Теория вероятностей и математическая статистика
Определение вероятности выбора детали без дефектов из выборки, обработанной на одном определенном станке. Расчет числа взошедших семян из выборки методами теории вероятности. Расчет разности случайных величин, ее математического ожидания и дисперсии.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 06.06.2014 |
| Размер файла | 41,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
10
Размещено на http://www.allbest.ru/
Теория вероятностей и математическая статистика
Задание №1
На первом станке обработано 20 деталей, из них семь с дефектами, на втором - 30, из них четыре с дефектами, на третьем - 50 деталей, из них 10 с дефектами. Все детали сложены вместе. Наудачу взятая деталь оказалась без дефектов.
Какова вероятность того, что она обработана на третьем станке?
Решение
Имеем:
I станок - 20 деталей, из них:
7 с дефектами;
13 без дефектов.
II станок - 30 деталей, из них:
4 с дефектами;
26 без дефектов.
III станок - 50 деталей, из них:
10 с дефектами;
40 без дефектов.
Событие Аi - деталь обработана на i-том станке (i = 1,2,3)
Вероятности таких событий будут равны:
События Аi образуют полную систему событий.
Событие В - деталь без дефектов.
Вероятности выбрать деталь без дефектов из деталей, обработанных на одном определенном станке соответственно составляют для каждого станка:
Событие В по условию произошло - наудачу взятая деталь оказалась без дефектов.
Вероятность того, что она обработан на третьем станке, находим по формуле Байеса:
Ответ: 0,5063.
Задание №2
Сколько семян следует взять, чтобы с вероятностью не менее чем 0,9545 быть уверенным, что частотность взошедших семян будет отличаться от вероятности р = 0,9 не более чем на 2% (по абсолютной величине)?
Решение
Случайная величина Х - число взошедших семян.
- частотность взошедших семян.
Событие А - посаженное семя взошло.
Для нахождения числа семян, которые надо взять, чтобы с вероятностью не менее чем 0,9545 быть уверенным, что частотность взошедших семян будет отличаться от вероятности р = 0,9 не более чем на 2% (по абсолютной величине), воспользуемся следствием №2 из неравенства Чебышева (для частотности (дол) появления события):
где е = 0,02.
По условию:
Правые части обоих неравенств приравняем и определим неизвестный параметр n:
Ответ: таким образом, необходимо взять не менее 4945 семян, чтобы с вероятностью 0,9545 быть уверенным, что частотность взошедших семян будет отличаться от вероятности р = 0,9 не более чем на 2% (по абсолютной величине).
Задание №3
Завод «Пино» (г.Новороссийск) отправил в Москву 2000 бутылок вина «Каберне». Вероятность того, что в пути может разбиться бутылка, равна 0,002. Какова вероятность того, что в пути будет разбито не более пяти бутылок?
Решение
Событие А - бутылка в пути разбилась.
Р(А) = 0,002 = р
n = 2000
Воспользуемся формулой Пуассона:
Находим вероятность того, что из 2000 отправленных в Москву бутылок вина в пути разобьется не более пяти, т.е. одна, две, три, четыре, пять или ни одной бутылки вина.
m ? 5
Р(А) = Р0; 2000 + Р1; 2000 + Р2; 2000 + Р3; 2000 + Р4; 2000 + Р5; 2000
Р(А) = 0,0183 + 0,0733 + 0,1465 + 0,1954 + 0,1954 + 0,1563 = 0,7852
Ответ: 0,7852.
Задание №4
Одна из случайных величин (Х) задана законом распределения
вероятность дисперсия математический
|
xi |
0 |
1 |
3 |
|
|
pi |
0,2 |
0,3 |
0,5 |
а другая (Y) имеет биномиальное распределение с параметрами n = 2, р = 0,4.
Составить закон распределения их разности. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение:
Найдем закон распределения случайной величины Y.
Случайная величина Y имеет биномиальный закон распределения с параметрами n и р, если она принимает значения 0, 1, 2, …, m, …, n с вероятностями, определяемыми формулой Бернулли:
,
т.е. в нашем случае закон распределения случайной величины Y будем находить в виде:
|
yi |
0 |
1 |
2 |
|
|
pi |
По условию:
Получим:
В итоге закон распределения случайной величины Y примет вид:
|
yi |
0 |
1 |
2 |
|
|
pi |
0,36 |
0,48 |
0,16 |
Найдем закон распределения разности случайных величин Х и Y:
|
Y Х |
0 |
1 |
2 |
||
|
0,36 |
0,48 |
0,16 |
|||
|
0 |
0,2 |
0 - 0 = 0 0,2·0,36=0,072 |
0 - 1 = -1 0,2·0,48=0,096 |
0 - 2 = -2 0,2·0,16=0,032 |
|
|
1 |
0,3 |
1 - 0 = 1 0,3·0,36=0,108 |
1 - 1 = 0 0,3·0,48=0,144 |
1 - 2 = -1 0,3·0,16=0,048 |
|
|
3 |
0,5 |
3 - 0 = 3 0,5·0,36=0,18 |
3 - 1 = 2 0,5·0,48=0,24 |
3 - 2 = 1 0,5·0,16=0,08 |
Закон распределения случайной величины Z = Х-Y имеет вид:
|
zi |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
pi |
0,032 |
0,144 |
0,216 |
0,188 |
0,24 |
0,18 |
Математическое ожидание случайной величины Z равно:
М(Z) = ?ZiPi
Дисперсию случайной величины Z находим по формуле:
D(Z) = М(Z2) - [М(Z)]2
где М(Z2) = ?Zi2Pi
D(Х) = 3,04 - 12 = 2,04
Ответ: ;
.
Задание №5
Полагая, что длина изготавливаемой детали есть нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием М(Х) = 10 и средним квадратическим отклонением у = 2, найти вероятность того, что длина наугад взятой детали заключена в интервале (5; 6).
В каких границах (симметричных относительно М(Х)) будет заключена длина наугад взятой детали с вероятностью 0,95?
Решение:
Вероятность попадания случайной величины в интервал определяется по формуле:
где Ф(t) - функция Лапласа.
а = М(Х) = 10
у = 2
Вероятность того, что длина наугад взятой детали заключена в интервале (5; 6) составит:
Границы, симметричные относительно М(Х), в которых с вероятностью 0,95 будет заключена длина наугад взятой детали, определим, используя следующую формулу:
где
Т.е. с вероятностью 0,95 можно ожидать, что длина наугад взятой детали составит от 6,08 до 13,92 единиц.
Ответ: а) ;
б) .
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Определение вероятности случайного события; вероятности выиграшных лотерейных билетов; пересечения двух независимых событий; непоражения цели при одном выстреле. Расчет математического ожидания, дисперсии, функции распределения случайной величины.
контрольная работа [480,0 K], добавлен 29.06.2010Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Методы решения задач по теории вероятности, определение математического ожидания и дисперсии.
контрольная работа [157,5 K], добавлен 04.02.2012Определение вероятности брака проверяемых конструкций. Расчет вероятности того, что из ста новорожденных города N доживет до 50 лет. Расчет математического ожидания и дисперсии. Определение неизвестной постоянной С и построение графика функции р(х).
курсовая работа [290,7 K], добавлен 27.10.2011Основные методы формализованного описания и анализа случайных явлений, обработки и анализа результатов физических и численных экспериментов теории вероятности. Основные понятия и аксиомы теории вероятности. Базовые понятия математической статистики.
курс лекций [1,1 M], добавлен 08.04.2011Статистическое, аксиоматическое и классическое определение вероятности. Дискретные случайные величины. Предельные теоремы Лапласа и Пуассона. Функция распределения вероятностей для многомерных случайных величин. Формула Байеса. Точечная оценка дисперсии.
шпаргалка [328,7 K], добавлен 04.05.2015Определение математической вероятности правильного набора, если на нечетных местах комбинации стоят одинаковые цифры. Использование классического определения вероятности. Расчет математического ожидания и дисперсии для очков, выпавших на игральных костях.
контрольная работа [90,2 K], добавлен 04.01.2011Примеры пространства элементарных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий. Функция распределения F(x,y) системы случайных величин. Расчет математического ожидания и дисперсии. Закон генеральной совокупности и его параметры.
контрольная работа [178,1 K], добавлен 15.06.2012Вычисление математического ожидания, дисперсии и коэффициента корреляции. Определение функции распределения и его плотности. Нахождение вероятности попадания в определенный интервал. Особенности построения гистограммы частот. Применение критерия Пирсона.
задача [140,0 K], добавлен 17.11.2011Теория вероятности как наука убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат детерминированные закономерности. Математические доказательства теории. Аксиоматика теории вероятности: определения, вероятность пространства, условная вероятность.
лекция [287,5 K], добавлен 02.04.2008Практическиое решение задач по теории вероятности. Задача на условную вероятность. Задача на подсчет вероятностей. Задача на формулу полной вероятности. Задача на теорему о повторении опытов. Задача на умножение вероятностей. Задача на схему случаев.
контрольная работа [29,7 K], добавлен 24.09.2008Определение вероятности определенного события. Вычисление математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично. Расчет корреляционных признаков.
контрольная работа [725,5 K], добавлен 12.02.2010Определение вероятности наступления определенного события по законам теории вероятности. Вычисление математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения. Нахождение выборочного уравнения регрессии по данным корреляционной таблицы.
контрольная работа [212,0 K], добавлен 01.05.2010Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения.
контрольная работа [38,5 K], добавлен 25.03.2015Теория вероятности, понятие вероятности события и её классификация. Понятие комбинаторики и её основные правила. Теоремы умножения вероятностей. Понятие и виды случайных величин. Задачи математической статистики. Расчёт коэффициента корреляции.
шпаргалка [945,2 K], добавлен 18.06.2012Классическое определение вероятности события. Способы вычисления наступления предполагаемого события. Построение многоугольника распределения. Поиск случайных величин с заданной плотностью распределения. Решение задач, связанных с темой вероятности.
задача [104,1 K], добавлен 14.01.2011Определение вероятности появления события в каждом из независимых испытаний. Случайные величины, заданные функцией распределения (интегральной функцией), нахождение дифференциальной функции (плотности вероятности), математического ожидания и дисперсии.
контрольная работа [59,7 K], добавлен 26.07.2010Рассмотрение способов нахождения вероятностей происхождения событий при заданных условиях, плотности распределения, математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения и построение доверительного интервала для истинной вероятности.
контрольная работа [227,6 K], добавлен 28.04.2010Предмет и метод математической статистики. Распределение непрерывной случайной величины с точки зрения теории вероятности на примере логарифмически-нормального распределения. Расчет корреляции величин и нахождение линейной зависимости случайных величин.
курсовая работа [988,5 K], добавлен 19.01.2011Сущность закона распределения и его практическое применение для решения статистических задач. Определение дисперсии случайной величины, математического ожидания и среднеквадратического отклонения. Особенности однофакторного дисперсионного анализа.
контрольная работа [328,2 K], добавлен 07.12.2013Алгоритм определения вероятности события и выполнения статистических ожиданий. Оценка возможных значений случайной величины и их вероятности. Расчет математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Анализ характеристик признака.
контрольная работа [263,8 K], добавлен 13.01.2014
