Розробка скінчено-елементної моделі еліптичної циліндричної оболонки
Рівняння класичної теорії оболонок. Деформації, зміни кривизн серединної поверхні оболонки та еквідистантного шару. Матеріальні співвідношення для ізотропного матеріалу. Розрахунок динамічних характеристик. Геометрія і скінченно-елементні моделі оболонок.
| Рубрика | Математика |
| Вид | дипломная работа |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 05.06.2014 |
| Размер файла | 308,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
. (2.2)
У випадку відсутності демпфування маємо рівняння
, (2.3)
розв'язок якого можна шукати у вигляді
, (2.4)
де - вектор амплітудних значень вузлових переміщень; - колова частота, - фаза коливань. Після прямої підстановки (2.4) у (2.3) та скорочення на отримаємо систему алгебраїчних рівнянь:
, (2.5)
У цієї системі ненульові значення компонентів можливі лише при умові, що
. (2.6)
Якщо квадратні матриці та - додатно визначені (звичайно для задачі лінійної пружності), то рівняння (2.6) має додатних розв'язків - власних частот , причому можливі парні значення (тут - кількість невідомих у системі алгебраїчних рівнянь (2.5)).
При виконанні умови (2.6) одне з рівнянь (2.5), хоча б, є наслідком останніх. Тому кожному значенню відповідає певне співвідношення між амплітудами . Іншими словами всі амплітуди вектора можуть бути виражені через одну з них. Співвідношення між амплітудами визначають -ту власну форму коливань.
З рівняння (2.4) слідує, що всі ступені вільності в процесі коливань з власною частотою здійснюють синхронний рух. Таким чином, конфігурація конструкції не змінює своєї базової форми, а змінюються тільки амплітуди.
Маючи значень власних частот , розв'язок системи (2.5) можна шукати у вигляді лінійної комбінації з виразів (2.4):
. (2.7)
Тобто зміна форми лінійної пружної конструкції з часом, коли вона коливається вільно або здійснює вимушені коливання, є лінійною комбінацією всіх її власних форм.
Оскільки значення компонентів власних векторів можуть бути знайдені не однозначно, а з точністю до постійного множника, то звичайно їх нормують за правилом:
. (2.8)
Доведено, що власні вектори ортогональні відносно матриць та , тобто
, , . (2.9)
З фізичної точки зору -ортогональність власних форм означає, що вони є унікальними, і ни одна з них не може бути отримана лінійною комбінацією інших.
Ще можна відзначити, що звичайно шукаються не всі корні рівняння (2.6), а декілька (позначимо як ) найменших значень, оскільки тільки при нижчих власних частотах амплітуди коливань мають відносно великі значення. Інакше кажучи, декілька перших власних частот та форм коливань достатньо для отримання задовільного наближення розв'язку (2.7).
Nastran для визначення власних форм і частот коливань, якщо дисипація енергії та демпфування не враховується, використовує, як основний, метод Ланцоша (Lanczos), що потребує менших ресурсів (часу обчислень і вільної пам'яті на жорсткому диску порівняно з іншими методами. Метод Ланцоша [3] дозволяє визначати n-у кількість потрібних власних значень частот і форм із заданою точністю. Чим більша кількість власних пар частот треба визначити, тим більш помітними виявляються переваги цього метода.
Знаходження власних частот і форм коливань зводиться до розв'язування системи алгебраїчних рівнянь:
, (2.10)
де - власна форма, - пульсація.
Метод Ланцоша використовує зведення до тридіагональної матриці .
(2.11)
де - прямокутна матриця з елементами , - число рівнянь, - номер кроку по Ланцошу, - j-ий вектор Ланцоша. Вираз
(2.12)
генерує наступний вектор Ланцоша і визначає поточний рядок матриці
Таким чином, отримаємо задачу власних значень:
(2.13)
, де - j-а апроксимація кругової частоти , , - потрібне число власних пар. Алгоритм продовжує обчислення (при збільшенні - номера кроку процедури Ланцоша) до тих пір, поки не буде досягнута потрібна точність по всім власним значенням, що вимагаються.
Процедура вибіркової ортогоналізації підтримує потрібний рівень ортогоналізації векторів Ланцоша , що забезпечує надійність і стійкість чисельного процеса розрахунку. Використовуються економічні методи для реалізації процедури вибіркової ортогоналізації і для розв'язування редуцированої задачі власних значень (2.13) шляхом застосування подвійних -ітерацій із зсувами.
Вихідні власні вектори визначаються за формулою
(2.14)
РОЗДІЛ 3. ЧИСЕЛЬНЕ ВИЗНАЧЕННЯ ВЛАСНИХ ЧАСТОТ ТА ФОРМ КОЛИВАНЬ ЕЛІПТИЧНОЇ ЦИЛІНДРИЧНОЇ ОБОЛОНКИ
3.1 Геометрія та скінченно-елементні моделі оболонок
За допомогою Femap спочатку була побудована геометрія еліптичної циліндричної оболонки постійної товщини висотою та еліптичним перерізом з півосями та . Модель консольно закріплювалась по нижньому контуру.
В якості ізотропного матеріалу вибиралась сталь 40Х (модуль Юнга , коефіцієнт Пуассона , густина ).
Розбивка проводилась plate-елементами постійної товщини і вміщує 1400 вузлів та 1344 прямокутних елементів (рис. 3).
Рис. 3
Для порівняння було побудовано оболонки такої самої висоти з такими ж граничними умовами, але змінної по контуру перерізу товщини.
Програма FEMAP дозволяє задавати PLATE-елементи із змінною товщиною. Проте застосувати цю властивість для еліптичної оболонки легко вдається лише у випадку змінної товщини по висоті. Задати ж PLATE-елементи змінної товщини для розбивки оболонки змінної по контуру перерізу товщини із забезпеченням еквівалентної маси, із масою оболонки постійної товщини важко. Тому оболонка моделювалась не як поверхня, а як тверде тіло, серединна поверхня якого має такі ж розміри як серединна поверхня оболонки постійної товщини. Для цього спочатку розраховувались півосі еліпсів зовнішніх і внутрішніх поверхонь для оболонки з потовщенням вздовж більшої осі та для оболонки з потовщенням вздовж меншої. Далі створювалась гранична поверхня між відповідною парою еліпсів і екструзією витягувалась на висоту оболонки.
При цьому отримались дві оболонки змінної по контуру перерізу товщини. В одній товщина вздовж великої осі товщина 3мм, вздовж малої осі 1,3мм (рис. 4). В другій товщина вздовж великої осі 1мм, вздовж малої осі 2,73мм (рис. 5). Закріплення отриманих оболонок проводилась теж консольно по поверхні нижнього перерізу.
Рис. 4
Рис. 5
Розбивка проводилась SOLID восьми вузловими елементами і вміщувала 2800 вузлів і 1344 елементів. Матеріал в усіх випадках задавався один і той самий.
3.2 Аналіз та результати розрахунків
Далі проводився розрахунок частот і форм власних коливань. Для цього вибирався тип аналізу Normal Modes/Eigenvalue розв'язувача Nastran.
Результати порівняння резонансних частот для розглядуваних оболонок представлені у вигляді таблиці 1, де - кількість вузлів вздовж твірної, - кількість вузлів вздовж дугової координати.
Таблиця 1
|
Форма коливань |
Оболонка постійної товщини |
Оболонка змінної товщини з потовщенням вздовж великої осі |
Оболонка змінної товщини з потовщенням вздовж малої осі |
||
|
m |
n |
||||
|
1 |
4 |
1715 |
1831 |
1602 |
|
|
1 |
6 |
2144 |
2188 |
1937 |
|
|
1 |
8 |
3817 |
3825 |
3512 |
|
|
1 |
10 |
6078 |
6038 |
5599 |
|
|
1 |
12 |
8860 |
8807 |
8152 |
|
|
2 |
4 |
||||
|
2 |
6 |
4485 |
4437 |
4478 |
|
|
2 |
8 |
4855 |
4772 |
4720 |
|
|
2 |
10 |
6967 |
6946 |
6463 |
|
|
2 |
12 |
9563 |
9510 |
8847 |
|
|
Згинна |
3251 |
3293 |
3233 |
||
|
Дихаюча |
6866 |
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Простір швидкостей і геометрія Лобачевського. Фрідманська модель Всесвіту. Рівняння синус-Гордона. Вивчення гідродинаміки, аеродинаміки і теорії пружності. Топологія тривимірних многовидів. Розвиток теорії нелінійних хвиль і функцій комплексної змінної.
курсовая работа [490,5 K], добавлен 02.04.2014Модель Еванса встановлення рівноважної ціни. Побудова моделі зростання для постійного темпу приросту. Аналіз моделі росту в умовах конкуренції. Використання математичного апарату для побудови динамічної моделі Кейнса і неокласичної моделі росту.
реферат [81,8 K], добавлен 25.05.2023Рівняння площини, яка проходить через задану точку перпендикулярно заданому вектору. Опис прямої лінії у просторі. Взаємне розташування прямої та площини. Поверхні другого порядку. Параметричні рівняння ліній. Приклади їх побудови в полярних координатах.
лекция [252,5 K], добавлен 30.04.2014Розв’язання системи рівнянь методом Крамера, методом оберненої матриці та методом Гаусса. Розрахунок довжини ребра, кута між ребрами, рівняння висоти, рівняння площини грані і кута між ребром та гранню. Дослідження функції та побудува її графіку.
контрольная работа [397,0 K], добавлен 30.10.2011Елементи загальної теорії багатомірних просторів, аксіоматика Вейля. Геометрія k-площин в афінному і евклідовому просторах: паралелепіпеди, симплекси, кулі. Застосування багатомірної геометрії: простір-час класичної механіки і теорії відносності.
дипломная работа [1,0 M], добавлен 28.01.2011Аналіз рівняння еліпсоїда, властивостей кривих і поверхонь другого порядку. Канонічне рівняння гіперболи за допомогою перетворень паралельного переносу й повороту координатних осей. Дослідження форми поверхні другого порядку методом перетину площинами.
курсовая работа [137,1 K], добавлен 27.12.2010Розгляд найбільш відомих скінченно-різнецевих методів рішення рівнянь руху з непереривною силою: чисельна ітерація рівнянь Ньютона; алгоритм Бімана і Шофілда; метод Рунге-Кутта; методи Адамса, Крилова, Чаплигіна. Програма Рунге-Кутта на мові С#.
курсовая работа [359,5 K], добавлен 27.01.2011Узагальнення учбового матеріалу шкільного курсу алгебри в розділі "Рівняння та нерівності"; розробка пропозицій щодо використання програмно-графічного комплексу Microsoft Mathematics 4.0 для впровадження інтегрованих інноваційних методологій викладання.
дипломная работа [2,2 M], добавлен 16.06.2013Основні поняття теорії диференціальних рівнянь. Лінійні диференціальні рівняння I порядку. Рівняння з відокремлюваними змінними. Розв’язування задачі Коші. Зведення до рівняння з відокремлюваними змінними шляхом введення нової залежної змінної.
лекция [126,9 K], добавлен 30.04.2014Загальна характеристика системи Moodle. Поняття кільця та його найпростіші властивості. Алгебраїчна форма запису комплексного числа. Основні типи бінарних відношень. Властивості операцій над множинами. Лінійні комбінації і лінійні оболонки векторів.
дипломная работа [1,0 M], добавлен 26.02.2014Обчислення довжини дуги для просторової кривої, що задана параметрично. Варіант розрахунку у випадку задання кривої в полярній системі координат. Формули для обчислення площі поверхні обертання. Вираз площі циліндричної поверхні через елементарні функції.
научная работа [103,7 K], добавлен 12.05.2010Дослідження диференціального рівняння непарного порядку і деяких систем з непарною кількістю рівнянь на нескінченному проміжку. Побудова диференціальної моделі, що описується диференціальним рівнянням, та дослідження її на скінченому проміжку часу.
дипломная работа [1,4 M], добавлен 24.12.2013Аналіз історії виникнення неевклідової геометрії. Знайомство з біографією М. Лобачевського. Розгляд ознак паралельності прямих. Загальна характеристика головних формул тригонометрії Лобачевского. Особливості теореми про існування паралельних прямих.
дипломная работа [1,5 M], добавлен 12.05.2014Задача продавлення шкідливих збурень. Збурювальні задачі, що видвинуті для розгляду радіотехнікою, в деякому розуміння протилежні задачам класичної теорії збурень. Дійснi нелінійнi диференціальнi рівняння. Завдання радіотехніки, задачі генерації збурень.
дипломная работа [890,8 K], добавлен 17.06.2008Розрахунок мережі масового обслуговування. Розробка програми для обчислення характеристик. Однорідні експоненціальні мережі масового обслуговування. Рівняння глобального балансу для замкнених мереж. Декомпозиція розімкнених мереж масового обслуговування.
дипломная работа [2,9 M], добавлен 25.08.2010Микола Іванович Лобачевський як відомий російський математик, творець неевклідової геометрії. Його дослідження у галузі геометрії. Походження неевклідової геометрії. Три моделі геометрії Лобачевського: Пуанкаре, Клейна та інтерпретація Бельтрамі.
реферат [229,4 K], добавлен 31.03.2013Огинаючі лінії диференціального рівняння. Брахистохрона з фіксованою абсцисою правого кінця. Геодезичні лінії на кривої поверхні. Криволінійна трапеція з найбільшою площею. Крива прогину гнучкої нерозтяжної нитки. Поверхня обертання найменшої площі.
курсовая работа [947,3 K], добавлен 15.02.2011Діагностика турбіни трьома основними методами — ММР, ММП, ММКПР, тобто визначення Хо для всіх випадків. Ідентифікація параметрів математичної моделі на основі авторегресії 2-го порядку для заданого часового ряду, оцінка адекватності отриманої моделі.
контрольная работа [98,3 K], добавлен 16.08.2011Історія появи й розвитку геометрії: постулати Евкліда, аксіоматика Гильберта та інші системи геометричних аксіом. Неевклідові геометрії в системі Вейля. Різні моделі площини Лобачевского, незалежність 5-го постулату Евкліда від інших аксіом Гильберта.
дипломная работа [263,0 K], добавлен 12.02.2011Аксіоматика і основні метричні формули псевдоевклідової площини. Канонічні рівняння кривих другого порядку (параболи, еліпса, гіперболи). Елементи загальної теорії кривих другого порядку псевдоевклідової площини. Перетворення координат рівняння.
презентация [787,6 K], добавлен 17.01.2015
