Устойчивость по Ляпунову системы дифференциальных уравнений
Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Устойчивость линейной системы дифференциальных уравнений. Общие теоремы об устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений. Применение теории устойчивости, методы решения задач об устойчивости движения.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 05.06.2014 |
| Размер файла | 443,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования и науки Российской Федерации
Бирский филиал
Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения
Высшего профессионального образования
"Башкирский государственный университет"
Физико-математического факультета
Кафедра математического анализа и прикладной математики
Курсовая работа на тему:
"Устойчивость по Ляпунову системы дифференциальных уравнений"
Выполнила студентка Ишмухаметова Ж.Б.
Научный руководитель: кандидат физико-математических наук
доцент Талалаева Н.В.
Содержание
- Введение
- 1. Понятие о теории устойчивости Ляпунова
- 1.1 Определение понятия устойчивости по Ляпунову
- 1.2 Устойчивость линейной системы дифференциальных уравнений по Ляпунову
- 1.3 Общие теоремы об устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений
- 2. Применение теории устойчивости
- Заключение
- Литература
Введение
Решения большинства дифференциальных уравнений и их систем не выражаются через элементарные функции, и в этих случаях при решении конкретных уравнений применяются приближенные методы интегрирования. Вместе с тем часто бывает необходимо знать не конкретные численные решения, а особенности решений: поведение отдельных решений при изменении параметров систем, взаимное поведение решений при различных начальных данных, является ли решение периодическим, как меняется общее поведение системы при изменении параметров. Все эти вопросы изучает качественная теория дифференциальных уравнений.
Одним из основных вопросов этой теории является вопрос об устойчивости решения, или движения системы, если ее трактовать как модель физической системы. Здесь важнейшим является выяснение взаимного поведения отдельных решений, незначительно отличающихся начальными условиями, то есть будут ли малые изменения начальных условий вызывать малые же изменения решений. Этот вопрос был подробно исследован знаменитым русским математиком А.М. Ляпуновым (1857-1918). Основу теории Ляпунова составляет выяснение поведения решений при асимптотическом стремлении расстояния между решениями к нулю.
1. Понятие о теории устойчивости Ляпунова
1.1 Определение понятия устойчивости по Ляпунову
Пусть дана система дифференциальных уравнений:
(1)
Пусть x = x (t) и y = y (t) - решения этой системы, удовлетворяющие начальным условиям
(1')
Пусть далее, - решения уравнений (1), удовлетворяющие начальным условиям
(1'')
Определение. Решения x = x (t) и y = y (t), удовлетворяющие уравнениям (1) и начальным условиям (1'), называются устойчивыми по
Ляпунову при если для каждого как угодно малого можно указать такое, что при всех значениях будут выполняться неравенства
(2)
если начальные данные удовлетворяют неравенствам
(3)
Выясним смысл этого определения. Из неравенства (2) и (3) следует, что при малых изменениях начальных условий мало отличаются соответствующие решения при всех положительных значениях t. Если система дифференциальных уравнений является системой, описывающей некоторое движение, то в случае устойчивости решений характер движений мало изменяется при малом изменении начальных данных.
1.2 Устойчивость линейной системы дифференциальных уравнений по Ляпунову
Рассмотрим, далее, систему линейных дифференциальных уравнений
(4)
Будем предполагать, что коэффициенты a,b,c,g постоянные, при этом очевидно, что x=0, y=0 есть решение системы (4), в чем убеждаемся непосредственной подстановкой. Исследуем вопрос о том, каким условиям должны удовлетворять коэффициенты системы, чтобы решение x=0, y=0 было устойчиво. Это исследование проводится так.
Дифференцируем первое уравнение и исключаем y и на основании уравнений системы
или
(5)
Характеристическое уравнение дифференциального уравнения (5) имеет вид:
(6)
Это уравнение принято записывать в виде определителя
(7)
Обозначим корни характеристического уравнения (7) через и .
Как мы видим ниже, устойчивость или не устойчивость решения системы (4) определяется характером корней и .
Рассмотрим все возможные случаи.
I. Корни характеристического уравнения действительные, отрицательные и различные: Из уравнения (5) находим:
Зная x, из первого уравнения (2) находим y. Таким образом, решение системы (2) имеет вид:
(8)
Замечание. Если g = 0 и a ? 0, то уравнение (5) мы составим для функции y. Найдя y, из второго уравнения системы (4) находим x. Структура решений (8) сохранится. Если g = 0, a = 0, то решение системы уравнений принимает вид:
(8')
Анализ характера решений в этом случае производится проще. Подберем так, чтобы решения (8) удовлетворяли начальным условиям:
Решение, удовлетворяющее начальным условиям, будет:
(9)
Из последних равенств следует, что при любом можно выбрать и столь малыми, что для всех будет , так как
Отметим, что в данном случае
(10)
Рассмотрим плоскость xOy. Для системы дифференциальных уравнений (4) и дифференциального уравнения (5) эта плоскость называется фазовой плоскостью. Решения (8) и (9) системы (4) будем рассматривать как параметрические уравнения некоторой кривой на фазовой плоскости xOy:
(11)
(12)
Эти кривые являются интегральными кривыми или траекториями дифференциального уравнения:
(13)
которое получается из системы (4) путем деления друг на друга правых и левых частей.
Начало координат О (0,0) является особой точкой для дифференциального уравнения (13), так как эта точка не принадлежит к области существования и единственности решения.
Характер решений (9) и вообще решений системы (4) наглядно иллюстрируется расположением интегральных кривых
образующих общий интеграл дифференциального уравнения (13). Постоянная С определяется из начального условия После подстановки значения С получаем уравнение семейства в форме
(14)
В случае решений (9) особая точка называется устойчивым узлом. Говорят, что точка, двигаясь по траектории, неограниченно приближается к особой точке при .
Очевидно, что соотношение (14) может быть получено путем исключения параметра t из системы (12). Не производя в дальнейшем полного анализа характера расположения интегральных кривых вблизи особой точки на фазовой плоскости при всех возможных случаях корней характеристического уравнения, ограничимся иллюстрацией этого на простейших примерах, не требующих проведения громоздких вычислений. Отметим, что характер поведения траекторий уравнения (13) вблизи начала координат при произвольных коэффициентах качественно такой же, какой будет рассмотрен в примерах.
Пример 1. Исследовать устойчивость решения x = 0, y = 0, системы уравнений
Решение. Характеристическое уравнение будет
Корни характеристического уравнения:
Решения (8') в данном случае будут
Решения (9) будут
(а)
Очевидно, что Решение x = 0, y = 0 устойчиво.
Обратимся теперь к фазовой плоскости.
Исключая параметр t из уравнений (а), получаем уравнений вида (14)
(б)
Это семейство парабол (рис. 1).
Уравнение вида (13) для данного примера будет
Интегрируя, получаем:
Определим С из условия
Подставляя найденное значение С в (в), получаем решение (б). Особая точка О (0,0) есть устойчивый узел.
Корни характеристического уравнения действительные, положительные, различные:
В этом случае решения выражаются также формулами (8) и соответственно (9). Но в данном случае при как угодно малых и будет , так как
На фазовой плоскости особая точка - неустойчивый узел: при точка на траектории удаляется от точки покоя x = 0, y = 0.
Пример 2. Исследовать устойчивость решений системы
Решение. Характеристическое уравнение будет
Его решения
Решение будет
Решение неустойчиво, так как
Исключая t, получаем:
Особая точка О (0,0) есть неустойчивый узел (рис.2)
Рис. 2.
Корни характеристического уравнения действительные, разных знаков:
Из формул (9) следует, что при каких угодно малых и , если , будет
Решение неустойчиво. На фазовой плоскости особая точка называется седлом.
Пример 3. Исследовать устойчивость решения системы
Решение. Характеристическое уравнение будет
Следовательно,
Решение будет
Решение неустойчиво. Исключая параметр t, получаем семейство кривых на фазовой плоскости
Особая точка О (0,0) есть седло (рис. 3).
Рис. 3.
Корни характеристического уравнения комплексные с отрицательной действительной частью:
Решение системы (4) будет
Если ввести обозначение
то уравнения (15) можно переписать в виде
где -произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий: причем
откуда находим
Снова заметим, что если g=0, то вид решения будет несколько иной, но характер анализа не изменится.
Очевидно, что при любом при достаточно малых и будут выполняться соотношения
Решение устойчиво. В данном случае при
неограниченное число раз меняя знаки. На фазовой плоскости особая точка называется устойчивым фокусом.
Пример 4. Исследовать на устойчивость решения системы уравнений
Решение. Составляем характеристическое уравнение и находим его корни:
По формулам (17) находим:
Подставляя в (15), получаем:
Очевидно, что при любых значениях t
При , Решение устойчиво.
Выясним характер расположения кривых на фазовой плоскости в этом случае. Преобразуем выражение (А). Пусть
Тогда равенства (А) примут вид:
На фазовой плоскости перейдем к полярным координатам и установим зависимость .
Уравнения (В) принимают вид
Возведя в квадрат, правые и левые части и складывая, получим:
Установим зависимость . Деля члены нижнего из равенств (С) на соответствующие члены верхнего равенства, получим:
Подставляя в , получаем:
Обозначая , окончательно получаем:
Это семейство логарифмических спиралей. В этом случае при точка по траектории приближается к началу координат. Особая точка О (0,0) есть устойчивый фокус (рис. 4)
рис. 4.
Корни характеристического уравнения комплексные с положительной действительной частью:
В этом случае решение также выразится формулами (15), где . При любых начальных условиях и при могут принимать как угодно большие значения. Решение неустойчиво. На фазовой плоскости особая точка называется неустойчивым фокусом. Точка по траектории неограниченно удаляется от начала координат.
Пример 5. Исследовать устойчивость решения системы уравнений
Решение. Составим характеристическое уравнение
Решение (15) с учетом (17) в данном случае будет
На фазовой плоскости получим кривую в полярных координатах
Особая точка - неустойчивый фокус (рис. 5)
Рис. 5.
Корни характеристического уравнения чисто мнимые:
Решения (15) в этом случае примут вид:
Постоянные будут:
Очевидно, что при любом и при всех достаточно малых и будет при любом . Решение устойчиво. Здесь x и y - периодические функции от .
Чтобы произвести анализ интегральных кривых на фазовой плоскости, целесообразно первое из решений (18) записать в следующем виде (см. (16)):
где - произвольные постоянные. Из выражений (20) следует, что - периодические функции от . Исключаем параметр из уравнений (20):
Освобождаясь от радикала, получим:
Это семейство кривых 2-го порядка (кривые действительные), зависящих от произвольной постоянной С. Каждая из них не имеет неограниченно удаленных точек. Следовательно, это семейство эллипсов, окружающих начало координат (при с=0 оси эллипсов параллельны осям координат). Особая точка называется центром (рис. 6).
Рис. 6.
Пример 6. Исследовать устойчивость решения системы уравнений
Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
Решение (20) будут
Уравнение (21) будет иметь вид:
На фазовой плоскости имеем систему эллипсов. Особая точка - центр.
II. Пусть корни характеристического уравнения имеют вид:
Решение (8) в этом случае принимает вид:
Очевидно, что при любом и при достаточно малых и будет при . Решение устойчиво.
Пример 7. Исследовать устойчивость решения системы
Решение. Находим корни характеристического уравнения
Здесь g =0. Решения находим непосредственно, решая систему, не пользуясь формулами (22)
Решение, удовлетворяющее начальным условиям , будет
Очевидно, что решение устойчиво. Дифференциальное уравнение на фазовой плоскости будет . Общий интеграл будет x=C. Траектории - прямые, параллельные оси Оy. Из уравнений следует, что точки по траекториям приближаются к прямой y=0 (рис. 7).
Рис. 7.
Пусть корни характеристического уравнения имеют вид:
Из формул (22) или (8') следует, что решение неустойчиво, так как
Пусть корни характеристического уравнения имеют вид:
Решение будет
Так как , то для любого можно подобрать такие (путем выбора ), что будет при . Следовательно, решение устойчиво.
При этом
Пример 8. Исследовать устойчивость решения системы
Решение. Находим корни характеристического уравнения:
Здесь g =0. Решение системы будет иметь форму (8'):
Причем . Решение устойчиво. Семейство кривых на фазовой плоскости будет
Это семейство прямых, проходящих через начало координат. Точки по траекториям приближаются к началу координат. Особая точка О (0,0) есть узел (рис. 8).
Рис. 8.
Замечание. При форма решения (22) сохраняется, но при
Решение неустойчиво.
Пусть корни характеристического уравнения имеют вид:
Тогда
Откуда видно, что . Решение неустойчиво.
Пример 9. Исследовать устойчивость решения системы уравнений
Решение. Находим корни характеристического уравнения
Находим решения
Очевидно, что
Решение неустойчиво. Уравнение на фазовой плоскости будет . Траектории y=C - прямые, параллельные оси Ох (рис. 9). Особая точка называется вырожденным седлом.
Рис. 9.
Чтобы дать общий критерий устойчивости решения системы (4), поступим следующим образом.
Запишем корни характеристического уравнения в форме комплексных чисел:
(в случае действительных корней ).
Возьмем плоскость комплексного переменного и будем изображать корни характеристического уравнения точками на этой плоскости. Тогда на основании рассмотренных случаев условие устойчивости решения системы (4) можно сформулировать следующим образом.
Если ни один из корней характеристического уравнения (6) не лежит справа от мнимой оси, причем хотя бы один корень отличен от нуля, то решение устойчиво; если же хотя бы один корень лежит справа от мнимой оси, или оба корня равны нулю, то решение неустойчиво (рис. 10).
Рис. 10.
Рассмотрим теперь более общую систему уравнений:
Решение такой системы, кроме исключительных случаев, не выражается через элементарные функции и квадратуры.
Для того чтобы установить, устойчивы или неустойчивы решения этой системы, ее сравнивают с решениями линейной системы. Предположим, что при функции также стремятся к нулю и притом быстрее, чем , где ; иными словами,
Тогда можно доказать, что, кроме исключительного случая, решение системы (25) будет устойчиво тогда, когда устойчиво решение системы
(4)
и неустойчиво, когда решение системы (4) неустойчиво. Исключение составляет тот случай, когда оба корня характеристического уравнения лежат на мнимой оси; в этом случае вопрос об устойчивости или неустойчивости решения системы (25) решается значительно сложнее.
1.3 Общие теоремы об устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений
Рассмотрим линейную дифференциальную систему
(26)
где и пусть
(27)
соответствующая однородная система.
Определение 1. Линейную систему (26) будем называть устойчивой (или вполне неустойчивой), если все ее решения y=y (t) соответственно устойчивы (или неустойчивы) по Ляпунову при .
Теорема 1. Для устойчивости линейной системы (26) при любом свободном члене необходимо и достаточно, чтобы было устойчивым тривиальное решение соответствующей однородной системы (27).
Доказательство.
1) Докажем сначала необходимость условия теоремы.
Пусть есть некоторое устойчивое решение неоднородной системы (26). Это значит, что для каждого существует такое, что для любого решения y=y (t) системы (26) при справедливо неравенство
если только
Но, как известно,
является решением линейной однородной системы (27), причем любое решение x (t) может быть представлено в виде (30).
Таким образом, неравенства (28) и (29) эквивалентны следующим:
если только
Отсюда вытекает, что тривиальное решение соответствующей однородной системы (27) устойчиво по Ляпунову при .
2) Докажем теперь достаточность условия теоремы.
Пусть тривиальное решение однородной системы (27) устойчиво по Ляпунову при . Тогда, если - произвольное решение однородной системы такое, что
то
Следовательно, если - некоторое решение линейной неоднородной системы (26) и - произвольное решение этой системы, то из неравенства
будет вытекать неравенство
А это и значит, что решение устойчиво при .
Следствие 1. Линейная дифференциальная система устойчива, когда устойчиво хотя бы одно решение этой системы, и вполне неустойчива, если неустойчиво некоторое ее решение.
Следствие 2. Линейная неоднородная дифференциальная система устойчива тогда и только тогда, когда устойчива соответствующая однородная дифференциальная система.
Определение 2. Линейную дифференциальную систему (26) назовем равномерно устойчивой, если все решения этой системы равномерно устойчивы при относительно начального момента .
Теорема 2. Линейная дифференциальная система (26) равномерно устойчива тогда и только тогда, когда тривиальное решение соответствующей однородной системы (27) равномерно устойчиво при.
Доказательство проводится с помощью рассуждений, аналогичных тем, которые были применены при доказательстве теоремы 1.
Определение 3. Линейную дифференциальную систему (26) назовем асимптотически устойчивой, если все решения этой системы асимптотически устойчивы при .
Теорема 3. Линейная дифференциальная система (26) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда тривиальное решение соответствующей однородной системы (27) асимптотически устойчиво при .
Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из того обстоятельства, что разность двух решений линейной неоднородной системы есть решение соответствующей однородной системы (формула (30)).
Следствие. Для асимптотической устойчивости линейной неоднородной дифференциальной системы (26) при любом свободном члене необходимо и достаточно, чтобы была асимптотически устойчивой соответствующая однородная система (27).
Теорема Ляпунова. Рассмотрим систему
где функции - бесконечно малые выше первого порядка, точнее при удовлетворяют условию
Тогда если все собственные значения матрицы имеют отрицательные действительные части (), то нулевое решение данной системы асимптотически устойчиво; если же хотя бы одно собственное значение имеет положительную действительную часть
(), то нулевое решение неустойчиво.
2. Применение теории устойчивости
Проблему устойчивости движения исследовали многие выдающиеся математики от Ж. Лагранжа до А. Пуанкаре. Ляпунов предложил новые общие строгие методы решения задач об устойчивости движения. Один из этих методов, основывающийся на понятии так называемой функции Ляпунова, позволил ему получить важные по своим применениям критерии устойчивости решения. Созданные Ляпуновым методы исследования успешно применяют и в других разделах теории дифференциальных уравнений. Большой вклад внесли работы Ляпунова и в математическую физику, в частности в теорию потенциала. Ляпунов сделал важный вклад в теорию вероятностей, дав простое и строгое доказательство центральной предельной теоремы в более общей форме, чем та, в которой она рассматривалась до него П.Л. Чебышевым и А.А. Марковым. Для доказательства своей теоремы Ляпунов разработал оригинальный и чрезвычайно плодотворный метод характеристических функций, который широко применяется в современной теории вероятностей.
ляпунов дифференциальное уравнение система
Заключение
Решение задачи об устойчивости движения материальных систем, сводится к исследованию систем дифференциальных уравнений. Проблема устойчивости движения принадлежит к категории труднейших задач естествознания.
В данной курсовой работе мы рассмотрели вопрос об устойчивости решений линейных систем дифференциальных уравнений по Ляпунову. И пришли к выводу, что в математике, решение дифференциального уравнения называется устойчивым, если поведение решений с близким начальным условием "не сильно отличается" от поведения исходного решения. Слова "не сильно отличается" при этом можно формализовать по-разному, получая разные формальные определения устойчивости: устойчивость по Ляпунову, асимптотическую устойчивость и т.д. (см. выше). Обычно рассматривается задача об устойчивости тривиального решения в особой точке, поскольку задача об устойчивости произвольной траектории сводится к данной путем замены неизвестной функции.
Выяснение устойчивости проводилось методом характеристических функций, в котором каждый случай разобран на конкретном примере. Где исследовалось решение линейных систем на устойчивость или неустойчивость.
Линейные системы дифференциальных уравнений используются во многих прикладных задачах. Устойчивость решений этих систем имеет не менее важную роль в использовании этих задач.
Литература
1. Б.П. Демидович. Лекции по математической теории устойчивости. - М.: Наука, 1967.
2. Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 2. - М.: Наука, 1966.
3. В.В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений. - М. - Л., 1950.
4. А.Ф. Филиппов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. - Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2005.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Появление понятия функций Ляпунова. Развитие теории устойчивости движения. Применение функций Ляпунова к исследованию продолжимости решений дифференциальных уравнений. Методы построения функций Ляпунова, продолжимость решений уравнений третьего порядка.
дипломная работа [543,4 K], добавлен 29.01.2010Понятия и решения простейших дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений произвольного порядка, в том числе с постоянными аналитическими коэффициентами. Системы линейных уравнений. Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем.
дипломная работа [395,4 K], добавлен 10.06.2010Виды дифференциальных уравнений: обыкновенные, с частными производными, стохастические. Классификация линейных уравнений второго порядка. Нахождение функции Грина, ее применение для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями.
курсовая работа [4,8 M], добавлен 29.04.2013Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.
курсовая работа [791,0 K], добавлен 12.06.2010Рассмотрение теории дифференциальных уравнений. Выделение классов уравнений с систем, решения которых не имеют подвижных критических особых точек. Установление достаточности найденных условий путем сравнения с классическими системами типа Пенлеве.
курсовая работа [137,0 K], добавлен 01.06.2015Особенности применения функций Ляпунова для исследования устойчивости различных дифференциальных уравнений и систем. Алгоритм и листинг программы определения устойчивости матрицы на основе использования метода Раусса-Гурвица в среде моделирования Matlab.
реферат [403,7 K], добавлен 23.10.2014Системы дифференциальных уравнений первого порядка. Положение равновесия системы. Численный расчет линеаризованной системы уравнений. Определение асимптотической устойчивости состояния равновесия системы в соответствии с первым методом Ляпунова.
курсовая работа [3,0 M], добавлен 15.05.2012Определение и анализ многошаговых методов, основы их построения, устойчивость и сходимость. Постановка задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Адамса, значение квадратурных коэффициентов. Применение методов прогноза и коррекции.
контрольная работа [320,8 K], добавлен 13.03.2013Существование и единственность решений дифференциальных уравнений. Геометрическая интерпретация решений. Линейные и нелинейные системы. Дифференциальные уравнения, моделирующие динамику популяций конкурирующих видов, их решения и фазовые портреты.
дипломная работа [2,5 M], добавлен 27.06.2012Основные формулы, используемые в исследовании. Определение стохастической устойчивости и структура соответствующих уравнений. Применение второго метода Ляпунова. Скалярные уравнения n-го порядка. Анализ устойчивости по вероятности движений спутника.
курсовая работа [235,6 K], добавлен 21.02.2016Представления линейных дифференциальных уравнений как средств математического решения практических задач в естествознании. Простейшая модель однородных популяций на примере определения роста численности карасей. Отлов с постоянной и относительной квотой.
курсовая работа [413,2 K], добавлен 11.07.2011Неизвестная функция, ее производные и независимые переменные - элементы дифференциального уравнения. Семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, их систем. Методы наименьших квадратов, золотого сечения, прямоугольников.
контрольная работа [138,9 K], добавлен 08.01.2016Основные понятия теории погрешностей. Приближенное решение некоторых алгебраических трансцендентных уравнений. Приближенное решение систем линейных уравнений. Интерполирование функций и вычисление определенных интегралов, дифференциальных уравнений.
методичка [899,4 K], добавлен 01.12.2009Обобщенные решения линейных дифференциальных уравнений. Основные примеры построения фундаментальных решений линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, метод преобразования Фурье. Преимущества использования методов спуска.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 10.04.2014Практическое решение дифференциальных уравнений в системе MathCAD методами Рунге—Кутты четвертого порядка для решения уравнения первого порядка, Булирша — Штера - системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и Odesolve и их графики.
лабораторная работа [380,9 K], добавлен 23.07.2012Оригиналы и изображения функций по Лапласу. Основные теоремы операционного исчисления. Изображения простейших функций. Отыскание оригинала по изображению. Задача Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
дипломная работа [162,3 K], добавлен 27.05.2008Дифференциальные уравнения как математический инструмент моделирования и анализа разнообразных явлений и процессов в науке и технике. Описание математических методов решения систем дифференциальных уравнений. Методы расчета токов на участках цепи.
курсовая работа [337,3 K], добавлен 19.09.2011Решение эллиптических и параболических дифференциальных уравнений в частных производных. Суть метода Кранка-Николсона и теории разностных схем для теплопроводности. Построение численных методов с помощью вариационных принципов, описание Matlab и Mathcad.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 13.03.2011Решение системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей боковое перемещение нестабильного самолета относительно заданного курса полета методом преобразования Лапласа. Стабилизация движения путем введения отрицательной обратной связи.
курсовая работа [335,8 K], добавлен 31.05.2016Предмет и методы изучения дифференциальной векторно-матричной алгебры, ее структура. Векторное решение однородных и неоднородных дифференциальных уравнений. Численное решение векторно-матричных уравнений. Формулы построения вычислительных процедур.
реферат [129,3 K], добавлен 15.08.2009
