Основы теории ошибок и методы обработки случайных погрешностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Минобрнауки России

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Санкт-Петербургский государственный технологический институт

(технический университет)

УГС: Химическая и биотехнологии

Факультет: Инженерно-технологический

Кафедра: Химической энергетики

Учебная дисциплина: Основы научных исследований

КУРСОВАЯ РАБОТА

Основы теории ошибок

и методы обработки случайных погрешностей

Студент

Семёнов Виктор Андреевич

Санкт-Петербург 2013



Исходные данные к работе (источники)

1 А.А. Свешников: Основы теории ошибок, издательство Ленинградского университета, 1972.

2 В.Л. Ткалич, Р.Я. Лабковская: Обработка результатов технических измерений. СПбГУ ИТМО, 2011.

3 О.Н. Касандрова. В.В. Лебедев: Обработка результатов наблюдений. М Наука. Редакция Физмат литература, 1970.

4 Ю.Д. Максимов. Теория вероятностей. Детализированный конспект. - СПбГПУ. - 2002.

Перечень вопросов, подлежащих разработке

1 Задача теории ошибок

2 Распределение Гаусса для бесконечного числа случайных измерений

3 Среднеквадратичная ошибка случайных измерений

4 Доверительная вероятность

5 Закон сложения случайных ошибок

6 Коэффициент Стьюдента

7 Обнаружение промахов



Оглавление

Введение

1 Теория ошибок

1.1 Задача теории ошибок, классификация и типы

1.2 Вероятность случайной величины

1.3 Распределение Гаусса для бесконечного числа случайных измерений

1.4 Среднеквадратичная ошибка случайных измерений

1.5 Доверительная вероятность

1.6 Закон сложения случайных ошибок

1.7 Среднее арифметическое и истинное значение измеряемой величины. Распределение Стьюдента для конечного числа измерений

1.8 Обнаружение промахов

Заключение

Список использованной литературы



Введение

Все технические исследования и инженерные разработки сопровождаются измерениями. Все измерения имеют погрешность. Каждая погрешность должна быть обработана. Актуальность данной темы диктуется тем, что невозможно провести измерения без погрешностей, особенными погрешностями являются случайные, причиной которых может послужить что угодно, начиная от плохого самочувствия жены ученого и заканчивая эффектом Кориолиса земли и магнитными бурями на солнце. Исключить эти ошибки не представляется возможным, однако с помощью статистической обработки их можно свести к минимуму.

Аналитический обзор

Эксперименты практически всегда подразумевает измерения, крайне важно чтоб измерения не были ошибочными, расчет погрешности позволяет нам исключать ошибки. Теория ошибок систематизирует эти ошибки и включает в себя способы расчеты погрешности, которая максимально приблизит результаты измерений к истине. В основе теории лежат теория вероятности и приемы статистики.

Исследуемость темы крайне высока, так как каждый инженер или технолог столкнется со случайными ошибками бессчетное число раз. Любое измерение содержит в себе случайную погрешность и пренебрегать ей нельзя. Именно поэтому сформулирована теория случайных погрешностей.

Цели и задачи работы

Целью данного исследования является изучение теории ошибок и рассмотрение методов обработки непосредственно случайных погрешностей.

Объектом исследований являются основы теории случайных ошибок.

Предмет исследований - методы обработки случайных погрешностей.



Глава 1. Теория ошибок

1.1 Задача теории ошибок, классификация и типы

Теория ошибок измерений изучает свойства ошибок и законы их распределения, методы обработки измерений с учетом их ошибок, а также способы вычисления числовых характеристик точности измерений. При многократных измерениях одной и той же величины результаты измерений получаются неодинаковыми. Этот очевидный факт говорит о том, что измерения сопровождаются разными по величине и по знаку ошибками. Задача теории ошибок - нахождение наиболее надежного значения измеренной величины, оценка точности результатов измерений и их функций и установление допусков, ограничивающих использование результатов обработки измерений.[1. c. 7]

Нижу приведена классификация представленная А. А. Свешниковым в его работе - Основы теории ошибок.

1) Абсолютные - относительные. Измеряемая величина x имеет ошибку Дx; это абсолютная ошибка, она имеет размерность величины x. Относительная ошибка вводится для оценки качества измерения; она, очевидно, безразмерна: Дx/x.

2) Систематические - случайные. Систематические - это те, что повторяются из опыта в опыт и имеют одно и тоже значение. Из них можно выделить: поправки (уточняющие теорию, постоянные воздействия и т.п.), неизвестного происхождения (недостаточно разработанная теория, сложный эксперимент) и, наконец, класс точности приборов. Чаще всего класс точности приборов считается основным источником систематических ошибок.

В электроизмерительных приборах обычно имеются классы от 0.05 до 4. Для класса 0.5 при общей шкале 100 делений показания прибора даются не точнее, чем 0.5% от всей шкалы, т.е. 0.5 деления. Максимальные погрешности, даваемые другими измерительными приборами, иногда наносятся на сами приборы (например, многие линейки имеют надпись 0.1 мм). Это цена деления. Надо иметь в виду, что в реальности экспериментатор сможет сделать замер линейкой с точностью, например, не лучше 0.25 мм.[2. c. 36] На хороших электроизмерительных приборах цена деления шкалы согласована с классом данного прибора.

Случайные ошибки берут свое происхождение из множества одновременно действующих источников помех. Они проявляются лишь при многократных измерениях. Это ошибки, которые поддаются обработке с помощью математической статистики, более точно, теории вероятностей. Их непредсказуемость, таким образом, сводится к минимуму. Именно эти ошибки и методы их обработки мы будем рассматривать ниже.

Важный тип случайных - систематических ошибок - промахи, т.е. грубые ошибки, возникшие в ходе эксперимента. Их надо уметь отделить от нормальных измерений, основной способ их устранения - это внимание и тщательность.

1.2 Вероятность случайной величины

Измерения, содержащие случайные ошибки, описываются с помощью теории вероятности. Поэтому основное понятие теории случайных измерений - это вероятность.[4. c.14]

С понятием вероятности случайных событий мы встречаемся в своей повседневной деятельности, когда оцениваем шансы появления такого рода событий. Вероятность события A - это число P (A), характеризующее возможность появления этого события. По определению, 0?P(A)?1 - вероятность невозможного события равна нулю, достоверного равна единице. Иногда вероятность выражают в процентах. Строгое введение понятия вероятности основывается на законе больших чисел. [4. c. 15]

Для описания вероятности введем отношение =m/n числа m появлений события A при n испытаниях; оно называется частотой этого события. Тогда для любого сколь угодно малого >0 существует число P такое, что при достаточно большом числе испытаний n | - P|<. Число P называется вероятностью появления события A; по сути дела это предел, к которому стремится частота события A при n---->?.[4. 20]

1.3 Распределение Гаусса для бесконечного числа случайных измерений

Для характеристики случайной величины нужно знать множество возможных значений этой величины и вероятности, с которыми она может принимать эти значения. Эти данные образуют закон распределения случайной величины. Например, распределение числа очков при бросании игральной кости описывается равными вероятностями, 1/6, для каждого значения от 1 до 6. Это распределение дискретной случайной величины. Часто встречаются непрерывные случайные величины, возможные значения которых заполняют всю числовую ось (или некоторые интервалы).

В теории случайных ошибок измерений важное значение имеет нормальный закон распределения или функция Гаусса. Он справедлив, когда действуют сразу несколько источников ошибок, и ни один из них не доминирует; при этом каждый источник вносит лишь малую долю в общую ошибку. Нормальный закон распределения вероятности случайных ошибок описывается формулой Гаусса:



,

где x - случайная величина измерения; x0 - ее истинное значение; чаще всего неизвестно; ² - дисперсия распределения; e=2,71928 - фундаментальная математическая постоянная.[1. c. 35]

На рис. 1 представлены графики p(x) для трех различных значений дисперсии. Видно, что наибольшая вероятность измерения попадает на истинные значения -x0.

В математической статистике показывается, что в качестве истинного значения x0 можно использовать среднее арифметическое из n измерений:



где x_n - значение n-го измерения случайной величины x. Чем больше проведено испытаний (n), тем лучше выполняется это утверждение, т.е.

1.4 Среднеквадратичная ошибка случайных измерений

Форма кривых Гаусса устанавливает, насколько часто должны появляться ошибки той или иной величины. Видно, что чем больше дисперсия случайной величины , тем шире кривая и ниже ее пик. Таким образом, для большой дисперсии вероятность, пропорциональная p(x), слабо спадает при отклонении от истинного значения x₀. Наоборот, для малой дисперсии вероятность получить такое же измерение мала. Значение характеризует качество методики измерения: чем меньше дисперсия, тем лучше методика.

В реальном эксперименте мы имеем конечное число испытаний n. Поэтому, как и для среднего арифметического, вводится величина, характеризующая среднее отклонение случайной величины x от x_ср; она называется средне-квадратичным отклонением (ошибкой):

Оказывается, что при сколь угодно большом числе измерений, средне-квадратичная ошибка стремится к дисперсии:

и чем больше n , тем точнее равенство: Sn ? . Очевидно, что из опыта мы можем найти только S_n.[3. c. 35]

1.5 Доверительная вероятность

Плотность вероятности p(x) характеризует вероятность получить значение случайно величины x с точностью dx. Таким образом, p(x)dx есть вероятность измерить в эксперименте значение x в пределах dx. Полная вероятность P получить в измерен x₀- Дx ? x ? x₀+ Дx дается площадью под кривой распределения p(x); математически площадь вычисляется через интеграл (Рис. 2):



Эта вероятность называется надежностью или доверительной вероятностью. Итак, б - это вероятность того, что единичный результат измерения отличается от истинного на величину, не большую Дx. Величина Дx называется доверительным интервалом. Вероятностное описание случайных измерений приводит нас к важному выводу: понятие измерения включает в себя среднее арифметическое величины (измеряемой прямо или косвенно), доверительный интервал Дx и доверительную вероятность б получить результат измерения с допуском в этом интервале.[1. c.35]

Для любой величины Дx по формуле для нормального распределения (Формула Гаусса) может быть рассчитана соответствующая доверительная вероятность б. Эти вычисления были проделаны и их результаты были сведены в таблицу 1:

В таблице фигурирует относительная величина =Дx/. Чтобы воспользоваться таблицей 1, необходимо знать дисперсию ; ее находят приближенно, приравнивая средне-квадратичной ошибке S_n; последняя вычисляется подстановкой экспериментальных данных. Одна из задач обработки случайных измерений сводится к заданию доверительной вероятности и нахождению соответствующего ей доверительного интервала. Возможна и обратная задача: задается Дx, а находится б.[1. c. 38] Например, доверительная вероятность, соответствующая доверительному интервалу

Дx=(=1), есть 0.68;

Видно, что чем больше доверительный интервал, тем выше доверительная вероятность (надежность). Это очевидно из Рис.2: заштрихованная площадь под кривой тем больше, чем больше интервал Дx. В тех случаях, где необходима высокая надежность (военная техника, авиация, космонавтика и др.) допуск становится несколько . Чтобы в этом случае техника четко работала надо резко снижать дисперсию, что достигается с помощью высоких технологий.

1.6 Закон сложения случайных ошибок

Если случайная величина z измеряется косвенно и

z = x ± y,

где x, y не зависимо измеряемые случайные величины со средне-квадратичной ошибкой S_n и S_y соответственно, то средне-квадратичная ошибка величины z находится по формуле:

S_z² = S_x² + S_y².

В общем случае многих N случайных величин Xi:

(1)

Например, пусть для двух случайных величин X и Y их средне-квадратичные ошибки Sx и Sy = S_x/2. Тогда Sz ? 1.1Sx.

Таким образом, для повышения точности измерений при наличии нескольких случайных величин необходимо уменьшать ошибку, имеющую наибольшую величину.

Второе следствие закона сложения случайных величин еще важнее и касается погрешности среднего арифметического.

Пусть x_1, x_2,…, x_n - результаты отдельных равноточных измерений (с одинаковой точностью) с дисперсией ? S_n. Среднее арифметическое:

x_ср=x₁/n + x₂/n + … + x_n/n.[1. c. 46]

Тогда в соответствии с (1):

Таким образом, среднее арифметическое имеет меньшую

ошибку, чем результат каждого отдельного измерения.



1.7 Среднее арифметическое и истинное значение измеряемой величины. Распределение Стьюдента для конечного числа измерений

(2)

Поскольку среднее арифметическое x имеет меньшую ошибку, то надо решить задачу: насколько оно близко к истинному x₀ при n измерениях. Подобно случаю нормального распределения, справедливого при n---->?, составим отношение:

Числа t_б,n называются коэффициентами Стьюдента, они зависят от выбранной (или искомой) надежности б и числа измерений n. Таким образом, коэффициенты t_б,n играют такую же роль, как и , но для конечного числа измерений. Для малого числа измерений использование нормального распределения (формулы Гаусса) даст ошибку, и тем большую, чем меньше n. Значит надо использовать более точное распределение вероятностей, зависящее от n. Такие распределения для n ? 2 были рассчитаны и затабулированы (сведены в таблицы, таблица 2) и названы распределением Стьюдента; роль нормированной ошибки теперь играют коэффициенты Стьюдента t_б,n из (2).

Из этой таблицы видно, что при больших n величины t_б,n стремятся к соответствующим значениям величин : например, для вероятности б=0.7 при n--->? t_0.95,n --->2.0 (сравним с нормальным распределением: для б=0.68 =1.0, для б=0.95, =2.0). Это и естественно, так как при повышении n S_n--->. Для малых же значений n при заданной вероятности б t_б,n становится больше . Если не учесть это обстоятельство, то использование вместо t_б,n привело бы к занижению Дx:

(3)

Используя коэффициенты Стьюдента, можно переписать равенство (10) в виде:

Это вероятность того, что истинное значение x₀ лежит в интервале

Она также называется доверительной

вероятностью для доверительного интервала.



Приведём пример из экспериментальной физики. Для того, чтобы подтвердить закон Малю в поляризационных измерениях получили значения суммарной интенсивности W_o + W_e света обыкновенного луча совместно с необыкновенным:

После вычислений имеем:

n = 18

x_ср = 32.17 дел.

S_n = 9.17 дел.

Закон Малю гласит:

W_o + W_e = const.

С какой точностью справедлив этот закон для доверительной вероятности б = 0.95?

Решение:

используем (3), где S_n = 9.17, n = 18, t_0.95,18=2.1

Относительная ошибка Дx/x = 0.14 = 14%

Ответ: для вероятности б = 0.95 закон Малю справедлив с точностью 14%.

1.8 Обнаружение промахов

Можно считать некоторое измерение промахом, если вероятность случайного появления такого значения достаточно мала. Рассмотрим эту проблему подробнее. Будем использовать нормальный закон распределения для n---->?. Привлечение более точного распределения Стьюдента существенно более точного результата не даст. Как сказано выше, вероятность появления значения, отклоняющегося от среднего арифметического (x_ср) более, чем на 3, равно 0.003. Все измерения, отличающиеся от x_ср на эту (или большую) величину, могут быть отброшены как маловероятные. Если измерения даются легко, то лучше отбросить сильно отклоняющиеся значения - это не приведет к существенной ошибке, но исключит промах.[3. c. 54-55]

Если же измерений мало или они трудоемкие, то следует проверять наличие промахов.

Во-первых, полезно посмотреть, как сильно он меняет окончательный результат. Во-вторых, если вероятность в данного значения измерения лежит в интервале (0.1,0.01), то неважно, оставить это значение или отбросить. При в > 0.1 следует его оставить, при в < 0.01 - отбросить.[3. c. 56]



Заключение

Проведенное исследование дает нам базовые знания по теории ошибок, а именно:

Случайные ошибки берут свое происхождение из множества одновременно действующих источников помех. Они проявляются лишь при многократных измерениях. Это ошибки, которые поддаются обработке с помощью математической статистики, более точно, теории вероятностей. Их непредсказуемость, таким образом, сводится к минимуму

Измерения, содержащие случайные ошибки, описываются с помощью теории вероятности. Поэтому основное понятие теории случайных измерений - это вероятность.

Нормальный закон распределения вероятности случайных ошибок описывается формулой Гаусса.

В реальном эксперименте мы имеем конечное число испытаний n. Поэтому, как и для среднего арифметического, вводится величина, характеризующая среднее отклонение случайной величины x от x_ср; она называется средне-квадратичным отклонением (ошибкой).

теория ошибки гаусс вероятность



Список использованной литературы

1 А.А. Свешников: Основы теории ошибок, Спб: издательство Ленинградского университета - 1972.

2 В. Л. Ткалич, Р. Я. Лабковская: Обработка результатов технических измерений, Спб: СПбГУ ИТМО 2011.

3 О. Н. Касандрова: В.В. Лебедев: Обработка результатов наблюдений. М,: Наука. Редакция Физмат литература 1970.

4 Ю.Д. Максимов: Теория вероятностей. Детализированный конспект, Спб: СПбГПУ 2012

Размещено на Allbest.ru

...