Дифференциальное уравнение
Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов, метод неопределенного коэффициента. Синтез управления не более, чем с одним переключением в управляемой системе второго порядка. Малые возмущения системы линейных уравнений.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 08.06.2014 |
| Размер файла | 253,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1. Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов
Задание: В первой части курсовой работы для решения дифференциального уравнения:
a?(t) + a?(t) + a?(t)x = 0, a?(t?) ? 0, (1.1)
где функции ai(t) (i = 0, 1, 2) разлагаются в степенной ряд в окрестности точки t? с радиусами сходимости ri:
ai(t) = i j(t - t?) j
необходимо найти два линейно независимых решения ц?(t), ц?(t) уравнения (1.1). Такими решениями будут, например, решения с начальными условиями:
ц?(t?) = 1, (t?) = 0 и ц?(t?) = 0, (t?) = 1.
Решения цi(t) предлагается искать в виде степенного ряда:
цi(t) = i j(t - t?) j (1.2)
методом неопределенных коэффициентов (В дальнейшем можно брать t?=0).
Решение:
1)Воспользуемся теоремой о представлении решения уравнения (1.1) в виде степенных рядов.
Теорема
Задача Коши для уравнения (1.1) с аналитическими в точке t? коэффициентами имеет решение при произвольных начальных данных
ц(t?) = с?, (t?) = с?
представимое в виде степенного ряда (1.2) с тем же радиусом сходимости , что и ряды ai(t) = i j(t - t?) j [1, Глава 7, §6, с. 346]
2)Рассмотрим уравнение:
()+sin t x=0 (1.3)
sin t = k tk
x=k tk(1.4)
Дифференцируем ряд (1.4) почленно два ряда:
=
Подставляем полученные ряды в уравнение (1.3):
т. к. , то .
Реккурентная формула для вычисления коэффициентов с i j имеет вид:
3)Найдем радиусы сходимости полученных решений на основании теоремы о существовании и единственности решения
.
+x = 0
Коэффициенты p(t) = 0 , q(t) = ,
разлагаются в степенные ряды с радиусом сходимости, равным расстоянию точки t? до ближайшего нуля полинома a?(t). Следовательно, полученные решения имеют бесконечные радиусы сходимости.
4)Программа.
Текст программы представлен в приложении.
Первые 100 коэффициентов разложения при :
0 1.000000
1 0.000000
2 0.000000
3 0.000000
4 0.000000
5 -0.001042
6 0.000000
7 0.000025
8 0.000047
9 -0.000000
10 -0.000001
11 -0.000003
12 0.000000
13 0.000000
14 0.000000
15 -0.000000
16 -0.000000
17 -0.000000
18 0.000000
19 0.000000
20 0.000000
………………
100 -0.000000
Первые 100 коэффициентов разложения при :
0 0.000000
1 1.000000
2 0.000000
3 0.000000
4 0.000000
5 -0.001042
6 0.000000
7 0.000025
8 0.000047
9 -0.000000
10 -0.000001
11 -0.000003
12 0.000000
13 0.000000
14 0.000000
15 -0.000000
16 -0.000000
17 -0.000000
18 0.000000
19 0.000000
20 0.000000
21 -0.000000
22 -0.000000
23 -0.000000
24 0.000000
25 0.000000
100 -0.000000
2. Синтез управления не более, чем с одним переключением в управляемой системе второго порядка
Задание: во второй части курсовой работы рассматривается управляемая консервативная система с одной степенью свободы:
интегрирование дифференциальность синтез уравнение
= f(x,u), |u| = 1. (2.1)
Требуется подобрать управление u(·), переводящее фазовую точку
(x1, x2) из заданного начального состояния в начало координат(0,0).
На выбор управления u(·) накладывается условие |u(·)| = 1и u(·) имеет не более одного переключения.
Решение: =5x4+5u, |u|=1 (2.2)
E = T + U - полная механическая энергия
T = - кинетическая энергия
U = - (о)dо - потенциальная энергия
Очевидно, F(x) = - , так что потенциальная энергия определяет систему.
1)При u=1получаем систему:
F(x)= 5x4+5
Находим положения равновесия системы:
5x4+5=0
x1= i, x2=- i.
Находим потенциальную энергию:
2)При u=-1получаем систему:
=5x4-5
F(x) = 5x4-5
Находим положения равновесия системы:
5x4-5=0
x1=1, x2=-1
(-1;0), (0;1) - положения равновесия.
Проверяем на устойчивость положения равновесия.
Для этого находим производную от функции F(x):
F'(x)=20x3
подставляем в нее значения x1 и x2.
F'(1) > 0 => (0;1) - неустойчивое положение равновесия
F'(-1) < 0 => (-1;0) - устойчивое положение равновесия
Находим потенциальную энергию:
U(x)=-5t4-5)dt=- t5|+ 5t|=-x5+5x
-x5+5x = 0
-x(x4-5) = 0
-x=0
3. Малые возмущения системы линейных уравнений
В третьей части курсовой работы рассматривается система:
(3.1)
Необходимо исследовать фазовые кривые системы (3.1), близкой к системе линейных однородных уравнений:
(3.2)
Полагаем при этом, что собственные значения матрицы А = (аij) имеют нулевые действительные части: л1,2 = ±вi. Тогда фазовые траектории системы (3.2) замкнуты.
В работе необходимо найти невырожденную матрицу перехода С по следующему правилу: первый столбец матрицы С является действительной частью собственного вектора для л1 = вi , второй столбец матрицы С является мнимой частью собственного вектора для л1 = вi. И с помощью замены переменных:
=C
свести систему (3.1) к системе вида:
(3.3)
где (y) = (?( y?, y?), ?( y?, y?)) = C -1f(Cy).
Решение: 1) (3.4)
= ,
.
Рассмотрим систему:
(3.5)
Запишем систему (2) в виде:
= A + е f , где A = .
Найдем собственные значения матрицы А:
|A - лE| = = лІ + 1 = 0
л?,? = ±i
Найдем собственный вектор для л?=i:
=
-a =- (1-i)b
a = (1+i)
b = -1
h? = = + i
Таким образом, матрица С = , С -1 = .
Найдем f(cy):
,
.
Подставим в формулу
При получаем уравнение малых колебании маятника. По теореме о дифференцируемости по параметру при малых решение (на конечном
интервале времени) отличается поправкой порядка от гармонических
колебаний:
Следовательно, при достаточно малом фазовая точка остается в области окружности радиуса A в течении интервала времени T . Произвольную энергию по направлению нашего векторного поля легко
вычислить: она пропорциональна равна
Вычислим приращение энергии, посчитав интеграл с точностью до по окружность радиуса A , по формуле:
.
Подставим замену:
спираль раскручивается, а предельных циклов нет.
спираль закручивается, а предельных циклов нет.
если предельный цикл.
Список использованной литературы
[1] Лизоркин Г.И. Курс обыкновенных дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1981, Гл.7, §6.
[2] Эльсгольц Г.Э. Дифференциальные уравнения и вариционное исчисление. М.: Наука, 1969, Гл.2, §7.
[3] Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974, Гл.2, §16.
[4] Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотичная динамика», 2000, Гл.2, §12.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие о голоморфном решении задачи Коши. Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши. Решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов. Интегрирование дифференциальных уравнений.
курсовая работа [810,5 K], добавлен 24.11.2013Понятия, связанные с рядами и дифференциальными уравнениями. Необходимый признак сходимости. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов. Уравнение Эйри и Бесселя. Примеры интегрирования в Maple. Приближенные вычисления с помощью рядов.
курсовая работа [263,9 K], добавлен 11.12.2013Задачи на нахождение неопределенного интеграла с применением метода интегрирования по частям. Вычисление площади, ограниченной заданными параболами. Решение дифференциального уравнения первого порядка. Исследование на сходимость ряда; признаки сходимости.
контрольная работа [136,7 K], добавлен 16.03.2010Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных, линейных уравнений первого порядка и уравнений допускающего понижение порядка. Введение функций в решение уравнений. Интегрирование заданных линейных неоднородных уравнений.
контрольная работа [92,7 K], добавлен 09.02.2012Проверка непрерывности заданных функций. Интегрирование заданного уравнения и выполние преобразования с ним. Интегрирование однородного дифференциального уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного уравнения.
контрольная работа [65,3 K], добавлен 15.12.2010Задачи Коши для дифференциальных уравнений. График решения дифференциального уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к однородному. Однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
лекция [520,6 K], добавлен 18.08.2012Общее решение дифференциального уравнения первого порядка. Уравнение с разделенными переменными. Выбор частного интеграла. Частное решение дифференциального уравнения второго порядка. Вероятность проявления события, интегральная формула Муавра-Лапласа.
контрольная работа [75,5 K], добавлен 19.08.2009Численное решение уравнения методом Эйлера и Рунге-Кутта в Excel. Программа на языке Turbo Pascal. Блок-схема алгоритма. Метод Рунге-Кутта для дифференциального уравнения второго порядка. Модель типа "хищник-жертва" с учетом внутривидового взаимодействия.
курсовая работа [391,5 K], добавлен 01.03.2012Правила вычисления коэффициентов n-образов. Рассмотрение алгоритмов решения линейных ОДУ с переменными коэффициентами второго и произвольного порядков. Общепринятые способы определения частного решения неоднородного дифференциального уравнения.
книга [1,7 M], добавлен 03.10.2011Построение таблицы и графика решения линейного дифференциального уравнения. Зависимость погрешности решения от выбора шага интегрирования. Метод Адамса-Башфорта и его применение. Основные функции и переменные, использованные в реализованной программе.
контрольная работа [2,0 M], добавлен 13.06.2012Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.
курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015Система линейных уравнений. Общее и частные решения системы линейных уравнений. Нахождение векторного произведения. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Исследование функции на непрерывность. Тригонометрическая форма числа.
контрольная работа [128,9 K], добавлен 26.02.2012Решение краевой задачи. Методы конечно-разностных, центрально-разностных отношений и метод прогонки. Приближенное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с помощью методов Галеркина, Ритца и коллокации, сравнение результов.
курсовая работа [596,2 K], добавлен 27.04.2011Понятие и математическое описание элементов дифференциального уравнения как уравнения, связывающего искомую функцию одной или нескольких переменных. Состав неполного и линейного дифференциального уравнения первого порядка, их применение в экономике.
реферат [286,2 K], добавлен 06.08.2013Порядок решения дифференциального уравнения 1-го порядка. Поиск частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего указанным начальным условиям. Особенности применения метода Эйлера. Составление характеристического уравнения матрицы системы.
контрольная работа [332,6 K], добавлен 14.12.2012Степенные ряды. Радиус сходимости. Ряды Лорана. Полюса и особые точки. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов. Общее дифференциальное уравнение Риккати. Исследование решений в окрестности полюса и существенно особой точки.
дипломная работа [252,1 K], добавлен 15.12.2012Решение дифференциального уравнения методом численного интегрирования Адамса. Методы, основанные на применении производных высших порядков. Формулы, обеспечивающие более высокую степень точности, требующие вычисления третьей производной искомого решения.
курсовая работа [81,9 K], добавлен 29.08.2010Способы решения системы уравнений с двумя переменными. Прямая как график линейного уравнения. Использование способов подстановки и сложения при решении систем линейных уравнений с двумя переменными. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
реферат [532,7 K], добавлен 10.11.2009Виды дифференциальных уравнений: обыкновенные, с частными производными, стохастические. Классификация линейных уравнений второго порядка. Нахождение функции Грина, ее применение для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями.
курсовая работа [4,8 M], добавлен 29.04.2013Методы решений иррациональных уравнений. Метод замены переменных. Линейные комбинации двух и более радикалов. Уравнение с одним радикалом. Умножение на сопряженное выражение. Метод решения уравнений путем выделения полных квадратов под знаком радикала.
контрольная работа [116,6 K], добавлен 15.02.2016
