Методика изучения кривых
Исследование кривой второго порядка, принципы и правила ее построения по каноническому уравнению. Преобразование координат на плоскости. Преобразование координат на плоскости. Приведение к каноническому виду общего уравнения кривой 2-ого порядка.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 06.06.2014 |
| Размер файла | 936,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Введение
кривая уравнение координата
Цель:
Целью данной курсовой работы является исследование кривой и формы поверхности второго порядка. Закрепление полученных теоретических знаний и практических навыков по изучению и анализу свойств кривых и поверхностей второго порядка.
Постановка задачи:
I. Для данного уравнения кривой второго порядка:
1. Определить тип данной кривой с помощью инвариантов.
2. Привести уравнение кривой к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.
3. Найти фокусы, директрисы и ассимптоты данной кривой (если они есть).
4. Построить каноническую систему координат и данную кривую в общей системе координат.
II. Для данного канонического уравнения поверхности второго порядка:
1. Исследовать форму поверхности методом сечений плоскостями, построить линии, полученные в сечениях;
2. Построить поверхность в канонической системе координат.
1. Исследование кривой второго порядка
Пусть кривая Г задана в декартовой прямоугольной системе координат xOy уравнением:
. (1*)
Если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то кривую Г называют кривой второго порядка.
Теорема 1. Для произвольной кривой второго порядка Г существует такая декартова прямоугольная система координат XOY, что в этой системе кривая Г имеет уравнение одного из следующих канонических видов:
1) , а b > 0 -- эллипс,
2) -- мнимый эллипс,
3) -- две мнимые пересекающиеся прямые (точка),
4) -- гипербола,
5) -- две пересекающиеся прямые,
6) -- парабола,
7) -- две параллельные прямые,
8) -- две мнимые параллельные прямые,
9) -- две совпадающие прямые.
В этих уравнениях a, b, p -- положительные параметры.
Систему координат XOY назовем канонической системой координат, а систему координат xOy -- общей системой координат.
Задание №1. Построение кривой 2-го порядка
по каноническому уравнению.
б) 1)Эллипс:
Дано: ; , получаем:
(см. рис. 1)
Координаты фокусов:
2)Гипербола:
Дано: ; , получаем:
(см. рис. 1)
Координаты фокусов:
3)Парабола:
p - параметр параболы
Дано: , получаем:
(см. рис. 1)
Координата фокуса:
Вывод: мы научились строить уравнения кривых 2-го порядка по каноническим уравнениям.
Рис. 1
Рис. 2
Задание №2. Преобразование координат на плоскости.
а) Параллельный перенос:
Чтобы перенести кривую на какой-либо вектор, нужно начало координат перенести на этот вектор, либо вычесть его. Путём преобразования параллельного переноса получаем:
Преобразуем уравнение к каноническому виду:
в итоге получим каноническое уравнение эллипсa (см. рис. 3)
Вывод: преобразование параллельного переноса позволяет упростить уравнение кривой 2-го порядка.
б) Преобразование поворота:
Найдём кривую, полученную из кривой поворотом вокруг начала координат (против часовой стрелки) на угол ).
При повороте эллипса вокруг начала координат против часовой стрелки на угол , уравнение эллипса приобрело следующий вид:
эллипс (см. рис. 3)
Вывод: с помощью преобразования поворота удалось вывести общее уравнение кривой 2-го порядка, повёрнутой на угол б, т.к. у нас совпал чертеж на компьютере и чертеж от руки, значит уравнение найдено верно.
Рис.3
Рис. 4
Задание №3. Приведение к каноническому виду общего уравнения кривой 2-ого порядка.
а)
Путём преобразования параллельного переноса получаем:
Решаем полученную систему уравнений:
-
/2
Чтобы перенести кривую на какой-либо вектор, нужно начало координат перенести на этот вектор, либо вычесть его. Путём преобразования параллельного переноса получаем:
Полученное уравнение следует преобразовать с помощью преобразования поворота:
Решаем полученную систему уравнений:
/
Воспользуемся тригонометрической формулой: :
Воспользуемся тригонометрической формулой: :
Следовательно, .
Подставляем в систему уравнений:
/36
в итоге получим каноническое уравнение эллипса (см. рис. 5)
Вывод: любая кривая 2-го порядка может быть преобразована в каноническое уравнение с помощью поворота и переноса.
Рис. 6
2. Исследование формы поверхности второго порядка
Поверхностью второго порядка S называется геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида:
(2*),
где по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.
Уравнение (2*) называют общим уравнением поверхности второго порядка S, а систему координат Oxyz называют общей системой координат.
Теорема 2. Для произвольной поверхности S, заданной общим уравнением существует такая декартова прямоугольная система координат что в этой системе поверхность S имеет уравнение одного из следующих семнадцати канонических видов.
1) -- эллипсоид,
2) -- мнимый эллипсоид,
3) -- однополостный гиперболоид,
4) -- двуполостный гиперболоид,
5) -- конус,
6) -- мнимый конус (точка),
7) -- эллиптический параболоид,
8) -- гиперболический параболоид,
9) -- эллиптический цилиндр,
10) -- мнимый эллиптический цилиндр,
11) -- две мнимые пересекающиеся плоскости (ось
O'Z),
12) -- гиперболический цилиндр,
13) -- две пересекающиеся плоскости,
14) -- параболический цилиндр,
15) -- две параллельные плоскости,
16) -- две мнимые параллельные плоскости,
17) -- две совпадающие плоскости (плоскость XOZ).
В выше перечисленных уравнениях a, b, c, p -- положительные параметры. Систему координат называют канонической.
Исследование формы поверхности второго порядка методом сечения плоскостями
Если дано каноническое уравнение поверхности S, то представление о поверхности можно получить по форме линий пересечения ее плоскостями:
Z = c -- параллельными координатной плоскости XO'Y,
X = c -- параллельными координатной плоскости YO'Z,
Y = c -- параллельными координатной плоскости XO'Z.
Задание 4. Исследование поверхности 2-го порядка методом сечений.
а)
Путём преобразования параллельного переноса получаем:
Решаем полученную систему уравнений:
Чтобы перенести кривую на какой-либо вектор, нужно начало координат перенести на этот вектор, либо вычесть его. Путём преобразования параллельного переноса получаем:
Преобразуем уравнение к каноническому виду:
/36
в итоге получим каноническое уравнение эллипсоида (см. рис. 7.1-7.4)
Вывод: метод сечения позволяет определить вид поверхности 2-го порядка
Задание 5. Преобразование координат в пространстве.
Найдём кривую, полученную из кривой поворотом вокруг начала координат (против часовой стрелки) на угол ) и на ось y (ось вокруг которой совершается поворот).
При повороте эллипсоида вокруг начала координат против часовой стрелки на угол ) и на ось y (ось вокруг которой совершается поворот), уравнение эллипсоида приобрело следующий вид:
Вывод: преобразование поворота и переноса системы координат приводит к изменению поверхности 2-го порядка.
Список используемой литературы
1. Копылова Т.В. Конспект лекций по линейной алгебре;
2. Копылова Т.В. Линейная алгебра. -- Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 1996;
3. Ефимова Л.В., Демидович Б.П. Линейная алгебра и основы математического анализа. -- М: Наука, 1993.
4. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. аналитическая геометрия. - М.: Наука,1974.
5. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. - М.: Физматгиз,1969.
6. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука,1987.
7. Бугров А.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - М.: Наука,1980.
8. Данко П.Е., Поков А.Г., Кожевникова Т.Я. высшая математика в упражнениях и задачах. - М.: Высшая школа,1986.
9. Ефимов А.В., Демидович Б.П. Сборник задач по математике (для втузов) (в четырех частях). - М.: Наука,1993.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Общее уравнение кривой второго порядка, преобразование систем координат. Классификация кривых по инвариантам, исследование уравнения кривой второго порядка. Изучение и примеры исследования инвариант поворота и параллельного переноса систем координат.
курсовая работа [654,1 K], добавлен 28.09.2019Арифметическая теория квадратичных форм, их практическое применение в приведении уравнения кривой и поверхности второго порядка к каноническому виду. Самосопряженный оператор, его характеристика, использование и функции. Собственные числа и вектора.
курсовая работа [277,9 K], добавлен 28.11.2012Приведение уравнения к каноническому виду при помощи преобразований параллельного переноса и поворота координатных осей. Нахождение фокусов, директрис, эксцентриситета и асимптот кривой. Построение графика кривой в канонической и общей системах координат.
контрольная работа [133,5 K], добавлен 12.01.2011Основные свойства кривых второго порядка. Построение кривой в канонической и общей системах координат. Переход уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений.
курсовая работа [166,1 K], добавлен 17.05.2011Общее уравнение кривой второго порядка. Составление уравнений эллипса, окружности, гиперболы и параболы. Эксцентриситет гиперболы. Фокус и директриса параболы. Преобразование общего уравнения к каноническому виду. Зависимость вида кривой от инвариантов.
презентация [301,4 K], добавлен 10.11.2014Линейные операторы, собственные значения. Общее понятие о квадратичных формах. Упрощение уравнений второго порядка на плоскости. Упрощение уравнений фигур в пространстве. Ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду.
курсовая работа [162,9 K], добавлен 13.11.2012Исследование кривой второго порядка. Определение типа кривой с помощью инвариантов. Приведение к каноническому виду, построение графиков. Исследование поверхности второго порядка. Определение типа поверхности. Анализ формы поверхности методом сечений.
курсовая работа [231,0 K], добавлен 28.06.2009Уравнение для описания поверхности второго порядка в аффинной системе координат. Виды квадрики в прямоугольной системе координат: мнимый эллипсоид, гиперболоид, конус, параболоид, цилиндр, плоскости. Способы приведения квадрики к каноническому виду.
курсовая работа [4,5 M], добавлен 19.09.2012Система линейных уравнений. Общее и частные решения системы линейных уравнений. Нахождение векторного произведения. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Исследование функции на непрерывность. Тригонометрическая форма числа.
контрольная работа [128,9 K], добавлен 26.02.2012По заданному уравнению кривой второго порядка определен вид кривой, фокусы и эксцентриситет. Составление уравнения параболы с вершиной в начале координат. Нахождение производных с помощью формул дифференцирования. Действия над комплексными числами.
контрольная работа [113,6 K], добавлен 16.10.2013Эллипс, гипербола, парабола как кривые второго порядка, применяемые в высшей математике. Понятие кривой второго порядка - линии на плоскости, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением. Теоремма Паскамля и теорема Брианшона.
реферат [202,6 K], добавлен 26.01.2011Исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам. Инвариантность выражения АС-В2. Классификация линий второго порядка. Уравнения, определяющие эллипс и гиперболу. Директрисы кривых второго порядка.
курсовая работа [132,1 K], добавлен 14.10.2011Нахождение координат треугольника по заданным вершинам. Условия перпендикулярности, параллельности и совпадения прямых. Уравнение плоскости, проходящей через точку. Составление канонических уравнений прямой, кривой второго порядка и поверхности.
контрольная работа [259,7 K], добавлен 28.03.2014Определение матрицы, решение систем уравнений методом Гаусса и по формулам Крамера. Определение параметров треугольника, его графическое построение. Задача приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду и ее построение.
контрольная работа [126,8 K], добавлен 08.05.2009Роль идей и методов проективной геометрии в математической науке. Закономерности кривых второго порядка и кривых второго класса, основные теоремы Паскаля и Брианшона, описывающие замечательное свойство шестиугольника вписанного в кривую второго порядка.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 04.11.2013Регулярная кривая и ее отдельные точки. Касательная к кривой и соприкасающаяся плоскость. Эволюта и эвольвента плоской кривой. Кривые на плоскости, заданные уравнением в неявной форме. Примеры точки возврата; понятие асимптоты и полярных координат.
курсовая работа [936,1 K], добавлен 21.08.2013Кривая и формы поверхности второго порядка. Анализ свойств кривых и поверхностей второго порядка. Исследование форм поверхности методом сечений плоскостями, построение линии, полученной в сечениях. Построение поверхности в канонической системе координат.
курсовая работа [132,8 K], добавлен 28.06.2009Определение алгебраической линии на плоскости. Теорема о независимости порядка линии от выбора аффиной системы координат. Классификация алгебраической линии. Понятие алгебраической линии на плоскости и окружности как составляющих метода координат.
курсовая работа [197,3 K], добавлен 29.09.2014Определение дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. Принцип построения разностных схем. Конечно-разностный метод решения задач. Двусторонний метод аппроксимации.
дипломная работа [603,8 K], добавлен 24.01.2013Основные способы приведения квадратичных форм к каноническому виду. Выделение полных квадратов по стандартной схеме метода Лагранжа. Запись матрицы перехода. Линейное и невырожденное преобразование координат. Метод ортогональных преобразований.
лекция [362,9 K], добавлен 05.09.2013
