7	177,7	6
3	183,7	197,7	188,68	5
4	197,7	211,7	211,7	1
5	211,7	225,7	225,7	1

Xв.=(?Xicp*ni)/20=1/20(1144,47+1066,2+934,4+211,7+225,7)=1/20*3581,77=179,0885

Xв.= 179,0885

=v(? (Xicp- Xв.)2*ni/20)

? (Xicp- Xв.)2*ni/20= 1/20*(7(163,51-179,0885)2+6(177,7-179,0885)2+5(188,68-179,0885)2+1(211,7-179,0885)2+1(225,7-179,0885)2=1/20(1697,90+11,5678+459,984+1063,50+2172,63)=1/20*5405,5818=270,27909

=v270,279=16,44

От случайной величины X перейдем к стандартной случайной величине Z из N(0,1), сдвинув математическое ожидание хв в начало координат и пронормировав по у* к единице: zi = (xi*- хв*)/ у*; i = 1, 2, 3, 4, 5; при этом полагаем z1=-?, а z6= ?.

Zi= (Xi- Xв.)/

Z1=-?

Z6=?

Таблица 7

№	границы интерв Х	границы интерв Z
	Xi	Xi+1	Zi	Zi+1
1	155,7	169,7	-?	-0,57
2	169,7	183,7	-0,57	0,28
3	183,7	197,7	0,28	1,13
4	197,7	211,7	1,13	1,98
5	211,7	225,7	1,98	?

Вычислим теоретические частоты в предположении, что Z нормальная СВ.

сi=nPi

где n-объем выборки

Pi=Ф(Zi+1)-Ф(Zi) -вероятность попадания на интервал

Ф(Zi)- функция Лапласа (ее значения определяются по справочным таблицами)

Таблица 8

№	границы интерв. Z	Ф(Zi)	Ф(Zi+1)	Pi	сi=nPi	частоты ni	(ni)2/сi
	Zi	Zi+1
1	-?	-0,57	-0,5	-0,21	0,29	0,0145	7	3379,31
2	-0,57	0,28	-0,21	0,11	0,32	0,016	6	2,26
3	0,28	1,13	0,11	0,37	0,26	0,013	5	1923,07
4	1,13	1,98	0,37	0,48	0,11	0,0055	1	181,81
5	1,98	?	0,48	0,5	0,02	0,001	1	1
				?	1	0,05	20	5487,45

Критерий Пирсона проверяет гипотезу, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение.



Вычисляем эмпирическое значение ч2набл. набл критерия Пирсона

ч2набл.=? ni*2/ ni'-n

и сравниваем его значение с критическим значением, найденным по справочным таблицам "Критические точки распределения ч2" Для уровня значимости б = 0,05 и числу степеней свободы k = m - 3 = 5 - 3 = 2 (m- число интервалов) ч2кр(0,05:2) = 6,0.

набл. =?(ni)2/сi-n =5.467,45

Вычислим эмпирическое значение критерия Пирсона () :

?=?(ni)2/сi-n = 5.467,45

?кр ( 0,5;2)=6 ;

5.467,45 < 6 ;

?набл < ?кр

Вывод: Данные наблюдения согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности. Нет оснований отвергать гипотезу Ко.



Заключение

При выполнении данной курсовой работы мы ознакомились с одной из важных тем, которую изучает высшая математика «Элементы математической статистики».

На примере выборки из 100 случайных величин, мы применили правила и законы математической статистики, которые мы получили в ходе прохождения лекций и практических занятий по теории вероятности и математической статистики.

В практической части мы выполнили следующие задачи:

Вычислили размах выборки и объем выборки, построили вариационный ряд выборки, построили график эмпирической функции распределения вероятностей, построили гистограмму приведенных частот, построили полигон частот, нашли точечные оценки параметров выборки, нашли доверительный интервал для оценки математического ожидания, нашли доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения, проверили гипотезу о нормальном распределении случайной величины x, используя критерий Пирсона при уровне значимости.

Целью данного курсового проекта является получение навыков самостоятельной обработки большого количества данных (чисел).

Результатом выполнения курсовой работы является умение работы со статистическими данными.



Список литературы

1. Топчий В.А., Дворкин П.Л. Теория вероятности, ОФИМ СО РАН, 1999 г.

2. Соловьев А. А. Лекции по теории вероятностей и математической статистике, ЧелГУ, 2003 г.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для вузов. Изд. 7, стер. - М.: Высш. шк., 2004.

Размещено на Allbest.ru

...