Численное решение задачи Коши методом Милна
Решение задачи Коши для дифференциальных уравнений методом Милна. Использование метода для систем уравнений первого порядка или приведенных к таким. Оценка устойчивости метода и числа шагов. Практическая сторона использования. Решение 30 примеров.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 09.06.2014 |
| Размер файла | 397,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине «Численные методы»
на тему: «Численное решение задачи Коши методом Милна»
содержание
ВВЕДЕНИЕ
РАЗДЕЛ 1. МЕТОД МИЛНА
РАЗДЕЛ 2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МИЛНА9
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
ВВЕДЕНИЕ
Обыкновенным дифференциальным уравнением n -го порядка называется уравнение вида
F (x, y(x), y '(x), y ''(x), … , y(n)(x)) = 0,
где F -- известная функция (n + 2)-х переменных, x -- независимая переменная из интервала (a,b), y(x) -- неизвестная функция. Число n называется порядком уравнения.
Функция y(x) называется решением (или интегралом) дифференциального уравнения на промежутке (a, b), если она n раз дифференцируема на (a, b) и при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной, называют уравнениями в нормальной форме:
y(n) = f(x, y, y ', y '', … , y(n ? 1)).
Дифференциальное уравнение обычно имеет бесконечно много решений. Чтобы выделить нужное решение, используют дополнительные условия.
Чтобы выделить единственное решение уравнения n-го порядка обычно задают n начальных условий y(x0) = y0, y '(x0) = y1, y ''(x0) = y2, … , y(n ? 1)(x0) = yn ? 1.
Задачей Коши (или начальной задачей) называется задача отыскания решения y = y(x) уравнения F(x, y(x), y '(x), y ''(x), … , y(n )(x)) = 0, x>x0, удовлетворяющего условиям y(x0) = y0, y '(x0) = y1, y ''(x0) = y2, … , y(n ? 1)(x0) = yn ? 1.
Условия y(x0) = y0, y '(x0) = y1, y ''(x0) = y2, … , y(n ? 1)(x0) = yn ? 1 называются начальными данными, начальными условиями или данными Коши.
Численное решение задачи Коши состоит в построении таблицы приближенных значений y1 , y2 , ..., yN компонент y(xi) вектора решения в точках x1 , x2 , ..., xN.
Методы численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений разделяются на два класса:
1)одноступенчатые методы, использующие данные о решении только в одной точке. Однако приходится вычислять функции y(xi) в нескольких точках. К этим методам относятся методы Рунге-Кутта и метод решения с помощью рядов Тейлора;
2)многоступенчатые, или многошаговые, методы, не требующие много повторных вычислений функций y(xi), использующие данные о решении в нескольких точках, что вынуждает применять одношаговые методы для запуска метода и при изменении шага интегрирования. Это методы прогноза-коррекции, Адамса, метод Милна и др.
РАЗДЕЛ 1. МЕТОД МИЛНА
Одним из наиболее простых и практически удобных методов численного решения дифференциальных уравнений является метод Милна.
Для получения формул Милна обычно используется первая интерполяционная формула Ньютона для производной y' в точке с разностями до третьего порядка:
(1)
где
Полагая k = (n - 4) в формуле (1) и интегрируя её почленно по х в пределах от xn-4 до xn, получим
Так как и dx = hdq, интеграл принимает вид
(2)
Подставляя выражения конечных разностей:
в уравнение (2), после упрощений получаем первую формулу Милна:
Используя дифференциальное уравнение и' = f(x, u) и заменяя un на yn, формулу Милна приводим к окончательному виду:
(3)
Для получения второй формулы Милна положим в формуле (1) k = (n - 2) и проинтегрируем обе части получившегося выражения по х от хn-2 до хn:
Отсюда, после аналогичных предыдущему операций, получим
(4)
Здесь Подставляя в уравнение (4) значения конечных разностей получаем вторую формулу Милна:
или, окончательно, после замены un на yn и nu? на f(xn, yn),
(5)
Если f(x, y) не зависит от у, то есть равняется f(x), то формула (5) идентична формуле Симпсона для вычисления определенного интеграла
Оценим погрешности формул Милна (3) и (5) еi(1), еi(2) по величине отброшенных членов полинома Ньютона:
(6), (7)
Полагая Д4fn = const на интервале длины 4h, получим
Так как решение дифференциальной задачи Коши равно и , где -- решение получено по формуле (3), а -- по формуле (5), то коши дифференциал уравнение милн
При малых h Тогда интегральная погрешность согласно (6) и (7) для метода Милна есть
то есть метод Милна четвёртого порядка точности (здесь h -- шаг интегрирования; N -- число точек разбиения отрезка (а, b)). Погрешность его порядка O(h).
Метод Милна считается одним из наиболее простых и удобных. Для начала счета он требует задания решения в четырёх начальных точках:. Значение y берется из начальных данных дифференциальной задачи, а получаются с помощью какого-либо метода Рунге-Кутта. Последующие значения уn для n = 4, 5, … находятся по следующей схеме:
1) вычисляется первое приближение по формуле (3):
для n=4,5,…;
2) затем находится второе приближение (окончательное) по формуле (5):
Локальная погрешность величины приближённо равна
РАЗДЕЛ 2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МИЛНА
Для наглядности решения дифференциальных уравнений методом Милна, рассмотрим решение примера на практике.
Задание.
Используя метод Милна, составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальным условиям на отрезке [0,1]; шаг h=0,1; все вычисления вести с четырьмя десятичными знаками. Начальный отрезок определить методом Рунге-Кутта.
Решение.
1. Определение начального отрезка произведем по формуле Рунге-Кутта
,
где ,
,
,
.
Для более быстрого и удобного расчета уравнения, произведем вычисления в программе MS Excel.
Все расчеты представим в таблице 1, в которой .
Таблица 1. Решение примера в Excel
|
0 |
0 |
0,5 |
0,25 |
0,25 |
0,025 |
0,025 |
|
|
0,05 |
0,5125 |
0,2627 |
0,3127 |
0,03127 |
0,06253 |
||
|
0,05 |
0,5313 |
0,2822 |
0,3322 |
0,03322 |
0,06645 |
||
|
0,1 |
0,5664 |
0,3209 |
0,4209 |
0,04209 |
0,04209 |
||
|
0,03268 |
|||||||
|
1 |
0,1 |
0,5664 |
0,3208 |
0,4208 |
0,04208 |
0,04208 |
|
|
0,15 |
0,5874 |
0,3451 |
0,4951 |
0,04951 |
0,09902 |
||
|
0,15 |
0,6159 |
0,3793 |
0,5293 |
0,05293 |
0,10587 |
||
|
0,2 |
0,6723 |
0,4519 |
0,6519 |
0,06519 |
0,06519 |
||
|
0,05203 |
|||||||
|
2 |
0,2 |
0,6723 |
0,4520 |
0,6520 |
0,06520 |
0,06520 |
|
|
0,25 |
0,7049 |
0,4969 |
0,7469 |
0,07469 |
0,14938 |
||
|
0,25 |
0,7470 |
0,5580 |
0,8080 |
0,08080 |
0,16160 |
||
|
0,3 |
0,8339 |
0,6954 |
0,9954 |
0,09954 |
0,09954 |
||
|
0,07929 |
|||||||
|
3 |
0,3 |
0,8339 |
0,6954 |
0,9954 |
2.Последующие значения функции будем определять методом Милна. Согласно этому методу, по ходу вычислений следует составить таблицу, содержащую значения и (табл.2).
Таблица 2. Решение примера в Excel
|
0 |
0 |
0,5 |
0,25 |
0,25 |
|
|
1 |
0,1 |
0,5664 |
0,3208 |
0,4208 |
|
|
2 |
0,2 |
0,6723 |
0,4520 |
0,6520 |
|
|
3 |
0,3 |
0,8339 |
0,6954 |
0,9954 |
|
|
4 |
0,4 |
0,8614 |
0,64 |
0,3126 |
|
|
5 |
0,5 |
1,0491 |
0,8 |
0,2387 |
|
|
6 |
0,6 |
1,0507 |
0,96 |
0,4605 |
|
|
7 |
0,7 |
1,1969 |
1,12 |
0,5083 |
|
|
8 |
0,8 |
1,5097 |
1,28 |
0,4311 |
|
|
9 |
0,9 |
1,7699 |
1,44 |
0,3706 |
|
|
10 |
1 |
1,8827 |
1,6 |
0,6459 |
На каждом шаге вычисление ведется в два этапа. Сначала по первой формуле Милна находим , а затем по второй формуле Милна находим окончательное значение , где .
1.;
;
;
Из сравнения и имеем .
2.;
;
;
Из сравнения и имеем .
3.;
;
;
Из сравнения и имеем .
4.;
;
.
5.;
;
.
6.;
;
.
7.;
;
.
Ответом данного уравнения являются значения функции, приведенные в таблице 2.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной курсовой работе изучено решение дифференциальных уравнений методом Милна.
В качестве достоинств данного метода можно выделить следующее:
- данный метод считается одним из наиболее простых и удобных методов численного решения задачи Коши для дифференциальных уравнений;
- Метод Милна можно использовать для приближенного решения систем дифференциальных уравнений первого порядка, а также уравнений высших порядков, которые предварительно следует преобразовать в такие системы.
Недостатки метода Милна:
- данный метод не обладает устойчивостью, поэтому его рекомендуют использовать, когда предполагаемое число шагов не велико;
- для применения метода Милна необходимо найти первые четыре значения решения дифференциального уравнения: , используя начальное условие и какой-либо метод, например, метод Рунге - Кутта..
В курсовой работе произведен подбор и структуризация теоретического материала на заданную тему. Представлена практическая сторона использования изучаемого метода. Решены 30 примеров уравнений из учебного пособия [3].
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Мышенков В.И., Мышенков Е.В. Численные методы. -- М.: МГУЛ, 2005. -- 109 с.
2. Ширапов Д.Ш., Ширапов Б.Д., Чимитова Е.Г. Основы вычислительной математики -- Улан-Удэ: ВСГТУ, 2004. --25 с.
3. Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике: Учеб. пособие для техникумов.--2-е изд., перераб. и доп.--М.: Высшая Школа, 1990.--208 с.
4. Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. Учеб. Пособие./ под ред. В.А. Садовничего -- М.: Высшая школа, 2000. -- 190 с.
5. Формалев В.Ф., Резников Д.Л. Численные методы. -- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. -- 400 с.
6. Губарь Ю.В. Введение в математическое моделирование: Курс лекций. - М.: Дело, 2007. - 230 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Решение задачи Коши для дифференциального уравнения. Погрешность приближенных решений. Функция, реализующая явный метод Эйлера. Вычисление погрешности по правилу Рунге. Решение дифференциальных уравнений второго порядка. Условие устойчивости для матрицы.
контрольная работа [177,1 K], добавлен 13.06.2012Численное решение дифференциальных уравнений с помощью многошагового метода прогноза и коррекции Милна. Суммарная ошибка метода Милна. Применение метода Рунге-Кутта для нахождения первых значений начального отрезка. Абсолютная погрешность значения.
контрольная работа [694,0 K], добавлен 27.02.2013Понятие о голоморфном решении задачи Коши. Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши. Решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов. Интегрирование дифференциальных уравнений.
курсовая работа [810,5 K], добавлен 24.11.2013Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.
курсовая работа [791,0 K], добавлен 12.06.2010Решение нелинейных уравнений методом касательных (Ньютона), особенности и этапы данного процесса. Механизм интерполирования функции и численное интегрирование. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера.
курсовая работа [508,1 K], добавлен 16.12.2015Характеристика уравнений с разделяющимися переменными. Сущность метода Бернулли и метода Лагранжа, задачи Коша. Решение линейных уравнений n-го порядка. Фундаментальная система решений - набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.
контрольная работа [355,9 K], добавлен 28.02.2011Сущность методов сведения краевой задачи к задаче Коши и алгоритмы их реализации на ПЭВМ. Применение метода стрельбы (пристрелки) для линейной краевой задачи, определение погрешности вычислений. Решение уравнения сшивания для нелинейной краевой задачи.
методичка [335,0 K], добавлен 02.03.2010Слабые асимптотики произведения функций Хевисайда. Решение задачи Коши методом прямого интегрирования. Оценка задачи со ступенчатой функцией в качестве начального условия. Предел на бесконечности, получаемый при неограниченном уменьшении малого параметра.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 23.09.2016Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Теорема существования, единственности решения задачи Коши. Общее решение дифференциального уравнения, изображаемое семейством интегральных кривых на плоскости. Способ нахождения огибающей семейства кривых.
реферат [165,4 K], добавлен 24.08.2015Общая постановка задачи решения обыкновенных дифференциальных уравнений, особенности использования метода Адамса в данном процессе. Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Адамса и точным методом, сравнение полученных результатов.
курсовая работа [673,6 K], добавлен 27.04.2011Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной. Применение рекуррентного соотношения. Техника применения метода Эйлера для численного решения уравнения первого порядка. Численные методы, пригодные для решения задачи Коши.
реферат [183,1 K], добавлен 24.08.2015Решение систем линейных алгебраических уравнений методом исключения Гаусса. Табулирование и аппроксимация функций. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Приближенное вычисление определенных интегралов. Решение оптимизационных задач.
курсовая работа [1,6 M], добавлен 21.11.2013Методы численного интегрирования, основанные на том, что интеграл представляется в виде предела суммы площадей. Геометрическое представление метода Гаусса с двумя ординатами. Численные примеры и сравнение методов. Решение систем алгебраических уравнений.
курсовая работа [413,4 K], добавлен 11.06.2014Формирование системы их пяти уравнений по заданным параметрам, ее решение методом Гаусса с выбором главного элемента. Интерполяционный многочлен Ньютона. Численное интегрирование. Решение нелинейных уравнений. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.
контрольная работа [115,5 K], добавлен 27.05.2013Описание метода сведения краевой задачи к задаче Коши. Решение системы из двух уравнений с четырьмя неизвестными. Метод Рунге-Кутта. Расчет максимальной погрешности и выполнение проверки точности. Метод конечных разностей. Описание полученных результатов.
курсовая работа [245,2 K], добавлен 10.07.2012Математическая модель задачи. Решение транспортной задачи методом потенциалов. Значение целевой функции. Система, состоящая из 7 уравнений с 8-ю неизвестными. Решение задач графическим методом. Выделение полуплоскости, соответствующей неравенству.
контрольная работа [23,5 K], добавлен 12.06.2011Предмет и методы изучения дифференциальной векторно-матричной алгебры, ее структура. Векторное решение однородных и неоднородных дифференциальных уравнений. Численное решение векторно-матричных уравнений. Формулы построения вычислительных процедур.
реферат [129,3 K], добавлен 15.08.2009Математическое объяснение метода Эйлера, исправленный и модифицированный методы. Блок-схемы алгоритмов, описание, текст и результаты работы программы. Решение обыкновенных дифференциальных (нелинейных) уравнений первого порядка с начальными данными.
курсовая работа [78,1 K], добавлен 12.06.2010Практическое решение дифференциальных уравнений в системе MathCAD методами Рунге—Кутты четвертого порядка для решения уравнения первого порядка, Булирша — Штера - системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и Odesolve и их графики.
лабораторная работа [380,9 K], добавлен 23.07.2012Задачи на нахождение неопределенного интеграла с применением метода интегрирования по частям. Вычисление площади, ограниченной заданными параболами. Решение дифференциального уравнения первого порядка. Исследование на сходимость ряда; признаки сходимости.
контрольная работа [136,7 K], добавлен 16.03.2010
