2

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство спорта, туризма и молодежной

политики Российской Федерации

Российский государственный университет

физической культуры, спорта и туризма

Кафедра естественнонаучных дисциплин

МАТЕМАТИКА

Методические рекомендации по самостоятельному изучению курса

Элементы статистических исследований

2011

Методические рекомендации

утверждены и рекомендованы

Экспертно-методическим

Советом РГУФКСиТ

Протокол №_____

от «____» ___________2011 г.

Составители: Конюхова Г.П. - кандидат педагогических наук, доцент кафедры ЕНД РГУФКСиТ;

Конюхов В.Г. - кандидат технических наук, доцент кафедры ЕНД РГУФКСиТ;

Рецензент: Попов Г.И. - д.п.н., профессор кафедры ЕНД РГУФКСиТ.

Методические указания разработаны по самостоятельному изучению курса «Математика» для студентов, обучающихся по направлениям 032100.62 «Физическая культура», 100200.62 «Туризм», 080100.62 «Экономика», по специальностям: 032101.65 «Физическая культура и спорт», 032103.65 «Рекреация и спортивно-оздоровительный туризм», 100201.65 «Туризм», 032102.65 «Физическая культура для лиц с отклонениями в состоянии здоровья (АФК)», 030602.65 «Связи с общественностью», 080507.65 «Менеджмент организации», 030301.65 «Психология», 040104.65 «Организация работы с молодежью», 050720.65 «Физическая культура».

В пособии рассмотрены основные сведения по статистическому анализу выборочных совокупностей, необходимые для решения ряда задач в области физической культуры и спорта. Материал пособия представлен с позиции прикладной направленности дисциплины.

Учебное пособие предназначено для студентов дневной и заочной форм обучения для изучения теоретических и практических основ математической статистики при подготовке к занятиям и сдаче экзамена.

Содержание

• 1 Эмпирические распределения и числовые характеристики (выборочное исследование)
• 1.1 Генеральная и выборочная совокупности
• 1.2 Формы представления эмпирических распределений
• 1.2.1 Построение статистических рядов
• 1.2.2 Графическое представление статистических рядов
• 1.3 Числовые характеристики выборки
• 1.3.1 Характеристики положения
• 1.3.2 Характеристики рассеяния
• 1.3.3 Характеристики формы
• 2 Исследование корреляции и регрессия
• 2.1 Общие сведения
• 2.1.1 Виды взаимосвязи
• 2.1.2 Форма зависимости
• 2.1.3 Направленность взаимосвязи
• 2.1.4 Теснота (сила) взаимосвязи
• 2.1.5 Коэффициент корреляции Бравэ-Пирсона
• 2.1.6 Коэффициент ранговой корреляции rs Спирмена
• 2.1.7 Регрессия
• 2.2 Пример исследования корреляции и регрессии
• Список литературы
• Приложение. Статистические таблицы

1 Эмпирические распределения и числовые характеристики (выборочное исследование)

Задание. Даны результаты экспериментального исследования одного признака. Произвести табличное и графическое представление экспериментальных данных, рассчитать числовые характеристики выборки.

1.1 Генеральная и выборочная совокупности

Законы теории вероятностей представляют собой математическое выражение реальных закономерностей, фактически существующих в массовых случайных явлениях. Разработка методов регистрации, описания и анализа экспериментальных данных, полученных в результате наблюдения массовых случайных явлений, составляет предмет специальной науки - математической статистики. Задачи математической статистики касаются вопросов обработки наблюдений над массовыми случайными явлениями, но в зависимости от характера решаемого практического вопроса и от объема имеющегося экспериментального материала эти задачи могут принимать ту или иную форму.

Выбор объектов для исследования производится на основе обладания ими общими признаками. Именно наличие общего признака позволяет, с одной стороны, объединить их в одну группу, а с другой - сравнивать между собой. По характеру представления признаки подразделяются на качественные и количественные.

Качественные признаки отражают определенные свойства качества данного объекта и записываются в виде текста. Примерами качественных признаков являются: пол, принадлежность к той или иной команде, специализация и т.д.

Количественные признаки характеризуются определенными численными значениями и подразделяются на дискретные и непрерывные.

Дискретным называется признак, множество значений которого является счетным множеством (элементы счетного множества могут быть перенумерованы и выписаны в соответствующей последовательности). Например, количество баллов, очков, забитых мячей и т.д.

Непрерывным является признак, который может принимать любые значения из некоторого интервала числовой оси (скорость движения, время прохождения дистанции и т.д.).

Предположим, что изучается поведение признака, являющегося случайной величиной, т.е. величиной, которая в результате опыта приобретает одно из своих возможных значений, неизвестно заранее какое. С этой целью над случайной величиной производится ряд независимых опытов-наблюдений. В каждом из этих опытов исследуемая случайная величина принимает определенное значение. Отдельные значения исследуемого признака принято называть вариантами и обозначать латинскими буквами x, y и т.п. из конца алфавита. Совокупность зафиксированных значений признака представляет собой первичный экспериментальный материал, подлежащий обработке, осмыслению и статистическому анализу. Такая совокупность называется статистической совокупностью. Итак, статистической совокупностью называется множество зафиксированных в ходе наблюдений значений признака. Из всех возможных статистических совокупностей особое значение для исследования имеют две совокупности: генеральная и выборочная.

Множество всех возможных значений признака, которое можно было бы получить в данном исследовании, называется генеральной совокупностью.

Выборочной совокупностью, или просто выборкой, называется статистическая совокупность, состоящая из некоторого числа значений признака, случайным образом отобранная из соответствующей генеральной совокупности.

Случайность отбора необходима для того, чтобы свойства полученной выборки наилучшим способом отражали соответствующие свойства генеральной совокупности, т.е. выборка была репрезентативной (представительной). Выборка является случайной, если, во-первых, все измерения, составляющие выборку, независимы (т.е. результат каждого измерения не зависит от предыдущих) и, во-вторых, каждый из объектов генеральной совокупности имеет одинаковую вероятность быть представленным в выборке.

Одной из главных характеристик выборки является число элементов в ней, которое называется объемом выборки и обозначается символом n. В большинстве практически важных случаев объем выборки существенно меньше объема генеральной совокупности, что позволяет считать, что выборка производится из генеральной совокупности, содержащей бесконечное число членов.

Статистические исследования различаются по степени охвата рассматриваемой статистической совокупности. Исследования, охватывающие все объекты генеральной совокупности, называются сплошными, а использующие информацию лишь о некоторой части объектов генеральной совокупности - несплошными. Примером сплошного исследования является Всероссийская перепись населения. Несплошные исследования подразделяются на выборочные, способ основного массива и монографические.

При выборочном исследовании изучению подвергаются элементы выборки. Репрезентативность выборочной совокупности основывается на соблюдении научно обоснованных правил ее формирования.

В случае применения способа основного массива изучению подлежат наиболее существенные элементы совокупности, которые имеют в ней максимальный удельный вес.

При проведении монографического исследования производится подробное изучение характеристик отдельного объекта генеральной совокупности. Монографическое описание используется для характеристики, например, одного конкретного спортсмена.

В области физической культуры и спорта экспериментальные данные, как правило, являются результатами измерений некоторых признаков (спортивный результат, двигательные способности и пр.) объектов, являющихся частью более широкой совокупности подобных объектов. Таким образом, они являются выборочными. Проведение сплошных исследований не характерно для физической культуры и спорта, да и вообще для статистических исследований. Например, просто невозможно, не говоря уже о том, что и нецелесообразно обследовать всех спортсменов, занимающихся определенным видом спорта и имеющих одинаковую квалификацию. Таким образом, проведение эксперимента для всей генеральной совокупности, как правило, или неосуществимо, или неоправдано, поэтому применяется выборочный метод. Выборочный метод является одним из основных методов математической статистики. При выполнении выборочных исследований получаемые результаты используются для описания свойств всей генеральной совокупности.

Проводя каждое конкретное статистическое исследование, необходимо точно определить, что в данном случае является генеральной совокупностью. Так, например, если производится исследование роста российских студентов, то все они составляют генеральную совокупность, а студенты какого-либо института - выборку. В то же время все студенты нашей страны являются выборкой из более широкой совокупности - множества студентов нашей планеты.

Объем и состав выборки зависят от объектов и целей проводимого исследования. Чем больше объектов включает в себя выборка, тем точнее отражает она свойства генеральной совокупности. Вместе с тем увеличение объема выборки приводит к усложнению проведения исследования и повышению его стоимости, поэтому необходимо находить компромисс, так чтобы обследуемые выборки были и не слишком велики, и представительны.

Далее будет рассмотрено применение выборочного метода для установления вида закона распределения случайной величины и оценки числовых характеристик статистического распределения.

1.2 Формы представления эмпирических распределений

Статистическое исследование состоит из трех основных этапов. Первым этапом является наблюдение, при котором производится научно обоснованный сбор данных, характеризующих изучаемое явление или объект. Второй этап заключается в статистической сводке и группировке. На этом этапе данные систематизируются и определенным образом оформляются - чаще всего в виде статистических таблиц. Третьим этапом является анализ статистического материала.

Применение того или иного метода статистического анализа определяется математической моделью, описывающей свойства генеральной совокупности. Для корректного проведения эксперимента выбор и обоснование математической модели должны быть произведены до его начала. На практике при проведении обследований ограниченный объем предварительной информации не позволяет сделать обоснованное предположение о математической модели генеральной совокупности. В таких случаях ее выбор осуществляется на основе построения эмпирического распределения и анализа его характеристик. Под эмпирическим распределением принято понимать распределение элементов выборки по значениям изучаемого признака. Построение эмпирических распределений является необходимым этапом применения статистических методов. Основной задачей при построении эмпирического распределения является формулирование на основе его анализа предположения о форме распределения изучаемого признака в генеральной совокупности.

1.2.1 Построение статистических рядов

Выборка, полученная при проведении экспериментального исследования, представляет собой неупорядоченный набор чисел, записанных в той последовательности, в которой производились измерения. Обычно выборка оформляется в виде таблицы, в первой строке (или столбце) которой стоит номер опыта i, а во второй (втором) - зафиксированное значение случайной величины признака. В таком виде выборка представляет собой первичную форму записи статистического материала, который может быть обработан различными способами. В качестве примера рассмотрим результаты, показанные на легкоатлетических соревнованиях толкателями ядра и приведенные в таблице 1. В первой строке этой таблицы записаны номера измерений, а во второй - их численные значения в метрах.

Таблица 1

Результаты соревнований в толкании ядра

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xi	16,36	14,91	15,31	14,26	14,77	13,88	14,97	14,01	14,07	14,48

№	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
xi	14,44	14,81	13,81	15,15	15,23	15,69	14,29	14,15	14,57	13,92

№	21	22	23	24	25	26	27	28	29
xi	13,62	14,92	15,73	13,22	14,65	14,8	13,04	15,1	13,3

Как видно из таблицы 1, простая статистическая совокупность перестает быть удобной формой представления статистического материала даже при относительно небольшом объеме выборки: она является достаточно громоздкой и мало наглядной. Проанализировать полученные экспериментальные данные и тем более сделать какие-либо выводы на их основе весьма затруднительно. Исходя из этого, полученный статистический материал должен быть обработан для проведения дальнейшего исследования. Простейшим способом обработки выборки является ранжирование. Ранжированием называют расстановку вариант в порядке возрастания или убывания их значений. Ниже в таблице 2 приведена ранжированная выборка, элементы которой расположены в порядке возрастания.

Таблица 2

Ранжированные результаты соревнований в толкании ядра

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xi	13,04	13,22	13,3	13,62	13,81	13,88	13,92	14,01	14,07	14,15

№	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
xi	14,26	14,29	14,44	14,48	14,57	14,65	14,77	14,8	14,81	14,91

№	21	22	23	24	25	26	27	28	29
xi	14,92	14,97	15,1	15,15	15,23	15,31	15,69	15,73	16,36

Но и в таком виде полученные экспериментальные данные плохо обозримы и мало пригодны для непосредственного анализа. Именно поэтому для придания статистическому материалу большей компактности и наглядности он должен быть подвергнут дальнейшей обработке - строится так называемый статистический ряд. Построение статистического ряда начинается с группировки.

Группировкой называется процесс упорядочения и систематизации данных, полученных в ходе проведения эксперимента, направленный на извлечение содержащейся в них информации. В процессе группировки осуществляется распределение вариант выборки по группам или интервалам группировки, каждый из которых содержит некоторый диапазон значений изучаемого признака. Процесс группировки начинается с разбиения всего диапазона варьирования признака на интервалы группировки.

Для каждой конкретной цели статистического исследования, объема рассматриваемой выборки и степени варьирования признака в ней существует оптимальное значение числа интервалов и ширины каждого из них. Ориентировочное значение оптимального числа интервалов k может быть определено, исходя из объема выборки п либо с помощью данных, приведенных в таблице 3., либо с помощью формулы Стэрджесса:

k = 1 + 3,322 lgn.

Таблица 3

Определение числа интервалов группировки

Объем выборки n	10-30	30-60	60-100	100-300	300-400
Число интервалов k	4-5	5-6	7	8	9

Получаемое по формуле значение k почти всегда оказывается дробной величиной, которую необходимо округлить до целого числа, поскольку количество интервалов не может быть дробным. Практика показывает, что, как правило, лучше округлять в меньшую сторону, ибо формула дает хорошие результаты при больших значениях n, а при малых - несколько завышенные.

Рассмотрим группировку вариант выборки на конкретном примере. Для этого обратимся к примеру с толкателями ядра (см. таблицы 1, 2). Определение числа интервалов группировки будем производить на основе данных, приведенных в таблице 3. При объеме выборки n=29 число интервалов целесообразно выбрать равным k =5 (формула Стэрджесса дает значение k =5,9).

Условимся использовать в рассматриваемом примере интервалы равной ширины. В этом случае после того, как число интервалов группировки определено, следует вычислить ширину каждого из них с помощью соотношения:

.

Здесь h - ширина интервалов, а хmax и хmin - соответственно максимальное и минимальное значение признака в выборке. Величины хmax и хmin определяются непосредственно по таблице исходных данных (см. таблицу 2). В рассматриваемом случае: (м).

Здесь необходимо остановиться на точности определения ширины интервала. Возможны две ситуации: точность вычисленного значения h совпадает с точностью проведения эксперимента или превышает ее. В последнем случае возможно использование двух подходов для определения границ интервалов. С теоретической точки зрения наиболее правильно использовать полученное значение h для построения интервалов. Такой подход не внесет дополнительных искажений, связанных с обработкой экспериментальных данных. Однако для практических целей в статистических исследованиях, относящихся к физической культуре и спорту, принято округлять полученное значение h до точности измерения данных. Связано это с тем, что для наглядного представления получаемых результатов удобно, чтобы границами интервалов являлись возможные значения признака. Таким образом, полученное значение ширины интервалов следует округлить с учетом точности проводимого эксперимента. Особо отметим, что округление необходимо производить не в общепринятом математическом смысле, а в сторону увеличения, т.е. с избытком, чтобы не уменьшить общий диапазон варьирования признака - сумма ширины всех интервалов не должна быть меньше разности между максимальным и минимальным значениями признака. В рассматриваемом примере экспериментальные данные определены с точностью до сотых (0,01 м), поэтому полученное выше значение ширины интервалов следует округлить с избытком с точностью до сотых. В результате получаем: h= 0,67 (м).

После определения ширины интервалов группировки следует определить их границы. Нижнюю границу первого интервала целесообразно принять равной минимальному значению признака в выборке xmin: xН1= xmin.

В рассматриваемом примере xН1 = 13,04 (м).

Для получения верхней границы первого интервала (xВ1) следует к значению нижней границы первого интервала прибавить значение ширины интервала:

xВ1= хН1+h.

Заметим, что верхняя граница каждого интервала (здесь - первого) будет являться одновременно и нижней границей следующего (в данном случае второго) интервала: xН2= xВ1.

Подобным образом определяются значения нижних и верхних границ всех оставшихся интервалов:

xВi =xНi+1= xНi+h.

В рассматриваемом примере:

xВ1= xН2= xН1+h=13,04+0,67=13,71 (м),

xВ2= xН3= xН2+h=13,71+0,67=14,38 (м),

xВ3= xН4= xН3+h=14,38+0,67=15,05 (м),

xВ4= xН5= xН4+h=15,05+0,67=15,72 (м),

xВ5= xН5+h=15,72+0,67=16,39 (м).

Перед группировкой вариант введем понятие срединного значения интервала xi, равного значению признака, равноудаленного от концов этого интервала. Учитывая, что оно отстоит от нижней границы на величину, равную половине ширины интервала, для его определения удобно воспользоваться соотношением:

xi= xНi+ h/2,

где xНi - нижняя граница i-ro интервала, а h - его ширина. Срединные значения интервалов будут использоваться в дальнейшем при обработке сгруппированных данных.

После определения границ всех интервалов следует распределить выборочные варианты по этим интервалам. Но предварительно следует решить вопрос о том, к какому интервалу отнести значение, находящееся в точности на границе двух интервалов, т. е. когда значение варианты совпадает с верхней границей одного и нижней границей соседнего с ним интервала. В таком случае варианта может быть отнесена к любому из двух соседних интервалов и, для исключения неоднозначности при группировке, условимся в таких случаях относить варианты к верхнему интервалу. В пользу такого подхода можно привести следующий довод. Поскольку минимальное значение признака совпадает с нижней границей первого интервала и входит в этот интервал, то варианту, попадающую на границу двух интервалов, следует отнести к тому из них, значение нижней границы которого равно рассматриваемой варианте.

Перейдем к рассмотрению статистической таблицы - см. таблицу 4, которая состоит из семи столбцов.

Таблица 4

Табличное представление результатов в толкании ядра

1	2	3	4	5	6	7
Номер интервала	Границы интервала	Срединное значение интервала	Частота	Накопленная частота	Частость	Накопленная частость
i	xНi - xВi	xi	ni	Ni	fi	Fi
1 2 3 4 5	13,04 - 13,71 13,71 - 14,38 14,38 - 15,05 15,05 - 15,72 15,72 - 16,39	13,375 14,045 14,715 15,385 16,055	4 8 10 5 2	4 12 22 27 29	0,138 0,276 0,345 0,172 0,069	0,138 0,414 0,759 0,931 1
Сумма			29		1

В первых трех столбцах статистической таблицы содержатся соответственно номера интервалов группировки i, их границы xНi - xВi и срединные значения интервалов xi.

В четвертом столбце располагаются частоты интервалов. Частотой интервала называется число, показывающее сколько вариант, т.е. результатов измерений попало в данный интервал. Для обозначения этой величины принято использовать символ ni. Сумма всех частот всех интервалов всегда равна объему выборки п, что можно использовать для проверки правильности проведенной группировки.

Пятый столбец таблицы 4 предназначен для занесения в него накопленной частоты интервала - числа, полученного суммированием частоты текущего интервала с частотами всех предыдущих интервалов. Накопленную частоту принято обозначать латинской буквой Ni. Накопленная частота показывает, сколько вариант имеют значения не больше, чем верхняя граница интервала.

В шестой столбец таблицы помещается частость. Частостью называется частота, представленная в относительном выражении, т.е. отношение частоты к объему выборки. Сумма всех частостей всегда равна 1. Для обозначения частости используется символ fi:

fi=ni/n.

Частость интервала связана с вероятностью попадания случайной величины в этот интервал. Согласно теореме Бернулли, при неограниченном увеличении числа опытов частость события сходится по вероятности к его вероятности. Если понимать под событием попадание значения исследуемой величины в определенный интервал, то становится ясно, что при большом числе опытов частость интервала приближается к вероятности попадания измеряемой случайной величины в этот интервал.

И частота, и частость характеризуют повторяемость результатов в выборке. Сравнивая их статистическое значение, следует отметить, что информативность частости существенно выше, чем у частоты. Действительно, если, как, например, в таблице 4 частота второго интервала равна 8 и, значит, 8 результатов попало в этот интервал, то трудно понять - мало это или много; если в выборке 1000 вариант, то такая частота мала, а если 20, то велика. В таком случае для объективной оценки необходимо сопоставить значение частоты с объемом выборки. Если же воспользоваться частостью, то сразу можно сказать, какая доля результатов попала в рассматриваемый интервал (примерно 28% в приведенном примере). Поэтому частость дает более наглядное представление о повторяемости признака в выборке. Особо следует отметить другое важное достоинство частости. Ее использование позволяет сопоставлять выборки различного объема. Частота для таких целей не применима.

В седьмом столбце таблицы расположена накопленная частость. Накопленной частостью является отношение накопленной частоты к объему выборки. Накопленная частость обозначается буквой Fi:

.

Накопленная частость показывает, какая доля вариант выборки имеет значения, не превосходящие значения верхней границы интервала.

Последняя строка статистической таблицы используется для контроля над проведением группировки.

После заполнения таблицы вернемся к определению статистического ряда. Как правило, статистический ряд оформляется в виде таблицы, в первой строке которой перечислены интервалы, а во второй - соответствующие им частости или частоты. Таким образом, статистическим рядом называется двойной числовой ряд, устанавливающий связь между численным значением исследуемого признака и его повторяемостью в выборке. Существенным достоинством статистических рядов является то, что они, в отличие от статистических совокупностей, дают наглядное представление о характерных особенностях варьирования признаков.

1.2.2 Графическое представление статистических рядов

В целях упрощения анализа статистических рядов и придания им большей наглядности используют графические представления. Основными видами графического представления статистических рядов являются гистограмма, полигон частостей и полигон накопленных частостей. Для визуального представления можно использовать как частости, так и частоты. Ограничимся рассмотрением частости, поскольку этот параметр более информативен.

Наиболее часто для анализа статистического ряда используется гистограмма, представляющая собой совокупность примыкающих друг к другу прямоугольников, основание каждого из которых равно ширине интервала группировки, а площадь - частости этого интервала.

Гистограмма строится в декартовой (прямоугольной) системе координат следующим образом. По оси абсцисс откладываются отрезки, отображающие интервалы группировки, а затем на каждом из них строится прямоугольник, площадь которого равна частости данного интервала. Для удовлетворения этому требованию высота прямоугольника выбирается равной частному от деления частости интервала на его ширину Hi=fi/hi. В случае, если все интервалы группировки имеют одинаковую ширину, высоты прямоугольников пропорциональны соответствующим частостям. Полная площадь гистограммы равна единице, что следует из способа ее построения. Действительно, площадь каждого из прямоугольников равна частости, а сумма всех частостей - единица.

В качестве примера на рис. 1 приведена гистограмма распределения результатов, показанных на соревновании в толкании ядра, и построенная для статистического ряда, образованного по данным столбцов 2 и 6 таблицы 4.

2

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1. Гистограмма

С увеличением числа экспериментальных данных можно использовать большее количество интервалов, имеющих меньшие ширины. Гистограмма при этом будет все более и более приближаться к некоторой кривой, ограничивающей площадь, равную единице. Эта кривая представляет собой не что иное как график плотности распределения (или, по-другому, плотности вероятности) исследуемой случайной величины. Таким образом, гистограмма является экспериментальным аналогом плотности распределения.

Другим распространенным способом графического представления статистических рядов является полигон частостей. Полигон частостей отображает зависимость частости от срединных значений интервалов. Полигон частостей строится в декартовой системе координат путем соединения прямыми линиями точек, абсциссы которых равны срединным значениям интервалов, а ординаты - частостям этих интервалов. Эти данные располагаются в третьем и шестом столбцах таблицы 4.

Полигон частостей может быть получен из гистограммы путем соединения середин верхних сторон прямоугольников гистограммы отрезками прямых. Полигон частостей для рассматриваемого примера изображен на рис. 2.

Рис. 2. Полигон частостей

Полигон частостей может оказаться более удобным и наглядным способом графического представления, чем гистограмма, в том случае, когда признак является непрерывным и его распределение описывается плавной зависимостью.

Полигон накопленных частостей представляет собой зависимость накопленных частостей от значений верхних границ интервалов. Полигон накопленных частостей строится в декартовой системе координат посредством соединения прямыми линиями точек, абсциссы которых равны значениям верхних границ интервалов, а ординаты - накопленным частостям этих интервалов. Эти данные располагаются во втором и седьмом столбцах таблицы 4. Полигон накопленных частостей для рассматриваемых экспериментальных данных приведен на рис. 3.

Рис. 3. Полигон накопленных частостей

Полигон накопленных частостей имеет более плавную форму, чем гистограмма или полигон частостей.

С увеличением числа опытных данных в выборке и соответственно увеличением числа используемых интервалов полигон накопленных частостей будет приближаться к кривой, являющейся графиком функции распределения исследуемой случайной величины. Таким образом, он является экспериментальным аналогом функции распределения.

1.3 Числовые характеристики выборки

Рассмотренные выше статистические ряды дают наиболее полную информацию о поведении признака. Однако в практических целях часто бывает достаточно указать только отдельные числовые параметры, до некоторой степени характеризующие существенные черты распределения. Использование таких характеристик позволяет компактно выразить все существенные сведения с помощью минимального количества числовых параметров. Такие характеристики, назначение которых - выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения, называются числовыми характеристиками.

Суть выборочного метода заключается в том, что на основании исследования ограниченного числа элементов генеральной совокупности судят об особенностях всей генеральной совокупности. Любое значение параметра распределения, вычисленное на основе ограниченного числа опытов, т.е. выборки, всегда содержит элемент случайности. Такое приближенное, случайное значение называется оценкой параметра. Значение оценки должно быть максимально близко к значению соответствующего параметра генеральной совокупности, которое является истинным значением оцениваемого параметра. Исходя из этого, к оценке предъявляется ряд требований.

При увеличении числа опытов (объема выборки) значение оценки должно приближаться (сходиться по вероятности) к истинному значению параметра. Это свойство оценки называется состоятельностью.

Оценка не должна содержать систематической ошибки в сторону завышения или занижения. Иными словами, среднее значение оценки, вычисленное по данным различных выборок из одной и той же генеральной совокупности, должно сходиться к истинному значению параметра. Оценка, удовлетворяющая этому требованию, называется несмещенной.

Желательно, чтобы выбранная несмещенная оценка обладала бы по сравнению с другими наименьшим разбросом -дисперсией. Оценка, удовлетворяющая этому требованию, называется эффективной.

На практике не всегда удается удовлетворить этим требованиям. Среди числовых характеристик наибольшее практическое значение имеют характеристики положения, рассеяния и формы распределений.

1.3.1 Характеристики положения

Рассмотрение числовых характеристик выборки необходимо начать с тех из них, которые характеризуют положение значений исследуемого признака на числовой оси, т. е. указывают некоторое среднее, ориентировочное значение, около которого группируются экспериментальные данные. К ним относятся среднее арифметическое, мода и медиана.

Среднее арифметическое равно сумме значений всех вариант выборки, деленное на объем выборки:

.

Здесь п - объем выборки, а xi - варианты выборки.

Среднее арифметическое является наиболее важной характеристикой положения, поскольку при его определении используется вся имеющаяся информация о выборке. Для обозначения среднего арифметического используется та же буква, что и для вариант выборки, с той лишь разницей, что над буквой ставится черта - символ усреднения. В рассматриваемом случае исследуемый признак обозначен через X, его числовые значения - через хi, а среднее арифметическое имеет обозначение .

Из определения среднего арифметического следует, что сумма отклонений выборочных значений признака от него равна нулю.

Вычислять среднее арифметическое исходя из его определения при большом объеме выборки становится затруднительным и можно применить следующий прием: воспользоваться результатами группировки и считать приближенно значения вариант в каждом интервале постоянными и равными срединному значению, которое выступает в роли «представителя» интервала. Число вариант в интервале равно частоте интервала, поэтому среднее арифметическое для сгруппированных данных будет выражаться следующей приближенной формулой:

,

где п - объем выборки;

k - число интервалов группировки;

ni - частоты интервалов;

xi - срединные значения интервалов.

Отметим, что платой за упрощение процесса вычислений является уменьшение их точности - точность вычислений по необработанным данным всегда выше, чем по обработанным. Исходя из этого, вычисление оценочных характеристик по первичным экспериментальным данным является предпочтительным.

Среднее арифметическое, вычисленное по результатам группировки, иногда называют взвешенным средним. Смысл такой формулировки заключается в том, что в формуле срединные значения суммируются с весами (коэффициентами), равными частотам попадания вариант в соответствующие интервалы группировки.

В качестве примера определим среднее арифметическое результатов в толкании ядра для экспериментальных данных из таблицы 1 и сгруппированных в таблице 4. Среднее арифметическое, определенное по необработанным экспериментальным данным, равно: 14,5331 (м).

При использовании для упрощения вычислений результатов проведенной группировки получаем: (4*13,375+8*14,045+10*14,715+5*15,385+2*16,055)/29=14,55328 (м).

Полученные двумя способами средние арифметические различаются на две сотых, что превышает точность измерений экспериментальных данных.

Среди других характеристик положения наиболее важны мода и медиана. Они характеризуют величину варианты, занимающей определенное положение в статистической совокупности.

Модой случайной величины называется значение признака, встречающееся в выборке наиболее часто. Условимся использовать для обозначения моды символы Mo. Геометрически мода соответствует максимуму кривой эмпирического распределения (см. рис. 4).

Рис. 4. Мода

С точки зрения теории вероятностей модой случайной величины является ее наиболее вероятное значение.

Если распределение случайной величины имеет более одного максимума, то распределение называется “полимодальным” (см. рис. 5).

На практике встречаются распределения, имеющие посередине не максимум, а минимум. Такие распределения принято называть “антимодальными” (см. рис. 6).



Рис. 5. Полимодальное распределение

Рис. 6. Антимодальное распределение

Прежде чем приступить к вычислению значения моды в случае сгруппированных данных, необходимо определить модальный интервал. Модальным называется интервал группировки, содержащий наибольшее число вариант, т.е. имеющий максимальную частоту (частость).

Значение моды определяется по результатам группировки с помощью следующего соотношения:

,

где xMoH - нижняя граница модального интервала;

h -ширина интервала группировки;

пMo - частота модального интервала;

пМо-1 - частота интервала, предшествующего модальному;

пмо+1 - частота интервала, следующего за модальным.

При проведении исследования может оказаться, что модальным оказывается первый или последний интервал группировки. В этом случае предыдущий или последующий интервал не существует и возникает вопрос о пути применения последней формулы. Если один из интервалов не существует, то при проведении вычисления моды значение частоты, соответствующее этому интервалу, следует принять равным нулю. Это интуитивно очевидно - раз нет интервала, то нет и вариант, относящихся к нему, потому и частота должна обращаться в нуль.

В рассматриваемом примере модальным является третий интервал, а значение моды равно: (м).

Часто для характеристики распределения применяется еще одна характеристика положения - медиана. Медианой называется такое значение признака, при котором половина значений экспериментальных данных оказывается меньше его, а вторая половина -- больше. Для обозначения медианы принято использовать символы Me. Геометрический смысл медианы - это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам (см. рис. 7).

В случае несгруппированных данных для нахождения медианы необходимо ранжировать выборку, т. е. расположить данные в порядке их возрастания или убывания. Медианой будет являться значение признака, находящееся в середине ранжированного ряда. В ранжированной выборке, содержащей п членов, ранг RMe, т.е. порядковый номер, медианы равен:

,

а сама медиана совпадает с членом выборки, имеющим номер RMe. Описанное правило дает однозначный результат, если выборка содержит нечетное число членов.

Рис. 7. Медиана

Если же выборка содержит четное число членов, то медиана не может быть определена столь однозначно. Действительно, RMe оказывается дробным. В этом случае берут два члена выборки с номерами большим и меньшим RMe и считают медиану, равной их среднему значению.

Для определения медианы в случае сгруппированных данных необходимо найти медианный интервал. Интервал группировки, содержащий медиану, называется медианным. Медианным является интервал, в котором накопленная частота впервые окажется больше половины объема выборки (либо накопленная частость - больше 0,5). Значение медианы определяется по следующей формуле:

 ,

где хМеH - нижняя граница медианного интервала;

n - объем выборки;

h - ширина интервалов группировки;

NMe-1 - накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

пMe - частота медианного интервала.

В рассматриваемом примере накопленная частота впервые превышает половину объема выборки (накопленная частость 0,5) в третьем интервале (см. таблицу 4), поэтому он и будет являться медианным. Само значение медианы равно: (м).

В рассматриваемом примере все характеристики положения различаются между собой. Это свидетельствует об асимметрии эмпирического распределения.

Значения среднего арифметического, моды и медианы совпадают только для симметричных одномодальных распределений. Напомним, что распределение является симметричным, если частости двух любых вариант, равно отстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. В таких случаях все характеристики положения равноправны, но предпочтение принято отдавать среднему арифметическому, поскольку оно опирается на всю имеющуюся информацию об изучаемой выборке. Чем сильнее форма распределения отклоняется от симметричной, тем большее различие наблюдается между значениями характеристик положения.

Значение медианы наиболее важно при исследовании сильно асимметричных эмпирических распределений. В этих случаях значительная часть значений признака оказывается больше, либо меньше среднего арифметического и последнее оказывается мало пригодным для описания положения центра распределения. Использование медианы, занимающей промежуточное значение между средней арифметической и модой, для характеристики центра распределения в описанной ситуации оказывается наиболее рациональным.

1.3.2 Характеристики рассеяния

Характеристики положения описывают центр распределения. В то же время значения вариант могут группироваться вокруг него как в широкой, так и в узкой полосе. Поэтому для описания распределения необходимо охарактеризовать диапазон изменения значений признака. Для описания диапазона варьирования признака используются характеристики рассеяния. Наиболее широкое применение нашли размах вариации, дисперсия, стандартное отклонение и коэффициент вариации.

Размах вариации определяется как разность между максимальным и минимальным значением признака в изучаемой совокупности:

R=xmax-xmin.

Очевидным достоинством рассматриваемого показателя является простота расчета. Однако поскольку размах вариации зависит от величин только крайних значений признака, то область его применения ограничена достаточно однородными распределениями. В остальных случаях информативность этого показателя весьма невелика, поскольку существует очень много распределений, сильно отличающихся по форме, но имеющих одинаковый размах. В практических исследованиях размах вариации используется иногда при малых (не более 10) объемах выборки. Так, например, по размаху вариации легко оценить, насколько различаются лучший и худший результаты в группе спортсменов.

В рассматриваемом примере: R=16,36 - 13,04=3,32 (м).

Второй характеристикой рассеяния является дисперсия. Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонения значения случайной величины от ее среднего значения. Дисперсия есть характеристика рассеяния, разбросанности значений величины около ее среднего значения. Само слово «дисперсия» означает «рассеяние».

При проведении выборочных исследований необходимо установить оценку для дисперсии. Дисперсия, вычисляемая по выборочным данным, называется выборочной дисперсией и обозначается S2.

На первый взгляд наиболее естественной оценкой для дисперсии является статистическая дисперсия, вычисленная, исходя из определения, по формуле:

.

В этой формуле - сумма квадратов отклонений значений признака хi от среднего арифметического . Для получения среднего квадрата отклонений эта сумма поделена на объем выборки п.

Однако такая оценка не является несмещенной. Можно показать, что сумма квадратов отклонений значений признака для выборочного среднего арифметического меньше, чем сумма квадратов отклонений от любой другой величины, в том числе от истинного среднего (математического ожидания). Поэтому результат, получаемый по приведенной выше формуле, будет содержать систематическую ошибку, и оценочное значение дисперсии окажется заниженным. Для ликвидации смещения достаточно ввести поправочный коэффициент . В результате получается следующее соотношение для оценочной дисперсии:

.

При больших значениях n, естественно, обе оценки - смещенная и несмещенная - будут различаться очень мало и введение поправочного множителя теряет смысл. Как правило, уточнение формулы для оценки дисперсии следует производить при n<30.

В случае сгруппированных данных последнюю формулу для упрощения вычислений можно привести к следующему виду:

,

где k - число интервалов группировки;

ni - частота интервала c номером i;

xi - срединное значение интервала c номером i.

В качестве примера проведем вычисление дисперсии для сгруппированных данных разбираемого нами примера (см. табл. 4.):

S2=[4 (13,375-14,5331)2+8 (14,045-14,5331)2+10 (14,715-14,5331)2+

5 (15,385-14,5331)2+2 (16,055-14,5331)2]/28=0,5473 (м2).

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата размерности случайной величины, что затрудняет ее интерпретацию и делает не очень наглядной. Для более наглядного описания рассеяния удобнее пользоваться характеристикой, размерность которой совпадает с размерностью исследуемого признака. С этой целью вводится понятие стандартного отклонения (или среднего квадратического отклонения).

Стандартным отклонением называется положительный корень квадратный из дисперсии:

.

В разбираемом нами примере стандартное отклонение равно (м).

Стандартное отклонение имеет те же единицы измерения, что и результаты измерения исследуемого признака и, таким образом, оно характеризует степень отклонения признака от среднего арифметического. Иными словами, оно показывает, как расположена основная часть вариант относительно среднего арифметического.

Стандартное отклонение и дисперсия являются наиболее широко применяемыми показателями вариации. Связано это с тем, что они входят в значительную часть теорем теории вероятностей, служащей фундаментом математической статистики. Помимо этого, дисперсия может быть разложена на составные элементы, позволяющие оценить влияние различных факторов на вариацию исследуемого признака.

Помимо абсолютных показателей вариации, которыми являются дисперсия и стандартное отклонение, в статистике вводятся относительные. Наиболее часто применяется коэффициент вариации. Коэффициент вариации равен отношению стандартного отклонения к среднему арифметическому, выраженному в процентах:

.

Из определения ясно, что по своему смыслу коэффициент вариации представляет собой относительную меру рассеяния признака.

Для рассматриваемого примера: .

Коэффициент вариации широко используется при проведении статистических исследований. Будучи величиной относительной, он позволяет сравнивать колеблемости как признаков, имеющих различные единицы измерения, так одного и того же признака в нескольких разных совокупностях с различными значениями среднего арифметического.

Коэффициент вариации используется для характеристики однородности полученных экспериментальных данных. В практике физической культуры и спорта разброс результатов измерений в зависимости от значения коэффициента вариации принято считать небольшим (V<10%), средним (11-20%) и большим (V> 20%).

Ограничения на использование коэффициента вариации связаны с его относительным характером - определение содержит нормировку на среднее арифметическое. В связи с этим при малых абсолютных значениях среднего арифметического коэффициент вариации может потерять свою информативность. Чем ближе значение среднего арифметического к нулю, тем менее информативным становится этот показатель. В предельном случае среднее арифметическое обращается в ноль (например, температура) и коэффициент вариации обращается в бесконечность независимо от разброса признака. По аналогии со случаем погрешности можно сформулировать следующее правило. Если значение среднего арифметического в выборке больше единицы, то использование коэффициента вариации правомерно, в противном случае для описания разброса опытных данных следует использовать дисперсию и стандартное отклонение.

В заключение этой части рассмотрим оценку варьирования значений оценочных характеристик. Как уже было отмечено, значения характеристик распределения, рассчитанные по данным эксперимента, не совпадают с их истинными значениями для генеральной совокупности. Точно установить последние не представляется возможным, поскольку, как правило, невозможно обследовать всю генеральную совокупность. Если использовать для оценки параметров распределения результаты разных выборок из одной и той же генеральной совокупности, то окажется, что эти оценки для разных выборок отличаются друг от друга. Оценочные значения флуктуируют около своих истинных значений.

Отклонения оценок генеральных параметров от истинных значений этих параметров называются статистическими ошибками. Причиной их возникновения является ограниченный объем выборки - не все объекты генеральной совокупности входят в нее. Для оценки величины статистических ошибок используется стандартное отклонение выборочных характеристик.

В качестве примера рассмотрим наиболее важную характеристику положения - среднее арифметическое. Можно показать, что стандартное отклонение среднего арифметического определяется соотношением:

,

где у - стандартное отклонение для генеральной совокупности.

Поскольку истинное значение стандартного отклонения не известно, то для оценки стандартного отклонения выборочного среднего используется величина, называемая стандартной ошибкой среднего арифметического и равная:

.

Величина характеризует ошибку, которая в среднем допускается при замене генерального среднего его выборочной оценкой. Согласно формуле, увеличение объема выборки при проведении исследования приводит к уменьшению стандартной ошибки пропорционально корню квадратному из объема выборки.

Для рассматриваемого примера значение стандартной ошибки среднего арифметического равно . В нашем случае она оказалась в 5,4 раза меньше значения стандартного отклонения.

1.3.3 Характеристики формы

При проведении статистических исследований встречаются распределения, имеющие самые разнообразные формы. Для характеристики отклонения формы распределения от симметричной используется коэффициент асимметрии или просто асимметрия, обозначаемая As и вычисляемая по формуле:

,

где xi - значение i-й варианты;

- среднее арифметическое;

S - среднее квадратическое отклонение;

n - объем выборки.

Для симметричной формы распределения коэффициент асимметрии равен нулю. На рис. 8 и 9. показано два асимметричных распределения. Одно из них (рис. 8) имеет положительную асимметрию (As>0), а другое (рис. 9) - отрицательную (As<0). Иногда положительную асимметрию называют левосторонней, а отрицательную - правосторонней. Смысл этого заключается в том, что максимум распределения (и большая часть вариант) смещен влево (или соответственно вправо от значения среднего арифметического.



Рис. 8. Положительная (левосторонняя) асимметрия

Рис. 9. Отрицательная (правосторонняя) асимметрия

Для сгруппированных данных формула для вычисления коэффициента асимметрии имеет вид:

.

Здесь ni -частота интервала с номером i;

xi - его срединное значение;

k - число интервалов группировки.

В рассматриваемом примере о толкании ядра:

As=[4 (13,375-14,5331)3+8 (14,045-14,5331)3+10 (14,715-14,5331)3+

5 (15,385-14,5331)53+2 (16,055-14,5331)3]/[29* 0,73983]= 0,260663.

Коэффициент асимметрии положителен, следовательно, можно предположить, что распределение признака в генеральной совокупности имеет левостороннюю асимметрию.

Для быстрой предварительной оценки асимметрии распределения можно воспользоваться ее простейшим показателем - мерой скошенности. Мера скошенности (Sk) определяется как отклонение среднего арифметического () от моды (Мо):

.

Нормировка на среднее квадратическое отклонение S производится для обезразмеривания, что необходимо для сравнительного анализа степени асимметрии различных распределений. Применение этого показателя основано на том, что равенство среднего арифметического, моды и медианы имеет место только для симметричных распределений. Поэтому наиболее просто связать показатель асимметрии с соотношением характеристик положения: чем больше разница между средним арифметическим и модой, тем больше асимметрия распределения. В нашем примере: .

Как видим, и мера скошенности имеет значение, близкое к нулю. В рассматриваемом случае As>0, а Sk0. Никакого противоречия в этом нет, поскольку, с одной стороны, оба показателя являются выборочными, и, следовательно, вычислены с погрешностью, а, с другой стороны, оба они близки к нулю. Это соответствует случаю или симметричного распределения, или распределения, мало отличающегося от симметричного.

Следующий показатель - эксцесс - служит для характеристики так называемой крутости, т.е. островершинности или плосковершинности распределения. Эксцессом называется случайная величина, определяемая соотношением:

.

Число три вычитается из частного потому, что для весьма важного и широко распространенного в природе закона нормального распределения значение этого частного равно трем. Таким образом, для нормального распределения эксцесс равен нулю. Кривые, более островершинные по сравнению с кривой нормального распределения, обладают положительным эксцессом, а кривые более плосковершинные - отрицательным эксцессом. Таким образом, нормальное распределение служит эталоном, а эксцесс показывает крутизну эмпирического распределения относительно крутизны кривой нормального распределения (см. рис. 10).

...