Размещено на http://www.allbest.ru/

Центральна гранична теорема у системі серій

Вступ

Теорія ймовірностей одна з найцікавіших та найзагадковіших наук, прикладний характер якої дає можливість застосовувати її до розв'язання задач фізики, економіки, природознавства та різноманітних технічних дисциплін. В інженерній справі велике значення має теорія надійності, що широко використовує методи теорії ймовірностей. Великого значення набула теорія ймовірності для молекулярної фізики, оскільки відомі закони фізики не можуть бути дієвими для масових явищ, у яких бере участь велика кількість елементів, а також при відсутності достатньої кількості фактів та знань про характер взаємодії даних елементів. У свою чергу методи теорії ймовірності цілком задовольняють дані вимоги. Також апарат теорії ймовірності виявився придатним для вивчення явищ природи, а всебічне дослідження явищ природи наштовхує теорію ймовірності на пошук нових закономірностей, що породжуються випадком. Отже, об'єктом дослідження та вивчення даної науки є система масових явищ, дослідів, результатами яких є певні випадкові події, а також вивчення самих цих результатів даних явищ.

Разом із вивченням теорії ймовірностей як науки, із стрункою змістовною лінією та багатим математичним апаратом, варто не випустити з уваги також історичний розвиток науки, оскільки для того, щоб зрозуміти зміст певного конкретного поняття, потрібно дослідити динаміку його розвитку, звернути увагу на основні ключові фактори, що вплинули на його утворення.

Іноді потрібен тривалий термін, щоб початкові ідеї та окремі завдання сформувалися й дали початок новій теорії зі своїми формулюваннями завдань і методами дослідження, що дозволяють просунутися по шляху пізнання явищ навколишнього світу. Теорія ймовірностей має багату і повчальну історію. Вона наочно показує, як виникали її основні поняття і розвивалися методи із завдань, з якими стикався суспільний прогрес.

Для кращого усвідомлення та сприйняття всього базового математичного апарату, що його використовує дана наука, варто розглянути періоди розвитку самої науки, звернути увагу на науковців, котрі займалися цими питаннями.

Саме з цією метою розглядається історія розвитку теорії ймовірностей.

Стимули виникнення теорії ймовірностей.

Як бачимо, основними чинниками, що стимулювали розвиток теорії ймовірностей, були задачі практичного характеру, відповідь на які не могла дати жодна з існуючих на той час наук.

Перші задачі імовірнісного характеру, що виникали в найрізноманітніших сферах діяльності людини, з часом почали викристалізовуватись в поняття і методи теорії ймовірностей. Задачі і проблеми, що вплинули на зародження і початковий розвиток теорії ймовірностей, виникали при обробці статистичних даних. В Давньому Єгипті, Греції, Римі робили окремі спроби підрахунку населення, кількості щорічно зібраного хліба. В російських літописах, що їх відносять до Х ст., і більш пізніх є вказання на збір деяких статистичних даних. Статистика стала одним із суттєвих стимулів розвитку теорії ймовірності.

Практика азартних ігор не була вирішальним стимулом для розвитку теорії ймовірності, але вона висувала задачі, що стимулювали теорію ймовірності до розвитку.

Однією з перших задач, яку слід віднести до теорії ймовірностей, є обчислення числа різних можливих варіантів при киданні гральних кубиків. Перші відомі підрахунки при киданні 3-х гральних кубиків відносять до Х-ХI століть. Найперша відома спроба підрахувати число можливих варіантів при киданні 3-х гральних кубиків, включаючи і перестановки, зустрічається в працях 1200-1250 років.

Історично теорія ймовірностей має такі етапи свого розвитку.

· Передісторія теорії ймовірностей (давні віки - XVI ст.).

· Поява теорії ймовірностей як науки (XVII - XVIII ст.).

· Поява роботи Якоба Бернуллі “Мистецтво припущень” (XIX ст.).

· Створення російської (Петербурзької школи) (XIX - XX ст.).

· Сучасний період розвитку теорії ймовірностей (XX - …).

Кожен з етапів характеризується певною особливістю у розвитку науки, що видно з назв кожного з них.

Передісторія теорії ймовірностей

В цей період, початок якого знаходиться в давніх віках, ставились і примітивно вирішувались елементарні задачі, які пізніше були віднесені до теорії ймовірностей (збір статистичних даних, що носив імовірнісний характер). Ніяких спеціальних методів у цей період не виникає. Йде накопичення матеріалу. Цей період закінчується в XVI ст. роботами Кардано, Пачіоллі, Тарталья та інших (в яких автори розглядають задачі, розв'язання яких містять елементи комбінаторики).

Поява теорії ймовірностей як науки

З'являються перші специфічні поняття, такі як математичне сподівання.

Встановлено перші теореми науки _ теореми додавання і множення ймовірностей. Початок цього періоду пов'язано з іменами Паскаля, Ферма, Гюйгенса. Цей період подовжується з середини XVII ст. до початку XVIII ст. Теорія ймовірностей знаходить своє застосування в демографії, страховій справі, при оцінюванні похибок спостереження.

Робота Якоба Бернуллі “Мистецтво припущення”

До цього етапу розвитку відносять роботи Муавра, Лапласа, Гаусса, Пуассона та інших. Теорія імовірності починає застосовуватися в різних областях природознавства. Центральне місце займають граничні теореми.

Період розвитку теорії ймовірностей, пов'язаний з російською (Петербурзькою) школою.

Тут можна назвати такі прізвища, як П.Л. Чебишов, А.А. Марков, А.М. Ляпунов. В цей період поширення закону великих чисел і центральної граничної теореми на різноманітні класи випадкових величин досягає своїх природних меж. Закони теорії ймовірності стали застосовуватись до залежних випадкових величин. Все це дало можливість застосувати теорію ймовірності до багатьох розділів природознавства, в першу чергу - до фізики.

Сучасний період

Сучасний період розвитку теорії ймовірностей розпочався зі встановлення аксіоматики.

Цього, в першу чергу, вимагала практика, оскільки для успішного застосування теорії ймовірностей у фізиці, біології та інших областях науки, а також у техніці та військовій справі необхідно було уточнити та привести в струнку систему її основні поняття. Це зумовило небувалу широту досліджень з теорії ймовірностей, починаючи від господарчо-прикладних питань і закінчуючи найвужчими питаннями кібернетики.

Цей період історії теорії ймовірностей характеризується надзвичайним розширенням кола її застосувань, створенням декількох систем бездоганно строгого математичного обґрунтування теорії ймовірностей (аксіоматики), нових потужних методів, що вимагають іноді застосування (крім класичного аналізу) ресурсів теорії множин, теорії функцій дійсної змінної і функціонального аналізу. У цей період при дуже великій напруженій роботі в царині теорії ймовірностей за кордоном (у Франції _ Е. Борель, П. Леві, М. Фреш, у Німеччині _ Р. Мізес, у США _ Н. Вінер, В. Феллер, Дж. Дуб, у Швеції _ Г. Крамер) радянська наука продовжує займати виключно значне, а в ряді напрямків і провідне значення.

ймовірність теорема граничний закон

1. Постановка задачі

Центральна гранична теорема -- теорема теорії ймовірностей про збіжність розподілу суми незалежних однаково розподілених випадкових величин до нормального розподілу. Ця теорема підкреслює особливість нормального розподілу в теорії ймовірностей. До ЦГТ відносяться твердження, у яких іде мова про збіжність розподілів сум до нормального закону. Нехай маємо послідовність випадкових величин . Якщо існують послідовності дійсних чисел і такі, що функція розподілу суми збігається до функції розподілу стандартного нормального закону при , то кажуть, що для послідовності має місце ЦГТ. В цьому випадку говорять, що випадкова величина асимптотично нормальна з параметрами і . Асимптотична нормальність відіграє важливу роль в теорії і на практиці, вона дозволяє замінити складні розподіли сум добре вивченим нормальним розподілом. ЦГТ є підставою для широкого використання нормального закону в статистиці.

Нехай задана послідовність незалежних випадкових величин із скінченними математичними сподіваннями , скінченними дисперсіями і функціями розподілу . Позначимо через і нехай для довільного Якщо длядовільного

 , (1)

то (1) називають умовою Ліндеберга. Вияснимо ймовірнісний зміст умови Ліндеберга, для цього розглянемо події при , і подію .

Тоді , а .

Якщо врахуємо, що в області інтегрування , то одержимо

(2)

Якщо виконується умова Ліндеберга, то із (2) випливає, що

.

Тобто, якщо виконується умова Ліндеберга, то випадкові величин будуть рівномірно нескінченно малі.

2. Теорема Ліндеберга

Будемо використовувати позначення, що введені в попередньому пункті. Крім того, позначимо , - функція розподілу випадкової величини , а - функція розподілу стандартного нормального закону.

Теорема 1. Нехай задана послідовність незалежних випадкових величин із скінченними математичними сподіваннями і скінченними дисперсіями . Якщо для довільного виконується умова Ліндеберга (1), то рівномірно відносно

. (3)

Доведення. Позначимо , - функцію розподілу .

Тоді

, , , ,

В цих позначеннях , після виконання в інтегралі заміни , набуває вигляду:

. (4)

Нехай , тоді характеристична функція

.

Покажемо, що при рівномірно відносно прямують до одиниці. Врахувавши, що , одержимо

.

Із нерівності (Н1) із попереднього розділу при для довільного дійсного

,

тому із (4) для будь-якого додатного

, (5)

а при

. (6)

Отже, із умови Ліндеберга (1) випливає, що

і при всіх досить великих і

. (7)

Це означає, що не перетворюється в 0, тому при можна логарифмувати:

.

Щоб довести (3), на основі теореми про неперервну відповідність між збіжністю функцій розподілу і відповідних характеристичних функцій, нам треба довести, що

,

а для цього достатньо довести, що

. (8)

Використовуючи розклад , при одержимо . Звідки, при

, (9)

де .

Із (7) і (9) випливає справедливість рівності

.

Тоді

, (10)

де .

Із (5) випливає, що , а оскільки , то звідси одержуємо наступну нерівність

.

Тому із (6) випливає, що при всіх досить великих і

. (11)

Переходимо до оцінки :



.

У першому інтегралі використаємо нерівність (Н1)

, а у другому - (Н2) , тоді

.

Врахувавши, що , в кожному скінченному проміжку

. (12)

Із (10), (11) і (12) одержуємо, що при всіх досить великих і

.

Звідки, із довільності і умови Ліндеберга (1) випливає, що рівномірно по в кожному скінченному проміжку виконується (8), а це рівносильно (3). Теорема доведена.

3. Центральна гранична теорема для послідовності серій

Розглянемо послідовність серій випадкових величин

(13)

Будемо вважати, що величини, які входять в одну серію, незалежні. Покладемо

.

Теорема 2. Нехай послідовність серій незалежних випадкових величин (13) така, що величини мають скінченні моменти другого порядку,

, ,

і виконується умова Ліндеберга

,

де - функція розподілу , тоді послідовність сум асимптотично нормальна з параметрами 0 і 1.

Доведення

Дано, що , ,

і виконується умова Лінденберга



Нехай , тоді характеристична функція :

Покажемо, що при , рівномірно відносно k (1?

4. Центральна гранична теорема для однаково розподілених випадкових величин

Теорема 3. Якщо випадкові величини - незалежні, однаково розподілені, мають скінченні математичні сподівання і скінченні дисперсії , то .

Доведення. В цьому випадку , . Позначимо через функцію розподілу . Тоді

,

бо із існування дисперсії випливає, що інтеграл збіжний, тому

 і .

А це означає, що виконується умова Ліндеберга (1), тому виконується і (3).

Наслідок (Інтегральна теорема Муавра-Лапласа ). Якщо є число появ події в незалежних випробуваннях, у кожному із яких ймовірність настання цієї події дорівнює і , то рівномірно відносно і ()

Доведення. Позначимо через число появ події в -му експерименті, тоді число появ події в експериментах . Випадкові величини - незалежні однаково розподілені за законом

Таблиця 1

	0	1
P	q	p

.

Тоді і виконуються умови теореми 3. Тому для довільного

. (15)

Оскільки , то із (15) одержуємо (14).

5. Теорема Ляпунова

Теорема 4. Нехай - незалежні випадкові величини, що мають скінченні математичні сподівання , дисперсії , для деякого існують і

, (16)

тоді .

Доведення.

Для довільного

.

Отже, із умови (16) випливає виконання умови Ліндеберга (1), тому виконується і (3).

6. Поняття про граничні закони відмінні від нормального. Нескінченно подільні закони, стійкі закони

У теорії граничних теорем виникає питання про те, які закони, крім нормального, можуть бути граничними для сум незалежних випадкових величин. Нормальним законом не вичерпується клас граничних законів. Із закону великих чисел випливає, що вироджений розподіл є граничним для середнього арифметичного незалежних однаково розподілених випадкових величин із скінченним математичним сподіванням. В схемі Бернуллі при виконанні певних умов граничним виступає розподіл Пуассона.

Нехай задано послідовність серій випадкових величин

Будемо вважати, що величини, які входять в одну серію, незалежні. Покладемо

.

Виявляється, що при певних обмеженнях на випадкові величини клас граничних законів для сум співпадає з класом нескінченно подільних законів. Якщо не накладати на випадкові величини ніяких обмежень, то граничним може бути будь-який розподіл. Дійсно, якщо - довільна випадкова величина з функцією розподілу і , а , то і розподіл , а отже і граничний, співпадає з .

Функція розподілу називається нескінченно подільною, якщо для довільного її можна подати у вигляді -кратної згортки деякої функції розподілу

.

У термінах характеристичних функцій це означає, що відповідна характеристична функція (яку також називають нескінченно подільною) для довільного є -им степенем деякої іншої характеристичної функції :

.

Відповідна випадкова величина також називається нескінченно подільною. В цьому випадку існують незалежні однаково розподілені випадкові величини такі, що (тобто випадкова величина і сума випадкових величин мають однакові розподіли).

Теорема 1. Характеристична функція нескінченно подільного розподілу ніде не перетворюється в 0, тобто, .

Доведення. Доведемо спочатку одну нерівність для характеристичних функцій. Нехай - дійсна характеристична функція, а - відповідна функція розподілу. Тоді із нерівності , одержуємо

. (18)

Із властивостей характеристичних функцій випливає, що для довільної характеристичної функції справедлива рівність , тому і є характеристичною функцією, крім того, - дійсна.

Нехай характеристична функція є нескінченно подільною. Це означає, що для довільного , де - деяка характеристична функція. Оскільки неперервна функція і , то існує а, що при , а отже і функція . При досить великих n і при довільному величину можемо зробити як завгодно близькою до одиниці. Із того, що є дійсною характеристичною функцією із (18) випливає, що виконується нерівність

,

із якої одержуємо

. (19)

Із (19) випливає, що при великих n і , то в тому ж проміжку . Звідки випливає, що , а отже і , при досить великих n і . Аналогічно одержуємо, що при досить великих n і і так далі. Що і доводить теорему.

Теорема 2. Сума незалежних нескінченно подільних випадкових величин є величина нескінченно подільна.

Доведення. Нехай випадкові величини - нескінченно подільні і мають характеристичні функції відповідно. Тоді для довільного існують характерастичні функції , що і . Тому характеристична функція суми зображається у вигляді , тобто є нескінченно подільною.

Теорема 3. Якщо при кожному є нескінченно подільною і , то функція розподілу є нескінченно подільною.

Доведення. Нехай - характеристична функція розподілу , а - характеристична функція розподілу , тоді рівномірно в кожному скінченному проміжку зміни

. (20)

За умовою - нескінченно подільна характеристична функція, тому для довільного натурального

,

де - характеристична функція. Із рівності і (20) випливає, що при кожному натуральному існує границя . Із неперервності випливає неперервність , тому є характеристичною функцією при кожному натуральному і , а це означає, що є нескінченно подільною. Важливість класу нескінченно подільних законів випливає із наступної теореми, яку ми наведемо без доведення.

Теорема 4. Нехай в кожній серії незалежні однаково розподілені випадкові величини, позначимо , - функція розподілу . Для того, щоб при , необхідно і досить, щоб функція розподілу була нескінченно подільною. Справедливе і більш загальне твердження. Нехай для послідовності серій незалежних в кожній серії випадкових величин виконується умова: для довільного . Тоді граничні розподіли для при можуть бути тільки нескінченно подільними. Якщо - нескінченно подільна характеристична функція, то її логарифм може бути єдиним способом поданий у вигляді

,

де і - неспадна функція обмеженої варіації.

Функція розподілу називається стійкою, якщо для довільних , , , існують і такі, що , де * - позначає згортку. Характеристична функція називається стійкою, якщо для довільних , , існують і такі, що .

Очевидно, що стійкий розподіл є нескінченно подільним.

Нехай - послідовність незалежних, однаково розподілених випадкових величин і . Якщо існують і такі, що , то функція розподілу є стійкою.

Висновок

Багато результатів у теорії ймовірностей можна розглядати як вapiaцiї, продовження та узагальнення двох основних теорем: закону великих чисел i центральної граничної теореми. Обидві групи відповідних теорем належать до граничної поведінки послідовностей випадкових величин.

Суть закону великих чисел полягає в тому, що в разі дуже великого числа випадкових явищ усереднений їх результат практично перестає бути випадковим i може бути передбачений із великою часткою вipoгiдності.

У вузькому розумінні слова під «законом великих чисел» розуміють групу математичних теорем, у кожній з яких за тих чи інших умов встановлюється факт наближення середніх характеристик великого числа дослідів до відповних сталих - невипадкових величин. Із деякими окремими випадками закону великих чисел ми вже стикалися раніше, проте лише на описовому рівні. Зокрема, це стосується поведінки відносної частоти події за необмеженого збільшення числа дослідів. На підставі статистичної закономірності, що проявляється у властивості стійкості відносної частоти, було введено фундаментальне поняття ймовірності. Тепер, користуючись твердженням закону великих чисел, можна буде перевірити, як узгоджується вихідне припущення про стійкість відносної частоти з висновками, якi можна отримати з теоретико-ймовірносної моделі.

Інший вид статистичної закономірності - стійкість середнього значення. Логічною основою для неї є такий хід міркувань. Під час кожної окремої спроби її результат, що характеризується деяким показником, під впливом факторів буде відхилятися від деякого сталого значення в той чи інший бік. Тому середнє значення показника за достатньо великого числа спроб унаслідок взаємного погашення індивідуальних відхилень стає стійким, наближаючись до деякого сталого числа, тобто практично не залежить від випадку.

Поряд iз тим значення теорем закону великих чисел полягає не тільки в можливості перевірки узгодження теоретико-ймовірносної моделі з досліджуваним явищем. Установлення факту статистичної стійкості лежить в основі статистичних висновків і узагальнень, дозволяє на базі вивчення завжди обмеженого числа дослідних даних робити висновки про поведінку досліджуваного явища в інших подібних ситуаціях, формулювати статистичні закономірності, яким ці явища підпорядковані. Так, реєструючи протягом тривалого проміжку часу відносну частоту браку продукції на певній операції, встановивши її стійкість і переходячи до відповідної ймовірнісної моделі, тобто до ймовірності браку, можна на підставі теорем закону великих чисел передбачити (якщо збережуться незмінними умови виконання цієї операції) відносну частоту браку продукції в майбутньому, середнє очікуване число бракованих виробів у партії з одиниць продукції, можливі відхилення від середнього значення і т. д.

Отже, закон великих чисел приводить до встановлення детермінованих закономірностей у поведінці відносної частоти, середнього значення або інших показників, що характеризують результат достатньо великого числа спроб в умовах непередбачуваності результату кожної спроби окремо.

Ми розглянемо також другу групу граничних теорем, які можна об'єднати однією назвою - центральна гранична теорема. Як і закон великих чисел, вона має кілька форм. У всіх формах центральної граничної теореми визначаються умови виникнення нормального розподілу випадкової величини (закону Гаусса). Такі умови часто трапляються на практиці, чим і пояснюється широке застосування нормального закону до випадкових явищ. На підставі тверджень центральної граничної теореми можна зробити висновок, що нормальний розподіл виникає тоді, коли підсумовується багато незалежних (або слабо залежних) випадкових величин, які є порівняльними щодо порядку свого впливу на розсіювання суми. Для спрощення викладу обмежимося тільки формулюванням основних теорем, що складають зміст «закону великих чисел» та роз'ясненням їх суті, а доведення їх опускаємо.

Список використаної літератури

1. Тичинська Л.М., Черепащук А.А. Теорія ймовірностей. Частина 1. Історичні екскурси та основні теоретичні відомості. Вінниця: Внту, 2010. - 112 с

2. Гихман И.И. , Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория вероятностей и математическая статистика.- К.: Вища школа, 1979.-320с.

3. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей.- М.:Наука,1988.-400с.

4. Боровков А.А. Теория вероятностей.- М.:Наука 1986.-432с.

5. Слюсарчук П.В. Теорія ймовірностей та математична статистика.- Ужгород: Карпати,2005.-184 с.

Размещено на Allbest.ru

...