Иррациональность числа e
Первое появление константы в приложении к переводу на английский язык работы Непера 1618 года. Решение задачи о предельной величине процентного дохода математиком Бернулли. Математические письма Лейбница Гюйгенсу. Решения дифференциальных уравнений.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 03.06.2014 |
| Размер файла | 220,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования и науки Украины
Таврического национального университета им. В.И. Вернадского
Факультет математики и информатики
Кафедра математического анализа
Курсовая работа
"Иррациональность числа е"
Ломанов Назим Мансурович
Симферополь 2014
История возникновения числа е
Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует. Предполагается, что автором таблицы был английский математик Отред.
Саму же константу впервые вычислил математик Бернулли в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода. Он обнаружил, что если исходная сумма $1 и начисляется 100% годовых один раз в конце года, то итоговая сумма будет $2. Но если те же самые проценты начислять два раза в год, то $1 умножается на 1.5 дважды, получая $1.00Ч1.5І = $2.25. Начисления процентов раз в квартал приводит к $1.00Ч1.254 = $2.44140625, и так далее. Бернулли показал, что если частоту начисления процентов бесконечно увеличивать, то процентный доход в случае сложного процента имеет предел: константа дифференциальный уравнение
,
который равен 2,71828…
$1.00Ч(1+1/12)12 = $2.613035…
$1.00Ч(1+1/365)365 = $2.714568…
Таким образом, константа E означает максимально возможную годовую прибыль при 100% годовых и максимально частой капитализации процентов. Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690--1691 годы. Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, а первой публикацией с этой буквой была его работа "Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически"1736 год.
Соответственно, e обычно называют числом Эйлера.
Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c, буква e применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением. Почему была выбрана именно буква e, точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential ("показательный", "экспоненциальный"). Другое предположение заключается в том, что буквы a, b, c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой "свободной" буквой. Также примечательно, что буква e является первой в фамилии Эйлер (Euler).
Свойства числа е
Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального уравнения
является функция
,
где c - произвольная константа.
1. Число e иррационально и даже трансцендентно. Его трансцендентность была доказана только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e - нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.
2. Число e является вычислимым (а значит, и арифметическим) числом.
- формула Эйлера, в частности
5. т. н. "интеграл Пуассона" или "интеграл Гаусса"
6. предел
7.
8. Представление Каталана:
9. Представление через произведение:
10. Через числа Белла:
11. Мера иррациональности числа e равна 2 (что есть наименьшее возможное значение для иррациональных чисел).
Доказательство иррациональности
Предположим, что
,
где a и b - натуральные числа. Учитывая данное равенство и рассматривая разложение в ряд:
получаем следующее равенство:
Представим данную сумму в виде суммы двух слагаемых, одно из которых - сумма членов ряда по n от 0 до a, а второе - сумма всех остальных членов ряда:
Теперь перенесем первую сумму в левую часть равенства:
Умножим обе части полученного равенства на . Получим
Теперь упростим полученное выражение:
Рассмотрим левую часть полученного равенства. Очевидно, что число целое. Целым является также и число , поскольку (отсюда следует, что все числа вида целые). Тем самым левая часть полученного равенства - целое число.
Перейдем теперь к правой части. Эта сумма имеет вид
По признаку Лейбница этот ряд сходится, и его сумма S есть вещественным числом, заключенное между первым слагаемым и суммой первых двух слагаемых (со знаками), т.е.
Оба эти числа при лежат между 0 и 1. Следовательно,, т.е. - правая часть равенства - не может быть целым числом. Получили противоречие: целое число не может быть равно числу, которое не является целым. Это противоречие доказывает, что число e не является рациональным, а следовательно является иррациональным.
Примеры на число e
Число e выражается через предел следующим образом:
Это число является трансцендентным и приблизительно равно 2,718281828... (2.7, затем два раза год рождения Л.Н. Толстого). Выполнив подстановку , где при , получим альтернативную формулу для данного предела:
Здесь мы имеем дело со степенными выражениями, когда и основание и степень стремятся к числу a (или к бесконечности). Во многих случаях такие пределы удобно вычислять, предварительно логарифмируя функцию под знаком предела.
Пример 1
Вычислить предел
Решение:
Пример 2
Решение: Сделаем замену
,
что
Пример 3
Решение:
Пример 4
Сначала преобразуем основание функции:
Введем новую переменную:
В результате замены получаем
Открытые проблемы
- Неизвестно, является ли число e элементом кольца периодов.
- Неизвестно, являются ли числа и e алгебраически независимыми.
- Неизвестна мера иррациональности ни для одного из следующих чисел: , , . Ни для одного из них не известно даже, является ли оно рациональным числом, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом.
Список использованной литературы
1. Фихтенгольц Г.М., "Курс дифференциального и интегрального исчисления", в III т., Издательство: Физматлит, 2003г.
2. Демидович Б.П., "Сборник задач и упражнений по математическому анализу", 13-е изд., испр.- М.: Изд-во Моск. ун-та ЧеРо,1997. - 624с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Характеристика уравнений с разделяющимися переменными. Сущность метода Бернулли и метода Лагранжа, задачи Коша. Решение линейных уравнений n-го порядка. Фундаментальная система решений - набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.
контрольная работа [355,9 K], добавлен 28.02.2011Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.
курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.
курсовая работа [791,0 K], добавлен 12.06.2010Частное решение неоднородных дифференциальных уравнений. Геометрический смысл комплексного числа. Аргумент комплексного числа, его поиск с учетом четверти. Комплексное число в тригонометрической форме, извлечение корня третьей степени, формула Эйлера.
контрольная работа [24,8 K], добавлен 09.09.2009Сущность понятия "дифференциальное уравнение". Главные этапы математического моделирования. Задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений. Решение задач поиска. Точность маятниковых часов. Решение задачи на определение закона движения шара.
курсовая работа [918,7 K], добавлен 06.12.2013Виды дифференциальных уравнений: обыкновенные, с частными производными, стохастические. Классификация линейных уравнений второго порядка. Нахождение функции Грина, ее применение для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями.
курсовая работа [4,8 M], добавлен 29.04.2013Практическое решение дифференциальных уравнений в системе MathCAD методами Рунге—Кутты четвертого порядка для решения уравнения первого порядка, Булирша — Штера - системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и Odesolve и их графики.
лабораторная работа [380,9 K], добавлен 23.07.2012Определение интервала сходимости ряда. Сходимость ряда на концах интервала по второму признаку сравнения положительных рядов и по признаку Лейбница. Решение дифференциальных уравнений по методу Бернулли. Методы нахождения неопределённого интеграла.
контрольная работа [73,0 K], добавлен 24.04.2013Изучение истории квадратных уравнений. Анализ общего правила решения квадратных уравнений, изложенного итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки, с помощью номограммы, способом "переброски".
презентация [840,6 K], добавлен 16.01.2011Понятие о голоморфном решении задачи Коши. Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши. Решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов. Интегрирование дифференциальных уравнений.
курсовая работа [810,5 K], добавлен 24.11.2013Задачи оптимального управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Системы уравнений, определяющие дифференциальную связь между состоянием и управлением. Решение задачи о прилунении космического корабля при помощи дискретных методов.
курсовая работа [188,9 K], добавлен 25.01.2014Задачи Коши для дифференциальных уравнений. График решения дифференциального уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к однородному. Однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
лекция [520,6 K], добавлен 18.08.2012Неизвестная функция, ее производные и независимые переменные - элементы дифференциального уравнения. Семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, их систем. Методы наименьших квадратов, золотого сечения, прямоугольников.
контрольная работа [138,9 K], добавлен 08.01.2016Решение дифференциальных уравнений. Численный метод для заданной последовательности аргументов. Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции. Применение шаговых методов решения Коши.
дипломная работа [1,2 M], добавлен 16.12.2008Предмет и методы изучения дифференциальной векторно-матричной алгебры, ее структура. Векторное решение однородных и неоднородных дифференциальных уравнений. Численное решение векторно-матричных уравнений. Формулы построения вычислительных процедур.
реферат [129,3 K], добавлен 15.08.2009Общая постановка задачи решения обыкновенных дифференциальных уравнений, особенности использования метода Адамса в данном процессе. Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Адамса и точным методом, сравнение полученных результатов.
курсовая работа [673,6 K], добавлен 27.04.2011Методы построения общего решения уравнения Бернулли. Примеры решения задач с помощью него. Особое решение уравнения Бернулли и его особенности. Понятие дифференциального уравнения, его виды и свойства. Значение уравнения Бернулли в математике и физике.
курсовая работа [183,1 K], добавлен 25.11.2011Математическое объяснение метода Эйлера, исправленный и модифицированный методы. Блок-схемы алгоритмов, описание, текст и результаты работы программы. Решение обыкновенных дифференциальных (нелинейных) уравнений первого порядка с начальными данными.
курсовая работа [78,1 K], добавлен 12.06.2010Вычисление общего решения дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Расчет определенного интеграла с точностью до 0,001. Определение вероятности заданных событий, математического ожидания и дисперсии случайной величины.
контрольная работа [543,4 K], добавлен 21.10.2012Метод Эйлера: сущность и основное содержание, принципы и направления практического применения, определение погрешности. Примеры решения задачи в Excel. Метод разложения решения в степенной ряд. Понятие и погрешность, решение с помощью метода Пикара.
контрольная работа [129,0 K], добавлен 13.03.2012
