Доверительный интервал для математического ожидания

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Российский государственный гуманитарный университет»

(РГГУ)

ИНСТИТУТ ПСИХОЛОГИИ ИМ. Л.С. ВЫГОТСКОГО

ПСИХОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Самохина Ольга Павловна

ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ

Контрольная работа по предмету «Математическая статистика»

Руководитель

Гришин Александр Анатольевич

Москва 2012

Оглавление

Введение

1.Понятие о доверительных интервалах

2.Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном у

3.Замечания и пример использования доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения при известном у

Заключение

Список использованной литературы

Введение

В своей практике в большинстве случаев психологи имеют дело с ограниченным числом измерений, и задача, которая всегда стоит перед оператором, состоит в том, как оценить точность этих измерений, т.е. найти его меру приближения к истинному значению на основании группы результатов наблюдения.

В результате отдельных измерений мы получаем некоторые строго фиксированные результаты (точки) измеряемой величины. Их значения являются случайными с некоторым распределением. Случайная погрешность измерения образуется под влиянием большого числа факторов, сопутствующих процессу измерения. Важно зафиксировать отклонения и, при использовании полученных результатов, использовать подход, который будет учитывать такие флуктуации. Подходящим решением является введение понятий доверительного интервала и доверительной вероятности.

Понятие о доверительных интервалах

Точечные оценки являются приближенными, так как они указывают точку на числовой оси, в которой должно находиться значение неизвестного параметра. Однако оценка является приближенным значением параметра генеральной совокупности, которая при разных выборках одного и того же объема будет принимать разные значения, поэтому в ряде задач требуется найти не только подходящее значение параметра а, но и определить его точность и надежность.

Для этого в математической статистике используется два понятия - доверительный интервал и доверительная вероятность.

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т. е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами -- концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок (смысл этих понятий выясняется ниже).

Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика И* служит оценкой неизвестного параметра И. Будем считать И постоянным числом И может быть и случайной величиной). Ясно, что И* тем точнее определяет параметр И, чем меньше абсолютная величина разности |И--И*|. Другими словами, если д >И и |И -- И*| < д, то чем меньше д, тем оценка точнее. Таким образом, положительное число б характеризует точность оценки.

Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка И* удовлетворяет неравенству |И--И* | < д; можно лишь говорить о вероятности г, с которой это неравенство осуществляется.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки в по И* называют вероятность г, с которой осуществляется неравенство |И--И*|< д. Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве у берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

Пусть вероятность того, что | И -- И*|< д, равна у}

Р[|И -- И*|< д] = г.

Заменив неравенство | И -- И * | < б равносильным ему двойным неравенством -- д < И -- И* < б, или И* -- д < И < И* + д, имеем

Р [И -- д < И < И* + д] = г.

Это соотношение следует понимать так: вероятность того, что интервал И* -- д, И* + д) заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр И, равна г.

Доверительным называют интервал (И*--д, И*+д), который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью г.

Заметим, что интервал (И*--д, И*+д) имеет случайные концы (их называют доверительными границами). Действительно, в разных выборках получаются различные значения И*. Следовательно, от выборки к выборке будут изменяться и концы доверительного интервала, т. е. доверительные границы сами являются случайными величинами--функциями от х₁, х₂, …, х._n.

Так как случайной величиной является не оцениваемый параметр И, а доверительный интервал, то более правильно говорить не о вероятности попадания И в доверительный интервал, а о вероятности того, что доверительный интервал покроет И.

Метод доверительных интервалов разработал американский статистик Ю.Нейман, исходя из идей английского статистика Р. Фишера. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов/В. Е. Гмурман. -- 9-е изд., стер. -- М.: Высш. шк., 2003. - 479 с.

Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном у

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение у этого распределения известно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание а по выборочной средней . Поставим своей задачей найти доверительные интервалы, покрывающие параметр а с надежностью г.

Будем рассматривать выборочную среднюю как случайную величину (изменяется от выборки к выборке) и выборочные значения признака х₁, х₂, ..., х_т - как одинаково распределенные независимые случайные величины Х₁, Х₂, ..., Х_т (эти числа также изменяются от выборки к выборке). Другими словами, математическое ожидание каждой из этих величин равно а и среднее квадратическое отклонение - у.

Примем без доказательства, что если случайная величина X распределена нормально, то выборочная средняя , найденная по независимым наблюдениям, также распределена нормально. Параметры распределения таковы:

M()=a, у() = у /vn

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение

Р(|-- а| < у) = г

где г -- заданная надежность.

Пользуясь формулой P(|X - a| < у) = 2?(д/у)

заменив X на и у на у() = у/vn, получим

Р (| -- а |< у) = 2Ф (дvn/у) = 2Ф (t),

где t = дvn/у.

Найдя из последнего равенства д = tу/vn, можем написать

Р (|--а | < tу/vn) = 2Ф (t).

Приняв во внимание, что вероятность Р задана и равна г, окончательно имеем (чтобы получить рабочую формулу, выборочную среднюю вновь обозначим через )

P( - tу/vn < a < + tу/vn) = 2?(t) = г

Смысл полученного соотношения таков: с надежностью г можно утверждать, что доверительный интервал ( - tу/vn, + tу/vn ) покрывает неизвестный параметр а; точность оценки д = tу/vn.

Итак, поставленная выше задача полностью решена. Укажем еще, что число t определяется из равенства 2Ф(t) = г > или Ф(t) = г/2; по таблице функции Лапласа находят аргумент t, которому соответствует значение функции Лапласа, равное г/2. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов/В. Е. Гмурман. -- 9-е изд., стер. -- М.: Высш. шк., 2003. - 479 с.

3. Замечания и пример использования доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения при известном у

Замечание 1. Оценку |--а | < tу/vn называют классической. Из формулы д = tу/vn., определяющей точность классической оценки, можно сделать следующие выводы:

1) при возрастании объема выборки n число д убывает и, следовательно, точность оценки увеличивается;

2) увеличение надежности оценки г = 2Ф(t) приводит к увеличению t (Ф (t) -- возрастающая функция), следовательно, и к возрастанию д; другими словами, увеличение надежности классической оценки влечет за собой уменьшение ее точности.

Пример. Случайная величина X имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением у = 3. Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания а по выборочным средним , если объем выборки n = 36 и задана надежность оценки г = 0,95.

Решение. Найдем t. Из соотношения 2Ф(t) = 0,95 получим Ф(t) = 0,475. По таблице находим t=l,96.

Найдем точность оценки:

д = t у / vn. = (1.96*3)/ v36 = 0,98.

Доверительный интервал таков: (-- 0,98; + 0,98). Например, если = 4,1, то доверительный интервал имеет следующие доверительные границы:

--0,98 = 4,1--0,98 = 3,12; +0,98 = 4,1+0,98 = 5,08.

Таким образом, значения неизвестного параметра а, согласующиеся с данными выборки, удовлетворяют неравенству 3,12 < а < 5,08. Подчеркнем, что было бы ошибочным написать Р (3,12 < а < 5,08) = 0,95. Действительно, так как а -- постоянная величина, то либо она заключена в найденном интервале (тогда событие 3,12 < а < 5,08 достоверно и его вероятность равна единице), либо в нем не заключена (в этом случае событие 3,12 < а < 5,08 невозможно и его вероятность равна нулю). Другими словами, доверительную вероятность не следует связывать с оцениваемым параметром; она связана лишь с границами доверительного интервала, которые, как уже было указано, изменяются от выборки к выборке.

Поясним смысл, который имеет заданная надежность. Надежность г = 0,95 указывает, что если произведено достаточно большое число выборок, то 95% из них определяет такие доверительные интервалы, в которых параметр действительно заключен; лишь в 5% случаев он может выйти за границы доверительного интервала. математический точечный число интервальный

Замечание 2. Если требуется оценить математическое ожидание с наперед заданной точностью 6 и надежностью у, то минимальный объем выборки, который обеспечит эту точность, находят по формуле

n=t² у² /д²

(следствие равенства д = tу/vn.). Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов/В. Е. Гмурман. -- 9-е изд., стер. -- М.: Высш. шк., 2003. - 479 с.

Заключение

Провести бесконечное число измерений для получения верного результата в реальной жизни невозможно, поэтому важно дать объективное представление результатов ограниченного числа измерений, чему и призван помочь изучаемый подход.

Цель любого оценивания состоит в получении наиболее точного значения исследуемой характеристики. Доверительный интервал позволяет с определенной точностью получить распределение параметра, что дает хорошее представление об исследуемом объекте.

Список использованной литературы

1. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов/В. Е. Гмурман. -- 9-е изд., стер. -- М.: Высш. шк., 2003. - 479 с.

2. Калинина В.Н. Математическая статистика: Учеб. для студ. сред. спец. учеб. заведений / В.Н. Калинина, В.Ф. Панкин. - 4-е изд., испр. - М.: Дрофа, 2002. - 336 с.

3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. -- изд. четвёртое, переработанное. -- М.: Наука, 1976. -- 544 с.

Размещено на Allbest.ru